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2021-2022高考數(shù)學模擬試卷注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚,將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時請按要求用筆。3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知函數(shù)滿足,設,則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件2.已知集合,,若AB,則實數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.3.已知集合(),若集合,且對任意的,存在使得,其中,,則稱集合A為集合M的基底.下列集合中能作為集合的基底的是()A. B. C. D.4.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,如果輸入,則輸出屬于()A. B. C. D.5.第24屆冬奧會將于2022年2月4日至2月20日在北京市和張家口市舉行,為了解奧運會會旗中五環(huán)所占面積與單獨五個環(huán)面積之和的比值P,某學生做如圖所示的模擬實驗:通過計算機模擬在長為10,寬為6的長方形奧運會旗內(nèi)隨機取N個點,經(jīng)統(tǒng)計落入五環(huán)內(nèi)部及其邊界上的點數(shù)為n個,已知圓環(huán)半徑為1,則比值P的近似值為()A. B. C. D.6.已知集合,,則()A. B. C. D.7.已知甲盒子中有個紅球,個藍球,乙盒子中有個紅球,個藍球,同時從甲乙兩個盒子中取出個球進行交換,(a)交換后,從甲盒子中取1個球是紅球的概率記為.(b)交換后,乙盒子中含有紅球的個數(shù)記為.則()A. B.C. D.8.設,為非零向量,則“存在正數(shù),使得”是“”的()A.既不充分也不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.充分不必要條件9.設,是兩條不同的直線,,是兩個不同的平面,給出下列四個命題:①若,,則;②若,,則;③若,,則;④若,,則;其中真命題的個數(shù)為()A. B. C. D.10.已知命題,且是的必要不充分條件,則實數(shù)的取值范圍為()A. B. C. D.11.根據(jù)散點圖,對兩個具有非線性關(guān)系的相關(guān)變量x,y進行回歸分析,設u=lny,v=(x-4)2,利用最小二乘法,得到線性回歸方程為=0.5v+2,則變量y的最大值的估計值是()A.e B.e2 C.ln2 D.2ln212.“中國剩余定理”又稱“孫子定理”,最早可見于中國南北朝時期的數(shù)學著作《孫子算經(jīng)》卷下第二十六題,叫做“物不知數(shù)”,原文如下:今有物不知其數(shù),三三數(shù)之剩二,五五數(shù)之剩三,七七數(shù)之剩二.問物幾何?現(xiàn)有這樣一個相關(guān)的問題:將1到2020這2020個自然數(shù)中被5除余3且被7除余2的數(shù)按照從小到大的順序排成一列,構(gòu)成一個數(shù)列,則該數(shù)列各項之和為()A.56383 B.57171 C.59189 D.61242二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.六位同學坐在一排,現(xiàn)讓六位同學重新坐,恰有兩位同學坐自己原來的位置,則不同的坐法有________種(用數(shù)字回答).14.已知圓,直線與圓交于兩點,,若,則弦的長度的最大值為___________.15.已知,在方向上的投影為,則與的夾角為_________.16.已知,復數(shù)且(為虛數(shù)單位),則__________,_________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在平面直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以原點為極點,軸的非負半軸為極軸,建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.(1)求曲線的極坐標方程以及曲線的直角坐標方程;(2)若直線與曲線、曲線在第一象限交于兩點,且,點的坐標為,求的面積.18.(12分)如圖中,為的中點,,,.(1)求邊的長;(2)點在邊上,若是的角平分線,求的面積.19.(12分)在直角坐標系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為,點的極坐標為.(1)求的直角坐標方程和的直角坐標;(2)設與交于,兩點,線段的中點為,求.20.(12分)已知函數(shù).(1)當時,求不等式的解集;(2)若的圖象與軸圍成的三角形面積大于6,求的取值范圍.21.(12分)如圖,在平面直角坐標系中,橢圓的離心率為,且過點.求橢圓的方程;已知是橢圓的內(nèi)接三角形,①若點為橢圓的上頂點,原點為的垂心,求線段的長;②若原點為的重心,求原點到直線距離的最小值.22.(10分)某企業(yè)為了了解該企業(yè)工人組裝某產(chǎn)品所用時間,對每個工人組裝一個該產(chǎn)品的用時作了記錄,得到大量統(tǒng)計數(shù)據(jù).從這些統(tǒng)計數(shù)據(jù)中隨機抽取了個數(shù)據(jù)作為樣本,得到如圖所示的莖葉圖(單位:分鐘).若用時不超過(分鐘),則稱這個工人為優(yōu)秀員工.(1)求這個樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù);(2)以這個樣本數(shù)據(jù)中優(yōu)秀員工的頻率作為概率,任意調(diào)查名工人,求被調(diào)查的名工人中優(yōu)秀員工的數(shù)量分布列和數(shù)學期望.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.B【解析】
結(jié)合函數(shù)的對應性,利用充分條件和必要條件的定義進行判斷即可.【詳解】解:若,則,即成立,若,則由,得,則“”是“”的必要不充分條件,故選:B.【點睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷,結(jié)合函數(shù)的對應性是解決本題的關(guān)鍵,屬于基礎題.2.D【解析】
先化簡,再根據(jù),且AB求解.【詳解】因為,又因為,且AB,所以.故選:D【點睛】本題主要考查集合的基本運算,還考查了運算求解的能力,屬于基礎題.3.C【解析】
根據(jù)題目中的基底定義求解.【詳解】因為,,,,,,所以能作為集合的基底,故選:C【點睛】本題主要考查集合的新定義,還考查了理解辨析的能力,屬于基礎題.4.B【解析】
由題意,框圖的作用是求分段函數(shù)的值域,求解即得解.【詳解】由題意可知,框圖的作用是求分段函數(shù)的值域,當;當綜上:.故選:B【點睛】本題考查了條件分支的程序框圖,考查了學生邏輯推理,分類討論,數(shù)學運算的能力,屬于基礎題.5.B【解析】
根據(jù)比例關(guān)系求得會旗中五環(huán)所占面積,再計算比值.【詳解】設會旗中五環(huán)所占面積為,由于,所以,故可得.故選:B.【點睛】本題考查面積型幾何概型的問題求解,屬基礎題.6.D【解析】
先求出集合B,再與集合A求交集即可.【詳解】由已知,,故,所以.故選:D.【點睛】本題考查集合的交集運算,考查學生的基本運算能力,是一道容易題.7.A【解析】分析:首先需要去分析交換后甲盒中的紅球的個數(shù),對應的事件有哪些結(jié)果,從而得到對應的概率的大小,再者就是對隨機變量的值要分清,對應的概率要算對,利用公式求得其期望.詳解:根據(jù)題意有,如果交換一個球,有交換的都是紅球、交換的都是藍球、甲盒的紅球換的乙盒的藍球、甲盒的藍球交換的乙盒的紅球,紅球的個數(shù)就會出現(xiàn)三種情況;如果交換的是兩個球,有紅球換紅球、藍球換藍球、一藍一紅換一藍一紅、紅換藍、藍換紅、一藍一紅換兩紅、一藍一紅換亮藍,對應的紅球的個數(shù)就是五種情況,所以分析可以求得,故選A.點睛:該題考查的是有關(guān)隨機事件的概率以及對應的期望的問題,在解題的過程中,需要對其對應的事件弄明白,對應的概率會算,以及變量的可取值會分析是多少,利用期望公式求得結(jié)果.8.D【解析】
充分性中,由向量數(shù)乘的幾何意義得,再由數(shù)量積運算即可說明成立;必要性中,由數(shù)量積運算可得,不一定有正數(shù),使得,所以不成立,即可得答案.【詳解】充分性:若存在正數(shù),使得,則,,得證;必要性:若,則,不一定有正數(shù),使得,故不成立;所以是充分不必要條件故選:D【點睛】本題考查平面向量數(shù)量積的運算,向量數(shù)乘的幾何意義,還考查了充分必要條件的判定,屬于簡單題.9.C【解析】
利用線線、線面、面面相應的判定與性質(zhì)來解決.【詳解】如果兩條平行線中一條垂直于這個平面,那么另一條也垂直于這個平面知①正確;當直線平行于平面與平面的交線時也有,,故②錯誤;若,則垂直平面內(nèi)以及與平面平行的所有直線,故③正確;若,則存在直線且,因為,所以,從而,故④正確.故選:C.【點睛】本題考查空間中線線、線面、面面的位置關(guān)系,里面涉及到了相應的判定定理以及性質(zhì)定理,是一道基礎題.10.D【解析】
求出命題不等式的解為,是的必要不充分條件,得是的子集,建立不等式求解.【詳解】解:命題,即:,是的必要不充分條件,,,解得.實數(shù)的取值范圍為.故選:.【點睛】本題考查根據(jù)充分、必要條件求參數(shù)范圍,其思路方法:(1)解決此類問題一般是把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系,然后根據(jù)集合之間關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式(組)求解.(2)求解參數(shù)的取值范圍時,一定要注意區(qū)間端點值的檢驗.11.B【解析】
將u=lny,v=(x-4)2代入線性回歸方程=-0.5v+2,利用指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)可得最大估計值.【詳解】解:將u=lny,v=(x4)2代入線性回歸方程=0.5v+2得:,即,當時,取到最大值2,因為在上單調(diào)遞增,則取到最大值.故選:B.【點睛】本題考查了非線性相關(guān)的二次擬合問題,考查復合型指數(shù)函數(shù)的最值,是基礎題,.12.C【解析】
根據(jù)“被5除余3且被7除余2的正整數(shù)”,可得這些數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列,然后根據(jù)等差數(shù)列的前項和公式,可得結(jié)果.【詳解】被5除余3且被7除余2的正整數(shù)構(gòu)成首項為23,公差為的等差數(shù)列,記數(shù)列則令,解得.故該數(shù)列各項之和為.故選:C.【點睛】本題考查等差數(shù)列的應用,屬基礎題。二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.135【解析】
根據(jù)題意先確定2個人位置不變,共有種選擇,再確定4個人坐4個位置,但是不能坐原來的位置,計算得到答案.【詳解】根據(jù)題意先確定2個人位置不變,共有種選擇.再確定4個人坐4個位置,但是不能坐原來的位置,共有種選擇,故不同的坐法有.故答案為:.【點睛】本題考查了分步乘法原理,意在考查學生的計算能力和應用能力.14.【解析】
取的中點為M,由可得,可得M在上,當最小時,弦的長才最大.【詳解】設為的中點,,即,即,,.設,則,得.所以,.故答案為:【點睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系的綜合應用,考查學生的邏輯推理、數(shù)形結(jié)合的思想,是一道有一定難度的題.15.【解析】
由向量投影的定義可求得兩向量夾角的余弦值,從而得角的大?。驹斀狻吭诜较蛏系耐队盀椋磰A角為.故答案為:.【點睛】本題考查求向量的夾角,掌握向量投影的定義是解題關(guān)鍵.16.【解析】∵復數(shù)且∴∴∴∴,故答案為,三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)的極坐標方程為,的直角坐標方程為(2)【解析】
(1)先把曲線的參數(shù)方程消參后,轉(zhuǎn)化為普通方程,再利用求得極坐標方程.將,化為,再利用求得曲線的普通方程.(2)設直線的極角,代入,得,將代入,得,由,得,即,從而求得,,從而求得,再利用求解.【詳解】(1)依題意,曲線,即,故,即.因為,故,即,即.(2)將代入,得,將代入,得,由,得,得,解得,則.又,故,故的面積.【點睛】本題考查極坐標方程與直角坐標方程、參數(shù)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化、極坐標的幾何意義,還考查推理論證能力以及數(shù)形結(jié)合思想,屬于中檔題.18.(1)10;(2).【解析】
(1)由題意可得cos∠ADB=﹣cos∠ADC,由已知利用余弦定理可得:9+BD2﹣52+9+BD2﹣16=0,進而解得BC的值.(2)由(1)可知△ADC為直角三角形,可求S△ADC6,S△ABC=2S△ADC=12,利用角平分線的性質(zhì)可得,根據(jù)S△ABC=S△BCE+S△ACE可求S△BCE的值.【詳解】(1)因為在邊上,所以,在和中由余弦定理,得,因為,,,,所以,所以,.所以邊的長為10.(2)由(1)知為直角三角形,所以,.因為是的角平分線,所以.所以,所以.即的面積為.【點睛】本題主要考查了余弦定理,三角形的面積公式,角平分線的性質(zhì)在解三角形中的綜合應用,考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想,屬于中檔題.19.(1),(2)【解析】
(1)利用互化公式把曲線C化成直角坐標方程,把點P的極坐標化成直角坐標;(2)把直線l的參數(shù)方程的標準形式代入曲線C的直角坐標方程,根據(jù)韋達定理以及參數(shù)t的幾何意義可得.【詳解】(1)由ρ2得ρ2+ρ2sin2θ=2,將ρ2=x2+y2,y=ρsinθ代入上式并整理得曲線C的直角坐標方程為y2=1,設點P的直角坐標為(x,y),因為P的極坐標為(,),所以x=ρcosθcos1,y=ρsinθsin1,所以點P的直角坐標為(1,1).(2)將代入y2=1,并整理得41t2+110t+25=0,因為△=1102﹣4×41×25=8000>0,故可設方程的兩根為t1,t2,則t1,t2為A,B對應的參數(shù),且t1+t2,依題意,點M對應的參數(shù)為,所以|PM|=||.【點睛】本題考查了簡單曲線的極坐標方程,屬中檔題.20.(Ⅰ)(Ⅱ)(2,+∞)【解析】試題分析:(Ⅰ)由題意零點分段即可確定不等式的解集為;(Ⅱ)由題意可得面積函數(shù)為為,求解不等式可得實數(shù)a的取值范圍為試題解析:(I)當時,化為,當時,不等式化為,無解;當時,不等式化為,解得;當時,不等式化為,解得.所以的解集為.(II)由題設可
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