第一章 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)

大學(xué)物理學(xué)主講：物電學(xué)院

余華軍1第一篇力學(xué)(Mechanics)2第1章質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)(8)(Kinematicsofparticle)內(nèi)容提要描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的物理量相對(duì)運(yùn)動(dòng)3§1-1矢量一.矢量的表示法aAa=|a|a

ax、ay、az分別是矢量a在坐標(biāo)軸x、y、z上的投影(分量)。

i、j、k分別是沿x、y、z軸正方向的單位矢量(恒矢量)。xaxayazyzoa圖1-1A=|A|4二.矢量的加、減法aba+b三角形法aba-bab+=？多邊形法aca+b+cbbac=?-ab=？5三.標(biāo)量積(點(diǎn)積、數(shù)量積、內(nèi)積)6四.矢量積(向量積、叉積、外積)

積C的方向垂直于矢量a和b組成的平面，bacc指向由右手螺旋法則確定。7

1.矢量函數(shù)的微商與標(biāo)量函數(shù)的微商不同：

矢量函數(shù)的微商=矢量大小的微商+矢量方向的微商

五.矢量函數(shù)A(t)的微商limt0

2.

的方向，一般不同于A的方向。只有當(dāng)t0時(shí)，A的極限方向，才是的方向。特別是,當(dāng)A的大小不變而只是方向改變時(shí),就時(shí)刻保持與A垂直。8

3.

在直角坐標(biāo)系中,考慮到是常量,有由于Ax(t),Ay(t),Az(t)是普通的函數(shù)，所以就是普通函數(shù)的微商。9運(yùn)動(dòng)是普遍的、絕對(duì)的。沒有運(yùn)動(dòng)就沒有世界。運(yùn)動(dòng)的描述是相對(duì)的。一.運(yùn)動(dòng)的絕對(duì)性和相對(duì)性§1-2參考系、質(zhì)點(diǎn)10在研究機(jī)械運(yùn)動(dòng)時(shí)，選作參考的物體稱為參考系。為了對(duì)物體的運(yùn)動(dòng)作定量描述，還需要在參考系中取定一個(gè)固定的坐標(biāo)系。坐標(biāo)系是參考系的代表和抽象。二.參考系坐標(biāo)系常用的坐標(biāo)系有直角坐標(biāo)系、柱坐標(biāo)系、球坐標(biāo)系和自然坐標(biāo)系。m三.理想模型質(zhì)點(diǎn)

在所研究的問題中，形狀和大小可以忽略的物體質(zhì)點(diǎn)。11§1-3位置矢量運(yùn)動(dòng)方程軌道方程

一.位置矢量描述一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在空間位置的矢量

i、j、k單位矢量。r=xi+yj+zk(1-1)圖1-1oxyzP(x,y,z)xyzABCr

位置矢量，簡稱位矢或矢徑。由圖1-1可知,

從坐標(biāo)原點(diǎn)o指向P點(diǎn)的有向線段op=r12位置矢量r的大小(即質(zhì)點(diǎn)P到原點(diǎn)o的距離)為式中,,取小于180°的值。

方向余弦:cos=x/r,cos=y/r,cos=z/rcos2+cos2+cos2=1圖1-1oxyzP(x,y,z)xyzABCr13它們都叫做質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程。

三.軌道方程質(zhì)點(diǎn)所經(jīng)的空間各點(diǎn)聯(lián)成的曲線的方程，稱為軌道方程。運(yùn)動(dòng)方程

例：x=6cos2t

y=6sin2t消去時(shí)間t得：x2+y2=62這就是軌道方程。二.運(yùn)動(dòng)方程(1-4)(1-3)14§1-4位移速度如圖1-2所示,質(zhì)點(diǎn)沿曲線C運(yùn)動(dòng)。時(shí)刻t在A點(diǎn)，時(shí)刻t+t在B點(diǎn)。

(1)位移是位置矢量r

在時(shí)間t內(nèi)的增量:一.位移和路程從起點(diǎn)A到終點(diǎn)B的有向線段AB=r,稱為質(zhì)點(diǎn)在時(shí)間t內(nèi)的位移。而A到B的路徑長度S,稱為路程。Azyox圖1-2BCSr(t)r(t+t)r15在x軸方向的位移為注意：坐標(biāo)的增量x=x2-x1是位移，而不是路程!

在直角坐標(biāo)系中，若t1、t2時(shí)刻的位矢分別為r1和r2,則這段時(shí)間內(nèi)的位移為16

位移代表位置變化，是矢量，在圖1-2中，是有向線段AB,

它的大小是|r,即割線AB的長度。位移=AC路程=AB+BC

AB只有當(dāng)t→0時(shí),才有

|Δr|

S

。(2)位移和路程是兩個(gè)不同的概念。rAzyox圖1-2BCSr(t)r(t+t)BAC

路程表示路徑長度，是標(biāo)量，它的大小是曲線弧AB的長度S

。在一般情況下,S和并不相等。17單位時(shí)間內(nèi)的路程平均速率。

定義:

單位時(shí)間內(nèi)的位移平均速度。二.速度、速率rAzyox圖1-2BCSr(t)r(t+t)18如，質(zhì)點(diǎn)經(jīng)時(shí)間t繞半徑R的圓周運(yùn)動(dòng)一圈，

即使在直線運(yùn)動(dòng)中，如質(zhì)點(diǎn)經(jīng)時(shí)間t從A點(diǎn)到B點(diǎn)又折回C點(diǎn),顯然平均速度和平均速率也截然不同:而平均速率為則平均速度為BAC19(1-9)質(zhì)點(diǎn)的(瞬時(shí))速率:limt0=(1-12)

質(zhì)點(diǎn)的(瞬時(shí))速度:

limt0這表明,質(zhì)點(diǎn)在t時(shí)刻的速度等于位置矢量r對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù);而速率等于路程S對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)。20

=(1)速率=速度的大小。例:(A)limt0=limt0(B)(C)limt0=(1-12)(1-9)limt0(2)=r大小的導(dǎo)數(shù)+r方向的導(dǎo)數(shù)。21速度的大?。?1-11)(3)在直角坐標(biāo)系中,

(1-10)22

為了描述速度隨時(shí)間的變化情況，我們定義：質(zhì)點(diǎn)的平均加速度則在時(shí)間t內(nèi)質(zhì)點(diǎn)速度的增量為§1-5加速度一.加速度如圖1-3所示,

設(shè)時(shí)刻t質(zhì)點(diǎn)位于A點(diǎn)，速度為(t),經(jīng)時(shí)間t運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)，速度為(t+t),圖1-3OxyzA.B.23

質(zhì)點(diǎn)的(瞬時(shí))加速度定義為

(1)在直角坐標(biāo)系中,加速度的表示式是limDt0(1-17)這就是說,質(zhì)點(diǎn)在某時(shí)刻或某位置的(瞬時(shí))加速度等于速度矢量對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù),或等于矢徑r對(duì)時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)。(1-19)24(1-20)(2)加速度a的大小:

而加速度a在三個(gè)坐標(biāo)軸上的分量分別為(1-19)25

在曲線運(yùn)動(dòng)中,加速度的方向總是指向曲線凹的一邊的。在國際單位制中,加速度的單位為米/秒2(m·s-2)。加速度a的方向是：當(dāng)t→0時(shí),速度增量的極限方向。應(yīng)該注意到,的方向和它的極限方向一般不同于速度的方向,因而加速度a的方向與同一時(shí)刻速度的方向一般不相一致。aaa26例：由前面的討論我們得到了質(zhì)點(diǎn)的位置矢量、速度和加速度在直角坐標(biāo)系中的正交分解式。這些式子表明,任何一個(gè)曲線運(yùn)動(dòng)都可以分解為沿x,y,z三個(gè)方向的直線運(yùn)動(dòng),每個(gè)方向上的運(yùn)動(dòng)是相互獨(dú)立的,整個(gè)運(yùn)動(dòng)可看作是沿三個(gè)坐標(biāo)軸方向的直線運(yùn)動(dòng)的疊加,這就是運(yùn)動(dòng)的疊加原理。27

以上內(nèi)容的學(xué)習(xí)要點(diǎn)是：認(rèn)真學(xué)習(xí)用微積分來處理物理問題的方法。r=xi+yj+zk求導(dǎo)積分§1-6運(yùn)動(dòng)學(xué)的兩類問題28

例題1-1

一質(zhì)點(diǎn)沿x軸運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)方程為x=t3–9t2

+15t+1(SI),求:(1)質(zhì)點(diǎn)首先向哪個(gè)方向運(yùn)動(dòng)?哪些時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)調(diào)頭了？

(2)質(zhì)點(diǎn)在0~2s內(nèi)的位移和路程。

可得：t=1,5s;又由于1,5s前后速度改變了方向(正負(fù)號(hào)），所以t=1,5s調(diào)頭了。因t=0時(shí)速度

=+15m/s,所以質(zhì)點(diǎn)首先向x軸正方向運(yùn)動(dòng)。

=3t2-18t+15=3(t-1)(t-5)=0調(diào)頭的必要條件是速度為零，即解（1）質(zhì)點(diǎn)做直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，調(diào)頭的條件是什么？29

x=x(2)-x(0)=3-1=2m考慮到t=1s時(shí)調(diào)頭了，故0~2s內(nèi)的路程應(yīng)為

s=|x(1)-x(0)|+|x(2)-x(1)|=7+5=12m

(2)質(zhì)點(diǎn)在0~2s內(nèi)的位移可表示為質(zhì)點(diǎn)作什么樣的運(yùn)動(dòng)？例題1-2質(zhì)點(diǎn)的位置矢量：解

x=3+2t2,y=2t2-1，y=x-4直線質(zhì)點(diǎn)作勻加速直線運(yùn)動(dòng)。x=t3–9t2

+15t+130

解

(1)由矢徑的表達(dá)式可知,

x=Rcost，y=Rsint從以上兩式中消去t,得到粒子的軌道方程：

x2+y2=R2這是一個(gè)以原點(diǎn)o為中心,半徑為R的圓。

例題1-3

已知某一粒子在oxy平面內(nèi)運(yùn)動(dòng),其矢徑為:r=Rcosti+Rsintj，其中R、為正值常量。

(1)試分析該粒子的運(yùn)動(dòng)情況;(2)時(shí)間t=/2/內(nèi)的位移和路程。

由于t=0時(shí),x=R,y=0,而t>0+時(shí),x>0,y>0,由此判定粒子是作逆時(shí)針方向的圓周運(yùn)動(dòng)。

31其大小為

顯然粒子的速度和加速度的大小均為常量。a的方向-r，即沿著半徑指向圓心。綜上所述可知，粒子作逆時(shí)針的勻速率圓周運(yùn)動(dòng)。粒子在任一時(shí)刻t的速度、加速度為32(2)在時(shí)間t=/2/內(nèi)的位移為

注意到為角速度，在時(shí)間t=/2/內(nèi)粒子剛好運(yùn)動(dòng)半個(gè)圓周，故路程:

S=R。

33

例題1-4

質(zhì)點(diǎn)在xoy平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，x=2t,y=19-2t2(SI);求：(1)質(zhì)點(diǎn)在t=1s、t=2s時(shí)刻的位置,以及這1s內(nèi)的位移和平均速度；(2)第1s末的速度和加速度；(3)軌道方程；(4)何時(shí)質(zhì)點(diǎn)離原點(diǎn)最近?(5)第1s內(nèi)的路程。平均速度：位移：當(dāng)t=1s時(shí)，解

(1)位矢：當(dāng)t=2s時(shí)，34代入t=1s,得：加速度：

(2)速度：a=4(m/s2)35

(3)軌道方程：由此方程可解得，t=0,3s(略去t=-3s);代入t=0,r=19(m);t=3s,r=6.08(m),可見t=3s時(shí)最近。r有極值的必要條件是：

(4)何時(shí)質(zhì)點(diǎn)離原點(diǎn)最近?x=2t,y=19-2t2這是一條拋物線36(5)第1s內(nèi)的路程:10=1.34m37

例題1-5

在離水面高度為h的岸邊，一人以恒定的速率收繩拉船靠岸。求船頭與岸的水平距離為x時(shí)，船的速度和加速度。

解對(duì)矢徑未知的問題,須先建立坐標(biāo)系,找出矢徑,再求導(dǎo)。hx圖1-4roxy38

解2:船的速度:hx圖1-4r39解

取傘兵開始下落時(shí)的位置為坐標(biāo)原點(diǎn),向下為x軸的正方向。

例題1-6

一傘兵由空中豎直降落,其初速度為零,而加速度和速度的關(guān)系是:a=A-B,式中A、B為常量;求傘兵的速度和運(yùn)動(dòng)方程。40完成積分就得運(yùn)動(dòng)方程:41可認(rèn)為任一時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)都在一個(gè)圓上運(yùn)動(dòng)，這個(gè)圓稱為曲率圓，如圖1-5所示。二.向心加速度和切向加速度設(shè)質(zhì)點(diǎn)沿曲線C運(yùn)動(dòng)。圖1-5p1C.

加速度，反映速度大小和方向的變化率。

能否將a分為兩部分：一部分反映大小變化，另一部分反映方向的變化？答案是肯定的。

用自然坐標(biāo)系,et

軌道切向的單位矢量,en軌道法向并指向曲率中心的單位矢量。于是速度可寫為

42而加速度設(shè)質(zhì)點(diǎn)時(shí)刻t在p1點(diǎn),經(jīng)時(shí)間t到達(dá)p2點(diǎn)，如圖1-6所示。=當(dāng)t0時(shí)，也趨于零,et的極限方向?yàn)榈姆较?，所?so圖1-6p1Cp243因ds=d(為曲率半徑),于是得:(1-21)so圖1-6p1Cp244大小：方向：沿半徑指向圓心。大小：方向：沿軌道切線方向。作用：描述速度方向的變化。作用：描述速度大小的變化。加速度小結(jié)：名稱：向心(法向)加速度。名稱：切向加速度。45總加速度的大小:

以上內(nèi)容的學(xué)習(xí)要點(diǎn)是：掌握切向加速度和向心加速度表達(dá)的物理內(nèi)容和計(jì)算公式。a與速度的夾角是:(1-22)a

t圖1-7a

n46由an=|at|得:解得解(1)由公式：

例題1-7

質(zhì)點(diǎn)沿半徑為R的圓周運(yùn)動(dòng)，路程與時(shí)間的關(guān)系是：

(b,c為常數(shù),且b2>Rc);求:(1)何時(shí)an=at

？

(2)何時(shí)加速度的大小等于c?

(2)由=a+nata2247

例題1-8

求斜拋體在任一時(shí)刻的法向加速度an、切向加速度at和軌道曲率半徑(設(shè)初速為o，仰角為)。

解設(shè)坐標(biāo)x、y沿水平和豎直兩個(gè)方向，如圖示。總加速度(重力加速度)g是已知的;所以an、at

只是重力加速度g沿軌道法向和切向的分量,由圖可得：圖gaxy3-10uouxuuyqanatq48

討論：(1)在軌道的最高點(diǎn)，顯然=0，y=0,故該點(diǎn)：an=g,at=0圖gaxy3-10uouxuuyqanatq49(2)

解法之二圖gaxy3-10uo50=3t,完成積分得:

3t2=3,

求出t=1s

例題1-9

一質(zhì)點(diǎn)由靜止開始沿半徑r=3m的圓周運(yùn)動(dòng)，切向加速度at=3m/s;求：(1)第1s末加速度的大?。?2)經(jīng)多少時(shí)間加速度a與速度成45?這段時(shí)間內(nèi)的路程是多少？

解(1)由有又

(2)加速度a與速度成45，意味著a與an

和at都成45,即表示：an=at，于是有=a+nata2251

設(shè)作半徑為R的圓周運(yùn)動(dòng),如圖1-9所示。

質(zhì)點(diǎn)在任一時(shí)刻t的(瞬時(shí))角加速度為三.圓周運(yùn)動(dòng)的角量和線量的關(guān)系我們定義：質(zhì)點(diǎn)在任一時(shí)刻t的(瞬時(shí))角速度為角稱為角坐標(biāo)(角位置)。

角能完全確定質(zhì)點(diǎn)在圓上的位置,yxoA圖1-9R52

線量和角量之間的聯(lián)系:(1-22a)

由圖1-10還可以得出,質(zhì)點(diǎn)的線速度等于角速度與質(zhì)點(diǎn)位矢r的矢量積:

我們定義:角速度矢量的方向垂直于質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)平面,其指向由右手螺旋定則確定,如圖1-10所示。圖1-10角速度矢量53

圓周運(yùn)動(dòng)與直線運(yùn)動(dòng)的比較：表1-1直線運(yùn)動(dòng)圓周運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)x角坐標(biāo)q速度角速度加速度角加速度若a=恒量，則若=恒量,則54

例題1-10

一半徑R=1m的飛輪，角坐標(biāo)=2+12t-t3(SI),求：(1)飛輪邊緣上一點(diǎn)在第1s末的法向加速度和切向加速度；(2)經(jīng)多少時(shí)間、轉(zhuǎn)幾圈飛輪將停止轉(zhuǎn)動(dòng)？

an=R2=(12-3t2)2,

at=R=-6t代入t=1s,an=812,at=-6(SI)(2)停止轉(zhuǎn)動(dòng)條件：=12-3t2=0,求出：t=2s。

t=2s,2=18，解(1)

t=0,0=2,所以轉(zhuǎn)過角度：=2-0=16=8圈。55

解

例題1-11

質(zhì)點(diǎn)沿半徑為R的圓周運(yùn)動(dòng)，速率=A+Bt

(A、B為正的常量)。t=0質(zhì)點(diǎn)從圓上某點(diǎn)出發(fā)，求：該質(zhì)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)一周又回到出發(fā)點(diǎn)時(shí)它的切向加速度，法向加速度和總加速度的大小是多少？由于=B/R為常量，于是可用:因=A+Bt=R,所以t=0時(shí),o=A/R,求出時(shí)間t。=2,56o=A/R,解得=257另解解得58§1-7相對(duì)運(yùn)動(dòng)

假定：參考系S和S之間，只有相對(duì)平移而無相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng),且各對(duì)應(yīng)坐標(biāo)軸始終保持平行。對(duì)空間P點(diǎn),有rps=rps+

rssyxyoSSzz圖1-11O’rpsrps.

prssps=ps+ssaps=aps+ass(1-25)(1-26)(

1-23)59式(1-25)稱為速度合成定理。它表示：質(zhì)點(diǎn)P對(duì)S系的速度等于質(zhì)點(diǎn)P對(duì)S系的速度與S系對(duì)S系的速度的矢量和。

注意：(1).式(1-23)—(1-26)是矢量關(guān)系式。

(2).雙下標(biāo)先后順序交換意味著改變一個(gè)符號(hào),即：ps=-spps=ps+ssaps=aps+ass(1-25)(1-26)ps=p

+sss人對(duì)水=人+水對(duì)船