【走向高考】高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 122排列與組合課件（北師大）

考綱解讀1．理解排列、組合的概念．2．能利用計數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公式、組合數(shù)公式．3．能解決簡單的實際問題．考向預(yù)測1．排列、組合問題每年必考．2．以選擇題、填空題的形式考查，或在解答題中和概率相結(jié)合進行考查．3．以實際問題為背景以考查排列數(shù)、組合數(shù)為主，同時考查分類整合的思想及解決問題的能力．知識梳理1．排列(1)排列的定義：從n個

的元素中取出m(m≤n)個元素，按照一定的

排成一列，叫作從n個不同的元素中任意取出m個元素的一個排列．(2)排列數(shù)的定義：從n個不同的元素中取出m(m≤n)個元素的

的個數(shù)，叫做從n個不同的元素中取出m個元素的排列數(shù)，用Anm表示．(3)排列數(shù)公式：Anm＝

．不同順序所有排列n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(4)全排列：n個不同的元素全部取出的

，叫做n個不同元素的一個全排列，Ann＝n·(n－1)·(n－2)·…·2·1＝

.于是排列數(shù)公式寫成階乘的形式為

，這里規(guī)定0！＝

.排列n！12．組合(1)組合的定義：從n個

的元素中取出m(m≤n)個元素為

叫作從n個不同的元素中取出m(m≤n)個元素的一個組合．(2)組合數(shù)的定義：從n個不同的元素中取出m(m≤n)個元素的

的個數(shù)，叫做從n個不同的元素中取出m(m≤n)個元素的組合數(shù)，用Cnm表示．不同一組所有組合(4)組合數(shù)的性質(zhì)：①Cnm＝

；②Cn＋1m＝

＋

.11Cnn－mCnmCnm－1基礎(chǔ)自測1．(2010·四川文)由1、2、3、4、5組成沒有重復(fù)數(shù)字且1,2都不與5相鄰的五位數(shù)的個數(shù)是()A．36 B．32C．28 D．24[答案]

A[解析]

本題考查排列與組合知識．當5排在兩端時，有C21C21A33＝24種排法；當5不排在兩端，即放在3和4之間時，有A22A33＝12種排法．故共有24＋12＝36種排法．2．(2009·遼寧理)從5名男醫(yī)生、4名女醫(yī)生中選3名醫(yī)生組成一個醫(yī)療小分隊，要求其中男、女醫(yī)生都有，則不同的組隊方案共有()A．70種 B．80種C．100種 D．140種[答案]

A[解析]

考查排列組合有關(guān)知識．可分兩類，男醫(yī)生2名，女醫(yī)生1名或男醫(yī)生1名，女醫(yī)生2名，∴共有C52·C41＋C51·C42＝70種，∴選A.3．(2009·全國卷卷Ⅰ文)甲組有有5名男同同學(xué)，3名名女同學(xué)；；乙組有6名男同學(xué)學(xué)，2名女女同學(xué)．若若從甲、乙乙兩組中各各選出2名名同學(xué)，則則選出的4人中恰有有1名女同同學(xué)的不同同選法共有有()A．150種B．180種C．300種D．345種[答案]D4．(2010·遼寧理理)如果執(zhí)執(zhí)行右面的的程序框圖圖，輸入正正整數(shù)n，m，滿足n≥m，那么輸出出的p等于()A．Cnm－1B．Anm－1C．CnmD．Anm[答案]D[解析]由程序框圖圖知k＝1，p＝1，p＝1×(n－m＋1)k＝2，p＝(n－m＋1)(n－m＋2)??k＝m－1，p＝(n－m＋1)(nk＝m，p＝(n－m＋1)(n－m＋2)·…·(n－1)n＝Anm.5．將4名大學(xué)學(xué)生分配到3個鄉(xiāng)鎮(zhèn)去當當村官，每個個鄉(xiāng)鎮(zhèn)至少一一名，則不同同的分配方案案有________種種(用數(shù)字作作答)．[答案]36[解析]因為每個鄉(xiāng)鎮(zhèn)鎮(zhèn)至少一名，，所以有一個個鄉(xiāng)鎮(zhèn)有2名名的情況，假假設(shè)A鄉(xiāng)鎮(zhèn)有2名學(xué)學(xué)生，則有C42A22＝12(種)情況．所以不同的分分配方案共有有3×12＝36(種)情況6．2010年年廣州亞運會會火炬接力傳傳遞路線共分分6段，傳遞遞活動分別由由6名火炬手手完成，如[答案]

96[解析]

先安排最后一棒(A21)，再安排第一棒(A21)，最后安排中間四棒(A44)，∴不同的傳遞方案有A21A21A44＝96(種)．7．對某種產(chǎn)品品的6件不同同正品和4件件不同次品一一一進行測試試，直至區(qū)分分出所有次品品為止．若所所有次品恰好好在第5次測測試時被全部部發(fā)現(xiàn)，則這這樣的測試方方法有多少種種可能？[解析]恰好在第5次次把次品全部部發(fā)現(xiàn)，說明明第5次一定定是最后一個個次品．前4次共檢測了了三個次品，，一個正品．．所以可能的的測試方法有有C61C43A44＝576種．．[例1]解解方程或不等等式：(1)3Ax3＝2Ax＋12＋6Ax2；(2)A9x>6A6x－2；[分析]利用排列數(shù)、、組合數(shù)的定定義及公式求求解，注意定定義中m≤n條件的應(yīng)用．．[點評]在解有關(guān)排列列數(shù)、組合數(shù)數(shù)的方程或不不等式時，必必須熟練掌握握排列數(shù)、組組合數(shù)公式的的兩種形式．．注意Anm(Cnm)中的n必須為正整數(shù)數(shù)，m為非負整數(shù)，，且n≥m.由此求出方方程或不等式式的解后，要要進行檢驗，，把不符合要要求的解舍去去．(1)求值Cn5－n＋Cn＋19－n(2)證明恒恒等式Cn－1m＋Cn－2m＋…＋Cm＋1m＋Cmm＝Cnm＋1.∵n∈N∴n＝4或5.當n＝4時，原式式＝C41＋C55＝5.當n＝5時，原式式＝C50＋C64＝16.(2)證明：：左邊＝Cmm＋Cm＋1m＋Cm＋2m＋…＋Cn－2m＋Cn－1m＝(Cm＋1m＋1＋Cm＋1m)＋Cm＋2m＋…＋Cn－2m＋Cn－1m＝(Cm＋2m＋1＋Cm＋2m)＋…＋Cn－2m＋Cn－1m＝……＝(Cn－2m＋1＋Cn－2m)＋Cn－1m＝Cn－1m＋1＋Cn－1m＝Cnm＋1＝右邊.[例2]六六人按下列要要求站一橫排排，分別有多多少種不同的的站法？(1)甲不站站兩端；(2)甲、乙乙必須相鄰；；(3)甲、乙乙不相鄰；(4)甲、乙乙之間間隔兩兩人；(5)甲、乙乙站在兩端；；(6)甲不站站左端，乙不不站右端．[分析]本題主要考查查有限制條件件的排列應(yīng)用用題的解法及及分類討論的的思想和分析析問題、解決決問題的能力力．[解析](1)方法一一要使甲不不站在兩端，，可先讓甲在在中間4個位位置上任選1個，有A41種站法，然后后其余5人在在另外5個位位置上作全排排列有A55種站法，根據(jù)據(jù)分步乘法計計數(shù)原理，共共有站法：A41·A55＝480(種種)．方法二由于于甲不站兩端端，這兩個位位置只能從其其余5個人中中選2個人站站，有A52種站法，然后后中間4人有有A44種站法，根據(jù)據(jù)分步乘法計計數(shù)原理，共共有站法：A52·A44＝480(種種)．方法三若對對甲沒有限制制條件共有A66種站法，甲在在兩端共有2A55種站法，從總總數(shù)中減去這這兩種情況的的排列數(shù)，即即共有站法：：A66－2A55＝480(種種)．(2)方法一一先把甲、、乙作為一個個“整體”，看作一個人人，有A55種站法，再把把甲、乙進行行全排列，有有A22種站法，根據(jù)據(jù)分步乘法計計數(shù)原理，共共有A55·A22＝240(種種)站法．方法二先把把甲、乙以外外的4個人作作全排列，有有A44種站法，再再在5個空檔檔中選一個供供甲、乙放入入，有A51種方法，最后后讓甲、乙全全排列，有A22種方法，共有有A44·A51·A22＝240(種種)．(3)因為甲甲、乙不相鄰鄰，中間有隔隔檔，可用““插空法”，，第一步先讓讓甲、乙以外外的4個人站站隊，有A44種；第二步再再將甲、乙排排在4人形成成的5個空檔檔(含兩端)中，有A52種，故共有站站法為A44·A52＝480(種種)．也可用“間接法”，6個人全排排列有A66種站法，由(2)知甲、、乙相鄰有A55·A22＝240種站站法，所以不不相鄰的站法法有A66－A55·A22＝720－240＝480(種)．．(4)方法一一先將甲、、乙以外的4個人作全排排列，有A44種，然后將甲甲、乙按條件件插入站隊，，有3A22種，故共有A44·(3A22)＝144(種)站法．．方法二先從從甲、乙以外外的4個人中中任選2人排排在甲、乙之之間的兩個位位置上，有A42種，然后把甲甲、乙及中間間2人看作一一個“大”元素與余下2人作全排列列有A33種方法，最后后對甲、乙進進行排列，有有A22種方法，故共共有A42·A33·A22＝144(種種)站法．(5)方法一一首先考慮慮特殊元素，，甲、乙先站站兩端，有A22種，再讓其他他4人在中間間位置作全排排列，有A44種，根據(jù)分步步乘法計數(shù)原原理，共有A22·A44＝48(種種)站法．方法二首先先考慮兩端兩兩個特殊位置置，甲、乙乙去站，有A22種站法，然后后考慮中間4個位置，由由剩下的4人人去站，有A44種站法，由分分步乘法計數(shù)數(shù)原理共有A22·A44＝48(種)站法．(6)方法一一甲在左端端的站法有A55種，乙在右端端的站法有A55種，且甲在左左端而乙在右右端的站法有有A44種，共有A66－2A55＋A44＝504(種種)站法．方法二以元元素甲分類可可分為兩類：：①甲站右端有A55種，②甲在中間4個個位置之一，，而乙不在右右端有A41·A41·A44種，故共有A55＋A41·A41·A44＝504(種種)站法．[點評]排列問題本質(zhì)質(zhì)就是“元素素”占“位子子”問題，有限制制條件的排列列問題的限制制主要表現(xiàn)在在：某些元素素“排”或“不排”在哪個位子上上，某些元素素“相鄰”或“不相鄰”．對于這類問題題在分析時，，主要按“優(yōu)先”原則，即優(yōu)先先安排特殊元元素或優(yōu)先滿滿足特殊位子子，如本題(1)中的方方法一、方法法二．對于“相鄰”問題可用“捆綁法”，對“不相鄰”問題可用“插空法”，如本題(2)與(3)．當正面求求解較困難時時，也可用“間接法”，如本題(6)．(2011··江蘇南京一一模)有5個個同學(xué)排隊照照相，求：(1)甲、乙乙2個同學(xué)必必須相鄰的排排法有多少種種？(2)甲、乙乙、丙3個同同學(xué)互不相鄰鄰的排法有多多少種？(3)乙不能能站在甲前面面，丙不能站站在乙前面的的排法有多少少種？(4)甲不站站在中間位置置，乙不站在在兩端兩個位位置的排法有有多少種？[分析]本題是有限制制條件的排列列問題，它們們分別屬于相相鄰問題、不不相鄰問題、、順序一定問問題、在與不不在問題等模模型，應(yīng)采取取相應(yīng)的捆綁綁法、插空法法、直接法、、間接法、排排除法等求解解．[解析](1)這是典典型的相鄰問問題，采用捆捆綁法．先排排甲、乙，有有A22種方法，再與與其他3名同同學(xué)排列，共共有A22·A44＝48種不同同排法；(2)這是不不相鄰問題，，采用插空法法，先排其余余的2名同學(xué)學(xué)，有A22種排法，出現(xiàn)現(xiàn)3個空，將將甲、乙、丙丙插空，所以以共有A22·A33＝12種排法法．(3)這是順順序一定問題題，由于乙不不能站在甲前前面，丙不不能站在乙前前面，故3人人只能按甲、、乙、丙這一一種順序排列列．方法一：5人人的全排列共共有A55種，甲、乙、、丙3人全排排列有A33種，而3人按按甲、乙、丙丙順序排列是是全排列中的的一種，所以以共有 ＝20種排法．．方法二：采用用插空法，先先排甲、乙、、丙3人，只只有一種排法法，然后插入入1人到甲、、乙、丙中，，有4種插法法，再插入1人，有5種種插法，故故共有4×5＝20種排排法．(4)方法一一：(直接法法)若甲排在在了兩端的兩兩個位置之一一，甲有A21種，乙有A31種，其余3人人有A33種，所以共有有A21·A31·A33種；若甲排在在了第2和第第4兩個位置置中的一個，，有A21種，這時乙有有A21種，其余3人人有A33種，所以一共共有A21·A21·A33種，因此符合合要求的一共共有A21·A31·A33＋A21·A21·A33＝60種排法法．方法二：(間間接法)5個個人全排列有有A55種，其中甲站站在中間時有有A44種，乙站在兩兩端時有2A44種，且甲站中中間同時乙在在兩端的有2A33種，所以一共共有A55－A44－2A44＋2A33＝60種排法法．[點評]對于相鄰問題題，可以先將將這些要求相相鄰的元素作作為一個元素素與其他元素素進行排列，，同時要考慮慮相鄰元素的的內(nèi)部排列，，這稱為“捆綁法”；對于不相鄰鄰問題，可先先排其他元素素，然后將這這些要求不相相鄰的元素插插入空檔，這這稱為“插空法”；對于順序一一定的排列問問題，可先將將全部元素進進行全排列，，再除以要求求順序一定的的元素之間的的全排列數(shù).[例3]某某旅游團要從從8個風(fēng)景點點中選出兩個個風(fēng)景點作為為當天的游覽覽地，滿足下下面條件的選選法各有多少少種？(1)甲、乙乙兩個風(fēng)景點點至少選一個個；(2)甲、乙乙兩個風(fēng)景點點至多選一個個；(3)甲、乙乙兩個風(fēng)景點點必須選一個個且只能選一一個．[解析](1)解法一一甲、乙至至少選一個有有兩種情況：：甲、乙都選選有C22種，，或或者者甲甲、、乙乙兩兩個個中中只只選選一一個個有有C21C61種，，所所以以至至少少選選一一個個的的情情況況有有：：C22＋解法二甲、乙至少有一個可看成所有選法種數(shù)C82減去甲、乙都不選的種數(shù)C62，所以甲、乙至少選一個的種數(shù)為：C82－C62＝28－15＝13.(2)解解法法一一甲甲、、乙乙至至多多選選一一個個有有兩兩種種情情況況：：甲甲、、乙乙都都不不選選有有C62種選選法法或或者者甲甲、、乙乙兩兩個個中中只只選選一一個個，，有有C21C61，所所以以甲甲、、乙乙至至多多選選一一個個的的種種數(shù)數(shù)為為：：C62＋C21C61＝15＋＋12＝＝27.解法法二二甲甲、、乙乙至至多多選選一一個個可可看看成成所所有有選選法法種種數(shù)數(shù)C82減去去甲甲、、乙乙都都選選的的種種數(shù)數(shù)C22，所所以以甲甲、、乙乙至至多多選選一一個個的的種種數(shù)數(shù)為為：：C82－C22＝28－－1＝＝27.(3)甲甲、、乙乙必必須須選選一一個個且且只只能能選選一一個個的的種種數(shù)數(shù)為為：：C21C61＝12.[點點評評]對于于從從正正面面考考慮慮情情況況較較多多的的問問題題可可以以先先求求出出沒沒有有條條件件限限制制的的組組合合數(shù)數(shù)，，再再減減去去不不符符合合條條件件的的組組合合數(shù)數(shù)，，這這樣樣使使得得計計算算較較為為簡簡單單，，這這種種方方法法是是我我們們平平時時所所說說的的從從反反面面考考慮慮問問題題．．這這種種方方法法對對于于元元素素較較多多的的組組合合數(shù)數(shù)會會非非常常有有效效．．從7名名男男生生和和5名名女女生生中中選選取取5人人，，分分別別符符合合下下列列條條件件的的選選法法總總數(shù)數(shù)有有多多少少種種？？(1)A，B必須須當當選選；；(2)A，B必不不當當選選；；(3)A，B不全全當當選選；；(4)至至少少有有2名名女女生生當當選選；；(5)選選取取3名名男男生生和和2名名女女生生分分別別擔擔任任班班長長、、體體育育委委員員等等5種種不不同同的的工工作作，，但但體體育育委委員員必必須須由由男男生生擔擔任任，，班班長長必必須須由由女女生生擔擔任任．．[分析](1)(2)(3)屬屬于組合合問題，，可用直直接法，，(4)屬于組組合問題題，可用用間接法法，(5)屬于于先選后后排問題題，應(yīng)分分步完成成．[解析](1)由由于A，B必須當選選，那么么從剩下下的10人中選選取3人人即可，，∴C103＝120種．(2)從從除去A，B兩人的10人中中選5人人即可，，∴有C105＝252種．(3)全全部選法法有C125種，A，B全當選有有C103種，故A，B不全當選選有C125－C103＝672種．(4)注注意到““至少有有2名女女生”的的反面是是只有一一名女生生或沒有有女生，，故可用用間接法法進行．．∴有C125－C51·C74－C75＝596種選法法．(5)分分三步進進行：第一步：：選1男男1女分分別擔任任兩個職職務(wù)為C71·C51；第二步：：選2男男1女補補足5人人有C62·C41種；第三步：：為這3人安排排工作有有A33.由分步乘乘法計數(shù)數(shù)原理共共有C71·C51·C62·C41·A33＝12600種種選法．．[點評]在解組合合問題時時，常遇遇到至多多、至少少問題，，此時可可考慮用用間接法法求解以以減少運運算量．．如果同同一個問問題涉及及排列組組合問題題應(yīng)注意意先選后后排的原原則.[例4]按下下列要求求分配6本不同同的書，，各有多多少種不不同的分分配方式式？(1)分分成三份份，1份份1本，，1份2本，1份3本本；(2)甲甲、乙、、丙三人人中，一一人得1本，一一人得2本，一一人得3本；(3)平平均分成成三份，，每份2本；(4)平平均分配配給甲、、乙、丙丙三人，，每人2本；(5)分成成三份份，1份4本，，另外外兩份份每份份1本本；(6)甲、、乙、、丙三三人中中，一一人得得4本本，另另外兩兩人每每人得得1本本；(7)甲得得1本本，乙乙得1本，，丙得得4本本．[解析析]這是一一個分分配問問題，，解題題的關(guān)關(guān)鍵是是搞清清事件件是否否與順順序有有關(guān)，，對于于平均均分組組問題題更要要注意意順序序，避避免計計數(shù)的的重復(fù)復(fù)或遺遺漏．．(1)無序序不均均勻分分組問問題．．先選選1本本有C61種選法法，再再從余余下的的5本本中選選2本本有C52種選法法；最最后余余下3本全全選有有C33種方法法．故故共有有C61C52C33＝60種．．(2)有序序不均均勻分分組問問題．．由于于甲、、乙、、丙是是不同同的三三人，，在第第(1)題題基礎(chǔ)礎(chǔ)上，，還應(yīng)應(yīng)考慮慮再分分配，，共有有C61C52C33A33＝360種種．(3)無序序均勻勻分組組問題題．先先分三三步，，則應(yīng)應(yīng)是C62C42C22種方法法，但但是這這里出出現(xiàn)了了重復(fù)復(fù)．不不妨記記6本本書為為A、B、C、D、E、F，若第第一步步取了了AB，第二二步取取了CD，第三三步取取了EF，記該該種分分法為為(AB，CD，EF)，則則C62C42C22種分法法中還還有(AB、EF、CD)、(CD、AB、EF)、(CD，EF，AB)、(EF，CD，AB)、(EF，AB，CD)，共A33種情況，而而這A33種情況僅是是AB、CD、EF的順序不同同，因此只只能作為一一種分法，，故分配方方式有＝＝15種種．(7)直接接分配問題題．甲選1本有C61種方法，乙乙從余下5本中選1本有C51種方法，余余下4本留留給丙有C44種方法．共共有C61C51C44＝30種．．[點評]均勻分組與與不均勻分分組、無序序分組與有有序分組是是組合問題題的常見題題型．解決決此類問題題的關(guān)鍵是是正確判斷斷分組是均均勻分組還還是不均勻勻分組，有4個不同同的小球，，4個不同同的盒子，，現(xiàn)要把球球全部放進進盒子內(nèi)．．(1)恰有有1個盒子子不放球，，共有多少少種方法？？(2)恰有有2個盒子子不放球，，共有多少少種方法？？[分析]恰有1個空空盒，說明明必定有1個盒子內(nèi)內(nèi)要放入2個球，先先分組再排排列計算.4個球放放在2個盒盒子內(nèi)要注注意分類計計數(shù)．[解析](1)確定定1個空盒盒有C41種方法；選選2個球捆捆在一起有有C42種方法；把捆在一起起的2個小小球看成“一個”整體，則意意味著將3個球分別別放入3個個盒子內(nèi)，，有A33種方法．故共有C41C42A33＝144種種．[點評]解決排列、、組合綜合合題目，一一般是將符符合要求的的元素取出出(組合)或進行分分組，再對對取出的元元素或分好好的組進行行排列．其其中分組時時，要注意意“平均分分組”與“不平均分組組”的差異及分分類的標準準．1．排列數(shù)數(shù)公式和組組合數(shù)公式式都有階乘乘形式與乘乘積形式，，前者多用用于對含有有字母的式式子進行變變形與論證證，后者多多用于數(shù)字字計算，另另外要注意意公式自身身的條件．．2．對排列列、組合的的應(yīng)用題應(yīng)應(yīng)遵循兩個個原則：一一是按元素素的性質(zhì)進進行分類；；二是按事事件發(fā)生的的過程進行行分步．3．對于有有附加條件件的排列組組合應(yīng)用題題，通常從從三個途徑徑考慮：(1)以元元素為主考考慮，即先