第12章參數(shù)模型功率譜估計(jì)

第12章：參數(shù)模型功率譜估計(jì)12.1平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的參數(shù)模型：該參數(shù)模型的思路是：（1）假定所研究的過(guò)程由一個(gè)輸入序列激勵(lì)一個(gè)線性系統(tǒng)的輸出，如圖：（2）由已知的，或者其自相關(guān)函數(shù)來(lái)估計(jì)的參數(shù)。12.1平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的參數(shù)模型：（3）由的參數(shù)來(lái)估計(jì)的功率譜。

不論是確定性信號(hào)還是隨機(jī)信號(hào)，對(duì)上圖所示的線性系統(tǒng)，和之間總有如下的輸入輸出關(guān)系：

(12.1.1)(12.1.2)12.1平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的參數(shù)模型：對(duì)上式兩邊分別取z變換，并假定，可得：(12.1.3)(12.1.4a)(12.1.4b)(12.1.4c)12.1平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的參數(shù)模型：為了保證是一個(gè)穩(wěn)定的且是最小相位系統(tǒng)，，的零點(diǎn)都應(yīng)在單位圓內(nèi)。假定是一個(gè)方差為的白噪聲序列，由隨機(jī)信號(hào)通過(guò)線性系統(tǒng)的理論可知，輸出序列的功率譜：（12.1.5）12.1平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的參數(shù)模型：AR模型：在中，如果：（1）全為零，那么，，分別變成：（12.1.1）(12.1.1)(12.1.3)(12.1.5)(12.1.6)(12.1.7)(12.1.8)12.1平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的參數(shù)模型：MA模型：（2）全為零，那么，，全變成：

(12.1.1)(12.1.3)(12.1.5)(12.1.9)(12.1.10)(12.1.11)12.1平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的參數(shù)模型：ARMA模型：（3）若，不全為零，則給出的模型為自回歸—移動(dòng)平均模型，簡(jiǎn)稱ARMA模型，顯然此模型是一個(gè)既有極點(diǎn)，又有零點(diǎn)的模型。總結(jié)：由于ARMA模型是一個(gè)極—零模型，它易于反映功率譜中的峰值和谷值。AR模型易反映譜的中峰值，而MA模型易反映譜中的谷值。(12.1.1)12.2AR模型的正則方程與參數(shù)計(jì)算假定、都是實(shí)平穩(wěn)的隨機(jī)信號(hào)，為白噪聲，方差為，現(xiàn)在我們建立AR模型的參數(shù)和的自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系，也就是AR模型的正則方程（Yule-Walker方程）。(12.2.4)12.2AR模型的正則方程與參數(shù)計(jì)算上式可簡(jiǎn)單的表示為：

(12.2.5)12.2AR模型的正則方程與參數(shù)計(jì)算(12.2.6)(12.2.7)(12.2.8)12.2AR模型的正則方程與參數(shù)計(jì)算(12.2.9)(12.1.10)(12.2.11)將這兩個(gè)方程和AR模型的正則方程相比較，可以看出他們及其相似，因?yàn)槭峭粋€(gè)隨機(jī)信號(hào)，若線性預(yù)測(cè)器的階次和AR模型的階次一樣，那么有：

上兩式說(shuō)明，一個(gè)p階AR模型的個(gè)參數(shù)同樣可以用來(lái)構(gòu)成一個(gè)P階的最佳線性預(yù)測(cè)器。所以AR模型和線性預(yù)測(cè)器是等價(jià)的，由此可以看出，AR模型是在最小平方意義上對(duì)數(shù)據(jù)的擬合。

12.2AR模型的正則方程與參數(shù)計(jì)算12.2AR模型的正則方程與參數(shù)計(jì)算Levinson-Durbin遞推算法：

Levinson-Durbin遞推算法從低階開(kāi)始遞推，直到階次p，給出了在每一個(gè)階次時(shí)的所有參數(shù)，即這一特點(diǎn)有利于選擇AR模型的合適階次。12.2AR模型的正則方程與參數(shù)計(jì)算上述算法的遞推導(dǎo)是建立在的前個(gè)自相關(guān)函數(shù)已知的基礎(chǔ)上，但在實(shí)際的工作中，往往不能精確的知道的自相關(guān)函數(shù)，而知道的僅僅是N點(diǎn)數(shù)據(jù)，即，為此，可以這樣：1）首先由估計(jì)的自相關(guān)函數(shù)，得2）用代替上述遞推算法中的，重新求解Yule-Walker方程，這時(shí)求出的AR模型參數(shù)是真實(shí)參數(shù)的估計(jì)值，即

由這些參數(shù)，得到的功率譜的估計(jì)，即：

對(duì)在單位圓上均勻抽樣，設(shè)分點(diǎn)為N個(gè)，則得到離散譜：

12.2AR模型的正則方程與參數(shù)計(jì)算12.2AR模型的正則方程與參數(shù)計(jì)算式中這樣上式可用FFT快速計(jì)算。12.3AR模型譜估計(jì)的性質(zhì)及階次p的選擇

12.3.1AR模型譜估計(jì)的性質(zhì)1譜的平滑性譜比周期圖譜平滑的多。2）譜的分辨率經(jīng)典譜估計(jì)的分辨率反比于使用的信號(hào)長(zhǎng)度，現(xiàn)代譜估計(jì)的分辨率不受此限制。3）譜的匹配性質(zhì)在整個(gè)頻率范圍內(nèi)，和相跟隨，但在每一局部處，它跟隨的峰點(diǎn)要比跟隨谷點(diǎn)的程度好。12.3.1AR模型譜估計(jì)的性質(zhì)4）譜的統(tǒng)計(jì)特性譜的方差反比于數(shù)據(jù)的長(zhǎng)度和信噪比。5）模型譜估計(jì)方法的不足其一，譜的分辨率和求模型時(shí)所使用的信號(hào)的信噪比有著密切的關(guān)系。信噪比越小，譜的分辨率降低的越明顯。其二，如果是含有噪聲的正弦信號(hào)，在應(yīng)用時(shí)發(fā)現(xiàn)，譜峰的位置易受的初相位的影響，12.3.1AR模型譜估計(jì)的性質(zhì)且在有的算法中，還可能出現(xiàn)“譜線分裂”的現(xiàn)象，即在本來(lái)應(yīng)只有一個(gè)譜線的位置附近分裂成兩個(gè)譜線。其三，譜估計(jì)的質(zhì)量受到階次p的影響。P選的過(guò)低，譜太平滑，反映不出譜峰。P選的過(guò)大，可能產(chǎn)生虛假的峰值。12.3.2AR模型階次的選擇AR模型的階次p是單調(diào)下降的，直觀上講，當(dāng)模型的最小誤差功率達(dá)到所指定的希望值，或是不再發(fā)生變化時(shí)，其時(shí)的階次即是要選的正確階次。因此，降到多少才合適，有幾個(gè)不同的準(zhǔn)則被提出，常用的有兩個(gè)：（1）最準(zhǔn)預(yù)測(cè)誤差準(zhǔn)則：

12.3.2AR模型階次的選擇（2）信息論準(zhǔn)則：其中為數(shù)據(jù)的長(zhǎng)度，當(dāng)階次由1增加時(shí)，和都將在某一個(gè)處取得極小值。將此時(shí)的定為最合適的。在實(shí)際運(yùn)用時(shí)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)數(shù)據(jù)較短時(shí)，它們給出的階次偏低，且二者給出的結(jié)果基本上是一致的。上面兩式僅為階次選擇提供一個(gè)依據(jù)，究竟階次取多少為好，還要在實(shí)踐中由所得到的結(jié)果作多次比較后，予以確定。12.4AR模型的穩(wěn)定性及對(duì)信號(hào)建模問(wèn)題的討論12.4.1AR模型的穩(wěn)定性重新定義自相關(guān)矩陣為：

并記其行列式的值為。用三個(gè)結(jié)論來(lái)說(shuō)明矩陣的性質(zhì)與AR模型穩(wěn)定性的關(guān)系。12.4.1AR模型的穩(wěn)定性結(jié)論一：如果是正定的，那么，由Yule-Walker方程解出的構(gòu)成的階AR模型是穩(wěn)定的，且是唯一的。也即的零點(diǎn)都在單位圓內(nèi)。此性質(zhì)稱為AR模型的最小相位性質(zhì)。結(jié)論二：若由個(gè)復(fù)正弦組成，即

12.4.1AR模型的穩(wěn)定性式中為常數(shù)，是在內(nèi)均勻分布的零均值隨機(jī)變量，的自相關(guān)函數(shù)為:

則由前個(gè)值組成的自相關(guān)矩陣是奇異的，而是正定的，即：

12.4.1AR模型的穩(wěn)定性結(jié)論三：如果由個(gè)正弦組成（實(shí)的或復(fù)的），則是完全可以預(yù)測(cè)的，即預(yù)測(cè)誤差等于零。結(jié)論二指出了何時(shí)奇異何時(shí)正定的條件，它和結(jié)論三一起正弦信號(hào)的某些性質(zhì)。特別說(shuō)明，用AR模型對(duì)純正弦信號(hào)建模是不合適的，會(huì)出現(xiàn)自相關(guān)矩陣為奇異的情況，要克服自相關(guān)陣奇異的情況，最常用的方法是加上白噪聲，這樣不會(huì)等于零。12.4.2關(guān)于信號(hào)建模問(wèn)題的討論*信號(hào)建模的本質(zhì)：準(zhǔn)確建模的定義：設(shè)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程存在階模型，使得模型的輸出在階統(tǒng)計(jì)特性上和的同階統(tǒng)計(jì)特性相一致，則把稱為階統(tǒng)計(jì)意義上可準(zhǔn)確建模的隨機(jī)過(guò)程，而把改模型稱作在階統(tǒng)計(jì)意義上的準(zhǔn)確模型。12.6AR模型系數(shù)的求解算法12.6.1自相關(guān)法令則（12.5.13）可寫(xiě)為：令12.6.1自相關(guān)法

由最小平方原理，并將前面的式子互相代入，得到：此式即是(12.2.5)式的Yule-Walker方程和（12.2.10）、（12.2.11）式的Wiener-Hopf方程,由此得出結(jié)論：12.6.1自相關(guān)法（1）由個(gè)自相關(guān)函數(shù)，利用遞歸求解方程所得到的AR模型的參數(shù)等效于前向預(yù)測(cè)器的系數(shù)。AR模型激勵(lì)白噪聲的方差等效與前向預(yù)測(cè)的最小預(yù)測(cè)誤差功率。（2）AR模型的自相關(guān)法等效與對(duì)前向預(yù)測(cè)的誤差序列前后加窗，加窗的結(jié)果是使得自相關(guān)法的分辨率降低。數(shù)據(jù)越短，分辨率越好。12.6.1自相關(guān)法（3）也正是因?yàn)榈氖菑闹?，故矩陣積才是型自相關(guān)陣。如若使用，或，對(duì)應(yīng)的矩陣積將不再是陣。因此，自相關(guān)法也是已知所有AR系數(shù)求解方法中最簡(jiǎn)單的一種。12.6.2Burg算法Burg算法是建立在數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上的AR系數(shù)求解的有效算法。其特點(diǎn)是：1，令前后向預(yù)測(cè)誤差功率之和為最小，而不是像自相關(guān)法那樣僅令為最小。2，和的求和范圍不是至，而是從至，這等效使用，前后都不加窗，這時(shí)：

12.6.2Burg算法3，在上式中，當(dāng)階次m由1至p時(shí)，，有如下的遞推關(guān)系：

12.6.2Burg算法將(12.6.9)、(12.6.10)、(12.6.11)代入中，令，可得使為最小的為：

按此式估出的滿足。4，按上式估計(jì)出后，在階次時(shí)的AR模型12.6.2Burg算法系數(shù)仍然由Levinson算法遞推求出：

上兩式是假定在第階時(shí)的AR參數(shù)已求出。

由于Burg算法具有以上特點(diǎn)，所以Burg算法比自相關(guān)算法有著較好的分辨率，但對(duì)于白噪聲加正弦信號(hào)，有時(shí)可能會(huì)出現(xiàn)前面所提到的譜線分裂現(xiàn)象。Burg算法的遞推步驟：1）由初始條件，再由（12.6.12）式求出；2）由得時(shí)的參數(shù)：；3）由和(12.6.11)求出，，再由(12.6.12)式估計(jì)；4）依照(12.6.13)和(12.6.14)式的Levinson遞推關(guān)系，求出時(shí)的，及。5）重復(fù)上述過(guò)程，直到，求出所有階次的AR參數(shù)。12.6.3改進(jìn)的協(xié)方差方法該算法的特點(diǎn)是：（1）如同Burg方法一樣，仍是令前后向預(yù)測(cè)誤差功率之和為最小。式中

12.6.3改進(jìn)的協(xié)方差方法（2）在令為最小時(shí)，不是僅令相對(duì)為最小，而是令相對(duì)都為最小，m由1到p。將（1）中的后兩個(gè)式子代入，由于，因此令得到：

12.6.3改進(jìn)的協(xié)方差方法令

那么（12.6.19）寫(xiě)成如下的矩陣形式：

12.6.3改進(jìn)的協(xié)方差方法最小預(yù)測(cè)誤差功率可由下面兩式求出：或

12.6.3改進(jìn)的協(xié)方差方法

式（12.6.21）和（12.6.22）構(gòu)成了改進(jìn)的協(xié)方差方法的正則方程，稱之為協(xié)方差方程。由于不能寫(xiě)稱的函數(shù)，所以（12.6.21）式的系數(shù)矩陣不是Toeplitz陣，因此這一正則方程不能用于Levinson算法求解。12.7MA模型及功率譜估計(jì)12.7.1MA模型及其正則方程

給出MA(q)模型的三個(gè)方程如下：