華師大版第二十二章復習一元二次方程綜合復習

222221222221212第二十章復習一元二次方程綜合習【本章識框架】【本章點】1一元二次方的定義一元二次方程有三個特點(1)只含有一個未知數(shù)(2)未知數(shù)的最高次數(shù)是2；(3)是整式方程要判斷一個方程是否為一元二次方程先看它是否為整式方程，若是，再對它進行整理．如果能整理bx個方程就為一元二次方程．2一元二次方的一般式

(a≠0)的形式，則這我們bxc

(a≠0)叫做一元二次方程的一般形式，特別注意二次項系數(shù)一定不為0、c可以為任意實數(shù)，包括可以為0，即一元二次方程可以沒有一次項，常數(shù)項(a≠0)ax(a≠0)，為一元二次方程．3一元二次方的解法

(a≠0)都一元二次方程的解法有四種：直接開平方法；(2)因式分解法；配方法；(4)公式法．要根據(jù)方程的特點靈活選擇方法，其中公式法是通法，可以解任何一個一元二次方程．4一元二次方根的判式一元二次方程根的判別式為

4ac

．△>0方程有兩個不相等的實數(shù)根．△＝0

方程有兩個相等的實數(shù)根．△<0方程沒有實數(shù)根．上述由左邊可推出右邊，反過來也可由右邊推出左邊．5一元二次方根與系的關系如果一元二次方ax

bx

(a≠0)的兩個根是

x、x2

，那么bx，aa

．6解應用題的驟分析題意，找到題中未知數(shù)和題給條件的相等關系；設未知數(shù)，并用所設的未知數(shù)的代數(shù)式表示其余的未知數(shù)；找出相等關系，并用它列出方程；解方程求出題中未知數(shù)的值；檢驗所求的答數(shù)是否符合題意，并做答．【解題想】1轉(zhuǎn)化思想轉(zhuǎn)化思想是初中數(shù)學最常見的一種思想方法．運用轉(zhuǎn)化的思想可將未知數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為已知的問題雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題在本章中將解一元二次方程轉(zhuǎn)化為求平方根問題將二次方程利用因式分解轉(zhuǎn)化為一次方程等．2從特殊到一的思想從特殊到一般是我們認識世界的普遍規(guī)律對特殊現(xiàn)象的研究得出一般結(jié)論如從用直接開平方法解特殊的問題到配方法到公式法如探索一元二次方程根與系數(shù)的關系等．3分類討論的想一元二次方程根的判別式體現(xiàn)了分類討論的思想．【經(jīng)典題精講】1．對有關一元二次方程定義的題目，要充分考慮定義的三個特點，不要忽視二次項系數(shù)不為0．2．解一元二次方程時，根據(jù)方程特點，靈活選擇解題方法，先考慮能否用直接開平方法和因式分解法，再考慮用公式法．3．一元二次方ax

bx

(a≠0)的根的判別式正反都成立．利用其可以(1)不解方程判定方程根的情況；根據(jù)參系數(shù)的性質(zhì)確定根的范圍；解與根有關的證明題．4一元二次方程根與系數(shù)的應用很多(1)已知方程的一根不解方程求另一根及參數(shù)系數(shù)；(2)已知方程，求含有兩根對稱式的代數(shù)式的值及有關未知數(shù)系數(shù)；(3)已知方程兩根，求作以方程兩根或其代數(shù)式為根的一元二次方程．【中考點】本章的應用性較強本章內(nèi)容一直是命題的熱點，填空題、選擇題有，解答題也有，單獨出現(xiàn)或和其他內(nèi)容結(jié)合出現(xiàn)．2xyxy242(x2xyxy242(xx)yx222222【歷屆考題目】一、填題1吉林)方x2x

的解是_____________．2．(2002·江蘇泰)如果

xx

是方程x

4x

的兩根，那么

x2xx12＝_____________．3x3．(2002·杭)已知2是關于x的方程的一個解，則2a－1的值為_____________．4．(2003·大連)某房屋開發(fā)公司經(jīng)過幾年的不懈努力，開發(fā)建設住宅面積由2000年4萬平方米到年的7萬平方米設這兩年該房屋開發(fā)公司建設住宅面積的年平均增長率為x，則可列方程為．5．(2003·四川)已知關于x的元二次方程

8x(m

有兩個負數(shù)根，那么實數(shù)m的取值范圍是_____________．6．(2003·青島)九年義務教育三年制初級中學教科書《代數(shù)》第三冊52頁的例2是這樣的：“解方

”．這是一個一元四次方程，根據(jù)該方程的特點，它的解法通常是：設，那么，于是原方程可變?yōu)閥

2

6y

①，解這個方程得：

y12

．當y＝1時x，∴x＝±1；當y＝5時，x

，∴

x

．所以原方程有四個根：xx，x5124

．(1)在由原方程得方程①的過程中，利用_____________法達到降次的目的，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想．(2)解方程，若設，則原方程可化為_____________．7．(2003·泰)已知實數(shù)x滿足

x4xyx2y

，則x＋2y的值為_____________．8．(2003·泰安)如圖22－1，是20028月北京第24屆國際數(shù)學家大會會標，由4個全等的直角三角形拼合而成，若圖中大小正方形的面積分別為和4，則直角三角形的兩條直角邊的長分別為．9．(2003·濟寧)關于x的二次方4k

的兩個實數(shù)根為xx12

，如果

(x1)(x12

，那么k＝_____________．22222222222222222222二、選題1．(2002·泰)k為實數(shù)，則關x的方程

x

2

1)x

的根的情況是()A．有兩個不相等的實數(shù)根B．有兩個相等的實數(shù)根C．沒有實數(shù)根D．無法確定2．(2002·杭州)用配方法將二次三項a

2

變形的結(jié)果是()A．C．

(a2)

B．D．

(a(a2)3．(2002·桂)如果方x

有兩個不相等的實數(shù)根，那么m的取值范圍是()A．m<1B．m>1C．m<－1D．m>－14重慶)下列一元二次方程中，沒有實數(shù)根的是()Ax2xC．x

B．x2D3x5．(2003·威海)對于一元二次方bx()

，下面的結(jié)論錯誤的是．若c＝0，則方程必有一個根為0．若c<0，則方程必有兩個正數(shù)根．若c>0，b<0，則方程必有兩個正數(shù)根．若b>c＋1，則方程有一個根大于－，一個根小于－16青島已知A．2

β的值為()

，且α≠β，則αβ＋α＋B．－2C．－1

D．0三、解題1．(2003·濰坊)已知關于x的方程

(k

2

k

有兩個不相等的實數(shù)根

xx12

．求k的取值范圍．是否存在實數(shù)k，使方程的兩實數(shù)根互為相反數(shù)？解：(1)根據(jù)題意，得4(k1)(k

12k

4＝－12k＋13>0，22所以，

k

1312所以，當

k

1312，方程有兩個不相等的實數(shù)根．(2)存在．如果方程的兩個實數(shù)根互為相反數(shù)，則x12

2kk，k

3k解得2，檢驗知：32k2k的解．所以，

k

32時，方程的兩實數(shù)根

xx12

互為相反數(shù)．當你讀了上面的解答過程后，請判斷是否有錯誤？如果有，請指出錯誤之處，并直接寫出正確的答案．2．(2003·菏澤)已知方程

x

2

(2m1)x

2

的兩個實數(shù)根的平方和等于11，求m的值．3濱州)設(a，b)是一次函數(shù)y＝(k－2)x與反比例函數(shù)

y

x的圖象的交點，且a，b是關于x的一元二次方程

kx2(k(k3)

的兩個不相等的實數(shù)根，其中k為非負數(shù)，，n為常數(shù)．(1)求k的值；(2)求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式．4淄博)下面是一位同學做的一道練習題．已知關于x的方程

x

2

px

的兩個實數(shù)根為p、q，求p的值．解：將p、q分別代入

x

2

，得

，p2

．(1)請判斷該同學的解法是否存在問題，并說明理由；(2)這道題還可以怎樣解？請寫出你的解法．參考答【歷屆考題目】一、1．

x1210．．54．

5．m>76．換元法，

y

2

4y．－3或2．4，6．－3二、1．A2．A3．A4．C5．C6．B三、221．(1)中忽視k－1≠0的情況k－1＝0時，方程為一元一次方程，只有一個實數(shù)根．正確答案為：當

k

，且k≠1時，方程有兩個不相等的實數(shù)根．(2)中的實數(shù)k不存在，當

k

32，判別式△＝－5<0，方程沒有實數(shù)根．應為：不存在實數(shù)k，使方程的兩個實數(shù)根互為相反數(shù)2．解：設方程的兩根為

xx

，由韋達定理，得xx，x11

2

．又

x

x(xx)1

x[

2(m

2)

，整理，m

，解之，得

mm

．由二次方程有兩個實數(shù)根，∴

(2m

2

4(m

2

4m

，解之，得

m

．故m＝－3不合題意應舍去．取m＝1，即m＝1為所求．3∵關于x的方程

kx3)x

有兩個不相等的實數(shù)根，

，解得k<3，且k≠0．又∵一次函數(shù)y＝(k－2)x＋m存在且k為非負整數(shù)，∴k＝1．(2)∵k＝1，∴原方程可變形為x

4x

．∴a＋b＝4，ab＝－2．又當k＝1時，一次函數(shù)y＝－x＋m過點(a，b)，∴a＋b＝m．∴m＝4．同理可得n＝－2．故所求的一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式分別為y＝－x＋4與

y

2x

．4．答：(1)該同學的解法存在問題．問題出在沒有把求出的解代入根的判別式