空間直線平面的垂直【新教材】人教A版高中數(shù)學(xué)必修同步講義（機(jī)構(gòu)專用）

空間直線、平面的垂直知識(shí)梳理知識(shí)梳理1、直線與平面垂直（1）定義：如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，就說(shuō)直線l與平面α垂直，記作l⊥α；直線l叫做平面α的垂線；平面α叫做直線l的垂面；直線與平面垂直時(shí)，它們唯一的公共點(diǎn)P叫做垂足．（2）畫(huà)法：通常把直線畫(huà)成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直．（3）判定定理：文字描述，一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直．符號(hào)表示：a?α，b?α，a∩b＝A，l⊥a，l⊥b?l⊥α.2、面面垂直（1）定義：如果兩個(gè)平面相交，且它們所成的二面角是直二面角，就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直．（2）畫(huà)法：記作：α⊥β.（3）面面垂直的判定定理．文字語(yǔ)言：一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線，則這兩個(gè)平面垂直．符號(hào)表示：3、性質(zhì)定理直線與平面垂直平面與平面垂直文字語(yǔ)言垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直符號(hào)語(yǔ)言圖形語(yǔ)言作用①線面垂直?線線平行；②作平行線①面面垂直?線面垂直；②作面的垂線4、異面直線所成的角（1）定義：已知兩條異面直線a，b，經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)O作直線a′∥a，b′∥b，我們把a(bǔ)′與b′所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)．（2）異面直線所成的角θ的取值范圍：(0°，90°].（3）當(dāng)θ＝90°時(shí)，a與b互相垂直，記作a⊥b．5、直線與平面所成的角（1）定義：一條直線和一個(gè)平面相交，但不垂直，這條直線稱為平面的斜線，斜線與平面的交點(diǎn)叫做斜足．過(guò)斜線上斜足以外的一點(diǎn)向平面引垂線，過(guò)斜足和垂足的直線叫做斜線在平面上的射影．平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做直線和平面所成的角.如圖，∠PAO就是斜線AP與平面α所成的角．（2）特別的，當(dāng)直線AP與平面α垂直時(shí)，它們所成的角是90°；當(dāng)直線與平面平行，或在平面內(nèi)時(shí)，它們所成的角是0°．（3）直線和平面所成角θ的范圍[0°，90°]．6、二面角（1）二面角：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角；這條直線叫做二面角的棱．這兩個(gè)半平面叫做二面角的面．如圖，記作：二面角α-l-β或P-AB-Q或P-l-Q．（2）二面角的平面角．如圖，二面角α-l-β，若有：①O∈l；②OA?α，OB?β；③OA⊥l，OB⊥l.則∠AOB就叫做二面角α-l-β的平面角．知識(shí)典例知識(shí)典例題型一線面垂直例1如圖，已知平面，四邊形為矩形，四邊形為直角梯形，，，，.求證：平面【分析】先證明AC⊥BE,再取的中點(diǎn)，連接，經(jīng)計(jì)算，利用勾股定理逆定理得到AC⊥BC,然后利用線面垂直的判定定理證得結(jié)論；【詳解】解：證明：∵四邊形為矩形∴∵平面∴平面∵平面∴.如圖，取的中點(diǎn)，連接，∴∵，，∴四邊形是正方形.∴∴，∵∴∴是直角三角形∴.∵，、平面∴平面鞏固練習(xí)鞏固練習(xí)已知如圖所示的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是AB、A1C的中點(diǎn).（1）求證：EF∥平面ADD1A1；（2）求證：EF⊥平面A1DC．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）連接AD1，通過(guò)證明四邊形AEFO是平行四邊形，得到EF∥AO，然后利用線面平行的判定定理，可得結(jié)果.（2）利用線面垂直的判定定理可得AD1⊥平面A1DC，然后根據(jù)EF∥AD1，最后可得結(jié)果.【詳解】證明：（1）如圖，連接AD1，設(shè)AD1∩A1D＝O，連接OF，則由正方體ABCD-A1B1C1D1可得：點(diǎn)O是A1D的中點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)F是A1C的中點(diǎn)，所以又E是AB的中點(diǎn)，所以（2）由正方體ABCD-A1B1C1D1可得：DC⊥平面ADD1A1，而AD1平面ADD1A1，所以DC⊥AD1，又AD1⊥A1D，且A1D∩DC＝D，DC平面A1DC，A1D平面A1DC，所以AD1⊥平面A1DC.再由（1）可知：EF∥AD1，所以EF⊥平面A1DC.題型二面面垂直例2如圖，四面體ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為線段AC，AD的中點(diǎn)，平面平面，，，垂足為H.（1）求證：；（2）求證：平面平面ABC.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】本題考查線面平行與線面垂直的判定，難度不大.（1）利用線面平行的判定定理證得平面BCD，進(jìn)而利用線面平行的性質(zhì)定理證得；（2）利用線面垂直的判定定理證得平面ADB，進(jìn)而證得平面CDH，然后由面面垂直判定定理證得結(jié)論.【詳解】證明：（1）因?yàn)辄c(diǎn)E、F分別為線段AC、AD的中點(diǎn)，為的中位線，則，平面BCD，平面BCD，平面BCD，又平面EFNM，平面平面，；（2），，，，平面ADB，平面ADB，平面ADB，又，，平面DCH，平面DCH，平面CDH，平面ABC，平面平面ABC.鞏固練習(xí)鞏固練習(xí)如圖所示，在五面體中，四邊形是平行四邊形.（1）求證：平面；（2）若，，求證：平面平面.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）推導(dǎo)出，從而得出面，由線面平行的性質(zhì)定理，得，由此能證明平面；（2）推導(dǎo)出，，從而得出平面，由此能證明平面平面．【詳解】（1）因?yàn)樗倪呅问瞧叫兴倪呅危?，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，平面平面，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面；?）因?yàn)樗倪呅问瞧叫兴倪呅危?，又因?yàn)椋?，又因?yàn)椋?，平面，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以平面平?題型三性質(zhì)應(yīng)用及異面直線夾角例3如圖，等腰直角三角形ABC的直角邊，沿其中位線DE將平面ADE折起，使平面平面BCDE，得到四棱錐，設(shè)CD，BE，AE，AD的中點(diǎn)分別為M，N，P，Q．（1）求證：M，N，P，Q四點(diǎn)共面．（2）求證：平面平面ACD．（3）求異面直線BE與MQ所成的角．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）.【分析】（1）證明，說(shuō)明四點(diǎn)共面；（2）要證明面面垂直，需證明線面垂直，即證明平面；（3）延長(zhǎng)ED至R，使，延長(zhǎng)ED至R，使，將異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為相交直線所成的角，即為異面直線BE與QM所成的角（或補(bǔ)角）．【詳解】（1）由題意易知：，，所以，所以M，N，P，Q四點(diǎn)共面．（2）因?yàn)槠矫嫫矫鍮CDE，平面平面，而，所以平面BCDE，即，又，所以平面ACD，而平面ABC，所以平面平面ACD．（3）由條件知，，，延長(zhǎng)ED至R，使，延長(zhǎng)ED至R，使，則，，故ERCB為平行四邊形，所以，又．所以為異面直線BE與QM所成的角（或補(bǔ)角）．因?yàn)?，且三線兩兩互相垂直，由勾股定理得．因?yàn)槿切蜛CR為正三角形，所以．所以異面直線BE與MQ所成的角為．鞏固練習(xí)鞏固練習(xí)如圖，正方體的棱長(zhǎng)為，動(dòng)點(diǎn)在線段上，、分別是、的中點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是______________.①與所成角為；②平面；③存在點(diǎn)，使得平面平面；④三棱錐的體積為定值.【答案】②④【分析】利用線線平行，找出異面直線的夾角的平面角，求出即可，可判斷①的正誤；根據(jù)線面垂直的判定定理即可判斷②的正誤；利用面面平行的性質(zhì)定理可判斷③的正誤；利用等體積法即可求出棱錐的體積，可判斷④的正誤.綜合可得出結(jié)論.【詳解】對(duì)于①，、分別為、的中點(diǎn)，，在正方體中，且，則四邊形為平行四邊形，，異面直線與所成的角為，在中，，所以，為等邊三角形，則，即①錯(cuò)誤；對(duì)于②，，，，，，，又因?yàn)槠矫?，且平面，所以，因?yàn)?，所以平面，即②正確；對(duì)于③，若平面平面，因?yàn)槠矫嫫矫妫云矫嫫矫?，但平面與平面有公共點(diǎn)，所以③錯(cuò)誤；對(duì)于④，（定值），即④正確.故答案為：②④.題型四直線與平面的夾角例4如圖所示，平面ABEF⊥平面ABC，四邊形ABEF是矩形，AB＝2，AF＝，△ABC是以A為直角的等腰直角三角形，點(diǎn)P是線段BF上的一點(diǎn)，PF＝3.（1）證明：AC⊥BF；（2）求直線BC與平面PAC所成角的正切值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【分析】（1）要證明線線垂直，需證明線面垂直，利用題中的垂直關(guān)系，易證明平面；（2）由題中所給的長(zhǎng)度，證明平面，即∠BCP為直線BC與平面PAC所成的角，在Rt△BCP中，求線面角的正切值.【詳解】(1)證明：因?yàn)椤鰽BC是以A為直角的等腰直角三角形，所以AC⊥AB，又平面ABEF⊥平面ABC，平面ABEF∩平面ABC＝AB，所以AC⊥平面ABEF.因?yàn)锽F?平面ABEF，所以AC⊥BF.(2)在矩形ABEF中，AB＝2，AF＝2，則BF＝4，又PF＝3，所以FA2＝PF·BF，所以BF⊥AP，由(1)知AC⊥BF，又AC∩AP＝A，所以BF⊥平面PAC，則∠BCP為直線BC與平面PAC所成的角.如圖，過(guò)點(diǎn)P作PM∥AB交BE于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)P作PN⊥AB于點(diǎn)N，連接NC，因?yàn)锽F＝4，PF＝3，所以PB＝1，則，所以PM＝BN＝，BM＝PN＝，AN＝AB－BN＝2－＝，所以CN＝＝，PC＝＝.在Rt△BCP中，tan∠BCP＝.故直線BC與平面PAC所成角的正切值為.鞏固練習(xí)鞏固練習(xí)如圖，已知四棱錐中，平面，，，，，是的中點(diǎn).（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（Ⅰ）證明見(jiàn)解析；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）要證明線面平行，需轉(zhuǎn)化為證明線線平行，取中點(diǎn)，連，可證明四邊形為平行四邊形，從而證明；（Ⅱ）法一，連結(jié)，證明平面，即為所求；法二：是中點(diǎn)，連轉(zhuǎn)化為求與平面的線面角.【詳解】（Ⅰ）取中點(diǎn)，連.易知，且，，且,所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以.又因?yàn)?，，所以（Ⅱ?一)連.由，，所以，.在直角梯形上，..又，所以又.，所以為直線與平面所成角…(二)設(shè)是中點(diǎn)，連因?yàn)?，則，作，所以為，也即直線與平面所成角題型五二面角例5如圖，四棱錐S-ABCD的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，每條側(cè)棱的長(zhǎng)都是底面邊長(zhǎng)的倍，P為側(cè)棱SD上的點(diǎn).（1）求證:AC⊥SD；（2）若SD⊥平面PAC，求二面角P-AC-D的大小.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）30°【分析】（1）連接交于點(diǎn)，連接，易得，，所以平面，從而得到；（2）根據(jù)得到，從而得到，，為二面角的平面角，再求出，，得到，從而得到二面角.【詳解】（1）連接交于點(diǎn)，連接，由題意，底面為正方形，側(cè)棱，所以，在正方形中，，又因?yàn)?，且平面，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫妫?（2）連接，因?yàn)槠矫?，所以，，又因?yàn)樵诤椭校?，，，所?所以又因?yàn)榈闹悬c(diǎn)，所以，.所以為二面角的平面角，又因?yàn)?，在中由等面積法，得，，在中，，，所以.故二面角的大小為.鞏固練習(xí)鞏固練習(xí)如圖，把等腰直角三角形沿斜邊所在直線旋轉(zhuǎn)至的位置，使.(1)求證:平面平面；(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，可得得，根據(jù)三角形中的幾何關(guān)系，得到，從而得到，所以得到平面，再得到平面平面；（2）取的中點(diǎn)，連接，，再在直角三角形中，得到，從而得到二面角的余弦值.【詳解】（1）如圖，取的中點(diǎn)，連接，是等腰直角三角形，，且.連接，同理得，且，，.，，為等腰直角三角形，，又，平面，平面.又平面，∴平面平面.（2）取的中點(diǎn)，連接.易知為等邊三角形，.又為等腰直角三角形，.為二面角的平面角.由（1）知，，且平面，，所以平面，平面，.為直角三角形.設(shè)，則，所以，則，，即二面角的余弦值為.鞏固提升鞏固提升1、如圖所示，垂直于以為直徑的圓所在的平面，為圓上異于的任一點(diǎn)，則下列關(guān)系中不正確的是（）A． B．平面 C． D．【答案】C【分析】由平面，得，再由，得到平面，進(jìn)而得到，即可判斷出結(jié)果.【詳解】因?yàn)榇怪庇谝詾橹睆降膱A所在的平面，即平面，得，A正確；又為圓上異于的任一點(diǎn)，所以，平面，，B，D均正確.故選C.2、如圖所示，在四面體中，若，，E是的中點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（）A．平面平面B．平面平面C．平面平面，且平面平面D．平面平面，且平面平面【答案】C【分析】根據(jù)條件易知，，從而得到平面，所以平面平面，平面平面【詳解】因?yàn)?，且是的中點(diǎn)，所以因?yàn)?，且是的中點(diǎn)，所以又，平面，所以平面.因?yàn)槠矫?，所以平面平?因?yàn)槠矫?，所以平面平?故選：C.3、在四面體中，，，二面角為直二面角，是的中點(diǎn)，則的大小為（）A．45° B．90° C．60° D．30°【答案】B【分析】設(shè)，取的中點(diǎn)，連接，可得，，結(jié)合條件得到，利用勾股定理得到，從而得到為正三角形，根據(jù)是的中點(diǎn)，得到【詳解】如圖，設(shè)，取的中點(diǎn)，連接，所以得到，，所以為二面角的平面角，因?yàn)槎娼菫橹倍娼?，所以，在等腰直角三角形和中，，在中，易得，所以為正三角?又因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，即.故選：B.4、如圖，四棱錐的底面為正方形，底面，則下列結(jié)論中不正確的是（）A．B．平面C．平面平面D．與所成的角等于與所成的角【答案】D【分析】結(jié)合直線與平面垂直的判定和性質(zhì)，結(jié)合直線與平面平行的判定，即可．【詳解】A選項(xiàng)，可知可知，故，正確；B選項(xiàng)，AB平行CD，故正確；C選項(xiàng)，，故平面平面，正確；D選項(xiàng)，AB與SC所成的角為，而DC與SA所成的角為，故錯(cuò)誤，故選D．5、如圖，在四棱錐中，底面四邊形滿足，，，且為的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）若平面平面，且，求證：平面平面.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）取的中點(diǎn)，連結(jié)，，推導(dǎo)出四邊形是平行四邊形，得到，由線面平行的判定定理，即可證明平面．（2）由面面垂直的性質(zhì)定理可證平面，，，得到平面，由面面垂直的判定定理，可證明平面平面．【詳解】證明：（1）取的中點(diǎn)，連接，.因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以為的中位線，所以.又因?yàn)?，所以，所以四邊形為平行四邊形，所?又平面，平面，所以平面.（2）因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面，，平面，所以平?∵平面，∴.又因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以，∵平面，平面，且，所以平面.又平面，所以平面平面.6、如圖，在三棱錐中，，，，為線段的中點(diǎn).求證：平面.【答案】見(jiàn)解析【分析】推導(dǎo)出平面，可得出，再利用等腰三角形三線合一的思想得出，利用線面垂直的判定定理可得出平面.【詳解】，，，平面，平面，.，為的中點(diǎn)，.，因此，平面.7、如圖在四棱錐中，底面是矩形，點(diǎn)、分別是棱和的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）若，且平面平面，證明平面.【答案】(1)見(jiàn)證明；(2)見(jiàn)證明【分析】（1）可證，從而得到要求證的線面平行.（2）可證，再由及是棱的中點(diǎn)可得，從而得到平面.【詳解】（1）證明：因?yàn)辄c(diǎn)、分別是棱和的中點(diǎn)，所以，又在矩形中，，所以，又面，面，所以平面（2）證明：在矩形中，，又平面平面，平面平面，面，所以平面，又面，所以①因?yàn)榍沂堑闹悬c(diǎn)，所以，②由①②及面，面，，所以平面.8、如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面平面，，，、分別為、的中點(diǎn).（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求證：平面平面