《概率的基本性質》設計

《概率的基本性質》教學設計【教學目標】1.通過實例，理解概率的性質．2.能夠利用隨機事件概率的運算法則求解隨機事件的概率【教學重點】理解概率的性質并能利用其求解隨機事件的概率【教學難點】利用隨機事件概率的運算法則求概率【課時安排】1課時【教學過程】認知初探概率的基本性質性質1對任意的事件A，都有P(A)≥0.性質2必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，即P(Ω)＝1，P(?)＝0.性質3如果事件A與事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．性質4如果事件A與事件B互為對立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)．性質5如果A?B，那么P(A)≤P(B)．性質6設A，B是一個隨機試驗中的兩個事件，我們有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．思考1：設事件A發(fā)生的概率為P(A)，事件B發(fā)生的概率為P(B)，那么事件A∪B發(fā)生的概率是P(A)＋P(B)嗎？[提示]不一定．當事件A與B互斥時，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；當事件A與B不互斥時，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．思考2：某地區(qū)明天下雨的概率為，那么明天晴天的概率是否為？[提示]由于明天下雨與明天晴天雖是互斥事件但不是對立事件，故不是.小試牛刀1．若A，B為互斥事件，則()A．P(A)＋P(B)<1B．P(A)＋P(B)>1C．P(A)＋P(B)＝1D．P(A)＋P(B)≤1D解析：因為A，B為互斥事件，所以A∪B是隨機事件或必然事件，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)≤1，當A，B為對立事件時，P(A)＋P(B)＝1.2．甲、乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率是eq\f(1,2)，甲獲勝的概率是eq\f(1,3)，則甲不輸的概率為()\f(5,6)\f(2,5)\f(1,6)\f(1,3)A解析：P(甲不輸)＝P(和棋)＋P(甲獲勝)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＝eq\f(5,6).3．某產品分甲、乙、丙三級，其中乙、丙兩級均屬次品，在正常生產情況下，出現乙級品和丙級品的概率分別是5%和3%，則抽檢一件是正品(甲級)的概率為()A． B．C． D．C解析設事件“抽檢一件是甲級”為事件A，“抽檢一件是乙級”為事件B，“抽檢一件是丙級”為事件C，由題意可得事件A，B，C為互斥事件，且P(A)＋P(B)＋P(C)＝1，因為乙級品和丙級品均屬次品，且P(B)＝，P(C)＝，所以P(A)＝1－P(B)－P(C)＝.故選C.4．已知隨機事件A，B，C中，A與B互斥，B與C對立，且P(A)＝，P(C)＝，則P(A＋B)＝解析∵隨機事件A，B，C中，A與B互斥，B與C對立，P(A)＝，P(C)＝，∴P(B)＝1－P(C)＝，P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝.例題講解互斥事件、對立事件的概率公式【例1】一盒中裝有各色球12個，其中5個紅球、4個黑球、2個白球、1個綠球.從中隨機取出1球，求：(1)取出1球是紅球或黑球的概率.(2)取出的1球是紅球或黑球或白球的概率.【思路點撥】思路一:寫出試驗的樣本空間，直接利用古典概型的概率公式計算.思路二：利用互斥事件或對立事件的概率公式計算.【解析】方法一：(1)從12個球中任取1球得紅球有5種取法，得黑球有4種取法，得紅球或黑球共有5+4=9種不同取法，任取1球有12種取法.所以任取1球得紅球或黑球的概率為=.(2)從12個球中任取1球得紅球有5種取法，得黑球有4種取法，得白球有2種取法，從而得紅球或黑球或白球的概率為.方法二：(利用互斥事件求概率)記事件={任取1球為紅球}，={任取1球為黑球}，={任取1球為白球}，={任取1球為綠球}，則P()=，P()=，P()=，P()=.根據題意知，事件，，，彼此互斥，由互斥事件概率公式，得(1)取出1球為紅球或黑球的概率為P()=P()+P()=(2)取出1球為紅球或黑球或白球的概率為P()=P()+P()+P()=方法三：(利用對立事件求概率)⑴由法二知，取出1球為紅球或黑球的對立事件為取出1球為白球或綠球，即的對立事件為，所以取得1球為紅球或黑球的概率為⑵的對立事件為所以方法總結(1)互斥事件的概率加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)是一個非常重要的公式，運用該公式解題時，首先要分清事件間是否互斥，同時要學會把一個事件分拆為幾個互斥事件，然后求出各事件的概率，用加法公式得出結果．(2)當直接計算符合條件的事件個數比較煩瑣時，可間接地先計算出其對立事件的個數，求得對立事件的概率，然后利用對立事件的概率加法公式P(A)＋P(B)＝1，求出符合條件的事件的概率．當堂練習1袋中有12個小球，分別為紅球、黑球、黃球、綠球，從中任取一球，已知得到紅球的概率是eq\f(1,3)，得到黑球或黃球的概率是eq\f(5,12)，得到黃球或綠球的概率也是eq\f(5,12)，試求得到黑球、黃球、綠球的概率分別是多少？解析：設得到黑球、黃球的概率分別為x，y，由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝\f(5,12)，,y＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)－x－y))＝\f(5,12).))解得x＝eq\f(1,4)，y＝eq\f(1,6)，所以得到綠球的概率為1－eq\f(1,3)－eq\f(1,4)－eq\f(1,6)＝eq\f(1,4).所以得到黑球、黃球、綠球的概率分別是eq\f(1,4)，eq\f(1,6)，eq\f(1,4).互斥事件、對立事件的概率公式的綜合應用【例2】有A，B，C，D四位貴賓，應分別坐在a，b，c，d四個席位上，現在這四人均未留意，在四個席位上隨便就坐時，(1)求這四人恰好都坐在自己的席位上的概率；(2)求這四人恰好都沒坐在自己的席位上的概率．[思路點撥]eq\x(利用樹狀圖法列舉事件)→eq\x(計算樣本點個數)→eq\x(利用古典概型概率公式計算概率)[解]將A，B，C，D四位貴賓就座情況用下面圖形表示出來：如圖所示，本題中的樣本點的總數為24.(1)設事件A為“這四人恰好都坐在自己的席位上”，則事件A只包含1個樣本點，所以P(A)＝eq\f(1,24).(2)設事件B為“這四個人恰好都沒有坐在自己席位上”，則事件B包含9個樣本點，所以P(B)＝eq\f(9,24)＝eq\f(3,8).方法總結1．當事件個數沒有很明顯的規(guī)律，并且涉及的樣本點又不是太多時，我們可借助樹狀圖法直觀地將其表示出來，這是進行列舉的常用方法．樹狀圖可以清晰準確地列出所有的樣本點，并且畫出一個樹枝之后可猜想其余的情況．2．在求概率時，若事件可以表示成有序數對的形式，則可以把全體樣本點用平面直角坐標系中的點表示，即采用圖表的形式可以準確地找出樣本點的個數．故采用數形結合法求概率可以使解決問題的過程變得形象、直觀，給問題的解決帶來方便．課堂練習2一個袋中裝有四個形狀、大小完全相同的球，球的編號分別為1,2,3,4.先從袋中隨機取一個球，該球的編號為m，將球放回袋中，然后再從袋中隨機取一個球，該球的編號為n，求n<m＋2的概率．解先從袋中隨機取一個球，記下編號為m，放回后，再從袋中隨機取一個球，記下編號為n，其一切可能的結果(m，n)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16個，這16個結果出現的可能性是相等的．又滿足條件n≥m＋2的有(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3個．所以滿足條件n≥m＋2的事件的概率為P1＝eq\f(3,16)，故滿足條件n<m＋2的事件的概率為1－P1＝1－eq\f(3,16)＝eq\f(13,16)概率與統(tǒng)計的綜合應用問題【例3】某校從高一年級某次數學競賽的成績中隨機抽取100名學生的成績,分組為[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],統(tǒng)計后得到頻率分布直方圖如圖所示.(1)試估計這組樣本數據的眾數和中位數(結果精確到.(2)年級決定在成績[70,100]中用分層隨機抽樣抽取6人組成一個調研小組,對高一年級學生課外學習數學的情況做一個調查,則在[70,80),[80,90),[90,100]這三組分別抽取了多少人?(3)現在要從(2)中抽取的6人中選出正副2個小組長,求成績在[80,90)中至少有1人當選為正副小組長的概率.解:(1)由頻率分布直方圖得,眾數為=65.成績在[50,70)內的頻率為+×10=,成績在[70,80)內的頻率為×10=,∴中位數為70+×10≈.(2)成績?yōu)閇70,80),[80,90),[90,100]這三組的頻率分別為,,,∴[70,80),[80,90),[90,100]這三組抽取的人數分別為3,2,1.(3)由(2)知成績在[70,80)有3人,分別記為a,b,c;成績在[80,90)有2人,分別記為d,e;成績在[90,100]有1人,記為f.∴從抽取的6人中選出正副2個小組長包含的基本事件有30個,分別為ab,ba,ac,ca,ad,da,ae,ea,af,fa,bc,cb,bd,db,be,eb,bf,fb,cd,dc,ce,ec,cf,fc,de,ed,df,fd,ef,fe.記“成績在[80,90)中至少有1人當選為正副小組長”為事件Q,則事件Q包含的基本事件有18種,∴成績在[80,90)中至少有1人當選為正副小組長的概率P(Q)=方法總結解決與古典概型交匯命題的問題時，把相關的知識轉化為事件，列舉基本事件，求出基本事件和隨機事件的個數，然后利用古典概型的概率計算公式進行計算.當堂練習3已知國家某5A級大型景區(qū)對擁擠等級與每日游客數量n(單位：百人)的關系有如下規(guī)定：當n∈[0,100)時，擁擠等級為“優(yōu)”；當n∈[100,200)時，擁擠等級為“良”；當n∈[200,300)時，擁擠等級為“擁擠”；當n≥300時，擁擠等級為“嚴重擁擠”．該景區(qū)對6月份的游客數量作出如圖的統(tǒng)計數據：(1)下面是根據統(tǒng)計數據得到的頻率分布表，求出a，b的值，并估計該景區(qū)6月份游客人數的平均值．(同一組中的數據用該組區(qū)間的中點值作代表)(2)某人選擇在6月1日至6月5日這5天中任選2天到該景區(qū)游玩，求他這2天遇到的游客擁擠等級均為“優(yōu)”的概率．[解](1)游客人數在[0,100)范圍內的天數共有15天，故a＝15，b＝eq\f(15,30)＝eq\f(1,2)，游客人數的平均值為50×eq\f(1,2)＋150×eq\f(1,3)＋250×eq\f(2,15)＋350×eq\f(1,30)＝120(人)．游客數量(單位：百人)[0,100)[100,200)[200,300)[300,400]天數a1041頻率beq\f(1,3)eq\f(2,15)eq\f(1,30)(2)從5天中任選2天，試驗的樣本空間Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)}，共10個樣本點，其中游客擁擠等級均為“優(yōu)