空氣動(dòng)力學(xué)第一章

第一章

流體屬性和流體靜力學(xué)1.1流體屬性1.2作用在流體微團(tuán)上力的分類1.3理想流體內(nèi)一點(diǎn)的壓強(qiáng)及其各向同性1.4流體靜平衡微分方程1.5重力場(chǎng)靜止液體中的壓強(qiáng)分布規(guī)律1.6液體的相對(duì)平衡問題1.7標(biāo)準(zhǔn)大氣1.1流體屬性1.1.1連續(xù)介質(zhì)的概念流體力學(xué)和空氣動(dòng)力學(xué)是從宏觀上研究流體（空氣）的運(yùn)動(dòng)規(guī)律和作用力規(guī)律的學(xué)科，流體力學(xué)和空氣動(dòng)力學(xué)常用“介質(zhì)”一詞表示它所處理的流體。流體包括液體和氣體。從微觀角度而言不論液體還是氣體，其分子之間都存在間隙，但這個(gè)距離與我們宏觀上關(guān)心的物體（如飛行器）的任何一個(gè)尺寸L相比較都是微乎其微的。例：海平面條件下，空氣分子的平均自由程為l=10-8mm,1m3含3×1021個(gè)分子，1mm3氣體含2.6×1016個(gè)分子。（注：平均自由程：氣體分子兩次碰撞自由程的平均值）1.1.1連續(xù)介質(zhì)的概念當(dāng)受到物體擾動(dòng)后，流體或空氣所表現(xiàn)出的是大量分子運(yùn)動(dòng)體現(xiàn)出的宏觀特性變化如壓強(qiáng)，密度，而不是個(gè)別分子的行為。流體力學(xué)和空氣動(dòng)力學(xué)所關(guān)注的正是這樣的宏觀特征而不是個(gè)別分子的微觀特征。如果我們將流體的最小體積單位假設(shè)為具有如下特征的流體質(zhì)點(diǎn)：宏觀上充分小，微觀上足夠大，則可以將流體看成是由連綿一片的，彼此之間沒有空隙的流體質(zhì)點(diǎn)組成的連續(xù)介質(zhì)，這就是連續(xù)介質(zhì)假設(shè)。由連續(xù)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系稱為流體微團(tuán)。1.1.1連續(xù)介質(zhì)的概念一般用努生數(shù)即分子平均自由程與物體特征尺寸之比來判斷流體是否滿足連續(xù)介質(zhì)假設(shè)：

l/L<<1

對(duì)于常規(guī)尺寸的物體只有到了外層大氣中，l/L才可能

等于甚至大于1

一旦滿足連續(xù)介質(zhì)假說，就可以把流體的一切物理性質(zhì)如密度，壓強(qiáng)，溫度及宏觀運(yùn)動(dòng)速度等表為空間和時(shí)間的連續(xù)可微函數(shù)，便于用數(shù)學(xué)分析工具來解決問題。1.1.1連續(xù)介質(zhì)的概念在連續(xù)介質(zhì)的前提下，流體介質(zhì)的密度可以表達(dá)為：流體為均值時(shí)：流體為非均值時(shí)：其中，

為流體空間的體積，

為其中所包含的流體質(zhì)量。1.1.1連續(xù)介質(zhì)的概念：介質(zhì)內(nèi)部一點(diǎn)處的密度下圖為

時(shí)平均密度的變化情況

(繞A點(diǎn)的微團(tuán)體積)：當(dāng)微團(tuán)體積趨于宏觀上充分小，微觀上充分大的某體積

時(shí)，密度達(dá)到穩(wěn)定值，但當(dāng)體積繼續(xù)縮小到分子平均自由程

量級(jí)時(shí)，其密度就不可能保持為常數(shù)。

Axyz1.1.2流體的易流性流體與固體的宏觀差別：固體－可保持一定體積和形狀

液體－可保持一定體積但不能保持形狀流體與固體在力學(xué)特性上最本質(zhì)的區(qū)別在于：二者承受剪應(yīng)力和產(chǎn)生剪切變形能力上的不同。

如圖所示，固體能夠產(chǎn)生一定的剪切角變形量

（弧度）來抵抗剪切應(yīng)力：θ固體1.1.2流體的易流性靜止流體在剪切力作用下（不論所加剪切應(yīng)力

多么小，只要不等于零），將產(chǎn)生持續(xù)不斷的變形運(yùn)動(dòng)（流動(dòng)），換句話說，靜止流體不能承受剪切應(yīng)力，將這種特性稱為流體的易流性。θ1θ2t2t1流體1.1.3流體的壓縮性與彈性流體受壓時(shí)其體積發(fā)生改變的性質(zhì)稱為流體的壓縮性，而抵抗壓縮變形的能力和特性稱為彈性。#體積彈性模量定義為產(chǎn)生單位相對(duì)體積變化所需的壓強(qiáng)增高：壓縮性系數(shù)定義為單位壓強(qiáng)差所產(chǎn)生的體積增量：1.1.3流體的壓縮性與彈性當(dāng)E較大時(shí)，βp較小，流體不容易被壓縮，反之則容易被壓縮。液體的E較大，通常可視為不可壓縮流體，氣體的E通常較小且與熱力過程有關(guān)，故一般認(rèn)為氣體具有壓縮性。由于

，E還可以寫為：后面降到高速流動(dòng)時(shí)會(huì)證明，

，即音速的平方等于壓強(qiáng)對(duì)密度的變化率。所以氣體的彈性決定于它的密度和聲速：1.1.3流體的壓縮性與彈性由于氣體的彈性決定于聲速，因此馬赫數(shù)的大小可看成是氣體相對(duì)壓縮性的一個(gè)指標(biāo)。當(dāng)馬赫數(shù)較小時(shí)，可認(rèn)為此時(shí)流動(dòng)的彈性影響相對(duì)較大，即壓縮性影響相對(duì)比較?。ɑ蛞欢ㄋ俣?，壓強(qiáng)變化條件下，密度的變化可忽略不及），從而低速氣體有可能被當(dāng)作不可壓縮流動(dòng)來處理。反而當(dāng)馬赫數(shù)較大之后，可以認(rèn)為此時(shí)流動(dòng)的彈性影響較小，即壓縮性影響相對(duì)較大（或一定速度，壓強(qiáng)變化條件下，密度的變化不能忽略不計(jì)），此時(shí)必須考慮流動(dòng)的壓縮性效應(yīng)。因此盡管一般我們認(rèn)為氣體是可以壓縮的，但在考慮其流動(dòng)時(shí)按照其速度快慢即馬赫數(shù)大小將其區(qū)分為不可壓縮流動(dòng)和可壓縮流動(dòng)?？梢宰C明，當(dāng)馬赫數(shù)小于0.3時(shí)，此時(shí)的流動(dòng)為不可壓縮流動(dòng)；當(dāng)馬赫數(shù)大于0.3時(shí)，此時(shí)的流動(dòng)為可壓縮流動(dòng)。1.1.4流體的粘性實(shí)際流體都有粘性。粘性的物理本質(zhì)是？數(shù)學(xué)表達(dá)是？任取相鄰流層，考察可知，外層的流體受到內(nèi)層流體摩擦，速度有變慢趨勢(shì)；反過來內(nèi)層流體受到外層流體摩擦拖拽，其速度有變快趨勢(shì)。直接貼著壁面的一層速度降為零。流層間的互相牽扯作用一層層向外傳遞，離板面一定距離后，牽扯作用逐步消失，速度分布變?yōu)榫鶆?。（邊界層?.1.4流體的粘性流層間阻礙流體相對(duì)錯(cuò)動(dòng)（變形）趨勢(shì)的能力稱為流體的粘性，相對(duì)錯(cuò)動(dòng)流層間的一對(duì)摩擦力即粘性剪切力。牛頓（1686）發(fā)現(xiàn)，流體作用在平板上的摩擦力正比于速度U和平板面積A,反比于高度h，而

是與流體介質(zhì)屬性有關(guān)的比例常數(shù)：θ1Fθ2t2t1流體hUA1.1.4流體的粘性設(shè)

表示單位面積上的內(nèi)摩擦力（粘性剪切應(yīng)力），則如果高度h無限接近

（設(shè)為y方向），即兩個(gè)相鄰流層無限接近，則流層間速度變化趨向于線性。則可以化為速度梯度：這就是著名的牛頓粘性應(yīng)力公式，它表明粘性剪切應(yīng)力與速度梯度有關(guān)，與物性有關(guān)。

（注：該公式也是流體易流性的數(shù)學(xué)表達(dá)式。）1.1.4流體的粘性從牛頓粘性公式可以看出：流體的剪應(yīng)力與壓強(qiáng)無關(guān)。當(dāng)

時(shí)，

，

無論剪應(yīng)力多小，只要存在剪應(yīng)力，流體就會(huì)發(fā)生變形運(yùn)動(dòng)。當(dāng)

時(shí)，

，

即只要流體靜止或無變形，就不存在剪應(yīng)力，流體不存在靜摩擦力。牛頓粘性應(yīng)力公式可以看成流體易流性的數(shù)學(xué)表達(dá)。1.1.4流體的粘性綜上所述：流體的粘性是指流體抵抗剪切變形或者質(zhì)點(diǎn)之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)的能力。流體的粘性力是抵抗流體質(zhì)點(diǎn)之間相對(duì)運(yùn)動(dòng)（例如流體層間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)）的剪切力或摩擦力。在靜止?fàn)顟B(tài)下，流體不能承受剪切力；但是在運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下，流體可以承受剪力，粘性應(yīng)力大小與流體變形速度梯度有關(guān)，而且與流體種類有關(guān)。1.1.4流體的粘性液體和氣體產(chǎn)生粘性的物理原因不同，前者主要來自液體分子間的內(nèi)聚力，后者主要來自于氣體分子的熱運(yùn)動(dòng)。因此液體與氣體動(dòng)力粘性系數(shù)隨穩(wěn)定變化的趨勢(shì)相反：液體：溫度升高，

變小，反之變大氣體：溫度身高，

變大，反之變小如氣體動(dòng)力粘性系數(shù)的薩特蘭公式等。1.1.4流體的粘性在許多空氣動(dòng)力學(xué)問題里，粘性力和慣性力同時(shí)存在，在式子中

和

（質(zhì)量）往往以

的組合形式出現(xiàn)，所以用符號(hào)

表示1.2作用

在流體微團(tuán)上力的分類按照作用力的性質(zhì)和作用方式，可分為徹體力和表面力兩類。徹體力：外力場(chǎng)作用于流體微團(tuán)質(zhì)量中心，大小與微團(tuán)質(zhì)量成正比的非接觸力。例如重力，慣性力和磁流體具有的電磁力等都屬于徹體力。徹體力也稱為體積力或質(zhì)量力。由于徹體力按照質(zhì)量分布，故一般用單位質(zhì)量的徹體力表示，并且往往寫出分量形式：其中

是微團(tuán)體積，ρ為密度，

為作用于微團(tuán)的徹體力，i、j、k分別是三個(gè)坐標(biāo)方向的單位向量，fx

、fy

、fz分別是三個(gè)方向的單位質(zhì)量徹體力分量

。1.2作用

在流體微團(tuán)上力的分類表面力：相鄰流體或者物體作用于所研究物體團(tuán)塊外表面，大小與流體團(tuán)塊表面積成正比的接觸力。由于按面積分布，故用接觸應(yīng)力表示，并可將其分解為法向應(yīng)力和切向應(yīng)力：ΔAΔTΔPn1.2作用

在流體微團(tuán)上力的分類法向應(yīng)力與切向應(yīng)力即摩擦應(yīng)力組成接觸應(yīng)力：上述畫出的表面力對(duì)整個(gè)流體而言是內(nèi)力，對(duì)所畫出的流體團(tuán)塊來說則是外力。流體內(nèi)任取一個(gè)剖面一般有法向應(yīng)力和切向應(yīng)力，但切向應(yīng)力完全是由粘性產(chǎn)生的。1.3理想流體內(nèi)一點(diǎn)的壓強(qiáng)及其各向同性

理想和靜止流體中的法向應(yīng)力稱為壓強(qiáng)

p，其指向沿著表面的內(nèi)法線方向，壓強(qiáng)的量綱是[力]/[長(zhǎng)度]2，單位為（N/m2）或

（帕：pa）在理想（無粘）流體中，不論流體靜止還是運(yùn)動(dòng)，盡管一般壓強(qiáng)是位置的函數(shù)

P=P(x,y,z),

但在同一點(diǎn)處壓強(qiáng)不因受壓面方位不同而變化，這個(gè)結(jié)果稱為理想流體內(nèi)壓強(qiáng)是各向同性的。1.3理想流體內(nèi)一點(diǎn)的壓強(qiáng)及其各向同性如討論P(yáng)點(diǎn)處壓強(qiáng)，在周圍取如圖微元4面體ABCo,作用在各表面的壓強(qiáng)如圖所示，理想流體無剪切應(yīng)力，由于dx,dy,

dz

的取法任意，故面ABC的法向方向n方向也是任意的。分別沿

x、y、z

三個(gè)方向建立力的平衡關(guān)系：x方向合外力＝質(zhì)量×加速度（x方向）,,,0yxzdxdydzpzpxpypnnABCo·P因?yàn)閳D中的n方向?yàn)槿稳?，故各向同性得證。01.4

理想流體內(nèi)一點(diǎn)壓強(qiáng)及其各向同性壓強(qiáng)的各向同性說明：無粘流體內(nèi)部一點(diǎn)的壓強(qiáng)，其值與壓力方向無關(guān)，其沿各個(gè)方向受到的壓力大小都是一樣的；無論流體是靜止的還是流動(dòng)的，這個(gè)結(jié)論都是成立的。

1.4

流體靜平衡微分方程下面我們研究壓強(qiáng)在平衡流體中的分布規(guī)律在平衡流體（靜止或者相對(duì)靜止）中取一笛卡爾坐標(biāo)系Oxyz，坐標(biāo)軸方位任意。在流體內(nèi)取定一個(gè)點(diǎn)P

(x,y,z),

然后以該點(diǎn)為中心沿坐標(biāo)軸三個(gè)方向取三個(gè)長(zhǎng)度dx,dy,dz,畫出一個(gè)微元六面體作為分析對(duì)象：O

xyz·Pdxdydz1.4

流體靜平衡微分方程假設(shè)：六面體體積：dτ=dxdydz中心點(diǎn)坐標(biāo)：

x,y,z中心點(diǎn)壓強(qiáng)：p=p（x,y

,z）中心點(diǎn)密度：

ρ=ρ（x,y,z）中心點(diǎn)處三個(gè)方向的單位質(zhì)量徹體力:fx,fy,fz

微元六面體的表面力可以用中心點(diǎn)處壓強(qiáng)表示:?

xyz·Pdxdydz1.4

流體靜平衡微分方程x方向的表面力為：x方向的徹體力為流體靜止，則x方向的合外力為零：

1.4

流體靜平衡微分方程兩邊同除以

dτ=dxdydz，可得

x方向平衡方程：y,z方向同理可得：

流體平衡微分方程

-Euler

靜平衡方程

<

>表明當(dāng)流體平衡時(shí)，若壓強(qiáng)在某個(gè)方向有梯度的話，必然是由于徹體力在該方向有分量造成緣故。

1.4

流體靜平衡微分方程將上三個(gè)式子分別乘以dx，dy，dz，然后相加起來，得到：

此式左端是個(gè)全微分：

如果右端括號(hào)也是某函數(shù)Ω=Ω（x,y,z）的全微分dΩ

，則稱Ω為徹體力的勢(shì)函數(shù)，或稱徹體力有勢(shì)。

（1）1.4

流體靜平衡微分方程根據(jù)數(shù)學(xué)分析，上述括號(hào)是全微分要求右端的三個(gè)徹體力分量

fx

，fy

，fz

滿足下列關(guān)系：這就是全微分的充分條件.

1.4

流體靜平衡微分方程則方程（1）右側(cè)括號(hào)也是Ω（x,y,z）的全微分，并規(guī)定它在x,y,z三個(gè)方向?qū)?shù)的負(fù)值為其三個(gè)分量則平衡微分方程可寫為：如果我們知道某一點(diǎn)的壓強(qiáng)值

pa

和徹體力勢(shì)函數(shù)

Ωa

的值,則任何其它點(diǎn)的壓強(qiáng)和勢(shì)函數(shù)之間的關(guān)系便可表出：

1.4

流體靜平衡微分方程等壓面的概念：流場(chǎng)中壓強(qiáng)相等的空間點(diǎn)組成的幾何曲面或平面在等壓面上滿足：或上式積分分為一幾何曲面或平面，該曲面上滿足dp=0，上方程稱為等壓面方程，也是徹體力的等勢(shì)面。

······p=c等壓面1.4

流體靜平衡微分方程例如：1.在重力場(chǎng)下靜止液體等壓面必然為水平面2.在加速上升電梯中的液體除了受到重力之外，還受到向下的慣性力，二者合成的徹體力均為向下，因此等壓面也是水平面

1.5

重力場(chǎng)靜止流體中的壓強(qiáng)分布規(guī)律設(shè)封閉容器自由面處壓強(qiáng)為p0，如圖建立坐標(biāo)系，考慮距水平軸高度為

y處的某單位質(zhì)量流體，其徹體力可表示為：其中g(shù)為重力加速度。

p0。xygy1.5

重力場(chǎng)靜止流體中的壓強(qiáng)分布規(guī)律

p0。xygy積分得（注意重度γ＝ρg）：此式稱為平衡基本方程。上式表明，在平衡流體中

p/γ與

y之和為常數(shù)。顯然，靜止流體中等壓面為水平面

y＝c代入平衡微分方程

得：1.5重力場(chǎng)靜止流體中的壓強(qiáng)分布規(guī)律

的物理意義為:y----代表單位重量流體的重力勢(shì)能簡(jiǎn)稱勢(shì)能

p/γ---代表單位重量流體的壓力勢(shì)能簡(jiǎn)稱壓力能H----代表平衡流體中單位重量流體的總能量平衡基本方程

表明:平衡流體中勢(shì)能與壓力能可以互相轉(zhuǎn)換，但總能量保持不變1.6液體的相對(duì)平衡問題

在以勻加速運(yùn)動(dòng)或勻角速度轉(zhuǎn)動(dòng)的相對(duì)平衡流體中，如果將坐標(biāo)系固連在以勻加速運(yùn)動(dòng)或勻角速度轉(zhuǎn)動(dòng)的容器上，對(duì)液體引入慣性力(達(dá)朗伯原理)，則同樣可以利用平衡微分方程求解問題。

如圖圓筒作勻角速轉(zhuǎn)動(dòng)

，求其中液體的等壓面形狀和壓強(qiáng)分布規(guī)律。

yzg將坐標(biāo)系固連于轉(zhuǎn)筒，并建如圖坐標(biāo)系?？紤]距底壁為

z,半徑為

r處單位質(zhì)量流體，會(huì)受到一個(gè)向下的徹體力大小為g,此外還受到一個(gè)向外的慣性力大小為ω2r。在直角坐標(biāo)系中，三個(gè)方向的徹體力可表為：

yxrω2rθω2yω2xyzg1.6液體的相對(duì)平衡問題求等壓面：由等壓面方程可得：積分得：即：為旋轉(zhuǎn)拋物面族yzgH1.6液體的相對(duì)平衡問題h特別地，設(shè)自由面最低點(diǎn)距坐標(biāo)原點(diǎn)高

H時(shí)，可定出自由面對(duì)應(yīng)的常數(shù)：r=0

時(shí)，c=z=H，故自由面方程為：其中

稱為超高，即液面高出拋物線頂點(diǎn)的部分。1.6液體的相對(duì)平衡問題yzgHh求壓強(qiáng)分布：將徹體力代入平衡微分方程方程可得：積分得：由自由面條件定出積分常數(shù)：x=y=0

，

z=H時(shí),p=pa，定得積分常數(shù)

c=pa+ρgH，

帶入上述積分結(jié)果，得：1.6液體的相對(duì)平衡問題1.7標(biāo)準(zhǔn)大氣

無論做飛行器設(shè)計(jì)，還是做實(shí)驗(yàn)研究，都要用到大氣的條件，為了便于比較，工程上需要規(guī)定一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)大氣。這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)是按中緯度地區(qū)的平均氣象條件定出來的。這樣做計(jì)算時(shí)，都依此標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行計(jì)算；做實(shí)驗(yàn)時(shí)，也都換算成標(biāo)準(zhǔn)條件下的數(shù)據(jù)。

標(biāo)準(zhǔn)大氣規(guī)定在海平面上，大氣溫度為

15℃或

T0=288.15K

，壓強(qiáng)p0=760

毫米汞柱=101325牛/米2，密度ρ0=1.225千克/米3

從基準(zhǔn)面到11km的高空稱為對(duì)流層，在對(duì)流層內(nèi)大氣密度和溫度隨高度有明顯變化，溫度隨高度增加而下降，高度每增加1km，溫度下降

6.5K，即：

從

11km到

21km的高空大氣溫度基本不變，稱為同溫層或平