《概率的基本性質(zhì)》設(shè)計(jì)

《概率的基本性質(zhì)》教學(xué)設(shè)計(jì)【教學(xué)目標(biāo)】1.通過實(shí)例，理解概率的性質(zhì)．2.能夠利用隨機(jī)事件概率的運(yùn)算法則求解隨機(jī)事件的概率【教學(xué)重點(diǎn)】理解概率的性質(zhì)并能利用其求解隨機(jī)事件的概率【教學(xué)難點(diǎn)】利用隨機(jī)事件概率的運(yùn)算法則求概率【課時(shí)安排】1課時(shí)【教學(xué)過程】認(rèn)知初探概率的基本性質(zhì)性質(zhì)1對任意的事件A，都有P(A)≥0.性質(zhì)2必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，即P(Ω)＝1，P(?)＝0.性質(zhì)3如果事件A與事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．性質(zhì)4如果事件A與事件B互為對立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)．性質(zhì)5如果A?B，那么P(A)≤P(B)．性質(zhì)6設(shè)A，B是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，我們有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．思考1：設(shè)事件A發(fā)生的概率為P(A)，事件B發(fā)生的概率為P(B)，那么事件A∪B發(fā)生的概率是P(A)＋P(B)嗎？[提示]不一定．當(dāng)事件A與B互斥時(shí)，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；當(dāng)事件A與B不互斥時(shí)，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．思考2：某地區(qū)明天下雨的概率為，那么明天晴天的概率是否為？[提示]由于明天下雨與明天晴天雖是互斥事件但不是對立事件，故不是.小試牛刀1．若A，B為互斥事件，則()A．P(A)＋P(B)<1B．P(A)＋P(B)>1C．P(A)＋P(B)＝1D．P(A)＋P(B)≤1D解析：因?yàn)锳，B為互斥事件，所以A∪B是隨機(jī)事件或必然事件，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)≤1，當(dāng)A，B為對立事件時(shí)，P(A)＋P(B)＝1.2．甲、乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率是eq\f(1,2)，甲獲勝的概率是eq\f(1,3)，則甲不輸?shù)母怕蕿?)\f(5,6)\f(2,5)\f(1,6)\f(1,3)A解析：P(甲不輸)＝P(和棋)＋P(甲獲勝)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＝eq\f(5,6).3．某產(chǎn)品分甲、乙、丙三級(jí)，其中乙、丙兩級(jí)均屬次品，在正常生產(chǎn)情況下，出現(xiàn)乙級(jí)品和丙級(jí)品的概率分別是5%和3%，則抽檢一件是正品(甲級(jí))的概率為()A． B．C． D．C解析設(shè)事件“抽檢一件是甲級(jí)”為事件A，“抽檢一件是乙級(jí)”為事件B，“抽檢一件是丙級(jí)”為事件C，由題意可得事件A，B，C為互斥事件，且P(A)＋P(B)＋P(C)＝1，因?yàn)橐壹?jí)品和丙級(jí)品均屬次品，且P(B)＝，P(C)＝，所以P(A)＝1－P(B)－P(C)＝.故選C.4．已知隨機(jī)事件A，B，C中，A與B互斥，B與C對立，且P(A)＝，P(C)＝，則P(A＋B)＝解析∵隨機(jī)事件A，B，C中，A與B互斥，B與C對立，P(A)＝，P(C)＝，∴P(B)＝1－P(C)＝，P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝.例題講解互斥事件、對立事件的概率公式【例1】一盒中裝有各色球12個(gè)，其中5個(gè)紅球、4個(gè)黑球、2個(gè)白球、1個(gè)綠球.從中隨機(jī)取出1球，求：(1)取出1球是紅球或黑球的概率.(2)取出的1球是紅球或黑球或白球的概率.【思路點(diǎn)撥】思路一:寫出試驗(yàn)的樣本空間，直接利用古典概型的概率公式計(jì)算.思路二：利用互斥事件或?qū)α⑹录母怕使接?jì)算.【解析】方法一：(1)從12個(gè)球中任取1球得紅球有5種取法，得黑球有4種取法，得紅球或黑球共有5+4=9種不同取法，任取1球有12種取法.所以任取1球得紅球或黑球的概率為=.(2)從12個(gè)球中任取1球得紅球有5種取法，得黑球有4種取法，得白球有2種取法，從而得紅球或黑球或白球的概率為.方法二：(利用互斥事件求概率)記事件={任取1球?yàn)榧t球}，={任取1球?yàn)楹谇騷，={任取1球?yàn)榘浊騷，={任取1球?yàn)榫G球}，則P()=，P()=，P()=，P()=.根據(jù)題意知，事件，，，彼此互斥，由互斥事件概率公式，得(1)取出1球?yàn)榧t球或黑球的概率為P()=P()+P()=(2)取出1球?yàn)榧t球或黑球或白球的概率為P()=P()+P()+P()=方法三：(利用對立事件求概率)⑴由法二知，取出1球?yàn)榧t球或黑球的對立事件為取出1球?yàn)榘浊蚧蚓G球，即的對立事件為，所以取得1球?yàn)榧t球或黑球的概率為⑵的對立事件為所以方法總結(jié)(1)互斥事件的概率加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)是一個(gè)非常重要的公式，運(yùn)用該公式解題時(shí)，首先要分清事件間是否互斥，同時(shí)要學(xué)會(huì)把一個(gè)事件分拆為幾個(gè)互斥事件，然后求出各事件的概率，用加法公式得出結(jié)果．(2)當(dāng)直接計(jì)算符合條件的事件個(gè)數(shù)比較煩瑣時(shí)，可間接地先計(jì)算出其對立事件的個(gè)數(shù)，求得對立事件的概率，然后利用對立事件的概率加法公式P(A)＋P(B)＝1，求出符合條件的事件的概率．當(dāng)堂練習(xí)1袋中有12個(gè)小球，分別為紅球、黑球、黃球、綠球，從中任取一球，已知得到紅球的概率是eq\f(1,3)，得到黑球或黃球的概率是eq\f(5,12)，得到黃球或綠球的概率也是eq\f(5,12)，試求得到黑球、黃球、綠球的概率分別是多少？解析：設(shè)得到黑球、黃球的概率分別為x，y，由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝\f(5,12)，,y＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)－x－y))＝\f(5,12).))解得x＝eq\f(1,4)，y＝eq\f(1,6)，所以得到綠球的概率為1－eq\f(1,3)－eq\f(1,4)－eq\f(1,6)＝eq\f(1,4).所以得到黑球、黃球、綠球的概率分別是eq\f(1,4)，eq\f(1,6)，eq\f(1,4).互斥事件、對立事件的概率公式的綜合應(yīng)用【例2】有A，B，C，D四位貴賓，應(yīng)分別坐在a，b，c，d四個(gè)席位上，現(xiàn)在這四人均未留意，在四個(gè)席位上隨便就坐時(shí)，(1)求這四人恰好都坐在自己的席位上的概率；(2)求這四人恰好都沒坐在自己的席位上的概率．[思路點(diǎn)撥]eq\x(利用樹狀圖法列舉事件)→eq\x(計(jì)算樣本點(diǎn)個(gè)數(shù))→eq\x(利用古典概型概率公式計(jì)算概率)[解]將A，B，C，D四位貴賓就座情況用下面圖形表示出來：如圖所示，本題中的樣本點(diǎn)的總數(shù)為24.(1)設(shè)事件A為“這四人恰好都坐在自己的席位上”，則事件A只包含1個(gè)樣本點(diǎn)，所以P(A)＝eq\f(1,24).(2)設(shè)事件B為“這四個(gè)人恰好都沒有坐在自己席位上”，則事件B包含9個(gè)樣本點(diǎn)，所以P(B)＝eq\f(9,24)＝eq\f(3,8).方法總結(jié)1．當(dāng)事件個(gè)數(shù)沒有很明顯的規(guī)律，并且涉及的樣本點(diǎn)又不是太多時(shí)，我們可借助樹狀圖法直觀地將其表示出來，這是進(jìn)行列舉的常用方法．樹狀圖可以清晰準(zhǔn)確地列出所有的樣本點(diǎn)，并且畫出一個(gè)樹枝之后可猜想其余的情況．2．在求概率時(shí)，若事件可以表示成有序數(shù)對的形式，則可以把全體樣本點(diǎn)用平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)表示，即采用圖表的形式可以準(zhǔn)確地找出樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)．故采用數(shù)形結(jié)合法求概率可以使解決問題的過程變得形象、直觀，給問題的解決帶來方便．課堂練習(xí)2一個(gè)袋中裝有四個(gè)形狀、大小完全相同的球，球的編號(hào)分別為1,2,3,4.先從袋中隨機(jī)取一個(gè)球，該球的編號(hào)為m，將球放回袋中，然后再從袋中隨機(jī)取一個(gè)球，該球的編號(hào)為n，求n<m＋2的概率．解先從袋中隨機(jī)取一個(gè)球，記下編號(hào)為m，放回后，再從袋中隨機(jī)取一個(gè)球，記下編號(hào)為n，其一切可能的結(jié)果(m，n)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16個(gè)，這16個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的可能性是相等的．又滿足條件n≥m＋2的有(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3個(gè)．所以滿足條件n≥m＋2的事件的概率為P1＝eq\f(3,16)，故滿足條件n<m＋2的事件的概率為1－P1＝1－eq\f(3,16)＝eq\f(13,16)概率與統(tǒng)計(jì)的綜合應(yīng)用問題【例3】某校從高一年級(jí)某次數(shù)學(xué)競賽的成績中隨機(jī)抽取100名學(xué)生的成績,分組為[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],統(tǒng)計(jì)后得到頻率分布直方圖如圖所示.(1)試估計(jì)這組樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)(結(jié)果精確到.(2)年級(jí)決定在成績[70,100]中用分層隨機(jī)抽樣抽取6人組成一個(gè)調(diào)研小組,對高一年級(jí)學(xué)生課外學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的情況做一個(gè)調(diào)查,則在[70,80),[80,90),[90,100]這三組分別抽取了多少人?(3)現(xiàn)在要從(2)中抽取的6人中選出正副2個(gè)小組長,求成績在[80,90)中至少有1人當(dāng)選為正副小組長的概率.解:(1)由頻率分布直方圖得,眾數(shù)為=65.成績在[50,70)內(nèi)的頻率為+×10=,成績在[70,80)內(nèi)的頻率為×10=,∴中位數(shù)為70+×10≈.(2)成績?yōu)閇70,80),[80,90),[90,100]這三組的頻率分別為,,,∴[70,80),[80,90),[90,100]這三組抽取的人數(shù)分別為3,2,1.(3)由(2)知成績在[70,80)有3人,分別記為a,b,c;成績在[80,90)有2人,分別記為d,e;成績在[90,100]有1人,記為f.∴從抽取的6人中選出正副2個(gè)小組長包含的基本事件有30個(gè),分別為ab,ba,ac,ca,ad,da,ae,ea,af,fa,bc,cb,bd,db,be,eb,bf,fb,cd,dc,ce,ec,cf,fc,de,ed,df,fd,ef,fe.記“成績在[80,90)中至少有1人當(dāng)選為正副小組長”為事件Q,則事件Q包含的基本事件有18種,∴成績在[80,90)中至少有1人當(dāng)選為正副小組長的概率P(Q)=方法總結(jié)解決與古典概型交匯命題的問題時(shí)，把相關(guān)的知識(shí)轉(zhuǎn)化為事件，列舉基本事件，求出基本事件和隨機(jī)事件的個(gè)數(shù)，然后利用古典概型的概率計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算.當(dāng)堂練習(xí)3已知國家某5A級(jí)大型景區(qū)對擁擠等級(jí)與每日游客數(shù)量n(單位：百人)的關(guān)系有如下規(guī)定：當(dāng)n∈[0,100)時(shí)，擁擠等級(jí)為“優(yōu)”；當(dāng)n∈[100,200)時(shí)，擁擠等級(jí)為“良”；當(dāng)n∈[200,300)時(shí)，擁擠等級(jí)為“擁擠”；當(dāng)n≥300時(shí)，擁擠等級(jí)為“嚴(yán)重?fù)頂D”．該景區(qū)對6月份的游客數(shù)量作出如圖的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：(1)下面是根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)得到的頻率分布表，求出a，b的值，并估計(jì)該景區(qū)6月份游客人數(shù)的平均值．(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)(2)某人選擇在6月1日至6月5日這5天中任選2天到該景區(qū)游玩，求他這2天遇到的游客擁擠等級(jí)均為“優(yōu)”的概率．[解](1)游客人數(shù)在[0,100)范圍內(nèi)的天數(shù)共有15天，故a＝15，b＝eq\f(15,30)＝eq\f(1,2)，游客人數(shù)的平均值為50×eq\f(1,2)＋150×eq\f(1,3)＋250×eq\f(2,15)＋350×eq\f(1,30)＝120(人)．游客數(shù)量(單位：百人)[0,100)[100,200)[200,300)[300,400]天數(shù)a1041頻率beq\f(1,3)eq\f(2,15)eq\f(1,30)(2)從5天中任選2天，試驗(yàn)的樣本空間Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)}，共10個(gè)樣本點(diǎn)，其中游客擁擠等級(jí)均為“優(yōu)