第一節(jié) 向量及其線性運(yùn)算

1第八章空間解析幾何與向量代數(shù)幾何空間中的一些圖形與方程對應(yīng)起來,用代數(shù)方法研究了幾何問題.討論如下幾個(gè)問題:1.向量、向量的一些運(yùn)算;2.空間中的平面與直線;3.空間中的一些曲面和曲線;4.二次曲面.在平面解析幾何中,本章把這種方法運(yùn)用到三維幾何空間,曾通過坐標(biāo)法把二維2第一節(jié)向量及其線性運(yùn)算向量概念向量的線性運(yùn)算小結(jié)思考題作業(yè)空間直角坐標(biāo)系利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算向量的模方向角3向量既有向量表示模長為1的向量.零向量模長為0的向量.||向量的模向量的大小.單位向量或或或的量.又有大小方向以為起點(diǎn),為終點(diǎn)的有向線段.一、向量概念向量及其線性運(yùn)算(vector)(module)4自由向量不考慮起點(diǎn)位置的向量.相等向量大小相等且方向相同的向量.負(fù)向量大小相等但方向相反的向量.向量及其線性運(yùn)算記作5特殊地,當(dāng)兩個(gè)向量中有一個(gè)零向量時(shí),規(guī)定它們的夾角可在之間任意取值.向量與向量的夾角向量的夾角向量及其線性運(yùn)算6向量平行向量及其線性運(yùn)算如果p或0),(=barr，就稱向量與向量平行，記作。‖兩向量平行，又稱兩向量共線。7向量垂直向量及其線性運(yùn)算如果，就稱向量與向量垂直，記作。注：零向量與任意向量都平行，也與任意向量都垂直。8加法（平行四邊形法則）特殊地若‖分為同向和反向（平行四邊形法則有時(shí)也稱為三角形法則）(1)加法定義二、向量的線性運(yùn)算

1.向量的加減法向量及其線性運(yùn)算9

(2)向量的加法符合下列運(yùn)算規(guī)律交換律結(jié)合律減法(3)減法定義向量及其線性運(yùn)算102.向量與數(shù)的乘法(簡稱數(shù)乘運(yùn)算)注向量向量的“伸縮”向量的乘積規(guī)定為同向,反向,為向量.與數(shù)的乘積向量及其線性運(yùn)算11(2)數(shù)與向量的乘積符合下列運(yùn)算規(guī)律結(jié)合律分配律第一分配律第二分配律線性運(yùn)算向量及其線性運(yùn)算由向量

常用數(shù)乘運(yùn)算說明平行,兩向量平行關(guān)系。12兩向量平行關(guān)系(兩向量共線的充要條件):定理1設(shè)向量

∥存在唯一的實(shí)數(shù)

同方向的單位向量.

記作,0rr1a向量及其線性運(yùn)算注：定理1是建立數(shù)軸的理論依據(jù)。13證充分性顯然；必要性‖兩式相減，得向量及其線性運(yùn)算14選擇題設(shè)向量互相平行,但是方向相反,則當(dāng)A時(shí),

必有()向量及其線性運(yùn)算|;|||||)(babaBrrrr->+|;|||||)(babaCrrrr-<+15？下列命題是否正確錯(cuò),錯(cuò),(1)沒有定義向量的除法.向量不能比較大小,只有模才能比較大小.向量及其線性運(yùn)算16例化簡解向量及其線性運(yùn)算17例試用向量方法證明:對角線互相平分的四邊形必是平行四邊形.證結(jié)論得證.∥且向量及其線性運(yùn)算18上兩式相減得：練習(xí)

設(shè)均為非零向量,其中任意兩個(gè)向量不共線,但與共線,與共線.證明：證為常數(shù).向量及其線性運(yùn)算cbrr+19向量及其線性運(yùn)算由定理1建立數(shù)軸給定一個(gè)點(diǎn)和一個(gè)單位向量就確定一條數(shù)軸設(shè)點(diǎn)o及單位向量確定數(shù)軸ox由定理1，必有唯一實(shí)數(shù)，使故有，定義：實(shí)數(shù)ox120橫軸縱軸豎軸定點(diǎn)空間直角坐標(biāo)系,

三個(gè)坐標(biāo)軸的點(diǎn)O叫做坐標(biāo)原點(diǎn)(或原點(diǎn))正方向符合右手系即以右手握住z軸,當(dāng)右手的四個(gè)手指從正向x軸以角度轉(zhuǎn)向正向y軸時(shí),大拇指的指向就是z軸的正向.三、空間直角坐標(biāo)系1.空間點(diǎn)的直角坐標(biāo)坐標(biāo)系或坐標(biāo)系.向量及其線性運(yùn)算21ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧ向量及其線性運(yùn)算空間直角坐標(biāo)系共有八個(gè)卦限Ⅶ222.向量在坐標(biāo)軸上的分向量與向量的坐標(biāo)稱為該向量在三個(gè)坐標(biāo)軸上的分向量坐標(biāo)分解式23稱為點(diǎn)M或向量的坐標(biāo),記作稱為點(diǎn)M的向徑。點(diǎn)M與原點(diǎn)構(gòu)成的向量故有，定義：24空間的點(diǎn)有序數(shù)組特殊點(diǎn)的表示:坐標(biāo)軸上的點(diǎn)坐標(biāo)面上的點(diǎn)向量及其線性運(yùn)算25(3)點(diǎn)M(2,-3,1)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)是().?(1)點(diǎn)M(2,-3,1)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對稱點(diǎn)是();選擇題(2)點(diǎn)M(2,-3,1)關(guān)于xOy面的對稱點(diǎn)是();(A)(-2,3,-1);(B)(-2,-3,-1);(C)(2,-3,-1);(D)(-2,3,1).ACB向量及其線性運(yùn)算26向量及其線性運(yùn)算四、利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算27由按坐標(biāo)表示式即為:當(dāng)分母為零理解為分子也為零.注向量及其線性運(yùn)算也即向量

與

對應(yīng)的坐標(biāo)成比例:

定理設(shè)向量

∥存在唯一的實(shí)數(shù)

,0rr1a=),,(zyxbbb),,(zyxaaal28向量及其線性運(yùn)算更一般的情況:29

向量在

軸上的坐標(biāo)

向量在

軸上的坐標(biāo)

向量在

軸上的坐標(biāo)向量及其線性運(yùn)算30按基本單位向量的坐標(biāo)分解式：在三個(gè)坐標(biāo)軸上的分向量：向量的坐標(biāo)：向量的坐標(biāo)表達(dá)式：向量及其線性運(yùn)算31解設(shè)為直線上的點(diǎn),oxyzAB向量及其線性運(yùn)算例已知兩點(diǎn)以及實(shí)數(shù)在直線AB上求點(diǎn)M,使同理,得32五、向量的模、方向角、投影1.向量的模與空間兩點(diǎn)間點(diǎn)的距離由勾股定理向量模的坐標(biāo)表示式33為空間兩點(diǎn).在直角三角形和中,用勾股定理向量及其線性運(yùn)算空間兩點(diǎn)間距離公式34若兩點(diǎn)分別為特殊地向量及其線性運(yùn)算向徑空間直角坐標(biāo)系中任一點(diǎn)M與原點(diǎn)構(gòu)成的向量.常用表示.空間兩點(diǎn)間距離公式35解設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為所求點(diǎn)為向量及其線性運(yùn)算例的距離為到的距離的兩倍,求點(diǎn)P的坐標(biāo).36解原結(jié)論成立.向量及其線性運(yùn)算37非零向量與三條坐標(biāo)軸的正向的夾角稱之為非零向量的方向角：向量及其線性運(yùn)算(directionangle)2.方向角與方向余弦38由圖分析可知向量的方向余弦方向余弦向量模長的坐標(biāo)表示式向量及其線性運(yùn)算(directioncosine)通常用來表示向量的方向.39當(dāng)時(shí)，向量方向余弦的坐標(biāo)表示式方向余弦的特征特殊地向量及其線性運(yùn)算=)cos,cos,(cosgba40解已知兩點(diǎn)同方向的單位向量。例求與41例已知兩點(diǎn)A(2,2,)和B(1,3,0),求的模，方向余弦和方向角。解：42解或所求向量有兩個(gè),一個(gè)與同向,一個(gè)與反向.向量及其線性運(yùn)算求平行于向量的單位向量例的分解式.43解向量及其線性運(yùn)算設(shè)有向量例已知它與x軸和y軸的夾角分別為如果P1的坐標(biāo)為(1,0,3),求P2的坐標(biāo).設(shè)向量的方向角為44向量及其線性運(yùn)算設(shè)P2的坐標(biāo)為P2的坐標(biāo)為45空間一點(diǎn)在軸上的投影過點(diǎn)A作軸u的垂直平面,即為點(diǎn)A在軸u上的投影.向量及其線性運(yùn)算空間一向量在軸上的投影軸u稱為投影軸.已知向量的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B在軸u上的投影分別為那么軸u上的有向線段的值,稱為向量在軸u上的投影.3.向量在軸上的投影46Projection在軸u上的向量軸與向量的夾角的余弦：向量在軸u上的投影記為投影性質(zhì)1投影等于向量的模乘以向量及其線性運(yùn)算投影有正、注負(fù)之分;模只為正值.47（可推廣到有限多個(gè)）兩個(gè)向量的和在軸上的投影等于兩個(gè)向量在該軸上的投影之和.向量及其線性運(yùn)算投影性質(zhì)2投影性質(zhì)3注：向量在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中的坐標(biāo)就是該向量在三條坐標(biāo)軸上的投影。48向量及其線性運(yùn)算起點(diǎn)終點(diǎn)向量在x軸上的投影向量在y軸上的投影向量在z軸上的投影按基本單位向量的坐標(biāo)分解式：向量的坐標(biāo)表達(dá)式：坐標(biāo)坐標(biāo)坐標(biāo)x軸分向量y軸分向量z軸分向量特殊地49例10解50解向量及其線性運(yùn)算求向量例在x軸上的投影及在y軸上的分向量.在x軸上的投影為在y軸上的分向量為511證例向量及其線性運(yùn)算uBA21,uuBA坐標(biāo)依次為、eueurr12-=.)(12euur-=52向量及其線性運(yùn)算六、小結(jié)向量的概念向量的線性運(yùn)算（注意:與數(shù)量的區(qū)別與記法）(平行四邊形法則,三角形法則,注意數(shù)乘后的方向)空間直角坐標(biāo)系(注意它與平面直角坐標(biāo)系的區(qū)別)(點(diǎn)、坐標(biāo)軸、坐標(biāo)面、卦限)向量