【學(xué)海導(dǎo)航】高三數(shù)學(xué)第一輪總復(fù)習(xí) 6.2 均值不等式課件

第六章不等式16.2

均值不等式

考點(diǎn)搜索●利用基本不等式證明不等式●運(yùn)用重要不等式求最值●重要不等式在實(shí)際問題中的應(yīng)用高考猜想在求函數(shù)的最值和實(shí)際問題中運(yùn)用重要不等式，選擇題、填空題或解答題中均可能作為工具出現(xiàn).2

一、算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)定理1.若a＞0，b＞0，則稱①_______為兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)，稱②_______為兩個(gè)正數(shù)的幾何平均數(shù).2.如果a、b為實(shí)數(shù)，那么a2+b2≥2abab≤③_______，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號(hào).3.如果a、b為正實(shí)數(shù)，那么≤④_______，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào).3如果a+b為定值P,那么ab有最⑤____值，為⑥____;如果ab為定值S,那么a+b有最⑦_(dá)__值,為⑧____.這一結(jié)論稱為均值定理.其應(yīng)用的三個(gè)條件依次為⑨_____、⑩_____、11_______.

二、不等式恒成立問題不等式a≥f(x)恒成立，［f(x)］max存在12_______________，不等式a≤f(x)恒成立，［f(x)］min存在13_______________.大小一正二定三相等a≥［f(x)］maxa≤［f(x)］mix4

盤點(diǎn)指南：①;②;③;④;⑤大；⑥;⑦小；⑧;⑨一正；⑩二定；三相等；11

a≥［f(x)］max;12

a≤［f(x)］min5若x,y∈

,且x+y=s,xy=p,則下列命題中正確的是()A.當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，s有最小值B.當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，p有最大值C.當(dāng)且僅當(dāng)p為定值時(shí)，s有最小值D.若s為定值，則當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，p有最大值

解：由均值不等式易得答案為D.D6若x,y∈

,x+y≤4,則下列不等式中成立的是()

解：故選B.B7設(shè)a>0，b>0，則下列不等式中不成立的是()

解法1：由于是選擇題，可用特值法，如取a=4,b=1,代入各選項(xiàng)中的不等式,易判斷不成立.

解法2：可逐項(xiàng)使用均值不等式判斷不等式成立;8B.因?yàn)橄喑说贸闪?C.因?yàn)橛钟傻盟猿闪?D.因?yàn)?，所以所以即不成?故選D.91.今有一臺(tái)壞天平,兩臂長不等,其余均精確.有人說要用它稱物體的重量,只需將物體放在左右托盤各稱一次,則兩次稱量結(jié)果的和的一半就是物體的真實(shí)重量,這種說法對嗎?并說明你的理由.

解：不對.設(shè)左、右臂長分別是l1,l2,物體放在左、右托盤稱得重量分別為a,b，真實(shí)重量為G.題型1利用均值不等式比較代數(shù)式的大小10則由杠桿平衡衡原理有：l1·G=l2·b，①l2·G=l1·a.②①×②得G2=ab,所以.由于l1≠l2，故a≠b,由均值不等式式知知說法不對,真實(shí)重量是兩兩次稱量結(jié)果果的幾何平均均值.點(diǎn)評(píng)：本題考查均值值不等式,杠桿平衡原理理知識(shí)及分析析問題、解決決問題的能力力，屬跨學(xué)科科(數(shù)學(xué)、物理)的創(chuàng)新問題.均值不等式應(yīng)應(yīng)用的條件是是“一正二定定三相等”，，即兩個(gè)數(shù)都都為正數(shù)，兩兩個(gè)數(shù)的和或或積是定值，，有相等的可可取值.11已知a、b、c都是正正數(shù)，，且a+b+c=1.求證：：證明：：因?yàn)樗酝?，，有所以但由于?a+2≠≠1，所以以上式式不能能取等等號(hào).所以122.(1)已知x>0,y>0,且求求x+y的最小小值;(2)已知x<,求函數(shù)數(shù)的的最最大值值;(3)若x,y∈(0,+∞)且2x+8y-xy=0，求x+y的最小小值.解：(1)因?yàn)閤>0,y>0,所以題型2求函數(shù)數(shù)或代代數(shù)式式的最最值13當(dāng)且僅僅當(dāng)即即y=3x時(shí),上式等等號(hào)成成立.又所所以x=4,y=12時(shí)，(x+y)min=16.(2)因?yàn)閤<,所以5-4x>0,所以以當(dāng)且且僅僅當(dāng)當(dāng)即即x=1時(shí),上式式等等號(hào)號(hào)成成立立,故當(dāng)當(dāng)x=1時(shí)，，ymax=1.14(3)由2x+8y-xy=0，得得2x+8y=xy，所所以以所以以x+y=(x+y)()=10+=10+2()≥≥10+2××2=18,當(dāng)且且僅僅當(dāng)當(dāng)，，即即x=2y時(shí)取取等等號(hào)號(hào).又2x+8y-xy=0，所所以以x=12,y=6,所以以當(dāng)當(dāng)x=12,y=6時(shí)，，x+y取最最小小值值18.15點(diǎn)評(píng)評(píng)：：第(2)小題題是是一一類類應(yīng)應(yīng)用用均均值值不不等等式式求求分分式式型型函函數(shù)數(shù)的的最最值值的的題題型型，，此此類類問問題題求求解解中中注注意意變變形形配配湊湊成成兩兩個(gè)個(gè)正正數(shù)數(shù)的的和和式式(或積式)，且它們們的積(或和)式為定值值的形式式，然后后看能否否有相等等條件，，若有再再利用均均值不等等式得出出函數(shù)的的最值；；若沒有有，則利利用函數(shù)數(shù)的單調(diào)調(diào)性求解解.第(1)(3)小題可利利用已知知條件轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化為(2)的形式.1617183.若對任意意正實(shí)數(shù)數(shù)x、y,不等式恒恒成立立，則a的最小值值是.解：若不等式式恒成立立,則恒恒成立立.所以因?yàn)樗援?dāng)當(dāng)且且僅當(dāng)x=y時(shí)取等號(hào)號(hào).所以a≥，故amin=.題型3用均值不不等式求求解不等等式中的恒成立問問題19點(diǎn)評(píng)：求恒成立中中的問題的的方法比較較多，本題題利用的是是分離變量量法：即一一邊為所求求參數(shù)a；另一邊是是其他參數(shù)數(shù)的式子，，然后求其其式子的最最值.從填空題的的角度來思思考，本題題也可以利利用對稱式式的特點(diǎn)取取x=y=1，由此猜想想a的值.2021已知a、b、c∈R,求證：證明：因?yàn)樗酝?三式相加得得221.均值不等式式具有將““和式”轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化為“