第三章 流體動力學基礎

流體力學建筑與環(huán)境工程系王宏燕01052334020(o)wanghongyan@第三章流體動力學基礎

熟悉流體流動的基本概念了解連續(xù)性微分方程、實際流體的運動微分方程；牢固掌握，并靈活應用恒定總流連續(xù)性方程與實際總流的能量方程。

學習要求第三章流體動力學基礎1、連續(xù)性方程的應用2、伯努利方程的的應用3、理想流體的運動微分方程（歐拉方程）

本章難點第三章流體動力學基礎§3-1描述流體運動的兩種方法及質點加速度的意義§3-2流體流動的基本概念§3-3流體流動的連續(xù)性方程§3-4理想流體的運動微分方程§3-5穩(wěn)定流動的能量衡算——伯努利方程及應用一、拉格朗日（Lagrange）法1、基本思想：跟蹤每個流體質點的運動全過程，記錄它們在運動過程中的各物理量及其變化。2、獨立變量：（a,b,c,t）——區(qū)分流體質點的標志3、質點物理量：B(a,b,c,t)，如：4、質點位移:5、速度:6、加速度：§3-1描述流體運動的兩種方法一、拉格朗日（Lagrange）法任意質點的位置：

拉格朗日變量一、拉格朗日（Lagrange）法

速度：

加速度：二、歐拉法1、定義——以流場中空間的位置（即坐標點）為出發(fā)點，描述這些位置上的流體參量對時間的分布規(guī)律。類似于電場，磁場的描述。

基本思想：考察空間每一點上的物理量及其變化。所謂空間一點上的物理量是指占據(jù)該空間點的流體質點的物理量2.歐拉自變量----空間位置的標志:

歐拉自變量----空間位置的標志，即空間坐標。直角坐標系中，為x，y，z

任意時刻，物理量的空間分布規(guī)律寫作

當參數(shù)x，y，z不變而改變時間t，則表示空間某固定點的速度隨時間的變化規(guī)律。當參數(shù)t不變，而改變x，y，z，則代表某一時刻，空間各點的速度分布二、歐拉法3、速度表達式，即速度場

u=u(x，y，z，t)

（3-1）v=v(x，y，z，t)w=w(x，y，z，t)式中，u，v，w分別表示速度矢量在三個坐標軸上的分量：其他物理量如壓強和密度的表示——二、歐拉法4、加速度的表示加速度的定義——x=x(t)y=y(t)z=z(t)的意義流體質點沿運動軌跡的三個速度分量對速度表達式（3-1）式求全導數(shù)，得到加速度公式：

x，y，z有雙重意義，一方面它代表流場的空間坐標，另一方面它代表流體質點在空間的位移。二、歐拉法4-1用歐拉法求得的流體質點的加速度由兩部分組成——4-2當?shù)丶铀俣龋河捎谀骋豢臻g點上的流體質點的速度隨時間的變化而產(chǎn)生的，即式中等式右端的第一項。4-3遷移加速度：某一瞬時由于流體質點的速度隨空間點的變化稱為遷移加速度，即式中等式右端的后三項。舉例說明歐拉法加速度說明中間有收縮形的變截面管道內的流動不可壓縮流體流過一個中間有收縮形的變截面管道，截面2比截面1小，則截面2的速度就要比截面1的速度大。所以當流體質點從1點流到2點時，由于截面的收縮引起速度的增加，從而產(chǎn)生了遷移加速度，如果在某一段時間內流進管道的流體輸入量有變化（增加或減少），則管道中每一點上流體質點的速度將相應發(fā)生變化（增大或減少），從而產(chǎn)生了當?shù)丶铀俣取?3

描述流體運動的兩種方法比較一、定常流動和非定常流動二、跡線與流線三、流管與流束四、當量直徑五、流量及平均流速六、一維、二維和三維流動七、緩變流與急變流§3-2流體流動的基本概念

一、定常流動和非定常流動根據(jù)流體的流動參數(shù)是否隨時間而變化，可將流體的流動分為定常流動和非定常流動。速度與加速度表達式（a）定常流動（b）非定常流動

二、跡線與流線1、跡線——跡線是流場中某一質點運動的軌跡。跡線是流體運動的一種幾何表示，跡線的研究是屬于拉格朗日法的內容。跡線的數(shù)學表達式二、跡線與流線2、流線流線是某一瞬時在流場中所作的一條曲線，在這條曲線上的各流體質點的速度方向都與該曲線相切，因此流線是同一時刻，不同流體質點所組成的曲線流線的引入是歐拉法的研究特點。二、跡線與流線3、流線的基本特性在定常流動時，流線和跡線相重合；而在非定常流動時，流線和跡線不相重合。通過某一空間點在給定瞬間只能有一條流線，一般情況流線不能相交和分支。流線不能突然折轉，是一條光滑的連續(xù)曲線。流線密集的地方，表示流場中該處的流速較大，稀疏的地方，表示該處的流速較小。三、流管與流束1、流管——在流場中任取一條不是流線的封閉曲線，通過曲線上各點作流線，這些流線組成一個管狀表面，稱之為流管。2、流束——過流管橫截面上各點作流線，則得到充滿流管的一束流線簇，稱為流束。3、有效截面——在流束中與各流線相垂直的橫截面稱為有效截面。流線相互平行時，有效截面是平面。流線不平行時，有效截面是曲面。4、微元流管——有效截面面積為無限小的流束和流管，稱為微元流束和微元流管。在每一個微元流束的有效截面上，各點的速度可認為是相同的。5、總流——無數(shù)微元流束的總和稱為總流。根據(jù)總流的邊界情況，可以把總流流動分為三類：（1）有壓流動總流的全部邊界受固體邊界的約束，即流體充滿流道，如壓力水管中的流動。（2）無壓流動總流邊界的一部分受固體邊界約束，另一部分與氣體接觸，形成自由液面，如明渠中的流動。（3）射流總流的全部邊界均無固體邊界約束，如噴嘴出口的流動。三、流管與流束四、當量直徑1、濕周——在總流的有效截面上，流體與固體邊界接觸的長度稱為濕周，用符號χ表示。2、水力半徑——總流的有效截面面積與濕周之比稱為水力半徑。3、當量直徑——水力半徑的4倍。五、流量及平均流速1、體積流量——單位時間內通過有效截面的流體體積稱為體積流量，以qv表示。其單位為m3/s、m3/h等。2、質量流量——單位時間內通過有效截面的流體質量稱為質量流量,以qm表示，其單位為kg/s、t/h等。3、由于微元流束有效截面上各點的流速V是相等的，所以通過微元流束有效截面積的體積流量dqv和質量流量dqm分別為：

dqv=VdAdqm=ρVdA工程中引入六、一維、二維和三維流動按照流動參數(shù)與空間坐標變量個數(shù)間的關系，將流動分為一維、二維和三維。七、緩變流與急變流根據(jù)流場中同一條流線各空間點上的流速是否相同，可將總流分為均勻流和非均勻流。若相同則稱為均勻流，否則稱為非均勻流。非均勻流按流速的大小和方向沿流線變化的緩、急程度又可分為緩（漸）變流和急變流兩種流速的大小和方向沿流線逐漸改變的非均勻流，稱為緩（漸）變流。方向沿流線急劇變化的非均勻流，稱為急變流。急變流緩變流緩變流緩變流緩變流緩變流急變流急變流急變流急變流圖緩變流和急變流27均勻流過流斷面上的流速分布服從水靜力學規(guī)律：均勻流過流斷面上的壓強分布28均勻流過流斷面上的壓強分布（1）均勻流同一過流斷面上測壓管高度相同。（2）不同過流斷面上測壓管高度不同。（粘性阻力作負功，使下游斷面水頭降低。29均勻流與恒定流的區(qū)別

恒定流——當?shù)丶铀俣鹊扔诹?；均勻流——遷移加速度等于零?！?-3流體流動的連續(xù)性方程

一、微分形式的連續(xù)性方程二、一維總流的連續(xù)性方程圖流場中的微元平行六面體一、微分形式的連續(xù)性方程控制體是流場中劃定的空間，形狀、位置固定不變，流體可不受影響地通過。一、微分形式的連續(xù)性方程1、微元六面體各表面上的參數(shù)u,v,w,ρ均為空間坐標和時間的連續(xù)函數(shù)根據(jù)泰勒級數(shù)展開，略去高階無窮小一、微分形式的連續(xù)性方程2、dt時間內，流入和流出微元六面體的流體質量dt時間內從右邊微元面積dydz流出的流體質量dt時間內沿x軸方向流體質量的變化

同理可得，在dt時間內沿y軸和z軸方向流體質量的變化分別為：

因此，在dt時間內經(jīng)過微元六面體的流體質量總變化為

§3-3一、微分形式的連續(xù)性方程3、微元六面體內流體質量的變化設開始瞬時流體的密度為ρ，經(jīng)過dt時間后的密度為在dt時間內，六面體內因密度的變化而引起的質量變化為流體是連續(xù)介質，質點間無空隙，根據(jù)質量守恒原理，dt時間控制體的總凈流出/入質量，必等于控制體內由于密度變化而減少/增加的質量。一、微分形式的連續(xù)性方程

4、連續(xù)性方程的幾種形式可壓縮流體非定常三維流動可壓縮流體定常三維流動不可壓縮流體三維流動——物理意義是：在同一時間內通過流場中任一封閉表面的體積流量等于零，也就是說，在同一時間內流入的體積流量與流出的體積流量相等。不可壓縮流體二維流動二、一維總流的連續(xù)性方程圖3-13流場中的微元流束§3-31、微元流束的連續(xù)性方程

假定——流體的運動是連續(xù)的、定常的，則微元流束的形狀不隨時間而改變。又根據(jù)流管的特性，流體質點不能穿過流管表面，因此在單位時間內通過微元流管的任一有效截面的流體質量都應相等，即

ρ1V1dA1=ρ2V2dA2=ρVdA=常數(shù)

dA1

、dA2——分別為1、2兩個有效截面的面積，m2

V1

、V2——分別為dA1和dA2上的流速，也稱為真實流速，m/s；

ρ1、ρ2—分別為1和2處的流體密度，kg/m3§3-32、總流的連續(xù)性方程對于由無限多微元流束所組成的總流（例如流體在管道中的流動），可對上式進行積分得一維流動積分形式總流的連續(xù)性方程可壓縮流體一維定常流動的總流連續(xù)性方程不可壓縮流體一維定常流動的總流連續(xù)性方程?！痪S總流在定常流動條件下，沿流動方向的體積流量為一個常數(shù)，平均流速與有效截面面積成反比，即有效截面面積大的地方平均流速小，有效截面面積小的地方平均流速就大?！?-33、有分流和合流時的連續(xù)性方程

對于n個入口和m個出口的管道，不可壓縮流體的連續(xù)性方程為：

流向分點的流量之和等于自分合點流入的流量之和。

工程上常遇到的分流和合流情況是流體通過三通和四通時的流動。對不可壓流體:

分流:

合流:

§3-3

【例3-1】假設有一不可壓縮流體三維流動，其速度分布規(guī)律為U=3（x+y3)，v=4y+z2，w=x+y+2z。試分析該流動是否連續(xù)。

【解】根據(jù)不可壓縮流體三維流動的連續(xù)性方程

所以故此流動不連續(xù)。不滿足連續(xù)性方程的流動是不存在的§3-3

【例3-2】有一不可壓縮流體平面流動，其速度分布規(guī)律為u=x2siny，v=2xcosy，試分析該流動是否連續(xù)。

【解】根據(jù)不可壓縮流體二維流動的連續(xù)性方程所以

故此流動是連續(xù)的?！?-3

【例3-3】有一輸水管道，如圖3-14所示。水自截面1-1流向截面2-2。測得截面1-1的水流平均流速m/s，已知d1=0.5m，d2=1m，試求截面2-2處的平均流速為多少？

【解】由不可壓縮流體一維定常流動的總流連續(xù)性方程得

(m/s)§3-3§3-4理想流體的運動微分方程

在流動的理想流體中，取出一個微元平行六面體的微團，它的各邊長度分別為dx、dy和dz，如圖所示。由于是理想流體，沒有黏性，運動時不產(chǎn)生內摩擦力，所以作用在流體微團上的外力只有質量力和壓強。該壓強與靜壓強一樣，垂直向內，作用在流體微團的表面上。假設六面體形心的坐標為x、y、z，壓強為p。先分析x方向的運動，在垂直于x軸的左右兩個平面中心點上的壓強各等于

圖3-15推導歐拉運動微分方程用圖

設在六面體形心上的單位質量的質量力分量為fx、fy和fz

，則作用在微元平行六面體的流體微團上的質量力在x軸方向的分量為fxρdxdydz

又流體微團的加速度在x軸上的投影為，則根據(jù)牛頓第二定律得x軸方向的運動微分方程

各項除以流體微團的流體質量ρdxdydz，化簡后得：

同理歐拉運動微分方程加速度寫成展開式，可將歐拉運動微分方程寫成如下形式

在一般情況下，作用在流體上的質量力fx、fy和fz

是已知的，對理想不可壓縮流體其密度ρ為一常數(shù)。在這種情況下，方程中有四個未知數(shù)u、v、w和p，而式方程組中有三個方程，再加上不可壓縮流體的連續(xù)性方程，就從理論上提供了求解這四個未知數(shù)的可能性。483-5理想流體微元流束的伯努利方程

一、理想流體微元流束的伯努利方程1、方程的條件理想流體不可壓縮流體沿同一條流線（或微元流束）流體受到的質量力僅為重力2、推導過程50

最后得到：一、理想流體微元流束的伯努利方程51二、理想流體微元流束伯努利方程的物理意義和幾何意義1、物理意義Z——為單位重量流體相對于基準面所具有的位勢能；P/γ——為單位重量流體所具有的壓強勢能；u2/2g為單位重量流體所具有的動能；H

為單位重量流體所具有的機械能。1、物理意義理想不可壓縮流體在重力作用下作定常流動時，沿同一流線（或微元流束）上各點的單位重量流體所具有的位勢能、壓強勢能和動能之和保持不變，即機械能為一常數(shù)。位勢能、壓強勢能和動能三者能量之間可以相互轉換伯努利方程是能量守恒定律在流體力學中的表現(xiàn)形式。二、理想流體微元流束伯努利方程的物理意義和幾何意義532、幾何意義

位置水頭速度水頭壓強水頭總水頭測壓管水頭二、理想流體微元流束伯努利方程的物理意義和幾何意義542、幾何意義

理想不可壓縮流體在重力作用下作定常流動時，沿同一流線（或微元流束）上各點的位置水頭、壓強水頭和速度水頭之和保持不變，即總水頭線是平行于基準面的水平線。二、理想流體微元流束伯努利方程的物理意義和幾何意義

流體流動過程實質上是各種形式能量之間的轉化過程，它們之間遵循能量守恒定律。

穩(wěn)定流動伯努利方程反映了流體在管道中流動時流速、壓力和位差之間的變化關系，在工程上有廣泛的應用價值。

如用高位槽向設備輸送流體

§3-6穩(wěn)定流動的能量衡算

——總流伯努利方程及應用一、理想流體恒定流動時的機械能衡算

流速v1

（平均）

壓強p1

標高z1

截面面積

A1

流體密度1

進口出口理想流體穩(wěn)定流動,從截面1—1流入，截面2—2流出。衡算范圍：管路的內壁面、截面1—1與截面2—2之間?；鶞仕矫妫?—0水平面（可任意選定）。

流速v2（平均）

壓強p2

標高z2

截面面積A2

流體密度2

1、流體所具有的機械能

流體的機械能是指由流體的位置、運動和壓力所決定的位能、動能和壓力能，單位為J或kJ。

位能mgz流體因處于地球重力場內而具有的能量。

流體因以一定的流速運動時而具有的能量。

（1）位能

其值大小與基準面位置有關（2）動能

動能比位能gz比動能單位為J/kg或kJ/kg

又稱為靜壓能，是流體因存在一定的靜壓力而具有的能量。

（3）壓力能

與流體流動與否無關壓力能比壓力能機械能

1kg流體帶入1—1截面的總機械能為

1kg流體在2—2截面處帶出的總機械能為2.理想流體穩(wěn)定流動的機械能衡算伯努利方程能量守恒定律，對穩(wěn)定流動系統(tǒng)應有:機械能衡算

對不可壓縮的理想流體:

1=2=

總流伯努利（Bernoulli）方程，也稱能量方程

理想流體作穩(wěn)定流動且與外界無能量交換時。適用于:

在任一截面上，單位質量流體的總機械能（即該截面上比位能、比動能和比壓力能之和）恒為常量。說明:

理想流體的伯努利方程揭示了理想流體在穩(wěn)定流動中各種形式的機械能互相轉換的數(shù)量關系。

3、流體機械能之間的相互轉換

理想流體在某一水平變徑管道中作穩(wěn)定流動:例如:

理想流體在某一內徑相同的傾斜直管中作穩(wěn)定流動:

v1=v2z1=z2z1＞z2A1＞A2<＜二、實際流體穩(wěn)定流動時的機械能衡算除了考慮各截面的機械能（位能、動能、壓力能）外，還要考慮以下兩項能量：

1、損失能量

1kg的流體流動時的能量損失用符號hw表示，單位為J/kg。

實際流體流動時,因克服流動阻力而損耗的機械能以熱量形式散失,稱為能量損失。

將1kg流體從流體輸送機械（如泵）獲得的能量稱為外加能量，用符號he表示，單位為J/kg。

2、外加能量其作用是將機械能傳遞給流體，使流體的機械能增加

實際流體在穩(wěn)定流動狀態(tài)下的總能量衡算式為:

稱為實際流體伯努利方程，又稱為穩(wěn)定流動能量方程物理意義——機械能的平均值沿程減小，部分機械能轉化為熱能損失。三、伯努利方程的討論

（1）上式各項均為單位質量(1kg

)流體所具有的能量，單位均為J/kg。

有效功率Pe:單位時間輸送設備所作的有效功，單位為W

。某截面上流體自身所具有的機械能

流體在兩截面之間與外界交換的能量

he為外加能量,是輸送機械對1kg流體作的有效功。gz、v2/2、p/he、hw

上式各項表示單位重量流體所具有能量，單位均為J/N

，簡化為m

。其物理意義為：單位重量流體所具有的機械能可以把它自身從水平基準面升舉的高度。

伯努利方程討論（2）上式各項同除以g，又令

總水頭

位置水頭(位壓頭)z

速度水頭(動壓頭)v2/2g

壓強水頭(靜壓頭)p/g流體接受外功所增加的壓頭He流體流經(jīng)劃定體積的壓頭損失Hw總水頭線測壓管水頭線伯努利方程討論粘性總流伯努利方程的幾何意義——總流的實際總水頭線沿流程下降，下降的高度即為能量損失。

上式各項表示單位體積氣體所具有能量，單位均為J/m3或Pa

。伯努利方程討論（3）上式各項同乘以

，又令

風壓pe——風壓是指單位體積氣體通過輸送機械后所獲得的能量

壓力降(壓力損失)pw伯努利方程討論

（4）上式伯努利方程適用于不可壓縮流體作恒定連續(xù)流動的情況。對于可壓縮流體的流動，當所取系統(tǒng)中兩截面間的絕對壓強變化小于原來絕對壓強的20％時，上述公式仍可使用，但公式中流體密度應以兩截面間流體的平均密度m代替。

伯努利方程討論

（5）如果系統(tǒng)中的流體處于靜止狀態(tài)，則v=0，因流體沒有運動，故無能量損失，即hw=0，當然也不需要外加功，即he=0，于是柏努利方程變?yōu)椋?/p>

上式即為流體靜力學基本方程。由此可見，伯努利方程不僅描述了流體流動的規(guī)律，也反映了流體靜止狀態(tài)的規(guī)律，流體的靜止狀態(tài)是流體流動狀態(tài)的一種特殊形式。(6)實際流體（總流）能量方程適用于不可壓縮流體位置水頭，位能；壓強水頭，壓能；速度（流速）水頭，動能水頭損失，1-2斷面的平均能量損失動能修正系數(shù)伯努利方程討論四、伯努利方程的應用

（1）伯努利方程應用條件。穩(wěn)定流動的不可壓縮流體，流動是連續(xù)的。

（2）作圖與確定衡算范圍。根據(jù)工程要求畫出流動系統(tǒng)的示意圖，指明流體的流動方向和上下游的截面，以明確流動系統(tǒng)的衡算范圍。1、伯努利方程應用注意事項

（3）截面的選取。按流體的流向確定上、下游截面，選定的兩截面應與流動方向垂直，兩截面應取在平行流動處，不要取在閥門、彎頭等部位，兩截面間的流體必須是連續(xù)的。緩變流

（5）基準面的選取?？扇我膺x擇，但須與地面平行，兩個截面必須是同一基準面。通常取其中位置較低的截面作為基準面。當截面與地面平行時，則基準面與該截面重合；若截面與地面垂直，則基準面通過該截面的中心。

（6）單位必須一致。統(tǒng)一單位后再進行計算。兩截面上壓力要同時用絕對壓力或相對壓力（表壓力）表示。伯努利方程應用

（4）敞口容器自由液面上的壓力為大氣壓；管道出口截面上的壓力為大氣壓;流體在水箱、水槽等截面較大的容器中的流速可認為是零。

（8）當一個問題中有2個未知量時，需和連續(xù)性方程聯(lián)立求解。

伯努利方程應用

（7）對分流或合流的情況，單位質量流體的能量守恒關系依然存在，如分流時,只是分別表現(xiàn)為截面1→2和截面l→3的兩個能量關系式而已。當沒有外加能量時，則2.伯努利方程應用示例求解問題的一般步驟是：

劃分截面

伯努利方程和連續(xù)性方程聯(lián)立，可以全面解決流動系統(tǒng)中流速和壓力的計算問題。

分析流動

選擇基準

列解方程75

（1）皮托管76

舉例：皮托管hBhA（2）文丘里流量計原理——文丘里流量計主要用于管道中流體的流量測量，主要是由收縮段、喉部和擴散段三部分組成。利用收縮段，造成一定的壓強差，在收縮段前和喉部用Ｕ形管差壓計測量出壓強差，從而求出管道中流體的體積流量。（2）