等式與不等式性質教案（Word版）

《等式性質與不等式性質（第一課時）》教學設計教學目標1．會從實際問題所蘊含的不等關系中抽象出不等式，提升學生的數(shù)學抽象素養(yǎng)；2．理解兩個實數(shù)大小關系的基本事實，能運用這個基本事實比較兩個代數(shù)式的大小；3．經歷重要不等式a2+b2≥2ab的發(fā)現(xiàn)過程，并予以證明，提升學生的邏輯推理素養(yǎng)．教學重難點教學重點：兩個實數(shù)大小關系的基本事實及其簡單應用．教學難點：從實際問題所蘊含的不等關系中抽象出不等式．課前準備PPT課件，用紙做四個全等的直角三角形．教學過程一、整體感知問題1：請同學們閱讀本章引言的文章，說說本章要學習的內容是什么？和初中所學的哪些內容有聯(lián)系？對我們今后學習數(shù)學有什么作用？用什么方法來研究本章內容？師生活動：學生自主閱讀后、討論交流．預設的答案：1．本章主要研究的內容是方程和不等式，包括不等關系和不等式，基本不等式和一元二次不等式的研究，通過回顧、梳理初中學習的等式內容，提煉出其中蘊含的思想方法，用一次函數(shù)的觀點看一次方程、不等式中蘊含的思想方法，用于研究不等式和一元二次不等式有關問題．2．方程和不等式是重要的數(shù)學工具，可以解決數(shù)學內外的各種問題，為今后學習作工具上的準備，另外，用函數(shù)的觀點看方程和不等式是一種重要的思想方法，體現(xiàn)了數(shù)學知識之間的聯(lián)系性和整體性，為今后的學習作思想方法上的準備．設計意圖：一章的起始課，首先要從整體上把握所學內容，讓學生明確本章內容的地位、作用、內在聯(lián)系及研究方法，有助于學生良好認知結構的建立和完善．引語：相等關系和不等關系是數(shù)學中最基本的數(shù)量關系，首先來學習等式性質和不等式性質．（板書：等式性質和不等式性質）二、新知探究1．從實際問題所蘊含的不等關系中抽象出不等式問題2：你能用不等式或不等式組表示下列問題中的不等關系嗎？（1）某路段限速40km/h；（2）某品牌酸奶的質量檢查規(guī)定，酸奶中脂肪的含量f應不小于%，蛋白質的含量p應不少于%；（3）三角形兩邊之和大于第三邊、兩邊之差小于第三邊；（4）連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短．師生活動：學生分別用不等式表達，若有表達不準確，或表達困難的，引導學生先用符號表示題中的量，再用不等號表示問題中的不等關系．預設的答案：（1）設速度為vkm/h，則0＜v≤40；（2）；（3）設△ABC的三條邊為a，b，c，則a+b＞c，a-b＜c；（4）設C是線段AB外任意一點，CD⊥AB，垂足為D，E是線段AB上不同于D的任意一點，則CD＜CE．追問1：你還能舉出幾個具有相等與不等關系的實際問題的例子嗎？這些不等關系如何用式子表示？師生活動：學生自己舉例，并用等式和不等式表示，在這個過程中教師不斷啟發(fā)學生，使得結論更科學和嚴謹．追問2：在上述問題的解決中，你經歷了怎樣的思考過程？師生活動：學生總結，教師完善：閱讀實際問題——引入變量——將實際問題的文字語言轉化為符號語言——找到量之間的關系——獲得需要的不等式．設計意圖：通過創(chuàng)設問題情境，讓學生經歷從實際問題中抽象出不等式，明確數(shù)學的價值和作用，提高學生數(shù)學抽象素養(yǎng)．并通過這組問題的解決，提煉出所用的方法，為后面解決問題做好鋪墊．2．研究不等式性質的必要性問題3：某種雜志原以每本元的價格銷售，可以售出8萬本，據市場調查，雜志的單價每提高元，銷售就可能減少2000本．如何定價才能使提價后的銷售總收入不低于20萬？師生活動：學生獨立思考，分析數(shù)量關系后用不等式表達．根據問題1總結的程序求解．設提價后每本雜志的定價為x元，則銷售總收入為萬元．于是不等關系“銷售總收入不低于20萬元”可以用不等式表示為≥20．①．求出不等式①的解集，就能知道滿足條件的雜志的定價范圍．追問：如何解不等式①？解方程的依據是什么？類比解方程的依據，解不等式的依據是什么？師生活動：學生回憶初中解方程方法，教師引導學生得到解方程的依據為等式的性質．因些解不等式要用不等式的性質，為此我們需要先研究不等式的性質．設計意圖：從實際情境出發(fā)，得到不等式，并通過將類比等式的解決，引出不等式性質研究的必要性．3．兩個實數(shù)大小關系的基本事實問題4：若要研究不等式的性質，首先要用到兩個實數(shù)大小關系的基本事實．如何比較兩個式的大小關系呢？師生活動：讓學生回憶初中兩個數(shù)比較大小的方法，從而得出結論：；；．追問：這三條就是“兩個實數(shù)大小關系的基本事實”．據此，要比較兩個實數(shù)的大小，可以轉化為什么運算完成？預設的答案：轉化為減法運算，并將求得的結果與0比較．設計意圖：學生通過回憶實數(shù)比較大小的方法，明確基本事實，了解把大小比較轉化為數(shù)學運算的思路，提高學生的化歸能力．例1比較(x+2)(x+3)和(x+1)(x+4)大小．師生活動：學生獨立完成之后展示交流．師生總結求解思路：將問題轉化為兩個多項式的差與0的大?。處燑c撥：0是正數(shù)與負數(shù)的分界點，它為實數(shù)比較大小提供了“標桿”．預設的答案：因為(x+2)(x+3)-(x+1)(x+4)=(x2+5x+6)-(x2+5x+4)=2＞0，所以(x+2)(x+3)＞(x+1)(x+4)．設計意圖：兩個實數(shù)大小關系的基本事實的初步應用，讓學生體會作差比較法在比較大小中的作用．4．重要不等式的探究和證明圖1問題5：圖1是在北京召開的第24屆國際數(shù)學家大會的會標，會標是根據中國古代數(shù)學家趙爽的弦圖設計的，顏色的明暗使它看上去像一個風車，代表中國人民熱情好客．你能在這個圖中找出一些相等關系和不等關系嗎？圖1師生活動：首先讓學生用四個全等的直角三角形拼接出圖形，小組交流不同人的拼接圖形中的不同，之后教師利用幾何畫板進行動態(tài)演示：改變直角三角形兩直角邊長，讓學生直觀感覺圖形的變化．然后按照前面的程序，引入符號，比如用a，b表示直角三角形的兩條直角邊，尋找關系，寫出不等式．然后以小組為單位合作探究，展示成果．預設方案1：學生已經發(fā)現(xiàn)重要不等式，讓學生展示其發(fā)現(xiàn)過程．預設方案2：學生沒有發(fā)現(xiàn)重要不等式，可以進一步啟發(fā)．追問1：你能用字母表示出圖中四個直角三角形和大正方形的面積嗎？預設的答案：用a，b表示直角三角形的兩條直角邊，則直角三角形的面積為2ab，大正方形的面積為a2+b2．追問2：在變化過程中四個直角三角形的面積和大正方形面積之間存在著相等和不等關系，你能表示出來嗎？師生活動：學生得到a2+b2＞2ab．教師進一步變化圖形，引導學生觀察當a=b時，小正方形的面積為0，這時a2+b2=2ab．綜合兩類情況，得到a2+b2≥2ab，當a=b且僅當時取等號．追問3：上述過程中，a，b為正數(shù)，如果a，b∈R，式子是否成立？為什么？師生活動：引導學生分析問題，回歸到用“兩個實數(shù)大小關系的基本事實”作差比較，并規(guī)范證明過程．證明：∵a2+b2-2ab=(a-b)2≥0，∴a2+b2≥2ab，當且僅當a=b時，等號成立．設計意圖：對實際問題深入分析，發(fā)現(xiàn)不等關系，引入符號，表示不等關系，感受到由“形”到“數(shù)”的轉換過程．利用軟件演示圖形的動態(tài)變化，感受圖形從量變到質變的過程，培養(yǎng)學生直觀想象素養(yǎng)．通過追問，讓學生經歷猜想到證明不等式的一般過程，為不等式性質和基本不等式的學習奠定基礎．對問題情境的分析中讓學生感受數(shù)學文化的價值．三、歸納小結，布置作業(yè)問題6：本節(jié)課我們主要學習了哪些知識，為什么要研究這些內容？研究這些內容有什么作用？師生活動：師生一起總結．設計意圖：通過梳理本節(jié)課的內容，能讓學生更加明確研究兩個實數(shù)大小關系的基本事實是為了研究不等式的性質，解決解不等式問題．兩個實數(shù)大小關系的基本事實使數(shù)學運算參與問題解決之中，可以比較兩個實數(shù)的大小．作業(yè)布置：教科書習題第2，3，4，9，10題．四、目標檢測設計1．用不等式或不等式組表示下面的不等關系：（1）某高速公路規(guī)定通過車輛的車貨高度h從地面算起不超過4m；（2）a與b的和是非負實數(shù)；（3）如圖，在一個面積小于350m2的矩形地基的中心位置上建造一個倉庫，倉庫的四周建成綠地，倉庫的長L大于寬W的4倍．設計意圖：考查從實際