第四章概率論

第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征

龔小慶gongxiaoqing@§4.1數(shù)學(xué)期望引例1

分賭本問(wèn)題(產(chǎn)生背景)

甲、乙

兩人賭技相同,各出賭金50元,并約定先勝三局者為勝,取得全部100元.由于出現(xiàn)意外情況,在A勝2局B勝1局時(shí),不得不終止賭博,如果要分賭金,該如何分配才算公平?甲

勝2局乙

勝1局前三局:后二局:把已賭過(guò)的三局(A勝2局B勝1局)與上述結(jié)果相結(jié)合,即甲和乙

賭完五局,AAAB

BABB甲勝乙

勝分析：假設(shè)繼續(xù)賭兩局,用A和B分別表示甲和乙獲勝，則結(jié)果有以下四種情況:AAA

B

BABB因此,甲

能“期望”得到的數(shù)目應(yīng)為

而乙

能“期望”得到的數(shù)目,則為

故有,在賭技相同的情況下,甲、乙

最終獲勝的可能性大小之比為3:1.即甲

應(yīng)獲得賭金的3/4，而乙

只能獲得賭金的1/4.因而甲期望所得的賭金即為X的“期望”值,等于即,X的可能值與其概率之積的累加.

若設(shè)隨機(jī)變量X

為:在甲勝2局乙勝1局的前提下,繼續(xù)賭下去甲最終所得的賭金.則X的分布列為:設(shè)某射擊手在同樣的條件下,瞄準(zhǔn)靶子相繼射擊90次,(命中的環(huán)數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量).射中次數(shù)記錄如下引例2

射擊問(wèn)題試問(wèn):該射手每次射擊平均命中靶多少環(huán)?命中環(huán)數(shù)k命中次數(shù)頻率解平均射中環(huán)數(shù)平均射中環(huán)數(shù)頻率隨機(jī)波動(dòng)隨機(jī)波動(dòng)隨機(jī)波動(dòng)穩(wěn)定值“平均射中環(huán)數(shù)”的穩(wěn)定值“平均射中環(huán)數(shù)”等于射中環(huán)數(shù)的可能值與其概率之積的累加2.2.2數(shù)學(xué)期望的定義

定義2.2.2

設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為f(x),若積分絕對(duì)收斂,則稱的值為X的數(shù)學(xué)期望,記為E(X),即有數(shù)學(xué)期望簡(jiǎn)稱為期望,又稱為均值.例4.1.1

甲、乙兩個(gè)人進(jìn)行射擊,所得的分?jǐn)?shù)分別為它們的分布律分別為試評(píng)定他們成績(jī)的好壞.解

甲乙兩個(gè)人得分的數(shù)學(xué)期望分別為由于故甲的成績(jī)強(qiáng)于乙的成績(jī).

例4.1.2

設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為p的0-1分布，試求X的數(shù)學(xué)期望.解由題意知X的分布律為故

例4.1.3某商店對(duì)某種家用電器的銷售采用先使用后付款的方法,記使用壽命為X(以年計(jì)),規(guī)定

一臺(tái)付款1500元;

一臺(tái)付款2000元;

一臺(tái)付款2500元;

一臺(tái)付款3000元;設(shè)壽命X服從參數(shù)為0.1的指數(shù)分布,試求該商店一臺(tái)收費(fèi)Y的數(shù)學(xué)期望.

解

由題意,X的分布函數(shù)為Y的可能的取值為1500,2000,2500,3000，且所以即平均一臺(tái)收費(fèi)2732.15元

例4.1.4

設(shè)X服從參數(shù)為的泊松分布,求X的數(shù)學(xué)期望.解由于X的分布律為故例4.1.5

設(shè)求解由于X的概率密度為故例4.1.6

設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為的指數(shù)分布,求解例4.1.7

設(shè)隨機(jī)變量,求E(X).

解令則例4.1.8

柯西分布的數(shù)學(xué)期望不存在設(shè)隨機(jī)變量X服從柯西分布，則其概率密度為由于故E(X)不存在.4.1.3隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望

在很多實(shí)際問(wèn)題中，經(jīng)常遇到求隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望問(wèn)題．下面兩個(gè)定理給出了求隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望的簡(jiǎn)便方法．利用這二個(gè)定理可以省略求隨機(jī)變量函數(shù)的分布．解由定理4.1.1，得解由定理2.2.1，得

例4.1.10

設(shè)某種商品每周的需求量X服從區(qū)間[10,30]上的均勻分布,而經(jīng)銷商進(jìn)貨數(shù)為區(qū)間[10,30]中的某一整數(shù),商店每銷售一單位商品可獲利500元;若供大于求則削價(jià)處理,每處理一單位商品虧損100元;若供不應(yīng)求,則可從外部調(diào)劑供應(yīng),此時(shí)每單位僅獲利300元.為使商店所獲利潤(rùn)期望值不少于9280,試確定最小的進(jìn)貨量.解設(shè)進(jìn)貨數(shù)為a,則利潤(rùn)為故期望利潤(rùn)為而由題意知,X的概率密度為故利潤(rùn)期望值不少于9280元的最少進(jìn)貨量為21單位依題意,有類似的還有解

4.1.4數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)(1)設(shè)C為常數(shù),則有(2)設(shè)X是隨機(jī)變量,k是常數(shù),則(3)設(shè)X,Y是隨機(jī)變量,則性質(zhì)(2)(3)稱為數(shù)學(xué)期望的線性性質(zhì),可寫(xiě)成證明(4)若X,Y相互獨(dú)立,則有證明性質(zhì)(3)和(4)可推廣到n維隨機(jī)變量的情形.(5)若相互獨(dú)立,則有(6)

例4.1.12

一民航送客車載有20位旅客自機(jī)場(chǎng)開(kāi)出,旅客有10個(gè)車站可以下車.如到達(dá)一個(gè)車站沒(méi)有旅客下車就不停車.以X表示停車的次數(shù),求E(X)(設(shè)每位旅客在各個(gè)車站下車是等可能的,并設(shè)各旅客是否下車相互獨(dú)立)

解

引入隨機(jī)變量則有又由題意，有所以由數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)，得

重要結(jié)論:設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立且均服從參數(shù)為p的0-1分布：則

證明設(shè)有一個(gè)n重伯努利試驗(yàn),每次試驗(yàn)中成功的概率為p,引進(jìn)隨機(jī)變量則Xi服從參數(shù)為p的0-1分布，令

則它表示在這個(gè)伯努利試驗(yàn)中成功的次數(shù),故有§4.2方差

數(shù)學(xué)期望是隨機(jī)變量取值的平均值，是一種位置特征數(shù)，但數(shù)學(xué)期望畢竟只反映了中心位置，它無(wú)法反映出隨機(jī)變量圍繞中心位置取值的“波動(dòng)”的幅度大小．(1)若X是離散型隨機(jī)變量,分布律為則(2)若X是連續(xù)型隨機(jī)變量,概率密度為f(x)，則由于所以有下列公式例4.2.1

設(shè)X服從參數(shù)為p的0-1分布,則E(X)=p又故有因此若X服從參數(shù)為p的0-1分布,則0-1分布的數(shù)學(xué)期望和方差例4.2.2

若,則又所以泊松分布的數(shù)學(xué)期望和方差

例4.2.3

三角分布、均勻分布和倒三角分布的數(shù)學(xué)期望、方差和標(biāo)準(zhǔn)差.-111.三角分布設(shè)則由對(duì)稱性，有于是2.均勻分布-11設(shè)，則則由對(duì)稱性，有故3.倒三角分布設(shè)則由對(duì)稱性，有于是-11三個(gè)分布方差之間的比較-11-11-11

三角分布在中間較為集中，故方差最??；倒三角分布集中于兩側(cè)，故方差最大；均勻分布介于其中，故方差也介于其中.即三角分布均勻分布倒三角分布參數(shù)為指數(shù)分布的數(shù)學(xué)期望和方差故設(shè)4.2.2方差的性質(zhì)性質(zhì)1

常數(shù)的方差為0，即其中c為常數(shù)證明若c為常數(shù)，則性質(zhì)2

若a,b為常數(shù)，則證明因此，由性質(zhì)2，有另外，由知，若E(X2)=0,則E(X)=0,且D(X)=0.性質(zhì)3

對(duì)任意常數(shù)c，且等號(hào)成立的充分必要條件為c=E(X).證明若性質(zhì)4

若X與Y相互獨(dú)立,則有證明(最后的一個(gè)等式由X與Y的獨(dú)立性推得)并且還有于是，若X與Y獨(dú)立，則注意：以下兩個(gè)式子是等價(jià)的,即切比雪夫不等式定理4.2.1（切比雪夫不等式）設(shè)隨機(jī)變量的X的數(shù)學(xué)期望和方差均存在，則對(duì)任意的，有或等價(jià)地，有證明僅對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量給出證明．

上述不等式給出了在隨機(jī)變量X的分布未知時(shí)對(duì)事件的概率下界的一個(gè)估計(jì).

記,則有

由于切比雪夫不等式對(duì)任何分布都成立，因此在很多情況下我們就不能指望得到的概率上界能夠非常接近于真正概率．比如所以二項(xiàng)分布數(shù)字特征的簡(jiǎn)便求法

設(shè)相互獨(dú)立且均服從參數(shù)為p的0-1分布,則由前面的討論知?jiǎng)t由數(shù)學(xué)期望與方差的性質(zhì),有正態(tài)分布的數(shù)學(xué)期望和方差由于故因此，正態(tài)分布的兩個(gè)參數(shù)恰好就是相應(yīng)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差．

結(jié)論:若則例4.2.4

設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立且均服從正態(tài)分布，試求.解令Z=X-Y，則Z服從正態(tài)分布，由于所以，故§4.3協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)

為了刻劃兩個(gè)隨機(jī)變量之間的關(guān)系,本節(jié)討論兩個(gè)重要的數(shù)字特征:協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)4.3.1協(xié)方差由前面的討論知,若X與Y相互獨(dú)立,則有

因此,若上式不成立,則X與Y

必不相互獨(dú)立,也就是說(shuō),當(dāng)上式的左端不等于零時(shí),兩個(gè)隨機(jī)變量之間就存在著某種關(guān)系.因此量E(XY)－E(X)E(Y)在某種程度上刻劃了兩個(gè)隨機(jī)變量之間的關(guān)系.我們將其稱之為協(xié)方差.定義3.4.1

設(shè)(X,Y)是二維隨機(jī)變量，若

存在，則稱此數(shù)學(xué)期望為X與Y的協(xié)方差,并記作特別地，有性質(zhì)1證明性質(zhì)2

若X與Y相互獨(dú)立，則Cov(X,Y)=0,反之不然.證明這是因?yàn)槿鬤與Y獨(dú)立，則X與Y不相關(guān)X與Y相互獨(dú)立見(jiàn)下面的反例.反之不然，即

例4.3.1

設(shè)(X,Y)服從單位圓上的均勻分布,則它們的聯(lián)合密度為-11-11由對(duì)稱性可知因?yàn)樗訶與Y不相互獨(dú)立.由對(duì)稱性所以即X與Y不相關(guān)

性質(zhì)3

對(duì)于任意的二維隨機(jī)變量(X,Y)，有證明因此，若X與Y不相關(guān)，則以下四個(gè)命題是等價(jià)的：（1）（2）（3）推廣：（4）X與Y不相關(guān)協(xié)方差的基本性質(zhì)(1)對(duì)稱性(2)

任意隨機(jī)變量X與常數(shù)a的協(xié)方差為零,即(3)

對(duì)任意常數(shù)a,b，有(4)

設(shè)X,Y,Z是任意三個(gè)隨機(jī)變量，則由前面所述性質(zhì)，有由于

因此,協(xié)方差的大小依賴于度量單位,這是它的一個(gè)明顯缺陷.為了克服這個(gè)缺陷,我們引入相關(guān)系數(shù)的概念.4.3.2相關(guān)系數(shù)定義4.3.2

假設(shè)X,Y的方差均存在，則稱為X與Y的相關(guān)系數(shù)注：相關(guān)系數(shù)是一個(gè)無(wú)量綱的數(shù).它與協(xié)方差具有相同的符號(hào).兩個(gè)隨機(jī)變量標(biāo)準(zhǔn)化后不會(huì)影響它們的相關(guān)系數(shù)則令相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)1證明將隨機(jī)變量X和Y標(biāo)準(zhǔn)化,即則有因此,有由此可推出注：由該性質(zhì)立即可得如下的施瓦茨不等式因此，有即取幾點(diǎn)說(shuō)明：解因?yàn)閺亩鳻Y的分布律為X的邊緣分布律為所以解

解（1）由題意有

于是有因此（2）由題設(shè)所以X與Y不獨(dú)立。注：如果隨機(jī)變量X和Y都服從正態(tài)分布，只有當(dāng)X和Y的聯(lián)合分布是二維正態(tài)分布時(shí)兩個(gè)隨機(jī)變量相關(guān)系數(shù)等于零才是它們獨(dú)立的充分必要條件。否則，即使兩個(gè)隨機(jī)變量都服從正態(tài)分布，它們的聯(lián)合分布也不一定是二維正態(tài)分布，此時(shí)相關(guān)系數(shù)等于零就僅僅是它們獨(dú)立的必要條件。4.3.3協(xié)方差矩陣和多維正態(tài)分布為n維隨機(jī)向量X的數(shù)學(xué)期望向量