理論力學(xué)第三版周衍柏習(xí)題答案

...wd......wd......wd...第一章質(zhì)點(diǎn)力學(xué)第一章習(xí)題解答1.1由題可知示意圖如題1.1.1圖:設(shè)開場計(jì)時(shí)的時(shí)刻速度為,由題可知槍彈作勻減速運(yùn)動(dòng)設(shè)減速度大小為.那么有:由以上兩式得再由此式得證明完畢.1.2解由題可知,以燈塔為坐標(biāo)原點(diǎn)建設(shè)直角坐標(biāo)如題1.2.1圖.設(shè)船經(jīng)過小時(shí)向東經(jīng)過燈塔,那么向北行駛的船經(jīng)過小時(shí)經(jīng)過燈塔任意時(shí)刻船的坐標(biāo)，船坐標(biāo)，那么船間距離的平方即對(duì)時(shí)間求導(dǎo) 船相距最近，即，所以即午后45分鐘時(shí)兩船相距最近最近距離km1.3解如題1.3.2圖由題分析可知，點(diǎn)的坐標(biāo)為又由于在中，有〔正弦定理〕所以聯(lián)立以上各式運(yùn)用由此可得得得化簡整理可得此即為點(diǎn)的軌道方程.〔2〕要求點(diǎn)的速度，分別求導(dǎo)其中又因?yàn)閷?duì)兩邊分別求導(dǎo)故有所以1.4解如題1.4.1圖所示，繞點(diǎn)以勻角速度轉(zhuǎn)動(dòng)，在上滑動(dòng)，因此點(diǎn)有一個(gè)垂直桿的速度分量點(diǎn)速度又因?yàn)樗?點(diǎn)加速度1.5解由題可知，變加速度表示為由加速度的微分形式我們可知代入得對(duì)等式兩邊同時(shí)積分可得：〔為常數(shù)〕代入初始條件：時(shí)，，故即又因?yàn)樗詫?duì)等式兩邊同時(shí)積分，可得：1.6解由題可知質(zhì)點(diǎn)的位矢速度①沿垂直于位矢速度又因?yàn)?，即即〔取位矢方向，垂直位矢方向〕所以故即沿位矢方向加速度垂直位矢方向加速度?duì)③求導(dǎo)對(duì)④求導(dǎo)把③④⑦⑧代入⑤⑥式中可得1.7解由題可知①②對(duì)①求導(dǎo)③對(duì)③求導(dǎo)④對(duì)②求導(dǎo)⑤對(duì)⑤求導(dǎo)⑥對(duì)于加速度，我們有如下關(guān)系見題1.7.1圖即⑦--⑧對(duì)⑦⑧倆式分別作如下處理：⑦，⑧即得⑨--⑩⑨+⑩得⑾把④⑥代入⑾得同理可得1.8解以焦點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)如題1.8.1圖所示]那么點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)兩式分別求導(dǎo)故如以下列圖的橢圓的極坐標(biāo)表示法為對(duì)求導(dǎo)可得〔利用〕又因?yàn)榧此怨视屑础财渲袨闄E圓的半短軸〕1.9證質(zhì)點(diǎn)作平面運(yùn)動(dòng)，設(shè)速度表達(dá)式為令為位矢與軸正向的夾角，所以所以又因?yàn)樗俾时３譃槌?shù)，即為常數(shù)對(duì)等式兩邊求導(dǎo)所以即速度矢量與加速度矢量正交.1.10解由題可知運(yùn)動(dòng)軌跡如題1.10.1圖所示，那么質(zhì)點(diǎn)切向加速度法向加速度，而且有關(guān)系式①又因?yàn)棰谒寓邰苈?lián)立①②③④⑤又把兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)得又因?yàn)樗寓薨癣薮擘菁瓤苫癁閷?duì)等式兩邊積分所以1.11解由題可知速度和加速度有關(guān)系如以下列圖1.11.1兩式相比得即對(duì)等式兩邊分別積分即此即質(zhì)點(diǎn)的速度隨時(shí)間而變化的規(guī)律.1.12證由題1.11可知質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)有關(guān)系式①②所以，聯(lián)立①②，有又因?yàn)樗?，?duì)等式兩邊分別積分，利用初始條件時(shí)，1.13證〔〕當(dāng)，即空氣相對(duì)地面上靜止的，有.式中質(zhì)點(diǎn)相對(duì)靜止參考系的絕對(duì)速度，指向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)參考系的速度，指運(yùn)動(dòng)參考系相對(duì)靜止參考系的速度.可知飛機(jī)相對(duì)地面參考系速度：=，即飛機(jī)在艦作勻速直線運(yùn)動(dòng).所以飛機(jī)來回飛行的總時(shí)間.〔〕假定空氣速度向東，那么當(dāng)飛機(jī)向東飛行時(shí)速度飛行時(shí)間當(dāng)飛機(jī)向西飛行時(shí)速度飛行時(shí)間故來回飛行時(shí)間即同理可證，當(dāng)空氣速度向西時(shí)，來回飛行時(shí)間〔c〕假定空氣速度向北.由速度矢量關(guān)系如題1.13.1圖所以來回飛行的總時(shí)間同理可證空氣速度向南時(shí)，來回飛行總時(shí)間仍為1.14解正方形如題1.14.1圖。由題可知設(shè)風(fēng)速,,當(dāng)飛機(jī)，故飛機(jī)沿此邊長6正方形飛行一周所需總時(shí)間1.15解船停頓時(shí)，干濕分界限在蓬前3，由題畫出速度示意圖如題.15.1圖故又因?yàn)?，所以由圖可知所以=81.16解以一岸邊為軸，垂直岸的方向?yàn)檩S.建設(shè)如題1.16.1圖所示坐標(biāo)系.所以水流速度又因?yàn)楹恿髦行奶幩魉俣葹樗?。?dāng)時(shí)，即①--②得，兩邊積分③聯(lián)立②③，得④同理，當(dāng)時(shí)，即⑤由④知，當(dāng)時(shí)，代入⑤得有，所以船的軌跡船在對(duì)岸的了；靠攏地點(diǎn)，即時(shí)有1.17解以為極點(diǎn)，岸為極軸建設(shè)極坐標(biāo)如題.17.1圖.船沿垂直于的方向的速度為，船沿徑向方向的速度為和沿徑向的分量的合成，即①--②②/①得，對(duì)兩積分：設(shè)為常數(shù)，即代入初始條件時(shí)，.設(shè)有得1.18解如題1.18.1圖質(zhì)點(diǎn)沿下滑，由受力分析我們可知質(zhì)點(diǎn)下滑的加速度為.設(shè)豎直線，斜槽，易知，由正弦定理即①又因?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)沿光滑面下滑，即質(zhì)點(diǎn)做勻速直線運(yùn)動(dòng).所以②有①②欲使質(zhì)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)間最短，由可知，只需求出的極大值即可，令把對(duì)求導(dǎo)極大值時(shí)，故有由于是斜面的夾角，即所以1.19解質(zhì)點(diǎn)從拋出到落回拋出點(diǎn)分為上升和下降階段.取向上為正各力示意圖如題1.19.1圖，上升時(shí)下降時(shí)題1.19.1圖那么兩個(gè)過程的運(yùn)動(dòng)方程為：上升①下降：②對(duì)上升階段:即對(duì)兩邊積分所以③即質(zhì)點(diǎn)到達(dá)的高度.對(duì)下降階段：即④由③=④可得1.20解作子彈運(yùn)動(dòng)示意圖如題1.20.1圖所示.題1.20.1圖水平方向不受外力，作勻速直線運(yùn)動(dòng)有①豎直方向作上拋運(yùn)動(dòng)，有②由①得③代入化簡可得因?yàn)樽訌椀倪\(yùn)動(dòng)軌跡與發(fā)射時(shí)仰角有關(guān)，即是的函數(shù)，所以要求的最大值.把對(duì)求導(dǎo)，求出極值點(diǎn).即所以，代入的表達(dá)式中可得：此即為子彈擊中斜面的地方和發(fā)射點(diǎn)的距離的最大值1.21解阻力一直與速度方向相反，即阻力與速度方向時(shí)刻在變化，但都在軌道上沒點(diǎn)切線所在的直線方向上，故用自然坐標(biāo)比用直角坐標(biāo)好.軌道的切線方向上有：①軌道的法線方向上有：②由于角是在減小的，故③由于初末狀態(tài)由速度與水平方向夾角來確定，故我們要想法使①②變成關(guān)于的等式由①即④把代入可得⑤用④⑤可得即，兩邊積分得⑥代入初始條件時(shí)，即可得代入⑥式，得⑦又因?yàn)樗寓喟癣叽擘喾e分后可得1.22各量方向如題1.22.1圖.電子受力那么電子的運(yùn)動(dòng)微分方程為②-③-④由②，即⑤代入③整理可得⑥對(duì)于齊次方程的通解非齊次方程的特解所以非齊次方程的通解代入初始條件：時(shí)，得時(shí)，得,故⑦同理，把⑦代入⑤可以解出把⑦代入⑤代入初條件時(shí)，，得.所以〕1.23證〔a〕在1.22題中，時(shí)，那么電子運(yùn)動(dòng)受力電子的運(yùn)動(dòng)微分方程①-②-③對(duì)②積分④對(duì)④再積分又故〔為一常數(shù)〕此即為拋物線方程.當(dāng)時(shí)那么電子受力那么電子的運(yùn)動(dòng)微分方程為①-②-③同1.22題的解法，聯(lián)立①-②解之，得于是及電子軌道為半徑的圓.1.24解以豎直向下為正方向，建設(shè)如題1.24.2圖所示坐標(biāo)，題1.24.1圖題1.24.2圖以①開場所在位置為原點(diǎn).設(shè)①-②-③處物體所處坐標(biāo)分別為，那么3個(gè)物體運(yùn)動(dòng)微分方程為：①-②-③由②于③與、之間是，即不可伸長輕繩連接，所以有，即④之間用倔強(qiáng)系數(shù)彈性繩聯(lián)結(jié).故有⑤由①⑤得⑥由②③④得⑦代入①，有⑧代入⑥，有⑨此即為簡諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程.角頻率所以周期解⑨得以初始時(shí)③為原點(diǎn)，時(shí)，.所以⑩代入①得聯(lián)立-③④⑧⑩得1.25解，選向下為正方向，滑輪剛停時(shí)物體所在平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn).建設(shè)如題.25.1圖所示坐標(biāo)系.題2.15.1圖原點(diǎn)的重力勢(shì)能設(shè)為0.設(shè)彈簧最大伸長.整個(gè)過程中，只有重力做功，機(jī)械能守恒：①-②聯(lián)立①②得彈簧的最大張力即為彈簧伸長最長時(shí)的彈力，為最大張力，即1.26解以繩頂端為坐標(biāo)原點(diǎn).建設(shè)如題1.26.1圖所示坐標(biāo)系.題1.26.1圖設(shè)繩的彈性系數(shù)為,那么有①當(dāng)脫離下墜前，與系統(tǒng)平衡.當(dāng)脫離下墜前，在拉力作用下上升，之后作簡運(yùn).運(yùn)動(dòng)微分方程為②聯(lián)立①②得③齊次方程通解非齊次方程③的特解所以③的通解代入初始條件：時(shí)，得；故有即為在任一時(shí)刻離上端的距離.1.27解對(duì)于圓柱凸面上運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)受力分析如圖1-24.運(yùn)動(dòng)的軌跡的切線方向上有:①法線方向上有：②對(duì)于①有〔為運(yùn)動(dòng)路程，亦即半圓柱周圍弧長〕即又因?yàn)榧储墼O(shè)質(zhì)點(diǎn)剛離開圓柱面時(shí)速度，離開點(diǎn)與豎直方向夾角，對(duì)③式兩邊積分④剛離開圓柱面時(shí)即⑤聯(lián)立④⑤得即為剛離開圓柱面時(shí)與豎直方向夾角.1.28解建設(shè)如題1.28.1圖所示直角坐標(biāo).橢圓方程①從滑到最低點(diǎn)，只有重力做功.機(jī)械能守恒.即②設(shè)小球在最低點(diǎn)受到橢圓軌道對(duì)它的支持力為那么有：③為點(diǎn)的曲率半徑.的軌跡：得；又因?yàn)樗怨矢鶕?jù)作用力與反作用力的關(guān)系小球到達(dá)橢圓最低點(diǎn)對(duì)橢圓壓力為方向垂直軌道向下.1.29解質(zhì)點(diǎn)作平面直線運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)軌跡方程為①-②由曲線運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的受力分析，我們可以得到：③-④因?yàn)榍€上每點(diǎn)的曲率⑤所以⑥⑦把⑥⑦代入曲率公式⑤中所以⑧由④即，又有數(shù)學(xué)關(guān)系可知，即所以⑨把⑧⑨代入①1.30證當(dāng)題1.29所述運(yùn)動(dòng)軌跡的曲線不光滑時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為：①②③④⑤由1.29題可知②由數(shù)學(xué)知識(shí)知③把①③④代入②⑤這是一個(gè)非齊次二階微分方程.解為當(dāng)時(shí)，得即當(dāng)，時(shí)，即故有1.31證：單擺運(yùn)動(dòng)受力分析如圖1.31.1圖所示。因?yàn)棰偌此杂謫螖[擺角很小，有=上式即化為：②此即為一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的有阻尼振動(dòng)方程。設(shè)為固有頻率，又由于，即阻力很小的情況。方程②的解為所以單擺振動(dòng)周期結(jié)論得證。解：設(shè)楔子的傾角為，楔子向右作加速度的勻加速運(yùn)動(dòng)，如圖1.32.1圖。我們以楔子為參考系，在非慣性系中來分析此題，那么質(zhì)點(diǎn)受到一個(gè)大小為的非慣性力，方向與相反。質(zhì)點(diǎn)在楔子這個(gè)非慣性系中沿斜面下滑，沿斜面的受力分析：①垂直斜面受力平衡：②聯(lián)立①②得此即楔子相對(duì)斜面的加速度。對(duì)斜面的壓力與斜面對(duì)的支持力等大反方向。同理可得當(dāng)楔子向左作加速度為的勻加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的和楔子對(duì)斜面的壓力為綜上所述可得1.33解設(shè)鋼絲圓圈以加速度向上作勻加速運(yùn)動(dòng)如題1.33.1圖，我們以鋼絲圓圈作參考系，在圓圈這個(gè)非慣性系里來分析此題。圓圈上的小環(huán)會(huì)受到一個(gè)大小為方向與相反的慣性力的作用，那么圓環(huán)運(yùn)動(dòng)到圓圈上某點(diǎn)，切線方向受力分析：①法線方向受力分析有：②對(duì)①兩邊同乘以即兩邊同時(shí)積分③把③代入②可解得同理可解出，當(dāng)鋼絲圓圈以加速度豎直向下運(yùn)動(dòng)時(shí)小環(huán)的相對(duì)速度綜上所述，小環(huán)的相對(duì)速度圈對(duì)小環(huán)的反作用力1.34證：〔1〕當(dāng)火車所受阻力為常數(shù)時(shí)，因?yàn)楣β逝c牽引力有如下關(guān)系：所以即對(duì)兩邊積分〔2〕當(dāng)阻力和速度成正比時(shí)，設(shè)=，為常數(shù)。同理由〔1〕可知即對(duì)兩邊積分1.35解錘的壓力是均勻增加的，設(shè)，為常數(shù)，由題意可知，得，所以，即故兩邊同時(shí)積分得，①又因?yàn)楫?dāng)增至極大值后，又均勻減小到0，故此時(shí)有為常數(shù)，所以即②由①得③整個(gè)過程壓力所做功又因?yàn)榧磳?duì)上式兩邊分段積分得1．36解〔a〕保守力滿足條件對(duì)題中所給的力的表達(dá)式，代入上式即所以此力是保守力，其勢(shì)為(b)同〔a〕，由所以此力是保守力，那么其勢(shì)能為1.37解〔a〕因?yàn)橘|(zhì)子與中子之間引力勢(shì)能表達(dá)式為故質(zhì)子與中子之間的引力〔b〕質(zhì)量為的粒子作半徑為的圓運(yùn)動(dòng)。動(dòng)量矩由〔a〕知提供粒子作圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，方向是沿著徑向，故當(dāng)半徑為的圓周運(yùn)動(dòng)兩式兩邊同乘以即又因?yàn)橛凶鰣A周運(yùn)動(dòng)的粒子的能量等于粒子的動(dòng)能和勢(shì)能之和。所以1.38解要滿足勢(shì)能的存在，即力場必須是無旋場，亦即力為保守力，所以即得為常數(shù)滿足上式關(guān)系，才有勢(shì)能存在。勢(shì)能為：1.39證質(zhì)點(diǎn)受一與距離成反比的力的作用。設(shè)此力為①又因?yàn)榧储诋?dāng)質(zhì)點(diǎn)從無窮遠(yuǎn)處到達(dá)時(shí)，對(duì)②式兩邊分別積分：當(dāng)質(zhì)點(diǎn)從靜止出發(fā)到達(dá)時(shí)，對(duì)②式兩邊分別積分：得所以質(zhì)點(diǎn)自無窮遠(yuǎn)到達(dá)時(shí)的速率和自靜止出發(fā)到達(dá)時(shí)的速率一樣。解由題可知〔因?yàn)槭且?，方向與徑向相反所以要有負(fù)號(hào)〕由運(yùn)動(dòng)微分方程即①對(duì)上式兩邊積分故又因?yàn)榕c的方向相反，故取負(fù)號(hào)。即1.41證畫出有心力場中圖示如題1.41.圖，我們采用的是極坐標(biāo)。所以又由于常數(shù)即由圖所示關(guān)系，又有，故即由動(dòng)能定理沿方向得1.42證〔〕依據(jù)上題結(jié)論，我們?nèi)匀蝗O坐標(biāo)如題1.42.1圖。質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡為一圓周，那么其極坐標(biāo)方程為①由①②得②即③故即力與距離5次方成正比，負(fù)號(hào)表示力的方向與徑向相反?！病迟|(zhì)點(diǎn)走一對(duì)數(shù)螺旋線，極點(diǎn)為力心，我們?nèi)圆捎脴O坐標(biāo)。對(duì)數(shù)螺旋線為常數(shù)。有根據(jù)題1.41，常數(shù)，有故得證。1.43證由畢耐公式質(zhì)點(diǎn)所受有心力做雙紐線運(yùn)動(dòng)故故1.44證由畢耐公式將力帶入此式因?yàn)樗约戳钌鲜交癁檫@是一個(gè)二階常系數(shù)廢氣次方程。解之得微積分常數(shù)，取，故有令所以1.45證由題意可知，質(zhì)點(diǎn)是以太陽為力心的圓錐曲線，太陽在焦點(diǎn)上。軌跡方程為在近日點(diǎn)處在遠(yuǎn)日點(diǎn)處由角動(dòng)量守恒有所以1.46解因?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)速率所以又由于即又因?yàn)樗詢蛇叿e分即1.47證〔〕設(shè)地球軌道半徑為。那么彗星的近日點(diǎn)距離為。圓錐曲線的極坐標(biāo)方程為彗星軌道為拋物線，即。近日點(diǎn)時(shí)。故近日點(diǎn)有即①又因?yàn)樗寓凇插缧窃趩挝粫r(shí)間內(nèi)矢徑掃過的面積〕掃過扇形面積的速度③又因?yàn)楣蕛蛇叿e分④從數(shù)學(xué)上我們可以得到兩軌道交點(diǎn)為地球軌道半徑處。即即⑤又因?yàn)樗寓薨癣茛薮擘堋并奘酱霑r(shí)取“+〞即可〕故彗星在地球軌道內(nèi)停留的時(shí)間為⑦設(shè)地球繞太陽運(yùn)動(dòng)一周的時(shí)間為。因?yàn)榧俣ǖ厍蜻\(yùn)動(dòng)軌道為圓形，所以又由于，有地球繞太陽運(yùn)動(dòng)單位時(shí)間內(nèi)矢徑掃過的面積。掃過扇形速度⑧〔〕由證明〔〕知彗星在地球軌道內(nèi)停留時(shí)間對(duì)此式求極大值，即對(duì)求導(dǎo)，使即即得驗(yàn)證故為極大值，代入⑧式可知1.48解由§1.9給出的條件：人造地球衛(wèi)星近、遠(yuǎn)點(diǎn)距離分別為地球半徑有橢圓運(yùn)動(dòng)中的能量方程可知：①②為衛(wèi)星運(yùn)行的橢圓軌道的長軸把代入①②有近地點(diǎn)速率遠(yuǎn)地點(diǎn)速率運(yùn)動(dòng)周期〔參見1.47〕其中為運(yùn)動(dòng)軌道的半長軸所以1.49證由行星繞太陽作橢圓運(yùn)動(dòng)的能量方程為為橢圓的半長軸。令又因?yàn)?，上式化為：因?yàn)榧此寓儆忠驗(yàn)樾行菣E圓軌道運(yùn)動(dòng)周期即常數(shù)，故又因?yàn)闉檎瓜业囊话胨寓谟深}意可知即③把②③代入①可得化簡可得即兩邊積分，由題設(shè)即1.50解質(zhì)點(diǎn)在有心力場中運(yùn)動(dòng)，能量和角動(dòng)量均守恒。無窮遠(yuǎn)處勢(shì)能為零。所以①②任意一處由②代入①所以第二章質(zhì)點(diǎn)組力學(xué)第二章習(xí)題解答2.1解均勻扇形薄片，取對(duì)稱軸為軸，由對(duì)稱性可知質(zhì)心一定在軸上。有質(zhì)心公式設(shè)均勻扇形薄片密度為，任意取一小面元，又因?yàn)樗詫?duì)于半圓片的質(zhì)心，即代入，有2.2解建設(shè)如圖2.2.1圖所示的球坐標(biāo)系把球帽看成垂直于軸的所切層面的疊加〔圖中陰影局部所示〕。設(shè)均勻球體的密度為。那么由對(duì)稱性可知，此球帽的質(zhì)心一定在軸上。代入質(zhì)心計(jì)算公式，即2.3解建設(shè)如題2.3.1圖所示的直角坐標(biāo)，原來與共同作一個(gè)斜拋運(yùn)動(dòng)。當(dāng)?shù)竭_(dá)最高點(diǎn)人把物體水皮拋出后，人的速度改變，設(shè)為，此人即以的速度作平拋運(yùn)動(dòng)。由此可知，兩次運(yùn)動(dòng)過程中，在到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)兩次運(yùn)動(dòng)的水平距離是一致的〔因?yàn)閮纱芜\(yùn)動(dòng)水平方向上均以作勻速直線運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間也一樣〕。所以我們只要比較人把物拋出后水平距離的變化即可。第一次運(yùn)動(dòng)：從最高點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到落地，水平距離①②③第二次運(yùn)動(dòng):在最高點(diǎn)人拋出物體，水平方向上不受外力，水平方向上動(dòng)量守恒，有可知道水平距離跳的距離增加了=解建設(shè)如圖2.4.1圖所示的水平坐標(biāo)。以，為系統(tǒng)研究，水平方向上系統(tǒng)不受外力，動(dòng)量守恒，有①對(duì)分析；因?yàn)棰谠谂舷禄?，以為參照物，那么受到一個(gè)慣性力〔方向與加速度方向相反〕。如圖2.4.2圖所示。所以相對(duì)下滑。由牛頓第二定律有②所以水平方向的絕對(duì)加速度由②可知③④聯(lián)立①④，得⑤把⑤代入①，得⑥負(fù)號(hào)表示方向與軸正方向相反。求劈對(duì)質(zhì)點(diǎn)反作用力。用隔離法。單獨(dú)考察質(zhì)點(diǎn)的受力情況。因?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)垂直斜劈運(yùn)動(dòng)的加速度為0，所以⑦把⑥代入⑦得，⑧水平面對(duì)劈的反作用力。仍用隔離法。因?yàn)榕诖怪彼し较蛏蠠o加速度，所以⑨于是⑩解因?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)組隊(duì)某一固定點(diǎn)的動(dòng)量矩所以對(duì)于連續(xù)物體對(duì)某一定點(diǎn)或定軸，我們就應(yīng)該把上式中的取和變?yōu)榉e分。如圖2.5.1圖所示薄圓盤，任取一微質(zhì)量元，所以圓盤繞此軸的動(dòng)量矩=2.6解炮彈到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)爆炸，由題目條件爆炸后，兩者仍沿原方向飛行知，分成的兩個(gè)局部，，速度分別變?yōu)檠厮椒较虻?，，并一此速度分別作平拋運(yùn)動(dòng)。由前面的知識(shí)可知，同一高處平拋運(yùn)動(dòng)的物體落地時(shí)的水平距離之差主要由初速度之差決定。進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求，。炮彈在最高點(diǎn)炮炸時(shí)水平方向上無外力，所以水平方向上的動(dòng)量守恒：①以質(zhì)點(diǎn)組作為研究對(duì)象，爆炸過程中能量守恒：②聯(lián)立①②解之，得所以落地時(shí)水平距離之差=2.7解建設(shè)如題2.7.1圖所示的直角坐標(biāo)系。當(dāng)沿半圓球下滑時(shí)，將以向所示正方向的反向運(yùn)動(dòng)。以、組成系統(tǒng)為研究對(duì)象，系統(tǒng)水平方向不受外力，動(dòng)量守恒，即相對(duì)于地固連的坐標(biāo)系的絕對(duì)速度為相對(duì)的運(yùn)動(dòng)速度②故水平方向③豎直方向④在下滑過程中，只有保守力〔重力〕做功，系統(tǒng)機(jī)械能守恒：〔以地面為重力零勢(shì)能面〕⑤=⑥把③④代入⑥=⑦把①③代入⑤證以連線為軸建設(shè)如題2.8.1圖所示的坐標(biāo)。設(shè)初始速度為與軸正向夾角碰撞后，設(shè)、運(yùn)動(dòng)如題2.8.2圖所示。、速度分別為、，與軸正向夾角分別為、。以、為研究對(duì)象，系統(tǒng)不受外力，動(dòng)量守恒。方向：①垂直軸方向有：②可知③整個(gè)碰撞過程只有系統(tǒng)內(nèi)力做功，系統(tǒng)機(jī)械能守恒：④由③④得即兩球碰撞后速度相互垂直，結(jié)論得證。2.9解類似的碰撞問題，我們一般要抓住動(dòng)量守恒定理和機(jī)械能守恒定理得運(yùn)用，依次來分析條件求出未知量。設(shè)一樣小球?yàn)?，初始時(shí)小球速度，碰撞后球的速度為，球的速度以碰撞后球速度所在的方向?yàn)檩S正向建設(shè)如題2.9.1圖所示的坐標(biāo)(這樣做的好處是可以減少未知量的分解，簡化表達(dá)式)。以、為系統(tǒng)研究，碰撞過程中無外力做功，系統(tǒng)動(dòng)量守恒。方向上有：①方向上有：②又因?yàn)榛謴?fù)系數(shù)即=③用①-③④用④代入②得求在各種值下角的最大值，即為求極致的問題。我們有得即=0所以即由因?yàn)?故=所以2.10以為研究對(duì)象。當(dāng)發(fā)生正碰撞后，速度分別變?yōu)?，，隨即在不可伸長的繩約束下作圓周運(yùn)動(dòng)。以的連線為軸建設(shè)如題2.10.1圖所示。碰撞過程中無外力做功，動(dòng)量守恒：①隨即在的約束下方向變?yōu)檠剌S的正向，速度變?yōu)楣史较蛏嫌孝诠驶謴?fù)系數(shù)定義有：=即③聯(lián)立①②③得2.11解如以下列圖，有兩質(zhì)點(diǎn)，中間有一繩豎直相連，坐標(biāo)分別為：，質(zhì)量為，開場時(shí)靜止?，F(xiàn)在有一沖量作用與，那么作用后，得到速度，仍靜止不動(dòng)：。它們的質(zhì)心位于原點(diǎn)，質(zhì)心速度我為現(xiàn)在把坐標(biāo)系建在質(zhì)心上，因?yàn)橄到y(tǒng)不再受外力作用，所以質(zhì)心將以速率沿軸正向勻速正向、反向運(yùn)動(dòng)。由于質(zhì)心系是慣性系，且無外力，所以，分別以速率繞質(zhì)心作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，因而他們作的事圓滾線運(yùn)動(dòng)。經(jīng)過時(shí)間后，如以下列圖：于是在系中的速度的速度：因此2.12解對(duì)于質(zhì)心系的問題，我們一般要求求出相對(duì)固定參考點(diǎn)的物理量，在找出質(zhì)心的位置和質(zhì)心運(yùn)動(dòng)情況，由此去計(jì)算物體相對(duì)或絕對(duì)物理量及其間的關(guān)系。由題可知，碰前速度為，速度。碰后速度，分別設(shè)為。碰撞過程中無外力做功，動(dòng)量守恒。①有恢復(fù)系數(shù)②聯(lián)立①②得再由質(zhì)點(diǎn)組質(zhì)心的定義：為質(zhì)心對(duì)固定點(diǎn)位矢，，分別為，對(duì)同一固定點(diǎn)的位矢所以〔質(zhì)點(diǎn)組不受外力，所以質(zhì)心速度不變。〕設(shè)兩球碰撞后相對(duì)質(zhì)心的速度，。〔負(fù)號(hào)表示與相反〕同理，碰撞前兩球相對(duì)質(zhì)心的速度〔負(fù)號(hào)表示方向與相反〕所以開場時(shí)兩球相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)能：==用機(jī)械能守恒方法；在鏈條下滑過程中，只有保守力重力做功，所以鏈條的機(jī)械能守恒。以桌面所平面為重力零勢(shì)能面。有2.14此類題為變質(zhì)量問題，我們一般研究運(yùn)動(dòng)過程中質(zhì)量的變化與力的關(guān)系以豎直向上我軸正向建設(shè)如題2.14.1圖所示坐標(biāo)。繩索離地面還剩長時(shí)受重力那么所以求地板的壓力，有牛頓第三定律知，只需求出地板對(duì)繩索的支持力即可，它們是一對(duì)作用力與反作用力。這是我們以快要落地的一小微元作為研究對(duì)象。它的速度由變?yōu)?。用動(dòng)量守恒，有==又因?yàn)?2.15解這是一道變質(zhì)量的問題，對(duì)于此類問題，我們由書上p.137的〔2.7.2〕式①來分析。以機(jī)槍后退方向作為軸爭先，建設(shè)如題2.15.1圖的坐標(biāo)。豎直方向上支持力與重力是一對(duì)平衡力。水平方向上所受合外力F即為摩擦力②單位時(shí)間質(zhì)量的變化③由①②式所以2.16解這是一個(gè)質(zhì)量增加的問題。雨滴是此題。導(dǎo)致雨滴變化的微元的速度。所以我們用書上p.138的〔2.7.4〕式分析①雨滴的質(zhì)量變化是一類比較特殊的變質(zhì)量問題。我們知道處理這類問題常常理想化模型的幾何形狀。對(duì)于雨滴我們?？闯汕蛐?，設(shè)其半徑為，那么雨滴質(zhì)量是與半徑的三次方成正比〔密度看成一致不變的〕。②有題目可知質(zhì)量增加率與外表積成正比。即③為常數(shù)。我們對(duì)②式兩邊求導(dǎo)④由于③=④，所以⑤對(duì)⑤式兩邊積分⑥⑦以雨滴下降方向?yàn)檎较颍瑢?duì)①式分析⑧〔為常數(shù)〕當(dāng)時(shí)，，所以2.17證這是變質(zhì)量問題中的減質(zhì)量問題，我們?nèi)杂脮蟨.137(2.7.2)式①來分析。設(shè)空火箭質(zhì)量，燃料質(zhì)量。以向上為正方向，那么火箭任一時(shí)刻的質(zhì)量②噴氣速度2074是指相對(duì)火箭的速度，即。有①式化簡對(duì)兩邊積分㏑③此既火箭速度與時(shí)間的關(guān)系。當(dāng)火箭燃料全部燃盡所用時(shí)間，由題意知④代入③可得火箭最終的速度，〔即速度的最大值〕.考慮到其中，易知當(dāng)時(shí)，恒成立，即為的增函數(shù)。又當(dāng)時(shí)，=11.25而要用此火箭發(fā)射人造太陽行星需要的速度至少應(yīng)為第二宇宙速度。故所攜帶燃料重量至少是空火箭重量的300倍。2.18證要使火箭上升，必須有發(fā)動(dòng)機(jī)推力火箭的重量，即即火箭才能上升，結(jié)論得證。由于噴射速度是常數(shù)，單位時(shí)間放出的質(zhì)量質(zhì)量變化是線性規(guī)律①火箭飛行速度②又因?yàn)槿剂先紵龝r(shí)間③代入②得火箭最大速度=又因?yàn)棰谑接挚梢詫懗煞e分可得④從開場到燃燒盡這一段時(shí)間內(nèi)火箭上升高度。把③代入④得之后火箭作初速度為的豎直上拋運(yùn)動(dòng)。可達(dá)高度故火箭能到達(dá)的最大高度=2.19證假設(shè)該行星做橢圓運(yùn)動(dòng)，質(zhì)量為，周期為。某一時(shí)刻位置為，速度為，那么=-又因?yàn)橛谑?第三章剛體力學(xué)第三章習(xí)題解答3.1解如題3.1.1圖。均質(zhì)棒受到碗的彈力分別為，棒自身重力為。棒與水平方向的夾角為。設(shè)棒的長度為。由于棒處于平衡狀態(tài)，所以棒沿軸和軸的和外力為零。沿過點(diǎn)且與軸平行的合力矩為0。即：①②③由①②③式得：④又由于即⑤將⑤代入④得：3.2解如題3.2.1圖所示，均質(zhì)棒分別受到光滑墻的彈力，光滑棱角的彈力，及重力。由于棒處于平衡狀態(tài)，所以沿方向的合力矩為零。即①由①②式得：所以3.3解如題3.3.1圖所示。棒受到重力。棒受到的重力。設(shè)均質(zhì)棒的線密度為。由題意可知，整個(gè)均質(zhì)棒沿軸方向的合力矩為零。3.4解如題3.4.1圖。軸豎直向下，一樣的球、、互切，、切于點(diǎn)。設(shè)球的重力大小為，半徑為，那么對(duì)、、三個(gè)球構(gòu)成的系統(tǒng)來說，在軸方向的合力應(yīng)為零。即：①對(duì)于球，它相對(duì)于過點(diǎn)與軸平行的軸的合力矩等于零。即：②由式得：3.5解如題3.5.1圖。梯子受到地面和墻的彈力分別為，，受地面和墻的摩擦力分別為，。梯子和人的重力分別為，且。設(shè)梯長為，與地面夾角為。由于梯子處于平衡，所以①②且梯子沿過點(diǎn)平行于軸的合力矩為零。即：③又因梯子是一個(gè)剛體。當(dāng)一端滑動(dòng)時(shí)，另一端也滑動(dòng)，所以當(dāng)梯與地面的傾角到達(dá)最小時(shí)，④⑤由①②③④⑤得：所以3.6解〔a〕取二原子的連線為軸，而軸與軸通過質(zhì)心。為質(zhì)心，那么，，軸即為中心慣量主軸。設(shè)、的坐標(biāo)為，因?yàn)闉橘|(zhì)心〔如題3.6.2圖〕故①且②由①②得所以中心慣量主軸：〔b〕如題3.6.3圖所示，該原子由、、三個(gè)原子構(gòu)成。為三個(gè)原子分子的質(zhì)心。由對(duì)稱性可知，圖中、、軸即為中心慣量主軸。設(shè)、、三原子的坐標(biāo)分別為，因?yàn)闉榉肿拥馁|(zhì)心。所以=①又由于②③由①②③得：故該分子的中心主轉(zhuǎn)動(dòng)慣量3.7解如題3.7.1圖所示。沿軸平行于平切橢球得切面為一橢圓，那么該橢圓方程為：可求該切面的面積故積分同理可求故中心主轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：又由于橢球體積故將代入得：3.8解設(shè)表示距球心為的一薄球殼的質(zhì)量，那么所以該球?qū)η蛐牡霓D(zhuǎn)動(dòng)慣量①在對(duì)稱球中，繞直徑轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量②又球的質(zhì)量③又繞直徑的回轉(zhuǎn)半徑④由①②③④得3.9解如題3.9.1圖所示坐標(biāo)系。為正方體中心。、、分別與正方體的邊平行。由對(duì)稱性可知，、、軸就是正方體的中心慣量主軸。設(shè)正方體的邊長為。設(shè)為平行于軸的一小方條的體積，那么正方體繞軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量根據(jù)對(duì)稱性得易求正方體的對(duì)角線與、、軸的夾角都為。且故正方體繞對(duì)角線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量①又由于②繞對(duì)角線的回轉(zhuǎn)半徑③由①②③得3.10解如題3.10.1圖。軸過點(diǎn)垂直紙面向外。均質(zhì)圓盤的密度為。設(shè)盤沿順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，那么沿的方向有即①為轉(zhuǎn)盤繞軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：〔為盤的質(zhì)量〕，②〔為盤轉(zhuǎn)動(dòng)的角頻率，負(fù)號(hào)因?yàn)橐?guī)定順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)〕=③由①②③得又因?yàn)楣仕缘?.11解如題3.11.1圖所示，設(shè)軸通過點(diǎn)垂直紙面指向外。那么對(duì)軸有：設(shè)通風(fēng)機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度大小為，由于通風(fēng)機(jī)順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)。所以，將代入上式得：。又由于，解得：故當(dāng)時(shí)，㏑。又由于〔為通風(fēng)機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)的角度〕設(shè)，故當(dāng)㏑時(shí)，，時(shí)間內(nèi)通風(fēng)機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)數(shù)3.12解如題3.12.1圖，第3.12.1圖坐標(biāo)與薄片固連，那么沿軸方向有：且①現(xiàn)取如圖陰影局部的小區(qū)域，該區(qū)域受到的阻力對(duì)軸的力矩所以②又薄片對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量③由①②③得：當(dāng)時(shí)，3.13解如題3.13.1圖所示，坐標(biāo)系的原點(diǎn)位于圓弧最頂點(diǎn)。設(shè)圓弧平衡時(shí)，質(zhì)心的坐標(biāo)為。如以下列圖圓弧偏離平衡位置一小角度，那么滿足微分方程為圓弧相對(duì)于軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。當(dāng)很小時(shí)，，代入上式得：①圓弧上對(duì)應(yīng)轉(zhuǎn)角為的一小段圓弧的坐標(biāo)為質(zhì)心的縱坐標(biāo)上式中為圓弧的線密度②又③其中，將②③代入①得④解④式得通解微振動(dòng)周期3.14解如題3.14.1圖所示坐標(biāo)系。由動(dòng)量定理及動(dòng)量矩定理得：①②③其中又根據(jù)機(jī)械能守恒定律得：④由①②③④解得：3.15解如題3.15.1圖所示坐標(biāo)系。由于球作無滑滾動(dòng)，球與地面的接觸的速度與地面一致，等于零，所以點(diǎn)為轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心。以為基點(diǎn)。設(shè)球的角速度，那么設(shè)輪緣上任意一點(diǎn)，與軸交角為，那么故當(dāng)時(shí)，得最高點(diǎn)的速度當(dāng)和時(shí)分別得到最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的加速度3.16解如題3.16.1圖所示，由題意知該時(shí)刻瞬心一定處在的垂線中。設(shè)瞬心為。那么易知的方向如圖，在中即為與邊的夾角大小。3.17解如題3.17.1圖所示，點(diǎn)為極軸的原點(diǎn)，極軸過點(diǎn)，所以在桿上任意一點(diǎn)。設(shè)。設(shè)的坐標(biāo)為再來求瞬心的軌跡。由于點(diǎn)速度沿弧面，點(diǎn)的速度沿桿?，F(xiàn)分別作與的垂線交于點(diǎn)，那么即為瞬心〔見題3.17.1圖〕。當(dāng)點(diǎn)的極角為時(shí)，易知點(diǎn)的極角，故點(diǎn)的極徑易證明為等腰三角形。有又因?yàn)椹?，所以?。所以點(diǎn)軌跡位于軸上方，半徑為的半圓，如圖虛線所示。3.18解如題3.18.1圖所示。由于圓盤作無滑滾動(dòng)，所以為圓盤的瞬心，故，設(shè)圓盤勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為，那么①因?yàn)辄c(diǎn)的速度沿地面水平向右，分別作和的垂線交于點(diǎn)，那么點(diǎn)即為桿的瞬心。且得由幾何知識(shí)可知與豎直方向夾角為，又知又，所以②又。即：得③④由①②③④解得：3.19解如題3.19.1圖，固定坐標(biāo)系。桿從水平位置擺到豎直位置過程中只有重力做功，故機(jī)械能守恒。設(shè)此時(shí)的角速度為，那么右邊第一項(xiàng)為質(zhì)心運(yùn)動(dòng)動(dòng)能，第二項(xiàng)為桿繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能。解上式得：在桿脫離懸點(diǎn)后，根據(jù)動(dòng)量定理和動(dòng)量矩定理：①②③③式中為桿繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，為沿過質(zhì)心平行于軸的合力矩，易知，又，代入③式得即桿將作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)。解①②得④所以質(zhì)心的軌跡為一拋物線。故當(dāng)時(shí)，桿的質(zhì)心下降，代入④式得故時(shí)間內(nèi)桿的轉(zhuǎn)數(shù)3.20解如題3.20.1圖，設(shè)圓柱體的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為，設(shè)它受到地面的摩擦力為，由動(dòng)量定理和動(dòng)量矩定理知：①②對(duì)于滑塊。由動(dòng)量定理知：③④以為基點(diǎn)：假設(shè)繩不可拉伸。那么。故⑤由①②③④⑤解得：3.21解〔1〕如題3.21.1圖。設(shè)軸過點(diǎn)垂直紙面向外。繩子上的彈力為。對(duì)于飛輪，根據(jù)動(dòng)量矩定理，在軸方向：①②為物塊下落的加速度。因?yàn)槲飰K的加速度應(yīng)與點(diǎn)加速度一樣大小，故③由①②③解得：〔2〕假假設(shè)飛輪受到的阻尼力矩為的話，由〔1〕問知，飛輪的角加速度?，F(xiàn)在來求繩子脫落以后飛輪的角加速度。同樣根據(jù)動(dòng)量矩，在軸方向：可以證明：類似于位移、加速度、初速度和末速度之間的關(guān)系式。角位移、角加速度、角初速度、角末速度之間也有類似的關(guān)系：④對(duì)于繩子脫落到停頓轉(zhuǎn)動(dòng)的過程有：⑤④⑤式中指繩子脫落時(shí)飛輪的角加速度，由④⑤解得：3.22解如題3.22.1圖。軸與速度方向一致，軸垂直紙面向外。設(shè)球的半徑為，那么球繞任一直徑的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。由動(dòng)量定理和動(dòng)量矩定理可知：①②③④由①②③④得：設(shè)球與板的接觸點(diǎn)為，那么時(shí)刻點(diǎn)的速度為：⑤⑥球由滑動(dòng)變?yōu)闈L動(dòng)的條件是：⑦由⑤⑥⑦解得：3.23解如題3.23.1圖所示。設(shè)圓柱的半徑為，與木板之間的摩擦力為，彈力為，木板受地面的摩擦力為，彈力為，對(duì)木板由動(dòng)量定理得：①②對(duì)圓柱，由角動(dòng)量定理和動(dòng)量定理得：③④⑤其中為圓柱繞中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，所以⑥⑦無滑滾動(dòng)的條件：⑧由①～⑧式解得3.24解如題3.24.1圖，坐標(biāo)不與圓柱固連，是固定坐標(biāo)系。由于﹥，所以圓柱與斜面接觸的邊緣有相對(duì)與斜面向上的運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)，所以斜面對(duì)圓柱的摩擦力沿斜面向下。對(duì)圓柱：①②③④由①②③④式得設(shè)從到的過程中，圓柱的速度從變到，角速度從變到，所以3.25解如題3.25.1圖。設(shè)大球和小球的半徑分別為，。分別為大球和小球的球心，為方向豎直向下的定線，為小球上的一動(dòng)線。當(dāng)小球位于大球頂端時(shí)，與重合。設(shè)，與豎直方向的夾角為，根據(jù)無滑條件：①②③④⑤從最高點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到圖示位置過程中，機(jī)械能守恒，即⑥⑦由①～⑦解得如題3.26.1圖所示坐標(biāo)系。設(shè)桿的長度為，質(zhì)量為。受到墻和地面的作用力分別為，當(dāng)桿與地面的傾斜角為時(shí)，質(zhì)心的坐標(biāo)為：對(duì)上兩式求時(shí)間導(dǎo)數(shù)，的質(zhì)心的速度和加速度：①②③④由②③④得⑤對(duì)⑤式求時(shí)間導(dǎo)數(shù)得⑥又由動(dòng)量定理⑦當(dāng)桿脫離墻時(shí)，有⑧由①⑤⑥⑦⑧得⑨所以3.27解如題3.27.1圖，設(shè)為桿與地面的傾角，為桿脫離墻時(shí)的值。設(shè)桿脫離墻時(shí)，桿的角速度為橫縱速度分別為當(dāng)桿落地時(shí)，質(zhì)心的橫縱速度分別為桿的角速度為。當(dāng)由變?yōu)?的過程中，機(jī)械能守恒：①又因?yàn)榇诉^程中桿已離開墻，所以桿在水平方向受力為零，故質(zhì)心水平方向勻速，即②又點(diǎn)只有水平方向的速度，根據(jù),知當(dāng)桿落地時(shí)，與有如下關(guān)系：③且由3.26題式①得：④將②③④代入①得：⑤由3.26題式⑤⑨得⑥⑦將⑥⑦代入⑤得3.28解如題3.28.1圖。對(duì)圓柱有如下基本運(yùn)動(dòng)微分方程：①②③④⑤由①②③④得⑥將⑤代入⑥得3.29解如題3.29.1圖。設(shè)斜面的傾角為，實(shí)心球或球殼的質(zhì)量為，半徑為，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，那么可列出以下方程：①②又有無滑動(dòng)條件③由①②③式得④⑤⑥將⑤⑥代入④得⑦對(duì)初速為0的勻加速運(yùn)動(dòng)，時(shí)間，加速度，位移有如下關(guān)系：⑧當(dāng)時(shí)，將⑦代入⑧得：故實(shí)心球滾得快些。3.30解如題3.30.1土圖以為軸。為軸。建設(shè)與碾輪一起轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)坐標(biāo)系，設(shè)碾輪繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度，水平軸的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為。所以點(diǎn)的合角速度為又因?yàn)辄c(diǎn)和點(diǎn)的速度為0，所以即為瞬時(shí)軸。設(shè)與地面成夾角，由于沿瞬時(shí)軸方向，所以：故第四章轉(zhuǎn)動(dòng)參考系第四章習(xí)題解答4.1解如題4.1.1圖所示.坐標(biāo)系的原點(diǎn)位于轉(zhuǎn)動(dòng)的固定點(diǎn)，軸沿軸與角速度的方向一致，即設(shè)點(diǎn)沿運(yùn)動(dòng)的相對(duì)速度為那么有題意得：故在點(diǎn)時(shí)的絕對(duì)速度設(shè)與軸的夾角為，那么故與邊的夾角為，且指向左上方。點(diǎn)時(shí)絕對(duì)速度設(shè)的夾角為，那么,故與邊的夾角為，且指向左下方。4.2解如題4.2.1圖所示，以轉(zhuǎn)動(dòng)的方向?yàn)闃O角方向建設(shè)坐標(biāo)系。軸垂直紙面向外，設(shè)點(diǎn)相對(duì)速度①設(shè)絕對(duì)速度的量值為常數(shù)，那么：②對(duì)②式兩邊同時(shí)球時(shí)間導(dǎo)數(shù)得：依題意故解得通解當(dāng)時(shí)，，將其帶入①式游客的知：時(shí)，即最后有4.3解如題4.3.1圖所示，直角坐標(biāo)的原點(diǎn)位于圓錐頂點(diǎn)軸過圓錐的對(duì)稱軸.點(diǎn)在軸上對(duì)應(yīng)的一點(diǎn)，且有，所以點(diǎn)的絕對(duì)加速度：最后有4.4解如題4.4.1圖所示，題4.4.1圖坐標(biāo)系是以軸轉(zhuǎn)動(dòng)的坐標(biāo)系.圖中畫出的是曲線的一段，在任意一點(diǎn)處，假設(shè)某質(zhì)點(diǎn)在此處靜止，那么該質(zhì)點(diǎn)除了受重力、鋼絲的約束力之外，還會(huì)受慣性離心力的作用，，方向沿軸正向，在作用下，致信處于平衡狀態(tài)，那么有①②有①得③又因?yàn)檫^原點(diǎn).對(duì)上式積分得拋物線有③得將代入②的反作用力4.5以直管為參照系，方向沿管，沿豎直軸建設(shè)坐標(biāo)系，那么小球受力為：故沿方向運(yùn)動(dòng)的微分方程為：①有初始條件：可得①式解為故當(dāng)邱剛離開管口時(shí)，即時(shí).那么得所以此時(shí)：故當(dāng)球剛要離開管口時(shí)的相對(duì)速度為，絕對(duì)速度為，小球從開場運(yùn)動(dòng)到離開管口所需時(shí)間為4.6解以光滑細(xì)管為參考系，沿管，沿水平軸建設(shè)坐標(biāo)系，如題4.6.1圖所示，那么小球受力為：故沿方向運(yùn)動(dòng)的微分方程為：①方程的通解而方程①的特解為：故方程①的通解為：初始條件為當(dāng)時(shí)，故可得所以質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于管的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為：4.7解以水平細(xì)管為參考系，沿管，沿豎直轉(zhuǎn)動(dòng)軸向上建設(shè)坐標(biāo)系，如題圖4.7.1圖所示那么易得質(zhì)點(diǎn)反方向的運(yùn)動(dòng)微分方程為：①②將方程①②作簡單變換可得：化簡得其通解為：初始條件為：故可得：故4.8解以拋物線形金屬絲為參照物沿拋物線在頂點(diǎn)的切線方向，沿豎直軸建設(shè)坐標(biāo)系，那么小環(huán)的運(yùn)動(dòng)微分方程為：①②故代入①②得化簡即得4.9解一當(dāng)小環(huán)相對(duì)平衡時(shí)，由上題可知即要求為常數(shù)，故故解二以地面為參照系，那么小球受力，如圖4-8所示.其中為固定地面的坐標(biāo)系，故平衡時(shí)有：4.10解以地面為參考系，那么小環(huán)的運(yùn)動(dòng)微分方程為：其中為與圓心的連線和通過點(diǎn)的直徑間所夾的角化簡得4.11解以地面為非慣性參考系，建設(shè)坐標(biāo)系，指正南，豎直向上，發(fā)射點(diǎn)為原點(diǎn)，炮彈的運(yùn)動(dòng)微分方程為：①②③初始條件為故將①②③積分一次代入初始條件后得：④⑤⑥有⑥可得落地時(shí)間：⑦其中所以將展開可得由式及初始條件可得所以炮彈落地時(shí)的橫向偏離為4.12解以地面為非慣性，建設(shè)坐標(biāo)系指向正南，豎直向上，上拋點(diǎn)為原點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程為：①初始條件為：如上題同理可得②③④代入①式得有④式求出落地時(shí)間為：有③式得：將代入得復(fù)落至地面時(shí)：第五章分析力學(xué)第五章習(xí)題解答5.1解如題5.1.1圖桿受理想約束，在滿足題意的約束條件下桿的位置可由桿與水平方向夾角所唯一確定。桿的自由度為1，由平衡條件：即mgy=0①變換方程y=2rcossin-=rsin2②故③代回①式即因在約束下是任意的，要使上式成立必須有：rcos2-=0④又由于cos=故cos2=代回④式得5.2解如題5.2.1圖三球受理想約束，球的位置可以由確定，自由度數(shù)為1，故。得由虛功原理故①因在約束條件下是任意的，要使上式成立，必須故②又由得：③由②③可得5.3解如題5.3.1圖，在相距2a的兩釘處約束反力垂直于虛位移，為理想約束。去掉繩代之以力T，且視為主動(dòng)力后采用虛功原理，一確定便可確定ABCD的位置。因此自由度數(shù)為1。選為廣義坐。由虛功原理：w①又取變分得代入①式得：化簡得②設(shè)因在約束條件下任意，欲使上式成立，須有：由此得5.4解自由度，質(zhì)點(diǎn)位置為。由①由得故②約束方程③聯(lián)立②③可求得或又由于故或5.5解如題5.5.1圖按題意僅重力作用，為保守系。因?yàn)椋士烧J(rèn)為自由度為1.選廣義坐標(biāo)，在球面坐標(biāo)系中，質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能：由于所以又由于故取Ox為零勢(shì)，體系勢(shì)能為：故力學(xué)體系的拉氏函數(shù)為：5.6解如題5.6.1圖.平面運(yùn)動(dòng)，一個(gè)自由度.選廣義坐標(biāo)為，廣義速度因未定體系受力類型，由一般形式的拉格朗日方程①在廣義力代入①得：②在極坐標(biāo)系下：③故將以上各式代入②式得5.7解如題5.7.1圖又由于所以①取坐標(biāo)原點(diǎn)為零勢(shì)面②拉氏函數(shù)③代入保守系拉格朗日方程得代入保守系拉格朗日方程得5.8解：如圖5.8.1圖.(1)由于細(xì)管以勻角速轉(zhuǎn)動(dòng)，因此=可以認(rèn)為質(zhì)點(diǎn)的自由度為1.(2)取廣義坐標(biāo).(3)根據(jù)極坐標(biāo)系中的動(dòng)能取初始水平面為零勢(shì)能面，勢(shì)能:拉氏函數(shù)①(4)，代入拉氏方程得：(5)先求齊次方程的解.②特解為故①式的通解為③在時(shí)：④⑤聯(lián)立④⑤得將代回式③可得方程的解為：5.9解如題5.9.1圖.〔1〕按題意為保守力系，質(zhì)點(diǎn)被約束在圓錐面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，故自有度數(shù)為2.〔2〕選廣義坐標(biāo)，.〔3〕在柱坐標(biāo)系中：以面為零勢(shì)能面，那么：拉氏函數(shù)-①〔4〕因?yàn)椴伙@含，所以為循環(huán)坐標(biāo)，即常數(shù)②對(duì)另一廣義坐標(biāo)代入保守系拉氏方程③有得④所以此質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程為〔為常數(shù)〕所以5.10解如題5.10.1圖.〔1〕體系自由度數(shù)為2.〔2〕選廣義坐標(biāo)〔3〕質(zhì)點(diǎn)的速度劈的速度故體系動(dòng)能以面為零勢(shì)面，體系勢(shì)能：其中為劈勢(shì)能.拉氏函數(shù)①〔4〕代入拉格郎日方程得：②代入拉格郎日方程得③聯(lián)立②，③得5.11解如題5.11.1圖〔1〕本系統(tǒng)內(nèi)雖有摩擦力，但不做功，故仍是保守系中有約束的平面平行運(yùn)動(dòng)，自由度〔2〕選取廣義坐標(biāo)〔3〕根據(jù)剛體力學(xué)其中繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)慣量選為零勢(shì)面，體系勢(shì)能：其中C為常數(shù).拉氏函數(shù)(4)代入保守系拉氏方程得：對(duì)于物體，有5.12解如題5.12.1圖.〔1〕棒作平面運(yùn)動(dòng)，一個(gè)約束，故自由度.〔2〕選廣義坐標(biāo)〔3〕力學(xué)體系的動(dòng)能根據(jù)運(yùn)動(dòng)合成又故設(shè)為繞質(zhì)心的回轉(zhuǎn)半徑，代入①得動(dòng)能②〔4〕由③〔其中〕那么④因?yàn)椤⒃诩s束條件下任意且獨(dú)立，要使上式成立，必須：⑤〔5〕代入一般形式的拉氏方程得：⑥又代入一般形式的拉氏方程得：⑦⑥、⑦兩式為運(yùn)動(dòng)微分方程〔6〕假設(shè)擺動(dòng)角很小，那么，代入式得：，代入⑥⑦式得：⑧又故代入⑧式得：〔因?yàn)榻呛苄?，故可略去?xiàng)〕5.13解如題5.13.1圖(1)由于曲柄長度固定，自由度.(2)選廣義坐標(biāo)，受一力矩，重力忽略，故可利用基本形式拉格朗日方程：①(3)系統(tǒng)動(dòng)能②〔4〕由定義式③〔5〕代入①得：得5.14.解如題5.14.1圖.〔1〕因體系作平面平行運(yùn)動(dòng)，一個(gè)約束方程：(2)體系自由度，選廣義坐標(biāo).雖有摩擦，但不做功，為保守體系〔3〕體系動(dòng)能：輪平動(dòng)動(dòng)能輪質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能輪質(zhì)心動(dòng)能輪繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能.①以地面為零勢(shì)面，體系勢(shì)能