選修4-5課件：第1講1不等式1

第一講不等式和絕對值不等式一不等式1.不等式的基本性質1.兩個實數(shù)大小的比較.設a,b∈R,則(1)a>b?______.(2)a=b?a-b=0.(3)____?a-b<0.a-b>0a<b2.不等式的基本性質：(1)

對稱性

a>b?____.

(2)

傳遞性a>b,b>c?____.

(3)可加性____?a+c>b+c.

(4)可乘性如果a>b,c>0,那么______;

如果a>b,c<0,那么______.

(5)乘方如果a>b>0,那an__bn(n∈N,n≥2).

(6)開方如果a>b>0,那么__(n∈N,n≥2).

b<aa>ca>bac>bcac<bc>>1.若a<b，一定有嗎？提示：不一定.如a=-1,b=2.事實上，當ab>0時，若a<b，則有;當ab<0時，若a<b,則有;當ab=0時，若a<b，則與中有一個式子無意義.2.a>b是ac2>bc2的什么條件？提示：必要而不充分條件.當a>b時，不能推得ac2>bc2，因為當c=0時，有ac2=bc2；若ac2>bc2，則所以即a>b.3.如果a,b∈R,并且a＞b,那么下列不等式一定成立的是____.①-a＜-b；②a-1＞b-2；③a-b＞b-a；④a2＞ab.【解析】因為a,b∈R,并且a＞b,所以-a＜-b,故①一定成立.a＞b,-1＞-2,根據(jù)不等式的性質可得，a-1＞b-2,故②一定正確.a-b＞0，則b-a＜0,所以a-b＞b-a,故③一定正確.不等式兩邊乘以(或除以)同一個正數(shù)，不等號的方向不變，不等式兩邊乘以(或除以)同一個負數(shù)，不等號的方向改變，而a的符號不確定，故④不一定正確.答案：①②③1.實數(shù)大小的比較2.不等式性質中的“?”和“?”表示的意思在不等式的基本性質中，條件和結論的邏輯關系有兩種：“?”與“?”，即推出關系和等價關系,或者說“不可逆關系”與“可逆關系”，這要求必須熟記和區(qū)別不同性質的條件，如而反之則包含幾類情況，即若則可能有a＞b,ab＞0,也可能有a＜0＜b.即a＞b,ab＞0與是不等價關系.3.實數(shù)的基本性質在研究不等式的性質，解不等式和證明不等式時，經(jīng)常要用到實數(shù)的一些基本性質，這些性質可概括為8條公理：公理1：正數(shù)大于零，負數(shù)小于零，正數(shù)大于負數(shù).公理2：正(負)數(shù)中，絕對值較大的數(shù)其數(shù)值較大(小).公理3：正(負)數(shù)的相反數(shù)是負(正)數(shù).公理4：兩數(shù)之差大于零，則被減數(shù)大于減數(shù)；兩數(shù)之差等于零，則兩數(shù)相等；兩數(shù)之差小于零，則被減數(shù)小于減數(shù).公理5：兩個正(負)數(shù)的和仍是正(負)數(shù).公理6：同號(或異號)兩數(shù)相乘或相除，其積或其商為正數(shù)(或負數(shù)).公理7：兩正數(shù)之商大于1，則被除數(shù)大于除數(shù)；兩正數(shù)之商等于1，則被除數(shù)等于除數(shù)；兩正數(shù)之商小于1，則被除數(shù)小于除數(shù).公理8：任何一個實數(shù)的平方都不小于零.類型一作差法比較大小

【典型例題】1.當p,q為正數(shù)且p+q=1時,比較(px+qy)2與px2+qy2的大小.2.a,b∈R+,且a≠b時,比較a3b2+a2b3與a5+b5的大小.【解題探究】1.(px+qy)2的展開式是什么?2.比較多項式的大小常用的方法是什么?探究提示:1.(px+qy)2=p2x2+2pqxy+q2y2.2.常用作差比較法.【解析】1.(px+qy)2-(px2+qy2)=p2x2+2pqxy+q2y2-px2-qy2=p(p-1)x2+q(q-1)y2+2pqxy.因為p+q=1,所以p-1=-q,q-1=-p,所以(px+qy)2-(px2+qy2)=-pq(x2+y2-2xy)=-pq(x-y)2.因為p,q為正數(shù),所以-pq(x-y)2≤0,所以(px+qy)2≤px2+qy2,當且僅當x=y時,不等式中等號成立.2.a5+b5-(a3b2+a2b3)=a5+b5-a3b2-a2b3=a3(a2-b2)+b3(b2-a2)=(a2-b2)(a3-b3)=(a+b)(a-b)(a-b)(a2+ab+b2)=(a-b)2(a+b)(a2+ab+b2)=(a-b)2(a+b)因為a,b∈R+,a≠b,所以(a-b)2>0,a+b>0,所以a5+b5-(a3b2+a2b3)>0,a5+b5>a3b2+a2b3.【拓展提升】作差比較的兩種變形技巧作差比較是判斷兩個數(shù)或式大小關系的最基本的方法，關鍵是作差后對差變形，以判定差的符號，常有兩種變形技巧：(1)利用因式分解化為若干個可直接判斷符號的式子的積的形式.(2)若式子為二次式，常用配方法、判別式法.【變式訓練】已知x>y>0,比較與的大小.【解析】因為x>y>0,所以x-y>0,x+y>0,x2>0,x2+1>1,所以所以故類型二利用不等式的性質判斷命題的真假【典型例題】1.若則下列不等式：①a+b<ab;②|a|>|b|；③a<b中，正確的不等式有()A.1個B.2個C.3個D.0個2.若a<b<0，分別判斷下列式子是否成立，并簡述理由.(1)(2)【解題探究】1.由能否比較a,b,0的大小關系？2.比較大小的依據(jù)是什么？探究提示：1.由可知b<a<0.2.不等式的基本性質.【解析】1.選A．所以a+b<0<ab，

|a|<|b|，即①正確，②③錯誤．2．(1)成立.由a<b<0得a<a-b<0，所以則(2)成立.因為a<b<0,所以a+b<b<0,則所以【互動探究】若題1中條件不變，判斷不等式是否成立？【解析】因為所以所以不等式不成立.【拓展提升】利用不等式的性質判斷命題真假的兩點說明(1)在利用不等式的性質判斷命題真假時，關鍵是依據(jù)題設條件，正確恰當?shù)厥褂貌坏仁降男再|.(2)不等式的性質是不等式變形的依據(jù)，使用時，一定要注意它成立的前提條件，如在乘法法則中，要特別注意“乘數(shù)c的符號”，當c≠0時，有a>b?ac2>bc2;當沒有“c≠0”這個條件時，a>b?ac2>bc2就不正確.再如時，還必須添加條件ab>0.【變式訓練】已知三個不等式：①ab>0,②bc-ad>0,③(其中a,b,c,d均為實數(shù)).用其中兩個作為條件，余下一個作為結論組成一個命題，可組成的正確命題的個數(shù)是()A.0個B.1個C.2個D.3個【解析】選D.因為所以①②?③；②③?①；①③?②均成立.類型三利用不等式的性質證明簡單不等式

【典型例題】1.已知a>b>0,c<d<0,求證：2.已知a，b∈R，求證：a2＋b2≥ab＋a＋b－1.【解題探究】1.對于正數(shù)，有同向不等式可乘，但能不能可除？2.證明不等式的實質是什么？探究提示：1.對于正數(shù)，同向不等式可乘，但不可除.不等式的“除法”可以通過“乘倒數(shù)”轉化為“乘法”.2.實質是比較兩個代數(shù)式的大小.【證明】1.因為c<d<0,所以-c>-d>0.所以所以所以即兩邊同乘以-1，得2.因為(a2＋b2)－(ab＋a＋b－1)所以a2＋b2≥ab＋a＋b－1.

【拓展提升】利用不等式性質證明簡單不等式利用不等式性質證明簡單不等式的實質就是根據(jù)性質把不等式進行變形，要注意不等式性質成立的條件.若不能直接由不等式性質得到，可先分析需要證明的不等式的結構.利用不等式的性質進行逆推，尋找使其成立的充分條件.【變式訓練】1.已知a＞b＞0,c>d>0.求證：2.已知c>a>b>0,求證：【解題指南】先分析各不等式的特點，分析待證式與已知條件的關系，然后結合不等式的性質證明.【證明】1.因為a＞b＞0,所以因為c＞d＞0,所以所以所以所以即又a,c,b,d均大于0，所以所以2.因為a>b,所以-a<-b,又c>a>b>0,所以0<c-a<c-b,所以又因為a>b>0,所以【易錯誤區(qū)】對不等式的性質理解不透而致錯【典例】已知則2α-β的取值范圍是_______.【解析】

設2α-β=A(α+β)+B(α-β),則2α-β=(A+B)α+(A-B)β,①比較兩邊系數(shù)得?所以因為所以故答案：【誤區(qū)警示】【防范措施】1.待定系數(shù)法的應用已知兩個代數(shù)式的范圍，求另一個代數(shù)式的取值范圍時，應用待定系數(shù)法，體現(xiàn)整體思想的應用，再利用同向不等式的同向可加性求解，如本例中將2α-β表示為α+β和α-β的形式求解.2.注意同向不等式相加時的應用同一問題中，應用同向不等式相加性質時，不能多次使用，否則易導致范圍擴大，如本例可用待定系數(shù)法避免多次使用.【類題試解】已知a-b∈［1,2］,a+b∈［2,4］,則4a-2b的取值范圍是______.【解析】因為a-b∈［1,2］,a+b∈［2,4］,所以4a-2b=(a+b)+3(a-b)∈［5,10］.答案：［5，10］

1.若則()A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.b>c>a【解析】選A.由于a>1，0<b<1，c<0,所以a>b>c.2.已知a,b,c均為實數(shù)，下面四個命題中正確的個數(shù)是()①a<b<0?a2<b2；②③ac2>bc2?a>b；④A.0B.1C.2D.3【解析】選C.①不正確.因為a<b<0，所以-a>-b>0,所以(-a)2>(-b)2,即a2>b2.②不正確.因為若b<0，則a>bc.③正確.因為ac2>bc2，所以c≠0,a>b.④正確.因為a<b<0,所以-a>-b>0，所以3.已知a，b，c，d為實數(shù)，且c＞d，則“a＞b”是“a－c＞b－d”的()A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【解析】選B.由而當a＝c＝2，b＝d＝1時，滿足但a－c＞b－d不成立，所以“a＞b”是“a－c＞b－d”的必要而不充分條件.4.已知0<a<b<1,則x,y,z的大小關系為