第三章 空間力系-重心形心

重力：由于地球的吸引而使物體受到的力，叫做重力。方向：總是豎直向下。

引入：§3-5物體的重心和形心當(dāng)我們用兩輪手推車推重物時，只有重物的重心正好與車輪軸線在同一鉛垂面內(nèi)時，才能比較省力。起重機(jī)用起重物時，吊鉤必須位于被吊物體重心的上方，才能使起吊過程中保持物體的平衡穩(wěn)定。機(jī)械設(shè)備中高速旋轉(zhuǎn)的構(gòu)件，如電機(jī)轉(zhuǎn)子、砂輪、飛輪等，都要求它的重心位于轉(zhuǎn)動軸線上，否則就會使機(jī)器產(chǎn)生劇烈的振動，甚至引起破壞，造成事故。因此，重心與平衡穩(wěn)定、安全生產(chǎn)有著密切的關(guān)系。另一方面，有時也利用重心的偏移形成振源來制造振動大夯機(jī)、混凝土搗實(shí)機(jī)等，從而滿足了生產(chǎn)上的需要。因此，重心應(yīng)為有關(guān)工程技術(shù)人員所必備的知識之一。返回目錄下一頁上一頁重心和形心的概念重心任何物體都可視為由許多微小部分所組成，每一微小部分上都作用一個指向地球中心的力，這些引力原本應(yīng)是一空間匯交力系，但由于地球的半徑比所研究物體的尺寸大得多，故可認(rèn)為這些力為一空間平行力系(如圖)。此力系的合力G為物體的重力，并稱重力的作用點(diǎn)C為物體的重心。對剛體而言，物體的重心是一個不變的點(diǎn)。形心物體幾何形狀的中心點(diǎn)稱為形心。

均質(zhì)規(guī)則的剛體,其重心和形心在同一點(diǎn)上如圖所示,設(shè)物體重力作用點(diǎn)的坐標(biāo)為G(xc，yc，zc),

得物體的重心坐標(biāo)公式為1）重心坐標(biāo)的一般計(jì)算公式對于均質(zhì)物體，若用ρ表示其密度，△V表示微體積，則得物體的重心坐標(biāo)公式為2）物體均質(zhì)時重心坐標(biāo)的計(jì)算公式3）物體均質(zhì)薄板時重心坐標(biāo)的計(jì)算公式（即平面圖形的形心）記Sy=∑xi△Ai=

xcA，則Sy稱為圖形對y軸的靜矩

Sx=∑yi△Ai=

∑yi△Ai=

ycA，Sx稱為圖形對x軸的靜矩

若某軸通過圖形的形心,則圖形對該軸的靜矩必為零；反之，若圖形對某軸的靜矩為零，則該軸必通過圖形的形心。

結(jié)論：若均質(zhì)物體有對稱面，或?qū)ΨQ軸，或?qū)ΨQ中心，不難看出，該物體的重心必相應(yīng)地在這個對稱面，或?qū)ΨQ軸，或?qū)ΨQ中心上。簡單形狀均質(zhì)物體的重心就是它的幾何形狀的形心。二、重心的求法：1、簡單幾何形狀物體的重心(對稱法）

如物體的形狀復(fù)雜或質(zhì)量分布不均勻，其重心常由實(shí)驗(yàn)來確定。

<1>懸掛法對于形狀復(fù)雜的薄平板，求形心位置時，可將板懸掛于任一點(diǎn)A，根據(jù)二力平衡公理，板的重力與繩的張力必在同一直線上，故形心一定在鉛垂的掛繩延長線AB上；重復(fù)施用上述方法，將板掛于D點(diǎn)，可得DE線。顯而易見，平板的重心即為AB和DE的交線C。ABABDEC2、實(shí)驗(yàn)法稱出物體的重量G

固定物體，一端支于固定點(diǎn)A，另一端支于秤上

量出兩支點(diǎn)間的水平距離l

讀出磅秤上的讀數(shù)FB

G<2>稱重法一般針對均質(zhì)平板物體而言<1>分割法：若物體可以劃分為形狀簡單的幾個部分，每個部分的面積和重心位置都屬已知，則整個物體的重心易于求得。 <2>負(fù)面積法：方法與分割法同，只是除去的面積看作負(fù)值。3、組合法：（分割法或負(fù)面積法）A1A2A3例1:已知：Z形截面，尺寸如圖，求：該截面的形心位置。解：(1)組合法:

將該截面分割為三部分，取Oxy直角坐標(biāo)系，如圖例2試求圖示平面圖形的形心位置(單位：mm)。

解：該題可用兩種方法求解

(1)分割法如圖所示將該圖形分解成兩個矩形I和II，它們的形心位置分別為C

1(xl，yl)、C2(x2，y2)。其面積分別為A1和A2。得x1=10mm，y1=10mm，A1=20×44=880mm2x2=20mm，y2=8mm，A2=16×40=640mm2則有：(2)負(fù)面積法

將該圖形看成是一個大矩形I減去一個小矩形II。它們的形心位置分別為C

1(xl，yl)、C2(x2，y2)。其面積分別為A1和A2。根據(jù)圖形分析可知，x