復(fù)數(shù)練習(xí)2022年高一下學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版必修

復(fù)數(shù)1．已知a，b∈R，i是虛數(shù)單位．若a＋i＝2－bi，則(a＋bi)2＝()A．3－4i B．3＋4iC．4－3i D．4＋3i2．如圖，復(fù)數(shù)z1，z2在復(fù)平面上分別對應(yīng)點A，B，則z1·z2＝()A．0B．2＋iC．－2－iD．－1＋2i3．如果復(fù)數(shù)z＝eq\f(2,－1＋i)，則()A．|z|＝2 B．z的實部為1C．z的虛部為－1 D．z的共軛復(fù)數(shù)為1＋i4．“復(fù)數(shù)z是實數(shù)”的充分不必要條件為()A．|z|＝z B．z＝eq\x\to(z)C．z2是實數(shù) D．z＋eq\x\to(z)是實數(shù)5．在復(fù)平面內(nèi)，O是原點，eq\o(OA,\s\up7(→))，eq\o(OC,\s\up7(→))，eq\o(AB,\s\up7(→))對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為－2＋i,3＋2i,1＋5i，i為虛數(shù)單位，那么eq\o(BC,\s\up7(→))對應(yīng)的復(fù)數(shù)為()A．4＋7i B．1＋3iC．4－4i D．－1＋6i6．已知復(fù)數(shù)z1＝3＋4i，z2＝t＋i，且z1·eq\o(z,\s\up7(－))2是實數(shù)，則實數(shù)t＝________.7．已知復(fù)數(shù)z＝eq\f(\r(3)＋i,1－\r(3)i2)，i為虛數(shù)單位，eq\x\to(z)是z的共軛復(fù)數(shù)，則z·eq\x\to(z)＝________.8．已知i是虛數(shù)單位，若eq\f(a＋3i,i)＝b＋i(a，b∈R)，則ab的值為________．9．已知復(fù)數(shù)z1＝2＋i，z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在直線x＝1上，且滿足eq\x\to(z)1·z2是實數(shù)，求z2.10．已知復(fù)數(shù)z＝(1－i)2＋1＋3i.(1)求|z|；(2)若z2＋az＋b＝eq\x\to(z)，求實數(shù)a，b的值．11．已知i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z＝eq\f(1－ai,1＋i)(a∈R)的實部為－3，則|z|＝()A．eq\r(10) B．2eq\r(3)C．eq\r(13) D．512．(多選)設(shè)z是復(fù)數(shù)，則下列命題中的真命題是()A．若z2≥0，則z是實數(shù)B．若z2<0，則z是虛數(shù)C．若z是虛數(shù)，則z2≥0D．若z是純虛數(shù)，則z2<013．i為虛數(shù)單位，設(shè)復(fù)數(shù)z1，z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點關(guān)于原點對稱，若z1＝2－3i，則z2＝________.14．已知m，n∈R，若log2(m2－3m－3)＋ilog2(m－2)為純虛數(shù)，復(fù)數(shù)z＝m＋ni的對應(yīng)點在直線x＋y－2＝0上，則|z|＝________.15．已知等腰梯形OABC的頂點A，B在復(fù)平面上對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為1＋2i，－2＋6i，OA∥BC．求頂點C所對應(yīng)的復(fù)數(shù)z.答案1．已知a，b∈R，i是虛數(shù)單位．若a＋i＝2－bi，則(a＋bi)2＝()A．3－4i B．3＋4iC．4－3i D．4＋3iA[由a＋i＝2－bi可得a＝2，b＝－1，則(a＋bi)2＝(2－i)2＝3－4i.]2．如圖，復(fù)數(shù)z1，z2在復(fù)平面上分別對應(yīng)點A，B，則z1·z2＝()A．0B．2＋iC．－2－iD．－1＋2iC[由圖可得：z1＝－1＋2i，z2＝i，∴z1·z2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1＋2i))·i＝－2－i.]3．如果復(fù)數(shù)z＝eq\f(2,－1＋i)，則()A．|z|＝2 B．z的實部為1C．z的虛部為－1 D．z的共軛復(fù)數(shù)為1＋iC[因為z＝eq\f(2,－1＋i)＝eq\f(2－1－i,2)＝－1－i，所以|z|＝eq\r(2)，z的實部為－1，虛部為－1，共軛復(fù)數(shù)為－1＋i，因此選C．]4．“復(fù)數(shù)z是實數(shù)”的充分不必要條件為()A．|z|＝z B．z＝eq\x\to(z)C．z2是實數(shù) D．z＋eq\x\to(z)是實數(shù)A[由|z|＝z可知z必為實數(shù)，但由z為實數(shù)不一定得出|z|＝z，如z＝－2，此時|z|≠z，故“|z|＝z”是“z為實數(shù)”的充分不必要條件．]5．在復(fù)平面內(nèi)，O是原點，eq\o(OA,\s\up7(→))，eq\o(OC,\s\up7(→))，eq\o(AB,\s\up7(→))對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為－2＋i,3＋2i,1＋5i，i為虛數(shù)單位，那么eq\o(BC,\s\up7(→))對應(yīng)的復(fù)數(shù)為()A．4＋7i B．1＋3iC．4－4i D．－1＋6iC[因為eq\o(OA,\s\up7(→))，eq\o(OC,\s\up7(→))，eq\o(AB,\s\up7(→))對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為－2＋i,3＋2i,1＋5i，eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\o(OC,\s\up7(→))－eq\o(OB,\s\up7(→))＝eq\o(OC,\s\up7(→))－(eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(AB,\s\up7(→)))，所以eq\o(BC,\s\up7(→))對應(yīng)的復(fù)數(shù)為3＋2i－[(－2＋i)＋(1＋5i)]＝4－4i.]6．已知復(fù)數(shù)z1＝3＋4i，z2＝t＋i，且z1·eq\o(z,\s\up7(－))2是實數(shù)，則實數(shù)t＝________.eq\f(3,4)[已知復(fù)數(shù)z1＝3＋4i，z2＝t＋i，則z1·eq\o(z,\s\up7(－))＝(3t＋4)＋(4t－3)i，∵z1·eq\o(z,\s\up7(－))是實數(shù)，∴4t－3＝0，即t＝eq\f(3,4).]7．已知復(fù)數(shù)z＝eq\f(\r(3)＋i,1－\r(3)i2)，i為虛數(shù)單位，eq\x\to(z)是z的共軛復(fù)數(shù)，則z·eq\x\to(z)＝________.eq\f(1,4)[z＝－eq\f(1,4)(eq\r(3)－i)，|z|＝eq\f(1,2)，∴z·eq\x\to(z)＝|z|2＝eq\f(1,4).]8．已知i是虛數(shù)單位，若eq\f(a＋3i,i)＝b＋i(a，b∈R)，則ab的值為________．－3[∵eq\f(a＋3i,i)＝b＋i，∴a＋3i＝(b＋i)i，則a＋3i＝－1＋bi，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝3，))∴ab＝－3.]9．已知復(fù)數(shù)z1＝2＋i，z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在直線x＝1上，且滿足eq\x\to(z)1·z2是實數(shù)，求z2.[解]由z1＝2＋i，得eq\x\to(z)1＝2－i，由z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在直線x＝1上，可設(shè)z2＝1＋bi(b∈R)，則eq\x\to(z)1·z2＝(2－i)·(1＋bi)＝2＋b＋(2b－1)i.又eq\x\to(z)1·z2為實數(shù)，所以2b－1＝0，b＝eq\f(1,2).所以z2＝1＋eq\f(1,2)i.10．已知復(fù)數(shù)z＝(1－i)2＋1＋3i.(1)求|z|；(2)若z2＋az＋b＝eq\x\to(z)，求實數(shù)a，b的值．[解]z＝(1－i)2＋1＋3i＝－2i＋1＋3i＝1＋i.(1)|z|＝eq\r(12＋12)＝eq\r(2).(2)z2＋az＋b＝(1＋i)2＋a(1＋i)＋b＝2i＋a＋ai＋b＝a＋b＋(a＋2)i，∵eq\x\to(z)＝1－i，∴a＋b＋(a＋2)i＝1－i，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝1，,a＋2＝－1，))∴a＝－3，b＝4.11．已知i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z＝eq\f(1－ai,1＋i)(a∈R)的實部為－3，則|z|＝()A．eq\r(10) B．2eq\r(3)C．eq\r(13) D．5D[∵z＝eq\f(1－ai,1＋i)＝eq\f(1－ai1－i,1＋i1－i)＝eq\f(1－a－a＋1i,2)的實部為－3，∴eq\f(1－a,2)＝－3，解得a＝7.∴z＝－3－4i，則|z|＝5.故選D．]12．(多選)設(shè)z是復(fù)數(shù)，則下列命題中的真命題是()A．若z2≥0，則z是實數(shù)B．若z2<0，則z是虛數(shù)C．若z是虛數(shù)，則z2≥0D．若z是純虛數(shù)，則z2<0ABD[設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，選項A，z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi≥0，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ab＝0，,a2≥b2，))故b＝0或a，b都為0，即z為實數(shù)，正確．選項B，z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi<0，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ab＝0，,a2<b2，))則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝0，,b≠0，))故z一定為虛數(shù)，正確．選項C，若z為虛數(shù)，則b≠0，z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi，由于a的值不確定，故z2無法與0比較大小，錯誤．選項D，若z為純虛數(shù)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝0，,b≠0，))則z2＝－b2<0，正確．]13．i為虛數(shù)單位，設(shè)復(fù)數(shù)z1，z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點關(guān)于原點對稱，若z1＝2－3i，則z2＝________.－2＋3i[∵(2，－3)關(guān)于原點的對稱點是(－2,3)，∴z2＝－2＋3i.]14．已知m，n∈R，若log2(m2－3m－3)＋ilog2(m－2)為純虛數(shù)，復(fù)數(shù)z＝m＋ni的對應(yīng)點在直線x＋y－2＝0上，則|z|＝________.2eq\r(5)[由純虛數(shù)的定義知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2m2－3m－3＝0，,log2m－2≠0，,m－2>0，))解得m＝4，所以z＝4＋ni.因為z的對應(yīng)點在直線x＋y－2＝0上，所以4＋n－2＝0，所以n＝－2.所以z＝4－2i，所以|z|＝eq\r(42＋－22)＝2eq\r(5).]15．已知等腰梯形OABC的頂點A，B在復(fù)平面上對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為1＋2i，－2＋6i，OA∥BC．求頂點C所對應(yīng)的復(fù)數(shù)z.[解]設(shè)z＝x＋yi，x，y∈R，如圖，因為OA∥BC，|OC|＝|BA|