第7章：抽樣推斷

第七章抽樣推斷學(xué)習(xí)目標主要內(nèi)容本章小結(jié)學(xué)習(xí)目標

掌握利用樣本統(tǒng)計資料來推斷總體相應(yīng)數(shù)量特征的原理及方法；深刻理解抽樣推斷的概念及特點；了解抽樣誤差產(chǎn)生的原因，并對抽樣誤差、抽樣平均誤差、抽樣的極限誤差加以區(qū)別，并掌握他們的計算方法；掌握點估計和區(qū)間估計的方法和必要樣本單位數(shù)的確定方法。主要內(nèi)容：第一節(jié)抽樣推斷概述第二節(jié)抽樣的組織形式第三節(jié)抽樣誤差第四節(jié)抽樣估計第五節(jié)假設(shè)檢驗本章小結(jié)思考題參考書目第一節(jié)抽樣推斷概述1.1抽樣推斷的概念、特點和作用抽樣推斷是在抽樣調(diào)查的基礎(chǔ)上，利用樣本的實際資料計算出樣本的數(shù)據(jù)，并運用概率估計方法推斷出總體相應(yīng)數(shù)量特征值的一種統(tǒng)計分析方法。概念：1）按照隨機原則，抽選調(diào)查單位，是抽樣推斷的前提；2）運用概率估計法是抽樣推斷的特有估計方法；3）抽樣推斷的誤差可以事先計算并加以控制；抽樣推斷的特點：抽樣推斷的作用：1）對有些不可能或不必要進行全面調(diào)查，但有需要了解其全面數(shù)量情況的社會經(jīng)濟現(xiàn)象，可以運用抽樣推斷實現(xiàn)調(diào)查的目的；2）抽樣調(diào)查與全面調(diào)查同時進行，可以發(fā)揮互相補充和檢查調(diào)查質(zhì)量的作用；3）抽樣推斷可以用于工業(yè)企業(yè)生產(chǎn)過程的質(zhì)量控制；4）利用抽樣推斷方法還可以對某種總體的假設(shè)進行檢驗，判斷其真?zhèn)?，以作出正確的決策。1.2抽樣的幾個基本概念樣本是從總體中抽出的部分單位的集合，這個集合的大小稱為樣本容量。一般用n表示，它表明一個樣本中所包含的單位數(shù)。樣本個數(shù)又稱為樣本可能數(shù)目，是指從一個總體中可能抽取多少個樣本。樣本個數(shù)的多少與抽樣的方法有關(guān)。1/3樣本容量與樣本個數(shù)：樣本容量：樣本個數(shù)：總體分布的數(shù)量特征就是總體參數(shù)，也是抽樣統(tǒng)計推斷的對象。常見的總體參數(shù)有總體的平均數(shù)指標、總體比重指標、總體分布的方差、總體標準差，等等。與總體參數(shù)對應(yīng)的是樣本統(tǒng)計量。常見的樣本統(tǒng)計量有樣本平均數(shù)指標、樣本比重指標、樣本方差、樣本標準差，等等。2/3總體參數(shù)與樣本統(tǒng)計量總體參數(shù)：樣本統(tǒng)計量：從總體N單位中抽取一個容量為n的樣本，每次從總體抽取一個，連續(xù)抽取n個，每次抽出的一個單位將其結(jié)果登記后放回，重新參加下一次抽選。從總體N單位中抽取一個容量為n的樣本，每次從總體抽取一個，連續(xù)抽取n個，但每次抽出的一個單位將其結(jié)果登記后，不再放回參加下一次抽選。3/3重復(fù)抽樣與不重復(fù)抽樣重復(fù)抽樣：不重復(fù)抽樣：第二節(jié)抽樣的組織形式1.純隨機抽樣2.類型抽樣3.等距抽樣4.整群抽樣5.多階段抽樣和多重抽樣1/5純隨機抽樣也叫簡單隨機抽樣，是指按照隨機原則直接從總體N個單位中抽取n個單位作為樣本，然后對樣本單位進行觀測，計算出樣本指數(shù)，并據(jù)以推算總體相應(yīng)數(shù)量指標的抽樣組織形式，適用于均勻分布的總體。概念：抽簽法、計算機模擬法、隨機數(shù)表達法等。方法：符合隨機抽樣、設(shè)計其他抽樣的基礎(chǔ)、衡量其他抽樣方式的基礎(chǔ)。優(yōu)勢：需要編碼（可能很難辦到）、誤差較大、適用于較均勻的分布。劣勢：2/5類型抽樣先將全集總體中的所有單位按某一主要標志分組，然后在個組中采用隨機抽樣和機械抽樣的方式，抽取一定數(shù)目的調(diào)查單位構(gòu)成所需的樣本，又叫分層抽樣或分類抽樣。概念：1）提高樣本代表性；2）減少抽樣平均誤差。優(yōu)點：1）將統(tǒng)計分組與隨機隨機原則結(jié)合起來；2）能保證分布的均勻性，提高樣本的代表性；3）能同時推斷總體指標和各子總體的指標；4）抽樣誤差來源于每組內(nèi)部。特點：3/5等距抽樣等距抽樣又叫機械抽樣或系統(tǒng)抽樣，是指將總體各單位按某一標志排列，然后按固定的順序或間隔抽取調(diào)查單位的一種組織形式。概念：1）按有關(guān)標志排序等距抽樣2）按無關(guān)標識排序等距抽樣種類：4/5整群抽樣是指現(xiàn)將總體各單位劃分為R群，以群為單位，從中隨機抽取r群，然后對中選群的全部單位進行全面調(diào)查，并據(jù)以推算總體相應(yīng)指標的抽樣組織形式。概念：1）抽樣組織方便、節(jié)約調(diào)查費用；2）調(diào)查單位集中，誤差較大；3）直接抽取的不是總體單位而是群；4）影響抽樣誤差的是群間方差；5）一般不采用重復(fù)抽樣。特點：5/5多階段抽樣和多重抽樣多階段抽樣是只把抽取樣本單位的過程分為兩個或更多階段來進行的抽樣組織形式。多重抽樣是指根據(jù)對不同調(diào)查目標的不同要求，從總體中已抽取的樣本中再抽樣的組織形式。概念：1）目的不同。總體范圍較大，不便于直接抽取最終調(diào)查單位時采用多階段抽樣；為適應(yīng)不同調(diào)查項目的不同要求，達到節(jié)省人力、物力的目的時，采取多重抽樣。2）多階段抽樣的每個階段，抽樣單位的大小是不同的；多重抽樣每次抽取的單位大小是相同的。區(qū)別：抽樣誤差是指由于隨機抽樣的偶然因素使樣本各單位的結(jié)構(gòu)的代表性存在差別，而引起的抽樣指標和總體指標之間的絕對離差。A.概念：抽樣誤差是抽樣所產(chǎn)生的誤差；調(diào)查誤差是指在調(diào)研過程中，由于測量、登記、計算上的差錯所引起的誤差；系統(tǒng)偏誤是指由于隨機原則，有意地選擇較好或較差的單位進行調(diào)查，造成樣本代表性不足所引起的誤差。甄別：第三節(jié)抽樣誤差3.1抽樣誤差B.影響抽樣誤差大小的因素1）總體單位標志值的差異程度；2）樣本單位數(shù)的多少；3）抽樣方法；4）抽樣調(diào)查的組織形式。抽樣平均誤差是指所有抽樣平均數(shù)（或抽樣成數(shù)）與總體平均數(shù)（或總體成數(shù)）的標準差。它反映了抽樣平均數(shù)（或抽樣成數(shù)）與總體平均數(shù)（或總體成數(shù)）的平均誤差程度。概念：從同一總體中，按隨機原則抽取同樣單位數(shù)的多個樣本，每個樣本可以計算各自樣本平均數(shù)（或抽樣成數(shù)），計算一系列樣本平均數(shù)（或樣本成數(shù)）與總體平均數(shù)（或總體成數(shù)）的平均誤差程度。計算：3.2抽樣平均誤差抽樣平均誤差的計算1/2當總體為N，樣本容量為n時，抽樣平均誤差的計算公式如下：1）平均數(shù)的抽樣平均誤差的計算公式重復(fù)抽樣的情況下：不重復(fù)抽樣的情況下：抽樣平均誤差的計算2/2當總體為N，樣本容量為n時，抽樣平均誤差的計算公式如下：1）成數(shù)的抽樣平均誤差的計算公式重復(fù)抽樣的情況下：不重復(fù)抽樣的情況下：A類型抽樣（重復(fù)OR不重復(fù)）B等距抽樣（重復(fù)OR不重復(fù)）C整群抽樣（不重復(fù)）3.3各種組織形式下抽樣平均誤差的計算3.4抽樣的極限誤差抽樣平均誤差說明了某一抽樣方案的誤差情況，但在實際進行抽樣調(diào)查時，只抽取一個樣本，那么這個樣本的誤差可能大于或小于平均誤差。對于該項抽樣調(diào)查，一定會要求有一個允許誤差的范圍，這一允許誤差的范圍，就稱作抽樣極限誤差，又稱抽樣誤差范圍。概念：又稱為抽樣推斷，也稱為參數(shù)估計。它是在抽樣調(diào)查的基礎(chǔ)上所進行的數(shù)據(jù)推測，即用抽樣調(diào)查所得到的一部分單位的數(shù)量特征來估計和推算總體的數(shù)量特征。概念：在邏輯上運用歸納推理，而不是演繹推理；在方法上運用不確定的概率估計法而不是運用確定的數(shù)學(xué)分析法；估計的結(jié)論存在一定的抽樣誤差。特點：第四節(jié)抽樣估計4.1抽樣估計的特點4.2抽樣估計的理論基礎(chǔ)4.3抽樣估計的方法點估計是以點帶面的估計方法，其特點是根據(jù)總體指標的結(jié)構(gòu)形式設(shè)計樣本指標（統(tǒng)計量）作為總體參數(shù)的估計兩，并且以樣本指標的實際數(shù)值直接作為相應(yīng)總體參數(shù)的估計值。1/2點估計：樣本均值估計總體均值樣本成數(shù)估計總體成數(shù)樣本方差估計總體方差估計方法：衡量優(yōu)良估計的三個基本指標：1.無偏性：無偏性是指用樣本指標估計總體指標時，要求樣本指標的平均數(shù)等于被估計總體指標的平均數(shù)。2.有效性：有效性是指用樣本指標估計總體指標時，要求樣本指標的方差最小。3.一致性：一致性是指用樣本指標估計總體指標，當樣本容量增加時，樣本指標越來越接近總體指標，則稱樣本指標為總體指標的一致估計量。區(qū)間估計就是指總體參數(shù)的區(qū)間范圍，并要求給出區(qū)間估計成立的概率值。2/2區(qū)間估計：設(shè)θ是未知參數(shù)，X1，X2，…，Xn是來自總體的樣本，構(gòu)造兩個統(tǒng)計量θ1=T1（X1，X2，…，Xn）和θ2=T2（X1，X2，…，Xn），對于給定的α（

0＜α＜1），若θ1、θ2滿足：P﹛θ1≤θ≤θ2﹜=1-α則稱隨機區(qū)間[θ1、θ2]是參數(shù)θ的置信水平為1-α的置信區(qū)間，而1-α稱為[θ1、θ2]的置信度，

θ1、θ2稱為置信區(qū)間的下限和上限。定義：概念：區(qū)間估計的類型1/2：1）平均數(shù)的區(qū)間估計情況A：正態(tài)總體且方差已知，或非正態(tài)總體、方差未知、大樣本情況下,總體均值的區(qū)間估計。在此情況下，樣本均值的抽樣分布呈正態(tài)分布，其數(shù)學(xué)期望為總體均值，方差為。則稱為總體均值在置信水平下的置信區(qū)間。

P129T5—2案例分析：情況B：

正態(tài)總體、方差未知，小樣本情況下，總體均值的區(qū)間估計。如果總體服從正態(tài)分布,無論樣本容量大小,樣本均值的抽樣分布都服從正態(tài)分布。只要總體方差已知，即使在小樣本情況下，也可以計算總體均值的置信區(qū)間。如果總體方差未知，需用樣本修正方差代替，在小樣本情況下，應(yīng)用分布來建立總體均值的置信區(qū)間。

P130T5—5案例分析：在大樣本（一般經(jīng)驗規(guī)則：和）條件下，樣本比例的抽樣分布可用正態(tài)分布近似。在這種情況下，數(shù)理統(tǒng)計已經(jīng)證明如下結(jié)論：置信水平為的置信區(qū)間為：（重復(fù)抽樣條件下）（不重復(fù)抽樣條件下）2）成數(shù)的區(qū)間估計樣本容量是指一個樣本中包含單位數(shù)的個數(shù)。樣本容量取得比較大，收集的信息就比較多，從而估計精度比較高，但進行觀測所投入的費用、人力及時間就比較多；樣本容量取得比較小，則投入的費用、人力及時間就比較少，但收集的信息也比較少，從而估計精度比較低。這說明精度和費用對樣本容量的影響是矛盾的，不存在既使精度最高又使費用最省的樣本容量。一個常用的準則是在使精度得到保證的前提下尋求使費用最省的樣本容量。4.4樣本容量的確定意義：1、總體方差的大小?？傮w方差越大，為保證一定的準確度，需要抽取更多的樣本；反之，總體方差越小，可以抽取較少的樣本。2、允許誤差范圍的大小。允許誤差范圍越小，需要抽取更多的樣本；反之，允許誤差范圍越大，可以抽取較少的樣本。3、概率保證程度。概率保證程度越高，需要抽取更多的樣本；反之，概率保證程度越低，可以抽取較少的樣本。4、抽樣方法。在同樣的準確度要求下，重復(fù)抽樣的抽樣單位數(shù)多于不重復(fù)抽樣。5、抽樣的組織方式。不同的組織方式，由于產(chǎn)生的誤差不同，所以，要抽取的樣本容量也各有差別。影響因素：假設(shè)檢驗就是事先對總體參數(shù)或總體分布形式做出一個假設(shè)，然后利用樣本信息來判斷原假設(shè)是否合理，從而決定接受或拒絕原假設(shè)。概念：第五節(jié)假設(shè)檢驗（一）假設(shè)檢驗的基本思想（二）假設(shè)檢驗的步驟1.提出原假設(shè)和備擇假設(shè)。

2.選擇適當?shù)慕y(tǒng)計量，并確定其分布形式。

3.選擇顯著性水平α，確定臨界值。

4.做出結(jié)論。（三）假設(shè)檢驗的小概率原理所謂小概率原理，是指發(fā)生概率很小的隨機事件在一次實驗中是幾乎不可能發(fā)生的。根據(jù)這一原理，可以做出是否接受原假設(shè)的決定。5.1假設(shè)檢驗一般問題1/2總體方差已知時對正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗設(shè)總體X～N（μ，σ2），總體方差σ2

為已知，（x1,x2,…,xn）為總體的一個樣本，樣本平均數(shù)為?，F(xiàn)在的問題是對總體均值μ進行假設(shè)檢驗，H0:μ＝μ0

（或μ≤μ0

、μ≥μ0

）。根據(jù)抽樣分布定理，樣本平均數(shù)服從N（μ，σ2/n），所以，如果H0成立時，檢驗統(tǒng)計量U及其分布為：5.2總體的均值、比例的假設(shè)檢驗利用服從正態(tài)分布的統(tǒng)計量U進行的假設(shè)檢驗稱為U檢驗法。根據(jù)已知的總體方差、樣本容量n和樣本平均數(shù)，計算出檢驗統(tǒng)計量U的值。對于給定的檢驗水平，查正態(tài)分布表可得臨界值，將所計算的U值與臨界值比較，便可做出檢驗結(jié)論。雙側(cè)檢驗時，若｜U1｜>Uα/2，則拒絕H0，接受H1左側(cè)檢驗時，若U<–Uα，則拒絕H0，接受H1。右側(cè)檢驗時，若U>Uα，則拒絕H0，接受H1。P123例7-8（顯著性水平0.01）案例分析：

設(shè)總體X～N（μ，），但總體方差未知，此時對總體均值的檢驗不能用上述U檢驗法，因為此時的檢驗統(tǒng)計量U中包含了未知參數(shù)。為了得到一個不含未知參數(shù)的檢驗統(tǒng)計量，很自然會用總體方差的無偏估計量–––樣本方差S2

來代替，于是得到T統(tǒng)計量。根據(jù)上節(jié)內(nèi)容已知道，檢驗統(tǒng)計量T及其分布為：T2/2總體方差未知時對正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗利用服從t分布的統(tǒng)計量去檢驗總體均值的方法稱為T檢驗法。其具體做法是：根據(jù)題意提出假設(shè)（與U檢驗法中的假設(shè)形式相同）；構(gòu)造檢驗統(tǒng)計量T并根據(jù)樣本信息計算其具體值；對于給定的檢驗水平α，由t分布表查得臨界值；將所計算的t值與臨界