一元二次方程綜合培優(yōu)(難度大-含參考題答案)

...wd......wd......wd...一元二次方程拓展提高題1、，那么的值是.2、，那么.3、假設(shè)，且，，那么.4、方程沒有實數(shù)根，那么代數(shù)式.5、，那么y的最大值為.6、，，，那么〔〕A、B、C、D、7、，，那么.8、，那么.9、，，那么.10、假設(shè)方程的二根為，，且，，那么()A、小于1B、等于1C、大于1D、不能確定11、是方程的一個根，那么的值為.12、假設(shè)，那么〔〕A、2011B、2010C、2009D、200813、方程的解為.14、，那么的最大值是〔〕A、14B、15C、16D、1815、方程恰有3個實根，那么〔〕A、1B、1.5C、2D、2.516、方程的全體實數(shù)根之積為〔〕A、60B、C、10D、17、關(guān)于x的一元二次方程〔a為常數(shù)〕的兩根之比，那么〔〕A、1B、2C、D、18、是、方程的兩個實根，那么.19、假設(shè)關(guān)于x的方程只有一解，求a的值。中考真題1、假設(shè)，那么的值為〔〕2、實數(shù)、滿足，，且，那么的值為〔〕A、1B、3C、－3D、103、實數(shù)x、y滿足方程，那么y最大值為〔〕A、B、C、D、不存在4、方程的所有整數(shù)解的個數(shù)是〔〕A、2B、3C、4D、55、關(guān)于x的方程的兩根分別為和1，那么方程的兩根為〔〕A、和1B、和1C、和D、和6、實數(shù)x、y滿足，記，那么u的取值范圍是〔〕A、B、C、D、7、實數(shù)m，n滿足，，那么.9、方程的兩實根的平方和等于11，k的取值是〔〕A、或1B、C、1D、310、設(shè)a，b是整數(shù)，方程有一個實數(shù)根是，那么.13、方程的一根小于，另外三根皆大于，求a的取值范圍。14、關(guān)于x的方程有實數(shù)根，且，試問：y值是否有最大值或最小值，假設(shè)有，試求出其值，假設(shè)沒有，請說明理由。15、求所有有理數(shù)q，使得方程的所有根都是整數(shù)。一元二次方程培優(yōu)題及參考答案1、，那么的值是〔D〕A、2001B、2002C、2003D、2004答案：D解析：由得：歸納：此題解決的方法是通過降次到達(dá)化簡的目的。2、，那么.答案：2002解析：由得：，，原式歸納：此題解決的方法是通過降次到達(dá)化簡的目的。3、假設(shè)，且，，那么.答案：解析：由得：∵，即∴把a和作為一元二次方程的兩根∴歸納：此題是通過構(gòu)造一元二次方程的兩根，利用根與系數(shù)的關(guān)系解決問題。4、方程沒有實數(shù)根，那么代數(shù)式.答案：2考點：根的判別式。分析：由方程沒有實數(shù)根，得，求的a的范圍，然后根據(jù)此范圍化簡代數(shù)式。解答：解：∵方程沒有實數(shù)根∴，即，，得那么代數(shù)式歸納：此題考察了一元二次方程根的判別式。當(dāng)時，方程沒有實數(shù)根。同時考察了一元二次不等式的解法、二次根式的性質(zhì)和絕對值的意義。5、，那么y的最大值為.答案：考點：二次函數(shù)的最值。專題：計算題；換元法．分析：此題只需先令，用x表示t，代入求y關(guān)于t的二次函數(shù)的最值即可。解答：令，那么又，且y關(guān)于t的二次函數(shù)開口向下，那么在處取得最大值即y最大值為，即歸納：此題考察了二次函數(shù)的最值，關(guān)鍵是采用換元法，將用t來表示進(jìn)展解題比較簡便。6、，，，那么〔〕A、B、C、D、答案：B考點：根的判別式。專題：綜合題。分析：由，，，得到a，b兩個負(fù)數(shù)，再由，，這樣可以把a，b看作方程的兩根，根據(jù)根的判別式得到，解得，然后由得到.解答：∵，，∴，，∴，∴可以把a，b看作方程∴，解得∴，即點評：此題考察了一元二次方程根的判別式：如方程有兩個實數(shù)根，那么．也考察了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及絕對值的含義。7、，，那么.答案：0考點：因式分解的應(yīng)用；非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：偶次方。分析：此題乍看下無法代數(shù)求值，也無法進(jìn)展因式分解；但是將的兩個式子進(jìn)展適當(dāng)變形后，即可找到此題的突破口。由可得；將其代入得：；此時可發(fā)現(xiàn)正好符合完全平方公式，因此可用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出b、c的值，進(jìn)而可求得a的值；然后代值運算即可。解答：∵∴又∵∴，即∴，∴∴歸納：此題既考察了對因式分解方法的掌握，又考察了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)以及代數(shù)式求值的方法．8、，那么.答案：考點：因式分解的應(yīng)用。專題：整體思想。分析：根據(jù)條件可得到，然后整體代入代數(shù)式求值計算即可。解答：∵∴∴原式點評：這里注意把要求的代數(shù)式進(jìn)展局部因式分解，根據(jù)條件，整體代值計算。9、，，那么.答案：0考點：拆項、添項、配方、待定系數(shù)法。專題：計算題．分析：先將字母b表示字母a，代入，轉(zhuǎn)化為非負(fù)數(shù)和的形式，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出a、b、c的值，從而得到的值。解答：∵∴代入，可得〔，即∴，∴∴歸納：此題既考察了對因式分解方法的掌握，又考察了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)以及代數(shù)式求值的方法。解題關(guān)鍵是將代數(shù)式轉(zhuǎn)化為非負(fù)數(shù)和的形式。10、假設(shè)方程的二根為，，且，，那么()A、小于1B、等于1C、大于1D、不能確定答案：A考點：根與系數(shù)的關(guān)系．專題：計算題．分析：方程的二根為，，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系及條件即可求解。解答：∵方程的二根為，∴，∵，∴∴∴∵∴歸納：此題考察了根與系數(shù)的關(guān)系，屬于根基題，關(guān)鍵掌握，是方程的兩根時，，．11、是方程的一個根，那么的值為.答案：考點：因式分解的應(yīng)用。專題：整體思想。分析：根據(jù)條件可得到，即然后整體代入代數(shù)式求值計算即可。解答：∵是方程的一個根∴，即∴原式點評：這里注意把要求的代數(shù)式進(jìn)展局部因式分解，根據(jù)條件，整體代值計算。12、假設(shè)，那么〔〕A、2011B、2010C、2009D、2008答案：B考點：因式分解的應(yīng)用．專題：計算題；整體思想．分析：將化簡為，整體代入變形的式子，計算即可求解．解答：∵，即∴歸納：此題考察因式分解的運用，注意運用整體代入法求解。13、方程的解為.答案：考點：利用方程的同解原理解答。專題：計算題。解答：兩邊同時平方得：整理得：再平方得：解得：歸納：此題考察將無理方程通過平方的方式轉(zhuǎn)化為有理方程解答。14、，那么的最大值是〔〕A、14B、15C、16D、18答案：B考點：完全平方公式。分析：由得代入，通過二次函數(shù)的最值，求出它的最大值。解答：化為，，故二次函數(shù)開口向下，當(dāng)時表達(dá)式取得最大值由于所以時此時，表達(dá)式取得最大值：15點評：此題是中檔題，考察曲線與方程的關(guān)系，直接利用圓錐曲線解答比較麻煩，利用轉(zhuǎn)化思想使此題的解答比較簡潔，注意二次函數(shù)閉區(qū)間是的最大值的求法。15、方程恰有3個實根，那么〔〕A、1B、1.5C、2D、2.5答案：C考點：解一元二次方程-公式法；絕對值；一元二次方程的解。專題：解題方法。分析：因為方程中帶有絕對值符號，所以討論方程的根分兩種情況：當(dāng)時，原方程為；當(dāng)時，原方程為．解答：當(dāng)時，原方程為：，化為一般形式為：用求根公式得：當(dāng)時，原方程為：，化為一般形式為：用求根公式得：∵方程的根恰為3個，而當(dāng)時，方程的3個根分別是，，．歸納：此題考察未知數(shù)的取值范圍，以確定字母系數(shù)m的值。16、方程的全體實數(shù)根之積為〔〕A、60B、C、10D、答案：A考點：換元法解分式方程。專題：換元法。分析：設(shè)，原方程化成，再整理成整式方程求解即可。解答：設(shè)，那么∴，解得，當(dāng)時，，解得當(dāng)時，，解得或∴歸納：此題考察了用換元法解分式方程，解次題的關(guān)鍵是把看成一個整體來計算，即換元法思想。17、關(guān)于x的一元二次方程〔a為常數(shù)〕的兩根之比，那么〔〕A、1B、2C、D、答案：C考點：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及求解。解答：設(shè)的兩根分別為，，由根與系數(shù)的關(guān)系得：，∴，∴歸納：此題考察了用根與系數(shù)的關(guān)系解決問題，關(guān)鍵是利用公式巧妙變形。18、是、方程的兩個實根，那么.答案：5考點：根與系數(shù)的關(guān)系；代數(shù)式求值；完全平方公式。專題：計算題。分析：由方程的根的定義，可知，移項，得，兩邊平方，整理得①；由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，可知②；將①②兩式分別代入，即可求出其值。解答：∵是方程的根∴∴∴又∵、方程的兩個實根∴∴歸納：此題主要考察了方程的根的定義，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系。難度中等。關(guān)鍵是利用方程根的定義及完全平方公式將所求代數(shù)式降次，再結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系求解。19、假設(shè)關(guān)于x的方程只有一解，求a的值。答案：或考點：解分式方程。分析：先將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，把分式方程解的討論轉(zhuǎn)化為整式方程的解的討論，“只有一個解〞內(nèi)涵豐富，在全面分析的根基上求出a的值。解答：原方程化為①〔1〕當(dāng)時，原方程有一個解，〔2〕當(dāng)時，方程①，總有兩個不同的實數(shù)根，由題意知必有一個根是原方程的增根，從原方程知增根只能是0或1，顯然0不是①的根，故，得．綜上可知當(dāng)時，原方程有一個解，，時，．歸納：此題考察了解分式方程。注意：分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程不一定是等價轉(zhuǎn)化，有可能產(chǎn)生增根，分式方程只有一個解，可能足轉(zhuǎn)化后所得的整式方程只有一個解，也可能是轉(zhuǎn)化后的整式方程有兩個解，而其中一個是原方20、二次函數(shù)滿足且對一切實數(shù)恒成立，求的解析式。考點：函數(shù)恒成立問題；函數(shù)解析式的求解及常用方法；二次函數(shù)的性質(zhì)。專題：綜合題。分析：取，由，能夠求出的值；由，知，所以，由，對一切實數(shù)恒成立，知，即對一切實數(shù)恒成立，由此能求出的表達(dá)式。解答：解：〔1〕∵二次函數(shù)滿足且∴取，得所以∴∴∵，對一切實數(shù)恒成立∴對一切實數(shù)恒成立∴∴∵，∴∵當(dāng)且僅當(dāng)時，等式成立∴點評：此題考察二次函數(shù)的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，考察函數(shù)解析式的求法，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意函數(shù)恒成立條件的靈活運用。21、.〔1〕對任意，，當(dāng)有，求證：兩個不相等的實根且有一根在〔，〕內(nèi)?！?〕假設(shè)在〔，〕內(nèi)有一根為m且.假設(shè)的對稱軸為.求證：.考點：一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系；二次函數(shù)的性質(zhì)；等差數(shù)列的性質(zhì)．專題：計算題；轉(zhuǎn)化思想．分析：〔1〕通過計算一元二次方程的判別式大于0，可得方程有兩個不相等的實數(shù)根；設(shè)方程對應(yīng)的函數(shù)為，由，可得方程有一個根屬于〔，〕．〔2〕由題意可得，即，由于，故，由證得結(jié)論。解答：證明：〔1〕∵∴整理得：∴∵∴∵故方程有兩個不相等的實數(shù)根令那么又那么故方程有一根在〔，〕內(nèi)?！?〕∵方程在〔，〕內(nèi)有一根為m∴∴∵∴故點評：此題考察一元二次方程根的分布與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)，等差數(shù)列的性質(zhì)，表達(dá)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。一元二次方程成都四中考試真題1、假設(shè)，那么的值為〔〕A、3B、4C、5D、6答案：4考點：因式分解的應(yīng)用。專題：整體思想。解答：∵∴歸納：此題關(guān)鍵是將作為整體，然后將進(jìn)展因式分解變形解答。2、實數(shù)、滿足，，且，那么的值為〔〕A、1B、3C、－3D、10答案：D解析：由得：，即，∵，即∴把和作為一元二次方程的兩根∴，，即∴歸納：此題是通過構(gòu)造一元二次方程的兩根，利用根與系數(shù)的關(guān)系解決問題。3、實數(shù)x、y滿足方程，那么y最大值為〔〕A、B、C、D、不存在答案：B考點：根的判別式。專題：計算題；轉(zhuǎn)化思想。分析：先把方程變形為關(guān)于x的一元二次方程，由于此方程有解，所以，這樣得到y(tǒng)的不等式，解此不等式，得到y(tǒng)的取值范圍，然后找到最大值。解答：把看作為關(guān)于x的，并且此方程有解，所以，即∴，∴故y的最大值是點評：此題考察了一元二次方程〔，a，b，c為常數(shù)〕根的判別式。當(dāng)，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)，方程沒有實數(shù)根。同時考察了轉(zhuǎn)化思想的運用和一元二次不等式的解。4、方程的正根的個數(shù)為〔〕A、3個B、2個C、1個D、0個答案：D考點：二次函數(shù)的圖象；反比例函數(shù)的圖象。分析：此題實質(zhì)是求函數(shù)和函數(shù)的圖象在一、四象限有沒有交點，根據(jù)兩個函數(shù)的圖象的交點情況，直接判斷。解答：設(shè)函數(shù)，函數(shù)∵函數(shù)的圖象在一、三、四象限，開口向下，頂點坐標(biāo)為〔1，1〕，對稱軸函數(shù)的圖象在一、三象限；而兩函數(shù)在第一象限沒有交點，交點在第三象限即方程的正根的個數(shù)為0個。歸納：此題用函數(shù)知識解答比較容易，主要涉及二次函數(shù)和反比例函數(shù)圖象的有關(guān)性質(zhì)，同學(xué)們應(yīng)該熟記且靈活掌握。5、方程的所有整數(shù)解的個數(shù)是〔〕A、2B、3C、4D、5答案：C考點：零指數(shù)冪。專題：分類討論。分析：方程的右邊是1，有三種可能，需要分類討論。第1種可能：指數(shù)為0，底數(shù)不為0；第2種可能：底數(shù)為1；第3種可能：底數(shù)為，指數(shù)為偶數(shù)。解答：〔1〕當(dāng)，時，解得；〔2〕當(dāng)時，解得或1；〔3〕當(dāng)，為偶數(shù)時，解得因而原方程所有整數(shù)解是，，1，共4個。點評：此題考察了：〔a是不為0的任意數(shù)〕以及1的任何次方都等于1。此題容易遺漏第3種可能情況而導(dǎo)致誤選B，需特別注意。6、關(guān)于x的方程的兩根分別為和1，那么方程的兩根為〔〕A、和1B、和1C、和D、和答案：B考點：解一元二次方程-因式分解法；一元二次方程的解．分析：因為方程的兩個根為和1，所以方程可以方程因式為，用含a的式子表示b和c，代入后面的方程可以用因式分解求出方程的根。解答：∵的兩根為和1∴整理得：∴，把b，c代入方程，得：∴，歸納：此題考察的是用因式分解法解一元二次方程，把方程的兩根代入方程，整理后用含a的式子表示b和c，然后把b，c代入后面的方程，用因式分解法可以求出方程的根。7、實數(shù)x、y滿足，記，那么u的取值范圍是〔〕A、B、C、D、答案：A考點：完全平方公式。專題：綜合題。分析：把原式的xy變?yōu)?，根?jù)完全平方公式特點化簡，然后由完全平方式恒大于等于0，得到xy的范圍；再把原式中的xy變?yōu)?，同理得到xy的另一個范圍，求出兩范圍的公共局部，然后利用不等式的基本性質(zhì)求出的范圍，最后利用表示出，代入到u中得到，的范圍即為u的范圍。解答：由得：即，那么由得：即，那么∴∴不等式兩邊同時乘以得：兩邊同時加上2得：，即∵∴∴那么u的取值范圍是點評：此題考察了完全平方公式，以及不等式的基本性質(zhì)，解題時技巧性比較強(qiáng)，對的式子進(jìn)展了三次恒等變形，前兩次利用拆項法拼湊完全平方式，最后一次變形后整體代入確定出u關(guān)于xy的式子，從而求出u的范圍。要求學(xué)生熟練掌握完全平方公式的構(gòu)造特點：兩數(shù)的平方和加上或減去它們乘積的2倍等于兩數(shù)和或差的平方．8、實數(shù)m，n滿足，，那么.考點：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系。分析：根據(jù)題意：由得：；由得：，又因為，即，因此可以把，作為一元二次方程的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系得：.解答：∵，∴，∵∴∴把，作為一元二次方程的兩根∴歸納：此題考察的是用構(gòu)造一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系解答問題，此題的關(guān)鍵是利用進(jìn)展變形是關(guān)鍵所在，不要無視了這個條件隱含的題意。9、方程的兩實根的平方和等于11，k的取值是〔〕A、或1B、C、1D、3答案：C考點：根與系數(shù)的關(guān)系；解一元二次方程-因式分解法；根的判別式。分析：由題意設(shè)方程兩根為，，得，，然后再根據(jù)兩實根的平方和等于11，從而解出k值。解答：設(shè)方程兩根為，得，，∴∵∴∴解得或∴歸納：此題應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系解題，利用兩根的和與兩根的積表示兩根的平方和，把求未知系數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為解方程的問題。10、設(shè)a，b是整數(shù)，方程有一個實數(shù)根是，那么.答案：考點：一元二次方程的解；二次根式的化簡求值。專題：方程思想。分析：一個根代入方程，得到a，b等式，再由a，b是整數(shù)，可以求出a，b的值。解答：，把代入方程有：∵a，b是整數(shù)∴∴∴歸納：此題考察的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程，由a，b是整數(shù)就可以求出a，b的值。11、函數(shù)，〔b，c為常數(shù)〕，這個函數(shù)的圖象與x軸交于兩個不同的兩點A〔，0〕和B〔，0〕且滿足.〔1〕求證：〔2〕假設(shè)，試比較與的大小，并加以證明?？键c：拋物線與x軸的交點。專題：證明題；探究型。分析：〔1〕首先利用求根公式求出x的值，再由求解；〔2〕推出．根據(jù)推出答案。解答：證明：〔1〕∵令中得到∴又∴∴∴〔2〕由∴∴∴∵∴∵∴∴∴即歸納：綜合考察了二次函數(shù)的求根公式、用函數(shù)的觀點看不等式等知識。12、關(guān)于x的方程有兩個不相等的實數(shù)根和，并且拋物線與x軸的兩個交點分別位于點〔2，0〕的兩旁?！?〕求實數(shù)a的取值范圍；〔2〕當(dāng)時，求a的值?？键c：拋物線與x軸的交點；根與系數(shù)的關(guān)系。.分析：〔1〕由一元二次方程的二次項系數(shù)不為0和根的判別式求出a的取值范圍。設(shè)