直線與平面垂直的判定全

教學內容：一、理解直線與平面垂直的定義；2.3.1直線與平面垂直的判定二、探究、歸納直線與平面垂直的判定定理及應用。回顧知識：

空間中一條直線與平面有哪幾種位置關系？

（1）直線在平面內，（2）直線與平面平行，（3）直線與平面相交知識探究（一）：直線與平面垂直的概念

(垂直)

大漠孤煙直

ABABABABABABABABCC1B1ABα內過點B的直線AB所在直線內不過點B的直線ααAB所在直線內任意一條直線αAB所在直線⊥⊥⊥一、直線和平面垂直的定義如果一條直線和一個平面相交，并且和這個平面內的任意一條直線都垂直，我們就說這條直線和這個平面垂直.其中直線叫做平面的垂線，平面叫做直線的垂面.交點叫做垂足.A平面的垂線直線的垂面垂足LP直線和平面垂直的畫法:通常把直線畫成和表示平面的平行四邊形的一邊垂直。深入理解“線面垂直定義”判斷下列語句是否正確：（若不正確請舉反例）1.如果一條直線與一個平面垂直，那么它與平面內所有的直線都垂直.（）2.如果一條直線與平面內無數條直線都垂直，那么它與平面垂直.（)bαa

利用定義，我們得到了判定線面垂直的最基本方法，同時也得到了線面垂直的最基本的性質.探索新知：

但是，直接考察直線與平面內所有直線都垂直是不可能的，這就有必要去尋找比定義法更簡捷、更可行的直線與平面垂直的方法!探索新知：做一做想一想ABCD1.折痕AD與桌面垂直嗎？2.如何翻折才能使折痕AD與桌面所在的平面垂直？

請同學們拿出一塊三角形紙片，我們一起做一個試驗：過三角形的頂點A翻折紙片，得到折痕AD，將翻折后的紙片豎起放置在桌面上（BD、DC與桌面接觸）

當且僅當折痕AD是BC邊上的高時，AD所在直線與桌面所在平面垂直．2.如何翻折才能使折痕AD與桌面所在的平面垂直？探索新知：探索新知：

由剛才分析可以知道，直線與平面垂直的判定需要哪幾個條件？你能根據剛才的分析歸納出直線與平面垂直判定定理嗎

(1)平面有兩條直線

(2)這兩條直線要相交(3)平面外的直線要與這兩條直線都垂直二、直線與平面垂直的判定定理：

線線垂直線面垂直mnP一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。一相交兩垂直判斷下列命題是否正確？(1)過一點有且只有一條直線和一個平面垂直()(2)過一點有且只有一個平面和一條直線垂直()√√PP例1.在下圖的長方體中，請列舉與平面ABCD垂直的直線。并說明這些直線有怎樣的位置關系？例2、在正方體AC1中，求證：(2)D1B⊥平面ACB1(1)AC⊥平面D1DBC1BD1ACA1DB1C1BD1ACA1DB1例2、在正方體AC1中，求證：(2)D1B⊥平面ACB1由異成直線所成的角知D1B⊥平面ACB1例2.如圖，已知a∥b、a⊥α.求證：b⊥α.例題示范,鞏固新知分析：在平面內作兩條相交直線，由直線與平面垂直的定義可知，直線a與這兩條相交直線是垂直的，又由b平行a，可證b與這兩條相交直線也垂直，從而可證直線與平面垂直。ab例2.如圖，已知a∥b、a⊥α.求證：b⊥α.（線面垂直線線垂直）（線線垂直線面垂直）我們知道,當直線和平面垂直時,該直線叫做平面的垂線。如果直線和平面不垂直,是不是也該給它取個名字呢?此時又該如何刻畫直線和平面的這種關系呢?直線與平面所成的角如圖,點Q是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿是點P到平面的垂線段pQ

過一點向平面引垂線，垂足叫做這點在這個平面上的射影；

這點與垂足間的線段叫做這點到這個平面的垂線段。一.斜線在平面內的射影１.垂線、斜線、射影(１)垂線點P在平面內的射影線段PQ（2）斜線

一條直線和一個平面相交，但不和這個平面垂直，這條直線叫做這個平面的斜線．

斜線和平面的交點叫做斜足。

從平面外一點向平面引斜線，這點與斜足間的線段叫做這點到這個平面的斜線段PR如圖：＿＿＿＿是斜線AC在內的射影，線段BC是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ACB

過斜線上斜足以外的一點向平面引垂線，過垂足和斜足的直線叫做斜線在這個平面上的射影．

垂足與斜足間的線段叫做這點到平面的斜線段在這個平面上的射影．(３)射影直線BC斜線段AC在內的射影ACBFE說明：②斜線上任意一點在平面上的射影，一定在斜線的射影上。思考：斜線上的一個點在平面上的射影會在哪呢？思考：①從平面外一點向這個平面引的垂線段和斜線段，它們的射影和線段本身之間有什么關系？②從平面外一點向這個平面所引的垂線段和斜線段AB、AC、AD、AE…中，那一條最短？ACBDE垂線段比任何一條斜線段都短外中垂鞏固練習：中外垂ＰＡＣＢ重心:三條中線的交點垂心:三條高的交點外心:三條垂直平分線的交點(到△三個頂點的距離相等)內心:三角平分線的交點中心:正△的重心、垂心、內心、外心重合的點已知三棱錐P-ABC的三條側棱PA=PB=PC試判斷點P在底面ABC的射影的位置？PABCOOA=OB=OCO為三角形ABC的外心已知三棱錐P-ABC的三條側棱PA,PB,PC兩兩垂直,試判斷點P在底面ABC的射影的位置？PABCO為三角形ABC的垂心DO已知三棱錐P-ABC的頂點P到底面三角形ABC的三條邊的距離相等,試判斷點P在底面ABC的射影的位置？PABCO為三角形ABC的內心OEF典型：四面體P-ABC的頂點P在平面上的射影為O(1)P到三頂點距離相等(3)P到三邊AB、BC、AC距離相等(2)側棱兩兩垂直PABCO外垂內

O是ABC的心

O是ABC的心

O是ABC的心如圖，直四棱柱（側棱與底面垂直的棱柱成為直棱柱）中，底面四邊形滿足什么條件時，？(只能添加一個合適的條件)解:底面ABCD可以是菱形,正方形,或者是對角線相互垂直的任意四邊形．探究3比比誰最棒!!!A1B1C1D1ABCD例1、如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中，求（1）直線A1B和平面 BCC1B1所成的角。（2）直線A1B和平面A1B1CD所成的角。O例題示范,鞏固新知分析:找出直線A1B在平面BCC1B1和平面A1B1CD內的射影,就可以求出A1B和平面BCC1B1和平面A1B1CD所成的角。閱讀教科書P67上的解答過程對棱兩兩垂直O(jiān)PABC例：四面體P-ABC中，若三棱錐有兩組對邊互相垂直，則另一組對邊必然垂直O(jiān)是垂心垂

O是ABC的心例3、三棱錐V-ABC中，VA=VC,AB=BC,K是AC的中點。（1）求證：AC⊥平面VKB （2）求證：VB⊥ACABCVK(1)連接VK,KB，由VA=VC,K為AC中點，由三線合一可知VK⊥AC,同理可得KB⊥AC，且VK∩KB=K

所以AC⊥平面VKB(判定定理)(2)由(1)可知，AC⊥平面VKB又因為VB平面VKB

所以VB⊥AC(定義)變式：1、在例3中若E、F分別為AB、BC的中點，試判斷EF與平面VKB的位置關系．

AVBCEFK例3、三棱錐V-ABC中，VA=VC,AB=BC,K是AC的中點。（1）求證：AC⊥平面VKB （2）求證：VB⊥AC2、在1的條件下，有人說“VB⊥AC，VB⊥EF，VB⊥平面ABC”，對嗎？BCＰDAFE直線與平面垂直的性質

如果兩條直線同時垂直于一個平面，那么這兩條直線平行。3.直線與平面垂直的性質定理例2、如圖，已知AC、AB分別是平面α的垂線和斜線，C、B分別是垂足和斜足，a，a⊥BC。求證：a⊥ABAaCB線面垂直線線垂直三垂線定理:在平面內的一條直線,如果它和這個平面的一條斜線的射影垂直,那么它就和這條斜線垂直.AaCB變:如圖，已知AC、AB分別是平面α的垂線和斜線,C、B分別是垂足和斜足，a，。a⊥AB三垂線定理的逆定理:如果平面內的一條直線與這個平面的一條斜線垂直,那么這條直線就和這條斜線在這個平面內的射影垂直.求證:a⊥BC練習3.如果兩直線垂直于同一個平面,那么這兩條直線平行．練習2.過一點只有一個平面和一條直線垂直．練習1.過一點只有一條直線和一個平面垂直．結論1.結論2.結論3.常用結論發(fā)散結論1：過一點有且只有一個平面和已知直線垂直。結論2：如果兩條平行直線中的一條垂直于一個平面，那么另一條直線也垂直于這個平面。結論3：如果兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直線平行。直線和平面垂直的判定例

求證：如果兩條平行直線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面。

已知：，。

求證：。

證明：方法1設是內的任意一條直線。

√√√小試牛刀線面垂直的性質定理：符號語言：圖形語言：垂直于同一平面的兩直線互相平行.abα例2.如圖，已知a∥b、a⊥α.求證：b⊥α.（線面垂直線線垂直）（線線垂直線面垂直）例2、如圖，已知a∥b，a⊥α。求證：b⊥α。例題示范,鞏固新知分析：在平面內作兩條相交直線，由直線與平面垂直的定義可知，直線a與這兩條相交直線是垂直的，又由b平行a，可證b與這兩條相交直線也垂直，從而可證直線與平面垂直。ab閱讀P66頁的證明過程.√×１、判斷下列命題的正誤。（2）垂直于同一直線的兩條直線互相平行（）（3）平行于同一平面的兩條直線互相平行（）（4）垂直于同一平面的兩條直線互相平行（）×（1）平行于同一直線的兩條直線互相平行（）√五、過程設計(三)線面垂直性質定理的應用小牛試刀(1)若PA=PB=PC，則O是△ABC的

.PABCO外心例4.關于三角形的四心問題

設O為三棱錐P—ABC的頂點P在底面上的射影.綜合練習：(2)若PA=PB=PC,∠C=900,則O是AB的_____點.中PABCO例4.關于三角形的四心問題綜合練習：垂心EFPABCO(3)若三條側棱兩兩互相垂直,則O是△ABC的

.例4.關于三角形的四心問題綜合練習：EFPABCO(5)若三條側棱與底面成相等的角，則O是△ABC的_____.

外心例4.關于三角形的四心問題綜合練習：例1、已知直角△ABC所在平面外有一點P，且PA=PB=PC，D是斜邊AB的中點，求證：PD⊥平面ABC.ABCPD證明：PA=PB，D為AB中點∴PD⊥AB，連接CD，∵D為Rt△ABC斜邊的中點∴CD=AD,又PA＝PC,PD=PD∴△PAD≌△PCD而PD⊥AB∴PD⊥CD,CD∩AB=D∴PD⊥平面ABC例2、如圖平面α、β相交于PQ，線段OA、OB分別垂直平面α、β，求證：PQ⊥ABPQOAB證明：∵OA⊥αPQα∴OA⊥PQOB⊥β,PQβ∴OB⊥PQ

又OA∩OB=0∴PQ⊥平面OAB

而AB平面OAB∴PQ⊥ABSABCHSABCH1.如圖,已知點M是菱形ABCD所在平面外一點，且MA=MC求證：AC⊥平面BDMMABCDOABCD證明：E

2.

在空間四邊形ABCD中，AB=AD，CB=CD，求證：對角線ACBD。

CEAEEBD,,,連接的中點取ACBDACEAC^\ì,平面Q=?`ACEBDECEAE^\,,平面又QBDCEDCBC^\=,,QBDAEADAB^\=,,QPABCO3.如圖，圓O所在一平面為，AB是圓O的直徑，C在圓周上,且PAAC,PAAB,求證：（1）PABC（2）BC平面PAC典例平面內有一個三角形ABC，平面外有一點P，自P向平面作斜線PA，PB，PC，且PA＝PB＝PC，若點O是△ABC的外心，求證：PO⊥平面ABC.【解】

如圖所示，分別取AB，BC的中點D，E，連接PD，PE，OD，OE.因為PA＝PB＝PC，所以PD⊥AB，PE⊥BC，因為O是△ABC的外心，所以OD⊥AB，OE⊥BC，又因為PD∩DO＝D，OE∩PE＝E，所以AB⊥平面PDO，BC⊥平面PEO，于是有AB⊥PO，BC⊥PO，AB∩BC＝B，從而推得PO⊥平面ABC.中外垂ＰＡＣＢ重心:三條中線的交點垂心:三條高的交點外心:三條垂直平分線的交點(到△三個頂點的距離相等)內心:三角平分線的交點中心:正△的重心、垂心、內心、外心重合的點鞏固練習VABC直線與平面垂直的判定與性質

解題分析:解題小結:2023/2/2例1：如圖，已知AC、AB分別是平面α的垂線

和斜線，C、B分別是垂足和斜足，a

α，

a⊥BC．求證：a⊥AB．

ACBaα射影垂直，斜線垂直2023/2/2例2：如圖，∠BAC在平面α內，P為平面α外一

點，∠PAB＝∠PAC．求證：點P在平面α上的射影在∠BAC的平分線上．

ACBPαOEF例1

如圖,在Rt△ABC中,已知∠C=90o,AC=BC=1,PA⊥面ABC,且PA=,

求(1)PB與面ABC所成的角

(2)PB與面PAC所成的角.BCAP鞏固練習1.平行四邊形ABCD所在平面a外有一點P，且PA=PB=PC=PD，求證：點P與平行四邊形對角線交點O的連線PO垂直于AB、AD.CABDOP2023/2/2例2：如圖，在棱長為1的正方體中．(1)求B1D

與平面ABCD所成的角的正切；ABCDOA1B1C1D1(2)求A1C1

與平面ABC1D1所成的角；(3)求BB1

與平面A1BC1所成的角的正切．MH2023/2/2例5：⊿ABC的定點在平面α內，點A、C在平面α的同側，AB、BC與α所成角分別是300和450．若AB＝3，BC＝4√2，AC＝5，求AC

與平面α所成的角．

AαBCA1C1E2023/2/2例6：如圖，P是正方形ABCD所在平面外一點，

PA⊥平面ABCD，AE⊥PD，PA＝3AB．求直線AC與平面ABE所成角的正弦值．

PABCDE【5】如圖,AB為平面α的一條斜線,B為斜足,AO⊥平面α,垂足為O,直線BC在平面α內,已知∠ABC=60°,∠OBC=45°,則斜線AB和平面α所成的角是_______.ACODBα45°設OB=2,補充練習引課我們知道,當直線和平面垂直時,該直線叫做平面的垂線。如果直線和平面不垂直,是不是也該給它取個名字呢?此時又該如何刻畫直線和平面的這種關系呢?直線與平面所成的角1.平面的斜線如圖,若一條直線PA和一個平面α相交,但不垂直,那么這條直線就叫做這個平面的斜線,斜線和平面的交點A叫做斜足。PA斜足斜線A1B1C1D1ABCD例1、如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中，求（1）直線A1B和平面 BCC1B1所成的角。（2）直線A1B和平面A1B1CD所成的角。O例題示范,鞏固新知分析:找出直線A1B在平面BCC1B1和平面A1B1CD內的射影,就可以求出A1B和平面BCC1B1和平面A1B1CD所成的角。閱讀教科書P67上的解答過程AGFEDCBHHC與平面ABCD所成的角是？BG和EA與平面ABCD所成的角分別是？∠GBC與∠EAB∠HCDEC和EG與平面ABCD所成的角分別是？∠ACE練習:正方體ABCD－EFGH中2.如圖：正方體ABCD-A1B1C1D1中，求:（1）AB1在面BB1D1D中的射影（2）AB1在面A1B1CD中的射影（3）AB1在面CDD1C1中的射影A1D1C1B1ADCB鞏固練習2.如圖：正方體ABCD-A1B1C1D1中，求:（1）AB1在面BB1D1D中的射影（2）AB1在面A1B1CD中的射影（3）AB1在面CDD1C1中的射影A1D1C1B1ADCBO線段B1O鞏固練習2.如圖：正方體ABCD-A1B1C1D1中，求:（1）AB1在面BB1D1D中的射影（2）AB