直線與直線垂直教案2022年高中數(shù)學人教A版必修

第八章立體幾何初步空間直線、平面的垂直直線與直線垂直教學設計一、教學目標1.理解兩異面直線所成角的定義，會求兩異面直線所成的角；2.掌握證明兩條異面直線垂直的方法.二、教學重難點1.教學重點異面直線所成的角，兩條異面直線垂直的定義.2.教學難點求異面直線所成的角.三、教學過程（一）新課導入思考：如圖，在正方體中，直線與直線AB，直線與直線AB都是異面直線，直線與相對于直線AB的位置相同嗎？如果不同，如何表示這種差異呢？（二）探索新知如圖，已知兩條異面直線a，b，經過空間任一點O分別作直線，，我們把直線QUOTEa'與QUOTEb'所成的角叫做異面直線a與b所成的角（或夾角）.如果兩條異面直線所成的角是直角，那么這兩條異面直線互相垂直.直線a與直線b垂直，記作.當兩條直線a，b相互平行時，我們規(guī)定它們所成的角為0QUOTE°°.所以空間兩條直線所成角的取值范圍是.例1如圖，已知正方體.（1）哪些棱所在的直線與直線垂直？（2）求直線與所成的角的大小.（3）求直線與AC所成的角的大小.解：（1）棱AB，BC，CD，DA，，，，所在直線分別與直線垂直.（2）因為是正方體，所以，因此為直線與所成的角.又因為，所以直線與所成的角等于.（3）如圖，連接.因為是正方體，所以.從而四邊形是平行四邊形，所以.于是為異面直線與AC所成的角.連接，易知是等邊三角形，所以.從而異面直線與AC所成的角等于.例2如圖（1），在正方體中，為底面的中心.求證.證明：如圖（2），連接.是正方體，.四邊形是平行四邊形..直線與所成的角即為直線與BD所成的角.連接，，易證.又為底面的中心，為的中點，..（三）課堂練習1.在正方體中，與垂直的直線是()A. B. C. D.答案：C解析：A中，與所成角為，由已知條件可得，在中為，所以與不垂直.B中，，所以與不垂直.C中，設分別為和的中點，則.又因為也是的中點，，所以，所以與垂直.D中，，所以與所成角為，由已知條件可得在中，為，所以與不垂直.2.在長方體中，，，則異面直線與所成的角為()° ° ° °答案：C解析：如圖，連接，因為，所以為異面直線與所成的角.因為，所以，故選C.

3.如圖所示，正方體中，①與平行；②與垂直；③與垂直.以上三個結論中，正確的序號是()A.①② B.②③ C.③ D.①②③答案：C解析：①在正方體中，由圖可知與異面，故①不正確；②因為，與不垂直，所以與不垂直，故②不正確；③因為，所以與所成角即為與所成角，由已知條件可知，所以與垂直，即與垂直，故③正確.4.已知四面體的棱都相等，為的重心，則異面直線與所成角的余弦值為__________.答案：解析：設四面體的棱長為，延長交于，取的中點，連接.由題意知為的中點，所以，所以為異面直線與所成的角.由題意知，則在中，.5.如圖，已知正方體.

（1）求與所成角的大??；（2）若E，F(xiàn)分別為棱AB，AD的中點，求證：.答案：（1）如圖，連接AC，.

由幾何體是正方體，知四邊形為平行四邊形，所以，

從而AC與所成的角為與所成的角.

由，可知.

故與所成的角為60°.

（2）如圖，連接BD.

易知四邊形為平行四邊形，所以，

因為EF為的中位線，所以.

又，所以，所以.小結作業(yè)小結：求異面直線所成的角；證明兩條異面直線垂直.作業(yè)：四、板書設計直線與直線垂直1.異面直線所成的角：如圖，已知兩條異面直線a，b，經過空間任一點O分別作直線，，我們把直線QUOTEa'與QUOTEb'