平面與平面垂直的性質(zhì)【新教材】2022年人教A版高中數(shù)學(xué)必修復(fù)習(xí)鞏固訓(xùn)練Word含答案

平面與平面垂直的性質(zhì)一、知識(shí)梳理1.平面與平面垂直的性質(zhì)的性質(zhì)定理：兩個(gè)平面垂直，如果一個(gè)平面內(nèi)有一直線______這兩個(gè)平面的_____，那么這條直線與另一個(gè)平面垂直。二、重要題型知識(shí)點(diǎn)一：平面與平面垂直的性質(zhì)1.設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個(gè)不同的平面，給出如下命題：①若α⊥β，α∩β＝m，n?α，n⊥m，則n⊥β；②若α⊥γ，β⊥γ，則α∥β；③若α⊥β，且n⊥β，n⊥m，則m⊥α；④若α⊥β，m⊥β，m?α，則m∥α；⑤若α⊥β，m∥α，則m⊥β.其中正確命題的個(gè)數(shù)為()A．1B．2C．3D．42．如圖所示，四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB＝1，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，現(xiàn)將△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，構(gòu)成三棱錐A－BCD，則三棱錐A－BCD的體積為________．知識(shí)點(diǎn)二：平面與平面垂直的應(yīng)用3.已知平面α⊥平面β,α∩β=l,點(diǎn)A∈α,A?l,直線AB∥l,直線AC⊥l,直線m∥α,m∥β,則下列四種位置關(guān)系中,不一定成立的是()∥m ⊥m∥β ⊥β4.在空間四邊形ABCD中,平面ABD⊥平面BCD,∠BAD=90°,且AB=AD,則AD與平面BCD所成的角是________.

5.如圖所示,△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形.若AE=1,AE⊥平面ABC,平面BCD⊥平面ABC,BD=CD,且BD⊥CD.(1)求證:AE∥平面BCD;(2)求證:平面BDE⊥平面CDE.三、鞏固練習(xí)1.下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()A.若α⊥β,則α內(nèi)所有直線都垂直于βB.如果α不垂直于β,那么α內(nèi)不存在直線垂直于βC.若α⊥β,則α內(nèi)一定存在直線平行于βD.若α⊥β,則經(jīng)過(guò)α內(nèi)一點(diǎn)與β垂直的直線在α內(nèi)2.(多選題)用a,b,c表示空間中三條不同的直線,γ表示平面,下列命題中是真命題的是()A.若a⊥b,b⊥c,則a∥c B.若a∥b,a∥c,則b∥cC.若a∥γ,b∥γ,則a∥b D.若a⊥γ,b⊥γ,則a∥b3.如圖，在三棱錐P－ABC中，側(cè)面PAC⊥底面ABC，且∠PAC＝90°，PA＝1，AB＝2，則PB＝________.4.如圖所示,等邊三角形ABS所在平面與正方形ABCD所在平面互相垂直,則直線SC與平面ABS所成的角為________.

5．如圖，四面體P－ABC中，PA＝PB＝13，平面PAB⊥平面ABC，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，則PC＝________.6.如圖，三棱錐P－ABC中，∠ABC＝90°，∠PAC＝90°，平面PAC⊥平面ABC.求證：平面PAB⊥平面PBC.7.如圖,已知△ABC為等邊三角形,△ABD為等腰直角三角形,AB⊥BD.平面ABC⊥平面ABD,點(diǎn)E與點(diǎn)D在平面ABC的同側(cè),且CE∥BD,BD=2CE.點(diǎn)F為AD中點(diǎn),連接EF.求證:平面AED⊥平面ABD.8.如圖,平面PAB⊥平面ABC,平面PAC⊥平面ABC,AE⊥平面PBC,E為垂足.(1)求證:PA⊥平面ABC;(2)當(dāng)E為△PBC的垂心時(shí),求證:△ABC是直角三角形.9.如圖，在四棱錐P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分別是CD和PC的中點(diǎn)．求證：(1)PA⊥底面ABCD；(2)BE∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD.（2）平面與平面垂直的性質(zhì)答案一、知識(shí)梳理1.垂直于,交線.二、重要題型根據(jù)平面與平面垂直的性質(zhì)知①正確；②中，α，β可能平行，也可能相交，不正確；③中，m還可能在α內(nèi)或m∥α或m與α斜交，不正確；④中，α⊥β，m⊥β，m?α?xí)r，只可能有m∥α，正確；⑤中，m與β的位置關(guān)系可能是m∥β或m?β或m與β相交，不正確．綜上，可知正確命題的個(gè)數(shù)為2，故選B.\f(\r(2),6)作AH⊥BD于H，∵平面ABD⊥平面BCD，∴AH⊥平面BCD.易得∠BDC＝90°.由AB＝AD＝1，得BD＝eq\r(2)，則CD＝eq\r(2).AH＝ABsin45°＝eq\f(\r(2),2)，∴VA－BCD＝eq\f(1,3)S△BCD·AH＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2),6)..如圖,AB∥l∥m,AC⊥l,m∥l?AC⊥m,AB∥l?AB∥β.故選D.4.45°過(guò)A作AO⊥BD于O點(diǎn),因?yàn)槠矫鍭BD⊥平面BCD,所以AO⊥平面BCD,則∠ADO即為AD與平面BCD所成的角.因?yàn)椤螧AD=90°,AB=AD,所以∠ADO=45°.5.證明：(1)取BC的中點(diǎn)M,連接DM,因?yàn)锽D=CD且BD⊥CD,BC=2.所以DM=1,DM⊥BC.又因?yàn)槠矫鍮CD⊥平面ABC,平面BCD∩平面ABC=BC,所以DM⊥平面ABC,又AE⊥平面ABC,所以AE∥DM.又因?yàn)锳E平面BCD,DM平面BCD,所以AE∥平面BCD.(2)連接AM,由(1)知AE∥DM,又AE=1,DM=1所以四邊形DMAE是平行四邊形,所以DE∥AM.又△ABC是正三角形,M為BC的中點(diǎn),所以AM⊥BC,因?yàn)槠矫鍮CD⊥平面ABC,平面BCD∩平面ABC=BC,所以AM⊥平面BCD,所以DE⊥平面BCD.又CD平面BCD,所以DE⊥CD.因?yàn)锽D⊥CD,BD∩DE=D,所以CD⊥平面BDE.因?yàn)镃D平面CDE,所以平面BDE⊥平面CDE.三、鞏固練習(xí).在正方體ABCD-A1B1C1D1中,平面AA1B1B⊥平面ABCD,直線AB1?平面AA1B1B,但AB1與平面ABCD不垂直,故A錯(cuò)..對(duì)于A,正方體從同一頂點(diǎn)引出的三條直線a,b,c,滿足a⊥b,b⊥c,但是a⊥c,所以A錯(cuò)誤;對(duì)于B,若a∥b,a∥c,則b∥c,滿足平行線公理,所以B正確;對(duì)于C,平行于同一平面的兩條直線的位置關(guān)系可能是平行、相交或者異面,所以C錯(cuò)誤;對(duì)于D,由垂直于同一平面的兩條直線平行,知D正確.\r(5)∵側(cè)面PAC⊥底面ABC，交線為AC，∠PAC＝90°(即PA⊥AC)，∴PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，∴PB＝eq\r(PA2＋AB2)＝eq\r(1＋4)＝eq\r(5).4.45°因?yàn)槠矫鍭BS⊥平面ABCD,平面ABS∩平面ABCD=AB,CB?平面ABCD,CB⊥AB.所以CB⊥平面ABS.所以∠BSC是直線SC與平面ABS所成的角.因?yàn)镾B=AB=BC,CB⊥SB,所以∠BSC=45°,所以直線SC與平面ABS所成的角為45°.取AB的中點(diǎn)E，連接PE，EC.∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝10，∴CE＝5.∵PA＝PB＝13，E是AB的中點(diǎn)，∴PE⊥AB，PE＝12.∵平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，∴PE⊥平面ABC.∵CE?平面ABC，∴PE⊥CE.在Rt△PEC中，PC＝eq\r(PE2＋CE2)＝13.6.證明：∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，PA⊥AC，∴PA⊥平面ABC.又BC?平面ABC，∴PA⊥BC.又AB⊥BC，AB∩PA＝A，∴BC⊥平面PAB.又BC?平面PBC，∴平面PAB⊥平面PBC.7.證明：取AB的中點(diǎn)O,連接FO,CO,因?yàn)辄c(diǎn)F為AD中點(diǎn),所以FO∥BD且FO=QUOTEBD,因?yàn)镃E∥BD,BD=2CE,所以FO∥CE且FO=CE,所以四邊形FOCE為平行四邊形,所以CO∥EF.因?yàn)辄c(diǎn)O為AB的中點(diǎn),且△ABC為等邊三角形,所以CO⊥AB,又因?yàn)锳B⊥BD.平面ABC⊥平面ABD,所以BD⊥平面ABC,所以BD⊥CO,又AB∩BD=B,所以CO⊥平面ABD,又CO∥EF,所以EF⊥平面ABD,因?yàn)镋F?平面AED,所以平面AED⊥平面ABD.8.證明：(1)在平面ABC內(nèi)任取一點(diǎn)D,作DF⊥AC于點(diǎn)F,作DG⊥AB于點(diǎn)G.因?yàn)槠矫鍼AC⊥平面ABC,且交線為AC,所以DF⊥平面PAC.因?yàn)镻A平面PAC,所以DF⊥PA.同理可證,DG⊥PA.因?yàn)镈G∩DF=D,所以PA⊥平面ABC.(2)連接BE并延長(zhǎng)交PC于點(diǎn)H.因?yàn)镋是△PBC的垂心,所以PC⊥BH.又因?yàn)锳E是平面PBC的垂線,所以PC⊥AE.因?yàn)锽H∩AE=E,所以PC⊥平面ABE,所以PC⊥AB.又因?yàn)镻A⊥平面ABC,所以PA⊥AB.因?yàn)镻A∩PC=P,所以AB⊥平面PAC.所以AB⊥AC,即△ABC是直角三角形.9.證明(1)∵平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD＝AD，PA?平面PAD，PA⊥AD，∴PA⊥底面ABCD.(2)∵AB∥CD，CD＝2AB，E是CD的中點(diǎn)，∴AB∥DE，且AB＝DE.∴四邊形ABED為平行四邊形，∴