【學(xué)海導(dǎo)航】高三數(shù)學(xué)第一輪總復(fù)習(xí) 6.2 均值不等式課件

第六章不等式16.2

均值不等式

考點(diǎn)搜索●利用基本不等式證明不等式●運(yùn)用重要不等式求最值●重要不等式在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用高考猜想在求函數(shù)的最值和實(shí)際問(wèn)題中運(yùn)用重要不等式，選擇題、填空題或解答題中均可能作為工具出現(xiàn).2

一、算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)定理1.若a＞0，b＞0，則稱(chēng)①_______為兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)，稱(chēng)②_______為兩個(gè)正數(shù)的幾何平均數(shù).2.如果a、b為實(shí)數(shù)，那么a2+b2≥2abab≤③_______，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號(hào).3.如果a、b為正實(shí)數(shù)，那么≤④_______，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào).3如果a+b為定值P,那么ab有最⑤____值，為⑥____;如果ab為定值S,那么a+b有最⑦_(dá)__值,為⑧____.這一結(jié)論稱(chēng)為均值定理.其應(yīng)用的三個(gè)條件依次為⑨_____、⑩_____、11_______.

二、不等式恒成立問(wèn)題不等式a≥f(x)恒成立，［f(x)］max存在12_______________，不等式a≤f(x)恒成立，［f(x)］min存在13_______________.大小一正二定三相等a≥［f(x)］maxa≤［f(x)］mix4

盤(pán)點(diǎn)指南：①;②;③;④;⑤大；⑥;⑦??；⑧;⑨一正；⑩二定；三相等；11

a≥［f(x)］max;12

a≤［f(x)］min5若x,y∈

,且x+y=s,xy=p,則下列命題中正確的是()A.當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，s有最小值B.當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，p有最大值C.當(dāng)且僅當(dāng)p為定值時(shí)，s有最小值D.若s為定值，則當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，p有最大值

解：由均值不等式易得答案為D.D6若x,y∈

,x+y≤4,則下列不等式中成立的是()

解：故選B.B7設(shè)a>0，b>0，則下列不等式中不成立的是()

解法1：由于是選擇題，可用特值法，如取a=4,b=1,代入各選項(xiàng)中的不等式,易判斷不成立.

解法2：可逐項(xiàng)使用均值不等式判斷不等式成立;8B.因?yàn)橄喑说贸闪?C.因?yàn)橛钟傻盟猿闪?D.因?yàn)?，所以所以即不成?故選D.91.今有一臺(tái)壞天平,兩臂長(zhǎng)不等,其余均精確.有人說(shuō)要用它稱(chēng)物體的重量,只需將物體放在左右托盤(pán)各稱(chēng)一次,則兩次稱(chēng)量結(jié)果的和的一半就是物體的真實(shí)重量,這種說(shuō)法對(duì)嗎?并說(shuō)明你的理由.

解：不對(duì).設(shè)左、右臂長(zhǎng)分別是l1,l2,物體放在左、右托盤(pán)稱(chēng)得重量分別為a,b，真實(shí)重量為G.題型1利用均值不等式比較代數(shù)式的大小10則由杠桿平衡衡原理有：l1·G=l2·b，①l2·G=l1·a.②①×②得G2=ab,所以.由于l1≠l2，故a≠b,由均值不等式式知知說(shuō)法不對(duì),真實(shí)重量是兩兩次稱(chēng)量結(jié)果果的幾何平均均值.點(diǎn)評(píng)：本題考查均值值不等式,杠桿平衡原理理知識(shí)及分析析問(wèn)題、解決決問(wèn)題的能力力，屬跨學(xué)科科(數(shù)學(xué)、物理)的創(chuàng)新問(wèn)題.均值不等式應(yīng)應(yīng)用的條件是是“一正二定定三相等”，，即兩個(gè)數(shù)都都為正數(shù)，兩兩個(gè)數(shù)的和或或積是定值，，有相等的可可取值.11已知a、b、c都是正正數(shù)，，且a+b+c=1.求證：：證明：：因?yàn)樗酝?，，有所以但由于?a+2≠≠1，所以以上式式不能能取等等號(hào).所以122.(1)已知x>0,y>0,且求求x+y的最小小值;(2)已知x<,求函數(shù)數(shù)的的最最大值值;(3)若x,y∈(0,+∞)且2x+8y-xy=0，求x+y的最小小值.解：(1)因?yàn)閤>0,y>0,所以題型2求函數(shù)數(shù)或代代數(shù)式式的最最值13當(dāng)且僅僅當(dāng)即即y=3x時(shí),上式等等號(hào)成成立.又所所以x=4,y=12時(shí)，(x+y)min=16.(2)因?yàn)閤<,所以5-4x>0,所以以當(dāng)且且僅僅當(dāng)當(dāng)即即x=1時(shí),上式式等等號(hào)號(hào)成成立立,故當(dāng)當(dāng)x=1時(shí)，，ymax=1.14(3)由2x+8y-xy=0，得得2x+8y=xy，所所以以所以以x+y=(x+y)()=10+=10+2()≥≥10+2××2=18,當(dāng)且且僅僅當(dāng)當(dāng)，，即即x=2y時(shí)取取等等號(hào)號(hào).又2x+8y-xy=0，所所以以x=12,y=6,所以以當(dāng)當(dāng)x=12,y=6時(shí)，，x+y取最最小小值值18.15點(diǎn)評(píng)評(píng)：：第(2)小題題是是一一類(lèi)類(lèi)應(yīng)應(yīng)用用均均值值不不等等式式求求分分式式型型函函數(shù)數(shù)的的最最值值的的題題型型，，此此類(lèi)類(lèi)問(wèn)問(wèn)題題求求解解中中注注意意變變形形配配湊湊成成兩兩個(gè)個(gè)正正數(shù)數(shù)的的和和式式(或積式)，且它們們的積(或和)式為定值值的形式式，然后后看能否否有相等等條件，，若有再再利用均均值不等等式得出出函數(shù)的的最值；；若沒(méi)有有，則利利用函數(shù)數(shù)的單調(diào)調(diào)性求解解.第(1)(3)小題可利利用已知知條件轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化為(2)的形式.1617183.若對(duì)任意意正實(shí)數(shù)數(shù)x、y,不等式恒恒成立立，則a的最小值值是.解：若不等式式恒成立立,則恒恒成立立.所以因?yàn)樗援?dāng)當(dāng)且且僅當(dāng)x=y時(shí)取等號(hào)號(hào).所以a≥，故amin=.題型3用均值不不等式求求解不等等式中的恒成立問(wèn)問(wèn)題19點(diǎn)評(píng)：求恒成立中中的問(wèn)題的的方法比較較多，本題題利用的是是分離變量量法：即一一邊為所求求參數(shù)a；另一邊是是其他參數(shù)數(shù)的式子，，然后求其其式子的最最值.從填空題的的角度來(lái)思思考，本題題也可以利利用對(duì)稱(chēng)式式的特點(diǎn)取取x=y=1，由此猜想想a的值.2021已知a、b、c∈R,求證：證明：因?yàn)樗酝?三式相加得得221.均值不等式式具有將““和式”轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化為“