概率論 第五章

第五章

大數(shù)定律及中心極限定理§5.1大數(shù)定律§5.2中心極限定理概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的學(xué)科.隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性只有在相同的條件下進(jìn)行大量重復(fù)試驗(yàn)時(shí)才會(huì)呈現(xiàn)出來.也就是說，要從隨機(jī)現(xiàn)象中去尋求必然的法則，應(yīng)該研究大量隨機(jī)現(xiàn)象.第五章大數(shù)定律及中心極限定理

研究大量的隨機(jī)現(xiàn)象，常常采用極限形式，由此導(dǎo)致對(duì)極限定理進(jìn)行研究.極限定理的內(nèi)容很廣泛，其中最重要的有兩種:與大數(shù)定律中心極限定理下面我們先介紹大數(shù)定律

§5.1大數(shù)定律則稱隨機(jī)變量序列Y1,Y2,…,Yn

,...依概率收斂于a

，記為:若對(duì)任意正數(shù)，有定義1

設(shè)Y1,Y2…,Yn

,...為一隨機(jī)變量序列，a是常數(shù)，例如:意思是:當(dāng)a而意思是:時(shí),Xn落在內(nèi)的概率越來越大.,當(dāng)定理1

（切比雪夫定理的特殊情況）設(shè)隨機(jī)變量序

列X1,X2,…,Xn,...相互獨(dú)立，且具有相同的數(shù)學(xué)期望和方差：E(Xk)=，D(Xk)=2(k=1,2,...),則對(duì)任意此定理表明:相互獨(dú)立具有相同期望和方差的隨機(jī)變量X1,X2,…,Xn的算術(shù)平均值依概率收斂于其數(shù)學(xué)期望值.即的>0，有提示：利用切比雪夫不等式證.證由切比雪夫不等式即關(guān)于定理1的說明:（這個(gè)接近是概率意義下的接近）即在定理?xiàng)l件下,n個(gè)隨機(jī)變量的算術(shù)平均,當(dāng)n無限增加時(shí),幾乎變成一個(gè)常數(shù).定理2

（伯努利大數(shù)定律）設(shè)nA是n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中A發(fā)生的次數(shù).p是事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率,則對(duì)任意>0,有證:因而E(Xk)=p，D(Xk)=p(1-p),(k=1,2,...),由定理1,因?yàn)橛屑醇矗菏录嗀發(fā)生的頻率依概率收斂于事件的概率p.這個(gè)定理以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式表達(dá)了頻率的穩(wěn)定性.此定理表明：

伯努利大數(shù)定律就是頻率穩(wěn)定性的理論依據(jù)．因而在實(shí)際應(yīng)用中，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)很大時(shí)，往往用事件發(fā)生的頻率來代替事件的概率．定理3（辛欽定理）設(shè)隨機(jī)變量序列X1,X2,…,Xn,...相互獨(dú)立且同分布，數(shù)學(xué)期望：E(Xk)=，則對(duì)任意正數(shù)，有

伯努利大數(shù)定律是辛欽定理的特殊情況.[注](證明略)

在客觀實(shí)際中有許多隨機(jī)變量,它們是由大量的相互獨(dú)立的隨機(jī)因素的綜合影響所形成的,而其中每一個(gè)別因素在總的影響中起到的作用都是微小的.這種隨機(jī)變量往往近似的服從正態(tài)分布.這種現(xiàn)象就是中心極限定理的客觀背景.

本節(jié)只介紹三個(gè)常用的中心極限定理.§5.2中心極限定理實(shí)例:考察射擊命中點(diǎn)與靶心距離的偏差.

這種偏差是大量微小的偶然因素造成的微小誤差的總和,這些因素包括:瞄準(zhǔn)誤差、測(cè)量誤差、子彈制造過程方面(如外形、重量等)的誤差以及射擊時(shí)武器的振動(dòng)、氣象因素(如風(fēng)速、風(fēng)向、能見度、溫度等)的作用,所有這些不同因素所引起的微小誤差是相互獨(dú)立的,并且它們中每一個(gè)對(duì)總和產(chǎn)生的影響不大.問題:

某個(gè)隨機(jī)變量是由大量相互獨(dú)立且均勻小的隨機(jī)變量相加而成的,研究其概率分布情況.定理1

設(shè)隨機(jī)變量X1,X2,…,Xn,…相互獨(dú)立，服從同一分布,且E(Xk)=，D(Xk)=20(k=1,2,...),則定理表明,當(dāng)n充分大時(shí),Yn近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.的分布函數(shù)Fn(x)滿足:對(duì)任意實(shí)數(shù)x，有(證明略)獨(dú)立同分布的中心極限定理例1

一盒同型號(hào)螺絲釘共100個(gè)，已知該型號(hào)的螺絲釘?shù)闹亓渴且粋€(gè)隨機(jī)變量，期望值是100g，標(biāo)準(zhǔn)差是10g，求一盒螺絲釘?shù)闹亓砍^10.2kg的概率.解：設(shè)Xi

為第i個(gè)螺絲釘?shù)闹亓?i=1,2,…,100,且相互獨(dú)立,于是,一盒螺絲釘?shù)闹亓繛榍矣芍行臉O限定理定理2(李雅普諾夫定理)設(shè)隨機(jī)變量X1,X2,…,Xn,…相互獨(dú)立,且具有數(shù)學(xué)期望和方差：E(Xk)=k，D(Xk)=2k0(k=1,2,...),

此定理表明，當(dāng)n充分大時(shí)，Zn的分布近似于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.記,若存在>0,使得則隨機(jī)變量的分布函數(shù)Fn(x)對(duì)任意x，有(證明略)證由§4.2例知,n可以看成n個(gè)相互獨(dú)立的服從同一(0-1)分布的隨機(jī)變量X1,...,Xn之和，即定理3(德莫佛-拉普拉斯定理)設(shè)隨機(jī)變量n(n=1,2,…)服從參數(shù)為n，p(0<p<1)的二項(xiàng)分布，則對(duì)任意x，恒有此定理表明，正態(tài)分布是二項(xiàng)分布的極限分布，所以當(dāng)n充分大時(shí)，我們可以用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布近似二項(xiàng)分布.由定理1知，下面的圖形表明:正態(tài)分布是二項(xiàng)分布的逼近.中心極限定理的意義

在后面的課程中，我們還將經(jīng)常用到中心極限定理.

中心極限定理是概率論中最著名的結(jié)果之一，它不僅提供了計(jì)算獨(dú)立隨機(jī)變量之和的近似概率的簡單方法，而且有助于解釋為什么很多自然群體的經(jīng)驗(yàn)頻率呈現(xiàn)出鐘形曲線這一值得注意的事實(shí).例2

某車間有200臺(tái)車床獨(dú)立工作，設(shè)每臺(tái)車床的開工率為0.6，開工時(shí)耗電1千瓦，問供電所至少要供多少電才能以不小于

99.9%的概率保證該車間不會(huì)因供電不足而影響生產(chǎn)？

至少供電142千瓦,才能保證以不小于99.9%的概率正常工作.,由定理3解記X為200臺(tái)車床中工作著的車床臺(tái)數(shù)，則X~b(200,0.6)．按題意，要求最小的k，使P{Xk}0.999

即例3

在人壽保險(xiǎn)公司里,有3000個(gè)同一年齡的人參加保險(xiǎn).設(shè)在一年內(nèi)這些人的死亡率為0.1%,參加保險(xiǎn)的人在一年的頭一天交付保險(xiǎn)費(fèi)10元，死亡時(shí)，家屬可從保險(xiǎn)公司領(lǐng)取2000元．求（1）保險(xiǎn)公司一年中獲利不小于10000元的概率；（2）保險(xiǎn)公司虧本的概率是多少？解設(shè)一年中死亡人數(shù)為X，X=0,1,…,3000,死亡率=0.001,則

而由拉普拉斯定理，有(1)P{保險(xiǎn)公司獲利不小于10000元}=P{30000-2000X10000}=P{0X10},即一年中保險(xiǎn)公司獲利10000元以上的概率為96%．X~b(3000,0.001).而保險(xiǎn)公司每年獲利=300010-2000X(元)由此可見保險(xiǎn)公司虧本的概率是很小的.(2)P{保險(xiǎn)公司虧本}=P{2000X>30000}=P{X>15}解由中心極限定理,隨機(jī)變量Z近似服從正態(tài)分布N(0,1),例3其中

例３

高爾頓釘板試驗(yàn)

如圖是高爾頓釘板，常常在賭博游戲中見到，現(xiàn)在可用中心極限定理來揭穿這個(gè)賭博中的奧秘.Yn=X1+X2+…+XnXi=

1,第i次碰釘后小球從左落下，

-1,第i次碰釘后小球從右落下.則Xi服從兩點(diǎn)分布，

E(Xi)=0,D(Xi)=1由中心極限定理知，Yn~N(0,n)由正態(tài)分布的特征知，小球落在中間的概率遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于落在兩邊的概率.設(shè)為釘子的排數(shù),Yn表示第次碰釘后小球的位置，對(duì)于一個(gè)學(xué)生而言,來參加家長