第一章計數(shù)原理23《排列組合的應(yīng)用》課時2

1.1.3排列組合的應(yīng)用(二)（1）使學(xué)生掌握組合數(shù)的計算公式、組合數(shù)

（2）會用排列數(shù)公式和組合數(shù)公式解決實際問題.

（3）通過學(xué)習(xí)組合知識，讓學(xué)生掌握類比的學(xué)習(xí)方法，并提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力.本節(jié)課，我們對有關(guān)排列組合的幾種常見的解題策略加以復(fù)習(xí)鞏固。排列組合歷來是學(xué)習(xí)中的難點，通過我們平時做的練習(xí)題，不難發(fā)現(xiàn)排列組合題的特點是條件隱晦，不易挖掘，題目多變，解法獨特，數(shù)字龐大，難以驗證。

同學(xué)們只有對基本的解題策略熟練掌握。根據(jù)它們的條件,我們就可以選取不同的技巧來解決問題.對于一些比較復(fù)雜的問題,我們可以將幾種策略結(jié)合起來應(yīng)用把復(fù)雜的問題簡單化，舉一反三，觸類旁通，進而為后續(xù)學(xué)習(xí)打下堅實的基礎(chǔ)。有限制的排列問題限制條件：某位置上不能排某元素或只能排某元素常用方法：直接法1.優(yōu)限法：先特殊后一般2.捆綁法：元素相鄰3.插空法：元素不相鄰（有特殊元素或特殊位置，通常先排特殊元素或特殊位置，稱為“優(yōu)限法”）4.其它方法：元素限制條件多4.其它方法：元素限制條件多(1).定序問題倍縮空位插入策略(2).重排問題求冪策略(3).排列組合混合問題先選后排策略(4).元素相同問題隔板策略(5).平均分組問題除法策略(7).構(gòu)造模型策略(8).實際操作窮舉策略(6).合理分類與分步策略(1).定序問題倍縮空位插入策略例1.7人排隊,其中甲乙丙3人順序一定共有多少種不同的排法？解：（空位法）設(shè)想有7把椅子讓除甲乙丙以外的四人就坐共有

種方法，其余的三個位置甲乙丙共有

種坐法，則共有

種方法。

1思考:可以先讓甲乙丙就坐嗎?（插入法)先排甲乙丙三個人,共有1種排法,再把其余4四人依次插入共有

方法4×5×6×7練習(xí)題：期中安排考試科目9門,語文要在數(shù)學(xué)之前考,有多少種不同的安排順序?(倍縮法)對于某幾個元素順序一定的排列問題,可先把這幾個元素與其他元素一起進行排列,然后用總排列數(shù)除以這幾個元素之間的全排列數(shù),則共有不同排法種數(shù)是：

定序問題可以用倍縮法，還可轉(zhuǎn)化為占位插入模型處理.(2).重排問題求冪策略例2.把6名實習(xí)生分配到7個車間實習(xí),共有多少種不同的分法？解:完成此事共分六步:把第一名實習(xí)生分配到車間有

種分法.把第二名實習(xí)生分配到車間也有7種分法，依此類推,由分步計數(shù)原理共有種不同的排法。7一般地n不同的元素沒有限制地安排在m個位置上的排列數(shù)為種.

某8層大樓一樓電梯上來8名乘客人,他們到各自的一層下電梯,下電梯的方法練習(xí)題:(3).排列組合混合問題先選后排策略例3.有5個不同的小球,裝入4個不同的盒內(nèi),每盒至少裝一個球,共有多少不同的裝法.解:第一步從5個球中選出2個組成復(fù)合元共有

種方法.再把5個元素(包含一個復(fù)合元素)裝入4個不同的盒內(nèi)有

種方法.根據(jù)分步計數(shù)原理裝球的方法共有

.解決排列組合混合問題,先選后排是最基本的指導(dǎo)思想.練習(xí)題:一個班有6名戰(zhàn)士,其中正副班長各1人現(xiàn)從中選4人完成四種不同的任務(wù),每人完成一種任務(wù),且正副班長有且只有1人參加,則不同的選法有

種.192(4).元素相同問題隔板策略例4.有10個運動員名額，在分給7個班，每班至少一個,有多少種分配方案？

解：因為10個名額沒有差別，把它們排成一排。相鄰名額之間形成9個空隙。在9個空檔中選6個位置插個隔板，可把名額分成7份，對應(yīng)地分給7個班級，每一種插板方法對應(yīng)一種分法共有___________種分法。一班二班三班四班五班六班七班將n個相同的元素分成m份（n，m為正整數(shù)）,每份至少一個元素,可以用塊隔板，插入n個元素排成一排的個空隙中，所有分法數(shù)為.m-1n-1練習(xí)題:10個相同的球裝5個盒中,每盒至少一個，有多少裝法？(5).平均分組問題除法策略例5.6本不同的書平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？解:分三步取書得種方法,但這里出現(xiàn)重復(fù)計數(shù)的現(xiàn)象,不妨記6本書為ABCDEF.若第一步取AB,第二步取CD,第三步取EF,該分法記為(AB,CD,EF),則中還有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有種取法,而這些分法僅是(AB,CD,EF)一種分法,故共有種分法。平均分成的組,不管它們的順序如何,都是一種情況,所以分組后要一定要除以(n為均分的組數(shù))避免重復(fù)計數(shù)。1.將13個球隊分成3組,一組5個隊,其它兩組4個隊,有多少分法？2.某校高二年級共有六個班級，現(xiàn)從外地轉(zhuǎn)入4名學(xué)生，要安排到該年級的兩個班級且每班安排2名，則不同的安排方案種數(shù)為

.

練習(xí)題:

練習(xí)題:3.10名學(xué)生分成3組,其中一組4人,另兩組3人但正副班長不能分在同一組,有多少種不同的分組方法?（1540）(6).合理分類與分步策略例6.在一次演唱會上共10名演員,其中8人能夠唱歌,5人會跳舞,現(xiàn)要演出一個2人唱歌2人伴舞的節(jié)目,有多少選派方法?解：10演員中有5人只會唱歌，2人只會跳舞3人為全能演員。以只會唱歌的5人是否選上唱歌人員為標(biāo)準(zhǔn)進行研究只會唱的5人中沒有人選上唱歌人員共有

種,只會唱的5人中只有1人選上唱歌人員

種,只會唱的5人中只有2人選上唱歌人員有

種，由分類計數(shù)原理共有

種。++本題還有如下分類標(biāo)準(zhǔn)：1.以3個全能演員是否選上唱歌人員為標(biāo)準(zhǔn)2.以3個全能演員是否選上跳舞人員為標(biāo)準(zhǔn)3.以只會跳舞的2人是否選上跳舞人員為標(biāo)準(zhǔn)都可經(jīng)得到正確結(jié)果解含有約束條件的排列組合問題，可按元素的性質(zhì)進行分類，按事件發(fā)生的連續(xù)過程分步，做到標(biāo)準(zhǔn)明確。分步層次清楚，不重不漏，分類標(biāo)準(zhǔn)一旦確定要貫穿于解題過程的始終。

從4名男生和3名女生中選出4人參加某個座談會，若這4人中必須既有男生又有女生，則不同的選法共有

.34

練習(xí)題:(7).構(gòu)造模型策略例7.馬路上有編號為1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路燈,現(xiàn)要關(guān)掉其中的3盞,但不能關(guān)掉相鄰的2盞或3盞,也不能關(guān)掉兩端的2盞,求滿足條件的關(guān)燈方法有多少種？解：把此問題當(dāng)作一個排隊模型在6盞亮燈的5個空隙中插入3個不亮的燈有_______種.一些不易理解的排列組合題如果能轉(zhuǎn)化為非常熟悉的模型，如占位填空模型，排隊模型，裝盒模型等，可使問題直觀解決.練習(xí)題:某排共有10個座位，若4人就坐，每人左右兩邊都有空位，那么不同的坐法有多少種？120(8).實際操作窮舉策略例8.設(shè)有編號1,2,3,4,5的五個球和編號1,2,3,4,5的五個盒子,現(xiàn)將5個球投入這五個盒子內(nèi),要求每個盒子放一個球，并且恰好有兩個球的編號與盒子的編號相同,有多少投法?解：從5個球中取出2個與盒子對號有_____種還剩下3球3盒序號不能對應(yīng)，利用實際操作法，如果剩下3,4,5號球,3,4,5號盒3號球裝4號盒時，則4,5號球有只有1種裝法,同理3號球裝5號盒時,4,5號球有也只有1種裝法,由分步計數(shù)原理有2

種.

對于條件比較復(fù)雜的排列組合問題，不易用公式進行運算，往往利用窮舉法或畫出樹狀圖會收到意想不到的結(jié)果.練習(xí)題:1.同一寢室4人,每人寫一張賀年卡集中起來,然后每人各拿一張別人的賀年卡，則四張賀年卡不同的分配方式有多少種？(9)2.給圖中區(qū)域涂色,要求相鄰區(qū)域不同色,現(xiàn)有4種可選顏色,則不同的著色方法有

種.21345721.從4名男生和3名女生中選出4人參加某個座談會，若這4人中必須既有男生又有女生，則不同的選法共有

.

34

練習(xí)題:2.3成人2小孩乘船游玩,1號船最多乘3人,2號船最多乘2人,3號船只能乘1人,他們?nèi)芜x2只船或3只船,但小孩不能單獨乘一只船,這3人共有多少乘船方法.27二、間接法（排除法）（先不考慮限制條件，算出所有的排列數(shù)，再從中減去不符合條件的排列數(shù)）例9.從0,1,2,3,4,5,6,7,8,9這十個數(shù)字中取出三個數(shù)，使其和為不小于10的偶數(shù),不同的取法有多少種？畫龍點睛：正難則反總體淘汰策略例9.從0,1,2,3,4,5,6,7,8,9這十個數(shù)字中取出三個數(shù)，使其和為不小于10的偶數(shù),不同的取法有多少種？解：這問題中如果直接求不小于10的偶數(shù)很困難,可用總體淘汰法.這十個數(shù)字中有5個偶數(shù)5個奇數(shù),所取的三個數(shù)含有3個偶數(shù)的取法有

,只含有1個偶數(shù)的取法有

,和為偶數(shù)的取法共有

.再淘汰和小于10的偶數(shù)共

.符合條件的取法共有

.9+-9+有些排列組合問題,正面直接考慮比較復(fù)雜,而它的反面往往比較簡捷,可以先求出它的反面,再從整體中淘汰.變式1：用0，1，2，3，4這五個數(shù)，組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中1不在個位的數(shù)共有_______種。分析：五個數(shù)組成三位數(shù)的全排列有個，0排在首位的有個，1排在末尾的有，減掉這兩種不合條件的排法數(shù)，再加回百位為0同時個位為1的排列數(shù)（為什么？）故共有種。對于含有否定詞語的問題，還可以從總體中把不符合要求的減去，此時應(yīng)注意既不能多減又不能少減。變式2:某班里有43位同學(xué),從中任抽5人,正、副班長、團支部書記至少有一人在內(nèi)的抽法有多少種?解:43人中任抽5人的方法有種,正副班長,團支部書記都不在內(nèi)的抽法有種,所以正副班長,團支部書記至少有1人在內(nèi)的抽法有種.結(jié)論——去雜法:有些問題,正面直接考慮比較復(fù)雜,而它的反面往往比較簡捷,可以先求出它的反面,再從整體中排除.分析:此題若是直接去考慮的話,就要將問題分成好幾種情況,這樣解題的話,容易造成各種情況遺漏或者重復(fù)的情況.而如果從此問題相反的方面去考慮的話,不但容易理解,而且在計算中也是非常的簡便.這樣就可以簡化計算過程.（1）三個男生，四個女生排成一排，甲不在最左，乙不在最右，有幾種不同方法？直接練習(xí)：間接（2）五人從左到右站成一排，其中甲不站排頭，乙