《角的平分線的性質(zhì)》-啟東市建新中學(xué)周邦益

學(xué)科:數(shù)學(xué)年級:八年級課題:角的平分線性質(zhì)授課教師:周邦益

學(xué)校：啟東市建新中學(xué)

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聯(lián)系方式年級上冊人教2011課標(biāo)版12.3角的平分線的性質(zhì)知識回顧1、角平分線的概念一條射線把一個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的平分線。oBCA12知識回顧2、點到直線距離:從直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離。OPAB我的長度

如圖,是一個平分角的儀器,其中AB=AD,BC=DC.將點A放在角的頂點,AB和AD沿著角的兩邊放下,沿AC畫一條射線AE,AE就是角平分線.你能說明它的道理嗎?CADB你能由上面的探究得出作已知角的平分線的方法嗎?探究1：E角的平分線的作法證明：在△ACD和△ACB中

AD=AB（已知）

DC=BC（已知）

CA=CA（公共邊）∴△ACD≌△ACB（SSS）∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的對應(yīng)邊相等）∴AC平分∠DAB（角平分線的定義）尺規(guī)作角的平分線AＢＯＭＮＣ畫法：

１．以Ｏ為圓心，適當(dāng)長為半徑作弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢ于Ｎ．２．分別以Ｍ，Ｎ為圓心．大于1/2ＭＮ的長為半徑作弧．兩弧在∠ＡＯＢ的內(nèi)部交于Ｃ．３．作射線ＯＣ．射線ＯＣ即為所求．AＢＭＮＣ為什么OC是角平分線呢？

Ｏ想一想：已知：OM=ON，MC=NC。求證：OC平分∠AOB。證明：在△OMC和△ONC中，

OM=ON，

MC=NC，

OC=OC，∴△OMC≌△ONC（SSS）∴∠MOC=∠NOC

即：OC平分∠AOB1〉平分平角∠AOB2〉通過上面的步驟，得到射線OC以后，把它反向延長得到直線CD，直線CD與直線AB是什么關(guān)系？

3〉結(jié)論：作平角的平分線即可平分平角，由此也得到過直線上一點作這條直線的垂線的方法。ABOCD變式)ABOAOEBCPD

將∠

AOB對折,再折出一個直角三角形(使第一條折痕為斜邊),然后展開,觀察兩次折疊形成的三條折痕,你能得出什么結(jié)論?

可以看一看,第一條折痕是∠AOB的平分線OC,第二次折疊形成的兩條折痕PD,PE是角的平分線上一點到∠AOB兩邊的距離,這兩個距離相等.折一折探究2角平分線的性質(zhì)已知：如圖，OC是∠AOB的平分線，點P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別是D，E。求證：PD=PE證明：∵PD⊥OA，PE⊥OB（已知）∴∠PDO=∠PEO=90（垂直的定義）在△PDO和△PEO中∴PD=PE（全等三角形的對應(yīng)邊相等）∠PDO=∠PEO∠AOC=∠BOCOP=OP∴△PDO≌△PEO（AAS）角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。DPEAOBC證明幾何命題的一般步驟：1、明確命題的已知和求證2、根據(jù)題意，畫出圖形，并用數(shù)學(xué)符號表示已知和求證；3、經(jīng)過分析，找出由已知推出求證的途徑，寫出證明過程。角平分線的性質(zhì)定理：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等用符號語言表示為：AOBPED12∵∠1=∠2（或OP是平分∠BAC）

PD⊥OA，PE⊥OB∴PD=PE(角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等)推理的理由有三個，必須寫完全，不能少了任何一個。角平分線的性質(zhì)角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等。BADOPEC定理應(yīng)用所具備的條件：

（1）角的平分線；（2）點在該平分線上；

（3）垂直距離。定理的作用：

證明線段相等。∵如圖，AD平分∠BAC（已知）

∴

=

，()在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。BDCD（×）判斷：變式∵如圖，DC⊥AC，DB⊥AB（已知）

∴

=

，()在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。BDCD（×）∵AD平分∠BAC,DC⊥AC，DB⊥AB（已知）∴

=

，（）

DBDC在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。√不必再證全等思考：要在Ｓ區(qū)建一個集貿(mào)市場，使它到公路，鐵路距離相等且離公路，鐵路的交叉處５００米，應(yīng)建在何處？（比例尺1：20000）sＯ公路鐵路解：

作夾角的角平分線OC，截取OD=2.5cm,D即為所求。DCsＯ公路鐵路變式如圖，∵OC是∠AOB的平分線，又________________∴PD=PE()PD⊥OA，PE⊥OBBOACDPE

角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等

在△OAB中，OE是它的角平分線，且EA=EB，EC、ED分別垂直O(jiān)A，OB，垂足為C，D.求證：AC=BD.OABECD例題變式

在△ABC中，∠

C=90°

，AD為∠BAC的平分線，DE⊥AB，BC＝7，DE＝3.求BD的長。EDCBA

如圖，在△ABC中，∠C=90°AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB于E，F(xiàn)在AC上，BD=DF；求證：CF=EBACDEBF拓展提升◆這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了哪些知識？小結(jié)1、“作已知角的平分線”的尺規(guī)作圖法；2、角的平分線的性質(zhì)：111角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等。

∵OC是∠AOB的平分線,

又PD⊥OA,PE⊥OB∴PD=PE(角的平分線上的點到角的兩邊距離相等).EDOABPC幾何語言:，1、在Rt△ABC中，BD是角平分線，DE⊥AB，垂足為E，DE與DC相等嗎？為什么？ABCDE

2、如圖,OC是∠AOB的平分線,點P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分別是D、E,PD=4cm,則PE=__________cm.ADOBEPC當(dāng)堂反饋43.如圖，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分別是E，F(xiàn)，DE=DF，∠EDB=60°，則∠EBF=

度，BE=

。60