第七章方差分析(心理)

第七章方差分析

方差分析(AnalysisofVariance)簡(jiǎn)稱ANOVA,又叫變異數(shù)分析,其主要功能在于分析實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中不同來(lái)源的變異對(duì)總體變異的貢獻(xiàn)大小,從而確定實(shí)驗(yàn)中的自變量是否對(duì)因變量有重要影響.

Z檢驗(yàn)、ｔ檢驗(yàn)是對(duì)兩個(gè)均值差異的檢驗(yàn)。當(dāng)需要同時(shí)檢驗(yàn)兩個(gè)以上均值的差異時(shí)也要用方差分析，這時(shí)可以把方差分析看成是ｔ檢驗(yàn)的擴(kuò)展。

一、方差分析的基本原理

1、方差分析中的幾個(gè)概念

實(shí)驗(yàn)中的自變量稱為因素。只有一個(gè)自變量的實(shí)驗(yàn)稱為單因素實(shí)驗(yàn)，兩個(gè)或兩個(gè)以上稱為多因素實(shí)驗(yàn)。某一因素的不同情況稱為因素的“水平”。

每一個(gè)實(shí)驗(yàn)條件稱為實(shí)驗(yàn)處理。單因素實(shí)驗(yàn)中因素的一個(gè)水平就是一個(gè)實(shí)驗(yàn)處理，多因素實(shí)驗(yàn)中不同因素的不同水平的交叉形成不同的實(shí)驗(yàn)處理。自變量影響的結(jié)果因變量。例：為探討噪音對(duì)解數(shù)學(xué)題的影響，把12名被試隨機(jī)分為三組，各在不同噪音情況下解數(shù)學(xué)題，被試解錯(cuò)的題數(shù)如下表，問(wèn)噪音對(duì)解數(shù)學(xué)題是否有影響這里只有噪因一個(gè)自變量，因而是單因素設(shè)計(jì)。噪因的“強(qiáng)、中、無(wú)”是自變量的三個(gè)水平；也是三種實(shí)驗(yàn)處理；做錯(cuò)題數(shù)是因變量。

2、方差分析的邏輯基礎(chǔ)

所有數(shù)據(jù)總的變異來(lái)源于兩部分：實(shí)驗(yàn)處理的不同（組間變異）、各組內(nèi)被試的個(gè)體差異（組內(nèi)變異）。如果能證明組間變異對(duì)總變異的貢獻(xiàn)大于組內(nèi)變異，即證明了引起因變量變化的主要原因是自變量的變化。

變異的分解（平方和的分解）平方和的優(yōu)越性在于其可加性方差只有在自由度相等時(shí)才可加

即：

為了計(jì)算方便，上述平方和公式可用原始數(shù)據(jù)計(jì)算組間自由度組內(nèi)自由度總自由度計(jì)算方差組間方差

組內(nèi)方差計(jì)算F值

進(jìn)行F檢驗(yàn)如果F1,說(shuō)明數(shù)據(jù)的總變異中大部分是由實(shí)驗(yàn)誤差或個(gè)體差異造成的,不同的實(shí)驗(yàn)處理A、B、C之間差異不大，即實(shí)驗(yàn)處理基本無(wú)效；如果F>1且落入F分布的臨界區(qū)外,即只有實(shí)驗(yàn)處理的作用顯著地大于組內(nèi)變異的作用時(shí),才能確認(rèn)實(shí)驗(yàn)處理的有效作用,A、B、C三種處理之間的差異顯著。方差分析的主要任務(wù)是檢驗(yàn)組間方差在統(tǒng)計(jì)上是否顯著地大于組內(nèi)方差。3、方差分析的過(guò)程建立假設(shè)

H0：無(wú)處理效應(yīng)H1：有處理效應(yīng)求平方和確定自由度求均方（方差）進(jìn)行F檢驗(yàn)，單側(cè)列出方差分析表4、方差分析的條件總體正態(tài)分布、變異可分解、各組方差一致

方差分析中的方差齊性檢驗(yàn)

方差分析中的方差齊性檢驗(yàn)，常用哈特萊（Hartley）所提出的最大F值檢驗(yàn)法，其計(jì)算公式為各組容量不等時(shí)，用最大的n計(jì)算自由度二、單因素完全隨機(jī)設(shè)計(jì)的方差分析完全隨機(jī)設(shè)計(jì)(Completerandomizeddesign):把被試隨機(jī)分成若干組,每個(gè)組分別接受一種實(shí)驗(yàn)處理。完全隨機(jī)分組后，各實(shí)驗(yàn)組的被試之間是相互獨(dú)立的，因而這種設(shè)計(jì)又稱“獨(dú)立組設(shè)計(jì)”或被試間設(shè)計(jì)。該設(shè)計(jì)的不足之處：誤差項(xiàng)既包括實(shí)驗(yàn)本身的誤差又包括個(gè)體差異引起的誤差，因而它的檢驗(yàn)效率往往不高。例：研究人員采用四種不同的心理治療方案，對(duì)每個(gè)志愿參加治療的患者進(jìn)行心理治療。他們用錄音機(jī)記錄了每個(gè)被試在一段時(shí)間中所講的詞數(shù)。由于錄音的困難每種方案記錄的人數(shù)各不相同，問(wèn)這幾種方案是否有差異？序號(hào)治療方案X1X2X3X413050188827438567834666346045862247656244666385852780ni6764Σn＝23ΣX308398250302ΣΣX＝125851.3356.8641.6775.517144238441225223204

=764442857.333406.2920425801=71657.51．提出假設(shè)H0：μ1＝μ2＝μ3＝μ4（或：無(wú)處理效應(yīng)）H1：至少有兩個(gè)總體平均數(shù)不等（或：有處理效應(yīng)）2．計(jì)算平方和、自由度

3、計(jì)算方差并進(jìn)行F檢驗(yàn)4、做統(tǒng)計(jì)決斷,列方差分析表變異來(lái)源平方和自由度方差F值概率組間變異2850.43950.13.77*P<0.05組內(nèi)變異4786.519251.9總變異7636.922表：

四組記錄數(shù)據(jù)的完全隨機(jī)設(shè)計(jì)方差分析表三、單因素隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)的方差分析（repeatedmeasuresanalysisofvaricace）

在完全隨機(jī)設(shè)計(jì)中,SSt=SSb+SSw,即總變異=組間變異+組內(nèi)變異。實(shí)際上，這時(shí)，組內(nèi)變異不僅反映了實(shí)驗(yàn)的隨機(jī)誤差，而且還反映了實(shí)驗(yàn)組內(nèi)被試間個(gè)體差異。單因素的完全隨機(jī)化實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)把可以控制的個(gè)體差異作為隨機(jī)誤差而不加以控制，從而增大了實(shí)驗(yàn)誤差，使F檢驗(yàn)不敏感。隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)就是要從實(shí)驗(yàn)誤差中將被試的個(gè)體差異區(qū)分開(kāi)來(lái)，從而增加實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的有效信息，降低實(shí)驗(yàn)誤差。

隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)把從同一個(gè)總體中抽取的被試分成若干個(gè)組（稱為區(qū)組），原則是使同一區(qū)組內(nèi)的被試應(yīng)盡量“同質(zhì)”。被試的分配分三種情況：(1)一個(gè)被試作為一個(gè)區(qū)組,不同的被試(區(qū)組)均需接受全部ｋ個(gè)實(shí)驗(yàn)處理;(2)每一區(qū)組內(nèi)被試的人數(shù)是實(shí)驗(yàn)處理數(shù)的整數(shù)倍;(3)區(qū)組內(nèi)的基本單元不是個(gè)別被試,而是以一個(gè)團(tuán)體為單元。隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)由于同一區(qū)組接受所有實(shí)驗(yàn)處理，試實(shí)驗(yàn)處理之間有相關(guān)，所以也稱為相關(guān)組設(shè)計(jì)（被試內(nèi)設(shè)計(jì)）。它把區(qū)組效應(yīng)從組內(nèi)平方和中分離出來(lái)。這時(shí)，總平方和＝組間平方和＋區(qū)組平方和＋誤差項(xiàng)平方和隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)中平方和的分解：

n為區(qū)組數(shù)，k為實(shí)驗(yàn)處理數(shù)

計(jì)算方差、進(jìn)行F檢驗(yàn)組間方差

區(qū)組方差

誤差方差

例四名空中交通管制員分別在三種壓力情境中接受壓力測(cè)試，結(jié)果見(jiàn)下表，問(wèn)不同壓力情境下空中交通管制員的抗壓能力是否有差異被試序號(hào)ＸAＸBＸC123471.171.570.170.573.472.572.372.272.372.170.871.6表：4位空管員抗壓力測(cè)試的方差分析計(jì)算表學(xué)生序號(hào)ＸAＸBＸCΣX(ΣX)2123471.171.570.170.573.472.572.372.272.372.170.871.6217.40216.20213.20214.4047262.7646742.4445454.2445967.36nΣXΣX2X4283.920151.5120149.8070.984290.5021098.4521097.5672.634286.8020564.9020563.5671.70nk=12185426.80861.20=ΣΣX=ΣΣR61814.86=ΣΣX261810.92=

1、提出假設(shè)

H01:

不存在處理效應(yīng)（μ1=μ2=μ3

）H11:存在處理效應(yīng)

（至少有兩個(gè)處理平均數(shù)不等）

H02:不存在區(qū)組效應(yīng)（μ1=μ2=μ3=μ4）

H12:存在區(qū)組效應(yīng)（至少有兩個(gè)區(qū)組平均數(shù)不等）

2、計(jì)算平方和3、確定自由度4、計(jì)算方差（均方）5、計(jì)算Ｆ值、進(jìn)行Ｆ檢驗(yàn)組間方差與誤差方差的Ｆ比值區(qū)組方差與誤差方差的Ｆ比值

對(duì)區(qū)組間的差異進(jìn)行檢驗(yàn)，主要是考察區(qū)組之間在水平上是否存在顯著性差異區(qū)組間差異的顯著與否并不影響各種實(shí)驗(yàn)處理間平均數(shù)差異的顯著性。6、列方差分析表變異來(lái)源平方和自由度方差F值概率組間變異5.4722.7434.25**P<0.01P<0.01區(qū)組變異3.4831.1614.50**誤差變異0.4660.03總變異9.41114位空管員抗壓力測(cè)試的方差分析表與完全隨機(jī)設(shè)計(jì)的方差分析相比，其最大優(yōu)點(diǎn)是考慮到個(gè)別差異的影響（即區(qū)組效應(yīng)），可以將這種影響從組內(nèi)變異中分離出來(lái)，從而提高效率。但是這種設(shè)計(jì)也有不足，主要表現(xiàn)在劃分區(qū)組的困難上。如果不能保證同一區(qū)組內(nèi)盡量同質(zhì)，則有出現(xiàn)更大誤差的可能。

例有四種小學(xué)語(yǔ)文實(shí)驗(yàn)教材，分別代號(hào)為A、B、C、D。為比較其教學(xué)效果，按隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)原則，將小學(xué)分為城鎮(zhèn)重點(diǎn)小學(xué)、城鎮(zhèn)一般小學(xué)和鄉(xiāng)村小學(xué)三個(gè)區(qū)組，分別代號(hào)為I、II、III，并從每個(gè)區(qū)組中隨機(jī)地抽取4所小學(xué)，它們分別被隨機(jī)地指派實(shí)驗(yàn)一種教材。經(jīng)一年教學(xué)后通過(guò)統(tǒng)一考試得到各校的平均成績(jī)?nèi)缦卤?。?wèn)四種教材的教學(xué)效果是否一致？

計(jì)算平方和

四種教材的隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)方差分析四、多重比較(各平均數(shù)之間的比較)

方差分析的主要目的是通過(guò)F檢驗(yàn)討論組間變異在總變異中的作用,借以對(duì)兩組以上的平均數(shù)進(jìn)行差異顯著性檢驗(yàn),得到的是一個(gè)整體的結(jié)果。如果F檢驗(yàn)不顯著，說(shuō)明實(shí)驗(yàn)中的自變量（因素）對(duì)因變量沒(méi)有顯著影響，檢驗(yàn)就此結(jié)束。如果F檢驗(yàn)的結(jié)果顯著，此時(shí)，往往不能結(jié)束。它表明多組平均數(shù)兩兩比較中至少有一對(duì)平均數(shù)間的差異達(dá)到了顯著水平，至于是哪一對(duì)并沒(méi)有回答。需要專門的分析技術(shù)，即方差分析中的多重比較。我們自然可以想到，是否可以用t檢驗(yàn)對(duì)各組平均數(shù)兩兩進(jìn)行比較呢？答案是否定的。前例：研究人員采用四種不同的心理治療方案，對(duì)每個(gè)志愿參加治療的患者進(jìn)行心理治療。他們用錄音機(jī)記錄了每個(gè)被試在一段時(shí)間中所講的詞數(shù)。由于錄音的困難每種方案記錄的人數(shù)各不相同，問(wèn)這幾種方案是否有差異？變異來(lái)源平方和自由度方差F值概率組間變異2850.43950.13.77*P<0.05組內(nèi)變異4786.519251.9總變異7636.922⑴．計(jì)算每對(duì)平均數(shù)之差的q值

四組數(shù)據(jù)平均數(shù)間的q臨界值（2）．查表,求出q臨界值自由度dfw等級(jí)差數(shù)r臨界值q0.05q0.011922.974.071933.614.701944.005.09Ｘ151.33Ｘ256.86Ｘ341.67Ｘ256.86-5.53Ｘ341.679.6715.19Ｘ475.524.1718.6433.83*

隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)的q檢驗(yàn)與完全隨機(jī)設(shè)計(jì)的q檢驗(yàn)方法相同，只是計(jì)算公式稍有不同：五、雙因素方差分析簡(jiǎn)介在兩因素的完全隨機(jī)設(shè)計(jì)中SSt=SSA+SSB+SSAB+SSe在兩因素的隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)中SSt=SSR+SSA+SSB+SSAB

+SSe

例研究不同的教學(xué)方法（A）和不同的教學(xué)態(tài)度（B）對(duì)兒童識(shí)字量的作用，將20名被試隨機(jī)分成四組（每組5人），每組接受一種實(shí)驗(yàn)處理（即兩因素水平之間組合之一），結(jié)果見(jiàn)下表：

自由度

dft=20-1=19,dfb=4-1=3,dfw=