中考一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)幾何專題：三角形壓軸訓(xùn)練（二）

中考一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)幾何專題：三角形壓軸訓(xùn)練（二）1．已知△ACB和△EDB均為直角三角形，∠ACB＝∠EDB＝90°，直線AE與直線CD交于點M．（1）觀察猜想如圖①，當(dāng)∠ABC＝∠EBD＝45°時，段AE和CD的數(shù)量關(guān)系是；∠AMC＝°．（2）探究證明如圖②，當(dāng)∠ABC＝∠EBD＝30°時，線段AE和CD的數(shù)量關(guān)系是什么？∠AMC的度數(shù)又是多少？請說明理由．（3）拓展延伸在（2）的條件下，若BC＝9，BD＝6，將△EDB繞點B旋轉(zhuǎn)，在整個旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)A、E、D三點共線時，請直接寫出點C到直線AE的距離．2．如圖，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝6cm，點P從點A出發(fā)，以每秒cm的速度沿AB勻速運動，同時點Q從點B出發(fā)以每秒3cm的速度沿B→C→A勻速運動，當(dāng)有一點停止運動時，另一點也停止運動，設(shè)運動時間為t秒．（1）當(dāng)t＝1時，直接寫出P，Q兩點間的距離．（2）是否存在t，使得△BPQ的面積是△ABC面積的？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．（3）當(dāng)△BPQ為直角三角形時，求t的取值范圍．3．在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，點P為△ABC外一點，點P與點C位于直線AB異側(cè)，連接AP，∠APB＝45°，過點C作CD⊥PA，垂足為D．（1）當(dāng)∠ABP＝90°時，直接寫出線段AP與CD的數(shù)量關(guān)系為AP＝；（2）如圖，當(dāng)∠ABP＞90°時．①試探究（1）中的結(jié)論是否成立；②在線段AP上取一點K，使得∠ABK＝∠ACD，畫出圖形并直接寫出的值．4．如圖，等邊三角形ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，動點P從點A出發(fā)，以2.5cm/s的沿著折線A﹣B﹣C﹣A運動，到點A停止運動，動點Q以1cm/s的速度從點B出發(fā)沿折線B﹣C﹣A運動，到點A停止運動，P、Q同時開始運動，用t（s）表示移動時間．（1）請用含t的代數(shù)式表示下列線段的長度：當(dāng)點Q在BC上運動時，QC＝；當(dāng)點P在AC上運動時，PC＝．（2）點P能否追上點Q？如果能，求出t值；如果不能，請說明理由．（3）點P，Q在三角形同一條邊上時，能否使得PQ＝PC，如果能，求出t值；如果不能，請說明理由．5．如圖1，△ABC是等邊三角形，D，E為AC上兩點，且AD＝CE，延長BC至點F，使CF＝CD，連結(jié)BD，EF．（1）如圖2，當(dāng)D，E兩點重合時，求證：BD＝DF；（2）如圖3，延長FE交線段BD于點G．①求證：BD＝EF；②求∠DGE的度數(shù)．6．如圖，△ABC和△ADE是有公共頂點A的兩個等腰直角三角形，∠DAE＝∠BAC＝90°，AD＝AE，AB＝AC＝6．D在線段BC上，從B到C運動，點M和點N分別是邊BC，DE的中點．【問題發(fā)現(xiàn)】（1）若點D是BC邊的中點時，＝，直線BD與MN相交所成的銳角的度數(shù)為（請直接寫出結(jié)果）；【解決問題】（2）若點D是BC邊上任意一點時，上述結(jié)論是否成立，請說明理由．【拓展探究】（3）在整個運動過程中，請直接寫出N點運動的路徑長，及CN的最小值．7．如圖，△ABC和△BDE均為等邊三角形，連接AE、CD．（1）求證：AE＝CD；（2）連接AD，分別取邊AD、CD、AE的中點F、G、H，連接FG、FH，設(shè)∠ABE＝α．①當(dāng)60°＜α＜180°時（如圖1），求證：∠CBE+∠GFH＝120°；②當(dāng)0°＜α＜60°時（如圖2），①中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請說明理由；若不成立，請寫出正確結(jié)論，并說明理由．8．如圖，在△ABC中，∠A＝60°，AB＝4cm，AC＝12cm．動點P從點A開始沿AB邊以1cm/s的速度運動，動點Q從點C開始沿CA邊以3cm/s的速度運動．點P和點Q同時出發(fā)，當(dāng)點P到達(dá)點B時，點Q也隨之停止運動．設(shè)動點的運動時間為ts（0＜t＜4），解答下列問題：（1）當(dāng)t為何值時，點A在PQ的垂直平分線上？（2）在運動過程中，是否存在某一時刻t，使△APQ是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．9．定義：到三角形兩個頂點距離相等的點叫做此三角形的準(zhǔn)心．舉例：如圖1，若PA＝PB，則點P為△ABC的準(zhǔn)心．（1）判斷：如圖2，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，點P在AD上，則點P△ABC的準(zhǔn)心（填“是”或“不是”）；（2）應(yīng)用：如圖3，CD為正△ABC的高，準(zhǔn)心P在高CD上，且PD＝AB，求∠APB的度數(shù)；（3）探究：已知△ABC為直角三角形，斜邊BC＝5，AB＝3，準(zhǔn)心P在AC邊上，試探究PA的長．10．在平面直角坐標(biāo)系中，點A（m，2），點B（3，n），C，D是y軸上兩點．（1）如圖1，△AOC和△ABD是等邊三角形，連接BC并延長交x軸于E，求CE的長；（2）如圖2，直線AC交x軸于E，∠DCA的平分線交直線OA于F，F(xiàn)D⊥y軸于D，交直線AC于G，若m＝2，請你寫出線段OD，EG與DG之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；（3）如圖3，若m＝1，n＝4，在坐標(biāo)軸上是否存在點P，使△ABP為等腰直角三角形？若存在，請直接寫出P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．11．如圖，在等邊△ABC的AC，BC邊上各取一點E，D，使AE＝CD，AD，BE相交于點O．（1）求證：AD＝BE；（2）若BO＝6OE＝，求CD的長．（3）在（2）的條件下，動點P在CE上從點C向終點E勻速運動，點Q在BC上，連結(jié)OP，PQ，滿足∠OPQ＝60°，記PC為x，DQ的長為y，求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式．12．如圖，在等腰Rt△ABC中，AC＝2，∠ACB＝90°，D為Rt△ABC斜邊上一動點（不與點B及AB的中點重合），以CD為直角邊在CD右側(cè)作一個等腰Rt△CDE，連接BE．（1）如圖1，當(dāng)點D與點A重合時，則可得BC+BE＝DB，∠CBE＝°．（2）如圖2，當(dāng)點D不與點A重合時，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請加以證明；若不成立，請給出正確的結(jié)論并說明理由．（3）當(dāng)BC＝2BE時，直接寫出AD的長．13．如圖，OC為∠AOB的角平分線，∠AOB＝α（0°＜α＜180°），點D為射線OA上一點，點M，N為射線OB上兩個動點且滿足MN＝OD，線段ON的垂直平分線交OC于點P，交OB于點Q，連接DP，MP．（1）如圖1，若α＝90°時，線段DP與線段MP的數(shù)量關(guān)系為．（2）如圖2，若α為任意角度時，（1）中的結(jié)論是否變化，請說明理由；（3）如圖3，若α＝60°時，連接DM，請直接寫出的最小值．14．如圖，已知在直角△ABC中，∠ABC＝90°，E為AC邊上一點，連接BE，過E作ED⊥AC，交BC邊于點D．（1）如圖1，若，求S△AED；（2）如圖2，作∠ABC的角平分線交AC于點F，連接DF，若∠BDE＝∠CDF，求證：AE+DE＝BE；（3）如圖3，在（1）的條件下，M為AB邊的中點，G為AC邊上一個動點，連接MG，將△AMG沿MG翻折，得到△A'MG，連接A'D，以A'D為斜邊向右作等腰直角三角A'DN，連接CN，求CN的最小值．15．定義：如果一個三角形中有兩個內(nèi)角α，β滿足α+2β＝90°，那我們稱這個三角形為“近直角三角形”．（1）若△ABC是“近直角三角形”，