油田高級中學(xué)2021屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期3月月考第二周試題理

吉林省油田高級中學(xué)2021屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期3月月考第二周試題理吉林省油田高級中學(xué)2021屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期3月月考第二周試題理PAGE2PAGE29吉林省油田高級中學(xué)2021屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期3月月考第二周試題理吉林省油田高級中學(xué)2021屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期3月月考（第二周)試題理注意事項:1．答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試題卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑，寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．3．非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)．寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．4．考試結(jié)束后,請將本試題卷和答題卡一并上交．第Ⅰ卷一、選擇題:本大題共12小題，每小題5分,在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．用列舉法表示集合，則下列表示正確的是（)A． B． C． D．【答案】B【解析】解方程組,得，所以，故選B．2．已知,則的值為（）A．1 B． C． D．81【答案】C【解析】由,令，可得,故選C．3．設(shè)復(fù)數(shù):,其中為虛數(shù)單位,則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】，故選A．4．已知，則下列不等式一定成立的是（)A． B．C． D．【答案】B【解析】若，時，，則A不正確；因為為增函數(shù)，，所以，則B正確；因為為減函數(shù)，由可得,所以C不正確；當，時,，所以D正確，故選B．5．已知則,，則（）A． B．1 C．2 D．4【答案】C【解析】，,所以,故,故選C．6．據(jù)《孫子算經(jīng)》中記載,中國古代諸侯的等級從低到高分為:男、子、伯、侯、公，共五級．若給有巨大貢獻的3人進行封爵,假設(shè)每種封爵的可能性相等，則3人中恰好有兩人被封同一等級的概率為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意，每個人被封爵都有5種情況，因此對3人封爵，共有種，3人中恰好有兩人被封同一等級共有種情況,則3人中恰好有兩人被封同一等級的概率為，故選D．7．P是雙曲線上一點，雙曲線的一條漸近線的方程為，，分別是雙曲線的左?右焦點,若,則（）A．12 B．16 C．18 D．20【答案】A【解析】不妨設(shè)，因為雙曲線的一條漸近線的方程為,所以，即，所以雙曲線的方程為，所以點,所以點的橫坐標為，代入雙曲線的方程可得點的縱坐標為，所以，,故選A．8．已知一組鞋碼與身高的數(shù)據(jù)（x表示鞋碼,y（cm）表示身高)，其中．x4041424344y172175mn183若用此數(shù)據(jù)由最小二乘法計算得到回歸直線，則實數(shù)（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意可知，，，將代入回歸直線可得,故選B．9．在中，內(nèi)角A，B,C所對的邊分別為a，b，c．若，，則(）A． B．4 C． D．【答案】A【解析】由,利用正弦定理得，利用,則，即,得，,，,故選A．10．2020年5月5日，廣東虎門大橋發(fā)生異常抖動，原因是一定流速的風(fēng)流經(jīng)橋面時，產(chǎn)生了卡門渦街現(xiàn)象．卡門渦街是流體力學(xué)中重要的現(xiàn)象，在自然界中?？捎龅?，在工業(yè)生產(chǎn)中也有很多成功的應(yīng)用．比如在工業(yè)中廣泛使用的卡門渦街流量計，就是利用卡門渦街現(xiàn)象制造的一種流量計．在流體中設(shè)置旋渦發(fā)生體（也稱阻流體)，從旋渦發(fā)生體兩側(cè)交替地產(chǎn)生有規(guī)則的旋渦,這種旋渦稱為卡門渦街．設(shè)旋渦的發(fā)生頻率為f（單位：赫茲)，旋渦發(fā)生體兩側(cè)平均流速為(單位:米/秒),漩渦發(fā)生體的迎面寬度為d(單位：米)，表體通徑為D(單位:米),旋渦發(fā)生體兩側(cè)弓形面積與管道橫截面面積之比為m,根據(jù)卡門渦街原理，滿足關(guān)系式：,其中:稱為斯特羅哈爾數(shù)．對于直徑為d（即漩渦發(fā)生體的迎面寬度）的圓柱,，．設(shè)，當時，在近似計算中可規(guī)定．已知某圓柱形漩渦發(fā)生體的直徑為0．01米,表體通徑為10米，在平均流速為20米/秒的風(fēng)速下，發(fā)生的頻率為420赫茲，則（)A． B． C． D．【答案】C【解析】由題設(shè)可得，，，，此時，故，而,，所以,,故選C．11．已知函數(shù),則不等式的解集為（）A． B．C． D．【答案】D【解析】設(shè)，，由，當時,;當時,，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又,所以為偶函數(shù)．由可知，，即，解得，故選D．12．如圖，在棱長為1的正方體中，點M是線段上的動點，下列四個結(jié)論:①存在點M，使得平面；②存在點M，使得的體積為；③存在點M，使得平面交正方體的截面為等腰梯形；④若,過點M作正方體的外接球的截面，則截面的面積最小值為．則上述結(jié)論正確的是（）A．①②④ B．①③ C．②③④ D．①②【答案】B【解析】對于①，連接,，如圖,由正方體的幾何特征可得平面平面，令平面,則平面，所以存在點M，使得平面，故①正確；對于②，，所以不存在點M，使的體積為,故②錯誤；對于③，因為平面，所以平面交平面的交線與平行，由正方體的幾何特征可得存在點M，使截面為等腰梯形，故③正確；對于④,當且僅當M為截面圓的圓心時,截面圓的面積最小,由正方體的幾何特征可得該正方體的外接球球心為的中點，且半徑為，所以最小截面的半徑，此時截面面積為，故④錯誤,故選B．第Ⅱ卷二、填空題：本大題共4小題，每小題5分．13．已知向量,的夾角為，,則________．【答案】【解析】因為向量,的夾角為，，所以，所以，所以，故答案為．14．已知圓錐的母線長為，且母線與底面所成角為，則圓錐的體積為_______．【答案】【解析】因為圓錐的母線長為，母線與底面所成角為，所以圓錐的底面半徑及高滿足，所以圓錐的體積，故答案為．15．已知，B分別是橢圓的左焦點和上頂點，點O為坐標原點．過點垂直于x軸的直線交橢圓C在第一象限的交點為P，且，則橢圓C的離心率為_________．【答案】【解析】由題意得：，，把點代入橢圓方程得，，點坐標為，，，，，得,即，兩邊同除以得，解得，故答案為．16．水車在古代是進行灌溉引水的工具，是人類的一項古老的發(fā)明，也是人類利用自然和改造自然的象征，如圖是一個半徑為R的水車,一個水斗從點出發(fā)，沿圓周按逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)，且旋轉(zhuǎn)一周用時60秒,經(jīng)過t秒后，水斗旋轉(zhuǎn)到點，其縱坐標滿足，,則函數(shù)的解析式為_______________，當時，函數(shù)的最大值是________．【答案】,4【解析】，，則,又，所以，當，,所以，時，取得最大值為．故答案為;4．三、解答題：本大題共6個大題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（12分)已知數(shù)列的前n項和，其中．（1)求數(shù)列的通項公式;（2）若為等比數(shù)列的前三項，求數(shù)列的通項公式．【答案】（1）;(2)．【解析】（1）當時,，當時，,所以數(shù)列的通項公式為．(2)由題意可得，，，因為為等比數(shù)列，所以，解得或0（舍），所以等比數(shù)列的前3項為4,8，16，所以的公比，所以數(shù)列的通項公式為．18．（12分）如圖，直三棱柱中，,，、分別為、的中點．(1)證明：平面；（2）若直線與所成的角為，求二面角的正弦值．【答案】（1）證明見解析;（2）．【解析】（1)取中點,連接、，，為的中點，，在直三棱柱中，平面，平面，，，平面．、分別為、中點，,，為中點，，,，，四邊形為平行四邊形,，所以平面．（2）設(shè)，，為異面直線、所成的角，，，以為坐標原點，以、、所在的直線分別為、、軸建立如圖所示空間直角坐標系,則，，，，，,，，，,設(shè)平面的法向量為,由，可得,令，則，，所以，平面的一個法向量；設(shè)平面的法向量為，由,可得,令，則，,所以，平面的法向量為,設(shè)二面角的大小為，,所以．19．（12分)新型冠狀病毒肺炎（簡稱新冠肺炎）是由嚴重急性呼吸系統(tǒng)綜合癥冠狀病毒2感染后引起的一種急性呼吸道傳染病，臨床表現(xiàn)為發(fā)熱?乏力?咳嗽和呼吸困難等,嚴重的可導(dǎo)致肺炎甚至危及生命．在黨中央的正確指導(dǎo)下，通過全國人民的齊心協(xié)力，特別是全體一線醫(yī)護人員的奮力救治，新冠肺炎疫情得到了控制．我國科研人員也在積極研究新冠肺炎的疫苗,在研究中利用小白鼠進行科學(xué)試驗，為了研究小白鼠連續(xù)接種疫苗后出現(xiàn)呼吸困難癥狀(記為H癥狀）的情況,決定對小白鼠進行接種試驗，該試驗的要求為：①對參加試驗的每只小白鼠每天接種一次；②連續(xù)接種三天為一個接種周期;③試驗共進行3個周期．已知每只小白鼠接種后當天出現(xiàn)H癥狀的概率均為，假設(shè)每次接種后當天是否出現(xiàn)H癥狀與上次接種無關(guān)．（1）若某只小白鼠出現(xiàn)H癥狀即對其終止試驗，求一只小白鼠至多能參加一個接種周期試驗的概率；（2)若某只小白鼠在一個接種周期內(nèi)出現(xiàn)2次或3次H癥狀，則在這個接種周期結(jié)束后，對其終止試驗．設(shè)一只小白鼠參加的接種周期為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．【答案】（1）；（2)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為．【解析】(1)已知每只小白鼠接種后當天出現(xiàn)H癥狀的概率均為，且每次試驗間相互獨立,所以一只小白鼠第一天接種后當天出現(xiàn)H癥狀的概率為,第二天接種后當天出現(xiàn)H癥狀的概率為，第三天接種后當天出現(xiàn)H癥狀的概率為，所以一只小白鼠至多參加一個接種周期試驗的概率為．（2)設(shè)事件A為“一個周期內(nèi)出現(xiàn)2次或3次H癥狀”，則，隨機變量X可能的取值為1，2，3，則，，,所以X的分布列為X123P所以隨機變量X的數(shù)學(xué)期望為．20．(12分)已知拋物線的焦點為F，B，C為拋物線C上兩個不同的動點，(B，C異于原點），當B,C，F(xiàn)三點共線時，直線BC的斜率為1,．（1）求拋物線T的標準方程；（2）分別過B，C作x軸的垂線，交x軸于M，N,若，求BC中點的軌跡方程．【答案】（1）；（2）．【解析】（1)設(shè)直線BC的方程為，則,設(shè)，,則，所以拋物線T的標準方程為．（2）令，，，則,，則，直線BC的方程為，令直線BC與y軸交于點H，則,所以，，所以或0（舍），令BC中點為，則,所以中點軌跡方程．21．（12分）已知函數(shù)．（1)求曲線在處的切線方程,并證明：；（2)當時，方程有兩個不同的實數(shù)根,證明：．【答案】(1），證明見解析；（2）證明見解析．【解析】（1）,所以，，即切線方程．下證:，令，因為，顯然在單調(diào)遞增，，所以易得在遞減，遞增，所以，所以．（2）,則為方程的兩根，不妨設(shè),顯然在時單調(diào)遞增，由，，所以存在，使，當,，遞減；，，遞增，由（1）得，，所以，∴，要證：，需證：,即證:，因為：,所以，即證：，即：，令，,,顯然在單調(diào)遞增，且,因為在單調(diào)遞增，所以，即不等式成立．請考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分．22．（10分）【選修4-4:坐標系與參數(shù)方程】在極坐標系中，曲線的極坐標方程為．(1）求曲線與極軸所在直線圍成圖形的面積；（2)設(shè)曲線與曲線交于，兩點，求．【答案】(1)；（2）．【解析】（1）由于的極坐標方程為