第七章方差分析(心理)

第七章方差分析

方差分析(AnalysisofVariance)簡稱ANOVA,又叫變異數(shù)分析,其主要功能在于分析實驗數(shù)據(jù)中不同來源的變異對總體變異的貢獻大小,從而確定實驗中的自變量是否對因變量有重要影響.

Z檢驗、ｔ檢驗是對兩個均值差異的檢驗。當(dāng)需要同時檢驗兩個以上均值的差異時也要用方差分析，這時可以把方差分析看成是ｔ檢驗的擴展。

一、方差分析的基本原理

1、方差分析中的幾個概念

實驗中的自變量稱為因素。只有一個自變量的實驗稱為單因素實驗，兩個或兩個以上稱為多因素實驗。某一因素的不同情況稱為因素的“水平”。

每一個實驗條件稱為實驗處理。單因素實驗中因素的一個水平就是一個實驗處理，多因素實驗中不同因素的不同水平的交叉形成不同的實驗處理。自變量影響的結(jié)果因變量。例：為探討噪音對解數(shù)學(xué)題的影響，把12名被試隨機分為三組，各在不同噪音情況下解數(shù)學(xué)題，被試解錯的題數(shù)如下表，問噪音對解數(shù)學(xué)題是否有影響這里只有噪因一個自變量，因而是單因素設(shè)計。噪因的“強、中、無”是自變量的三個水平；也是三種實驗處理；做錯題數(shù)是因變量。

2、方差分析的邏輯基礎(chǔ)

所有數(shù)據(jù)總的變異來源于兩部分：實驗處理的不同（組間變異）、各組內(nèi)被試的個體差異（組內(nèi)變異）。如果能證明組間變異對總變異的貢獻大于組內(nèi)變異，即證明了引起因變量變化的主要原因是自變量的變化。

變異的分解（平方和的分解）平方和的優(yōu)越性在于其可加性方差只有在自由度相等時才可加

即：

為了計算方便，上述平方和公式可用原始數(shù)據(jù)計算組間自由度組內(nèi)自由度總自由度計算方差組間方差

組內(nèi)方差計算F值

進行F檢驗如果F1,說明數(shù)據(jù)的總變異中大部分是由實驗誤差或個體差異造成的,不同的實驗處理A、B、C之間差異不大，即實驗處理基本無效；如果F>1且落入F分布的臨界區(qū)外,即只有實驗處理的作用顯著地大于組內(nèi)變異的作用時,才能確認(rèn)實驗處理的有效作用,A、B、C三種處理之間的差異顯著。方差分析的主要任務(wù)是檢驗組間方差在統(tǒng)計上是否顯著地大于組內(nèi)方差。3、方差分析的過程建立假設(shè)

H0：無處理效應(yīng)H1：有處理效應(yīng)求平方和確定自由度求均方（方差）進行F檢驗，單側(cè)列出方差分析表4、方差分析的條件總體正態(tài)分布、變異可分解、各組方差一致

方差分析中的方差齊性檢驗

方差分析中的方差齊性檢驗，常用哈特萊（Hartley）所提出的最大F值檢驗法，其計算公式為各組容量不等時，用最大的n計算自由度二、單因素完全隨機設(shè)計的方差分析完全隨機設(shè)計(Completerandomizeddesign):把被試隨機分成若干組,每個組分別接受一種實驗處理。完全隨機分組后，各實驗組的被試之間是相互獨立的，因而這種設(shè)計又稱“獨立組設(shè)計”或被試間設(shè)計。該設(shè)計的不足之處：誤差項既包括實驗本身的誤差又包括個體差異引起的誤差，因而它的檢驗效率往往不高。例：研究人員采用四種不同的心理治療方案，對每個志愿參加治療的患者進行心理治療。他們用錄音機記錄了每個被試在一段時間中所講的詞數(shù)。由于錄音的困難每種方案記錄的人數(shù)各不相同，問這幾種方案是否有差異？序號治療方案X1X2X3X413050188827438567834666346045862247656244666385852780ni6764Σn＝23ΣX308398250302ΣΣX＝125851.3356.8641.6775.517144238441225223204

=764442857.333406.2920425801=71657.51．提出假設(shè)H0：μ1＝μ2＝μ3＝μ4（或：無處理效應(yīng)）H1：至少有兩個總體平均數(shù)不等（或：有處理效應(yīng)）2．計算平方和、自由度

3、計算方差并進行F檢驗4、做統(tǒng)計決斷,列方差分析表變異來源平方和自由度方差F值概率組間變異2850.43950.13.77*P<0.05組內(nèi)變異4786.519251.9總變異7636.922表：

四組記錄數(shù)據(jù)的完全隨機設(shè)計方差分析表三、單因素隨機區(qū)組設(shè)計的方差分析（repeatedmeasuresanalysisofvaricace）

在完全隨機設(shè)計中,SSt=SSb+SSw,即總變異=組間變異+組內(nèi)變異。實際上，這時，組內(nèi)變異不僅反映了實驗的隨機誤差，而且還反映了實驗組內(nèi)被試間個體差異。單因素的完全隨機化實驗設(shè)計把可以控制的個體差異作為隨機誤差而不加以控制，從而增大了實驗誤差，使F檢驗不敏感。隨機區(qū)組設(shè)計就是要從實驗誤差中將被試的個體差異區(qū)分開來，從而增加實驗數(shù)據(jù)的有效信息，降低實驗誤差。

隨機區(qū)組設(shè)計把從同一個總體中抽取的被試分成若干個組（稱為區(qū)組），原則是使同一區(qū)組內(nèi)的被試應(yīng)盡量“同質(zhì)”。被試的分配分三種情況：(1)一個被試作為一個區(qū)組,不同的被試(區(qū)組)均需接受全部ｋ個實驗處理;(2)每一區(qū)組內(nèi)被試的人數(shù)是實驗處理數(shù)的整數(shù)倍;(3)區(qū)組內(nèi)的基本單元不是個別被試,而是以一個團體為單元。隨機區(qū)組設(shè)計由于同一區(qū)組接受所有實驗處理，試實驗處理之間有相關(guān)，所以也稱為相關(guān)組設(shè)計（被試內(nèi)設(shè)計）。它把區(qū)組效應(yīng)從組內(nèi)平方和中分離出來。這時，總平方和＝組間平方和＋區(qū)組平方和＋誤差項平方和隨機區(qū)組設(shè)計中平方和的分解：

n為區(qū)組數(shù)，k為實驗處理數(shù)

計算方差、進行F檢驗組間方差

區(qū)組方差

誤差方差

例四名空中交通管制員分別在三種壓力情境中接受壓力測試，結(jié)果見下表，問不同壓力情境下空中交通管制員的抗壓能力是否有差異被試序號ＸAＸBＸC123471.171.570.170.573.472.572.372.272.372.170.871.6表：4位空管員抗壓力測試的方差分析計算表學(xué)生序號ＸAＸBＸCΣX(ΣX)2123471.171.570.170.573.472.572.372.272.372.170.871.6217.40216.20213.20214.4047262.7646742.4445454.2445967.36nΣXΣX2X4283.920151.5120149.8070.984290.5021098.4521097.5672.634286.8020564.9020563.5671.70nk=12185426.80861.20=ΣΣX=ΣΣR61814.86=ΣΣX261810.92=

1、提出假設(shè)

H01:

不存在處理效應(yīng)（μ1=μ2=μ3

）H11:存在處理效應(yīng)

（至少有兩個處理平均數(shù)不等）

H02:不存在區(qū)組效應(yīng)（μ1=μ2=μ3=μ4）

H12:存在區(qū)組效應(yīng)（至少有兩個區(qū)組平均數(shù)不等）

2、計算平方和3、確定自由度4、計算方差（均方）5、計算Ｆ值、進行Ｆ檢驗組間方差與誤差方差的Ｆ比值區(qū)組方差與誤差方差的Ｆ比值

對區(qū)組間的差異進行檢驗，主要是考察區(qū)組之間在水平上是否存在顯著性差異區(qū)組間差異的顯著與否并不影響各種實驗處理間平均數(shù)差異的顯著性。6、列方差分析表變異來源平方和自由度方差F值概率組間變異5.4722.7434.25**P<0.01P<0.01區(qū)組變異3.4831.1614.50**誤差變異0.4660.03總變異9.41114位空管員抗壓力測試的方差分析表與完全隨機設(shè)計的方差分析相比，其最大優(yōu)點是考慮到個別差異的影響（即區(qū)組效應(yīng)），可以將這種影響從組內(nèi)變異中分離出來，從而提高效率。但是這種設(shè)計也有不足，主要表現(xiàn)在劃分區(qū)組的困難上。如果不能保證同一區(qū)組內(nèi)盡量同質(zhì)，則有出現(xiàn)更大誤差的可能。

例有四種小學(xué)語文實驗教材，分別代號為A、B、C、D。為比較其教學(xué)效果，按隨機區(qū)組設(shè)計原則，將小學(xué)分為城鎮(zhèn)重點小學(xué)、城鎮(zhèn)一般小學(xué)和鄉(xiāng)村小學(xué)三個區(qū)組，分別代號為I、II、III，并從每個區(qū)組中隨機地抽取4所小學(xué)，它們分別被隨機地指派實驗一種教材。經(jīng)一年教學(xué)后通過統(tǒng)一考試得到各校的平均成績?nèi)缦卤?。問四種教材的教學(xué)效果是否一致？

計算平方和

四種教材的隨機區(qū)組設(shè)計方差分析四、多重比較(各平均數(shù)之間的比較)

方差分析的主要目的是通過F檢驗討論組間變異在總變異中的作用,借以對兩組以上的平均數(shù)進行差異顯著性檢驗,得到的是一個整體的結(jié)果。如果F檢驗不顯著，說明實驗中的自變量（因素）對因變量沒有顯著影響，檢驗就此結(jié)束。如果F檢驗的結(jié)果顯著，此時，往往不能結(jié)束。它表明多組平均數(shù)兩兩比較中至少有一對平均數(shù)間的差異達到了顯著水平，至于是哪一對并沒有回答。需要專門的分析技術(shù)，即方差分析中的多重比較。我們自然可以想到，是否可以用t檢驗對各組平均數(shù)兩兩進行比較呢？答案是否定的。前例：研究人員采用四種不同的心理治療方案，對每個志愿參加治療的患者進行心理治療。他們用錄音機記錄了每個被試在一段時間中所講的詞數(shù)。由于錄音的困難每種方案記錄的人數(shù)各不相同，問這幾種方案是否有差異？變異來源平方和自由度方差F值概率組間變異2850.43950.13.77*P<0.05組內(nèi)變異4786.519251.9總變異7636.922⑴．計算每對平均數(shù)之差的q值

四組數(shù)據(jù)平均數(shù)間的q臨界值（2）．查表,求出q臨界值自由度dfw等級差數(shù)r臨界值q0.05q0.011922.974.071933.614.701944.005.09Ｘ151.33Ｘ256.86Ｘ341.67Ｘ256.86-5.53Ｘ341.679.6715.19Ｘ475.524.1718.6433.83*

隨機區(qū)組設(shè)計的q檢驗與完全隨機設(shè)計的q檢驗方法相同，只是計算公式稍有不同：五、雙因素方差分析簡介在兩因素的完全隨機設(shè)計中SSt=SSA+SSB+SSAB+SSe在兩因素的隨機區(qū)組設(shè)計中SSt=SSR+SSA+SSB+SSAB

+SSe

例研究不同的教學(xué)方法（A）和不同的教學(xué)態(tài)度（B）對兒童識字量的作用，將20名被試隨機分成四組（每組5人），每組接受一種實驗處理（即兩因素水平之間組合之一），結(jié)果見下表：

自由度

dft=20-1=19,dfb=4-1=3,dfw=