全程量詞與存在量詞同步練習（含答案）

全稱量詞與存在量詞全稱量詞與存在量詞1．判斷下列說法是否正確(正確的打“√”，錯誤的打“×”)．(1)全稱量詞命題是陳述某集合中所有元素都具有某種性質(zhì)的命題．(√)(2)存在量詞命題是陳述某集合中存在一個或部分元素具有某種性質(zhì)的命題．(√)(3)全稱量詞命題一定含有全稱量詞．(×)題型1全稱量詞命題與存在量詞命題的判斷2．下列命題中全稱量詞命題的個數(shù)是(C)①任意一個自然數(shù)都是正整數(shù)；②有的矩形是正方形；③三角形的內(nèi)角和是180°.A．0 B．1C．2 D．3解析：①③是全稱量詞命題．3．下列命題中，全稱量詞命題的個數(shù)為(C)①平行四邊形的對角線互相平分；②梯形有兩條邊的長度不相等；③存在一個菱形，它的四條邊不相等；④高二(1)班絕大多數(shù)同學是團員．A．0 B．1C．2 D．3解析：①②是全稱量詞命題，③是存在量詞命題，④“高二(1)班絕大多數(shù)同學是團員”，即“高二(1)班有的同學不是團員”，是存在量詞命題．4．命題“有些負數(shù)滿足不等式(1＋x)(1－9x)>0”用“?”或“?”可表述為__?x<0，使(1＋x)(1－9x)>0__.題型2全稱量詞命題與存在量詞命題真假判斷5．下列命題中，是真命題的是(D)A．?x∈R，x2>0 B．?x∈R，x2＋2x>0C．?x∈R，eq\r(x＋1)<0 D．?x∈R，x(x－1)＝6解析：?x∈R，x2≥0，故排除A；取x＝0，則x2＋2x＝0，故排除B；因為eq\r(x＋1)≥0，故排除C；取x＝－2，則x(x－1)＝6，故D正確．6．下列命題中，既是真命題又是全稱量詞命題的是(D)A．對任意的a，b∈R都有a2＋b2－2a－2b＋2<0B．有的菱形的兩條對角線相等C．?x∈R，eq\r(x2)＝xD．平行四邊形的一組對邊平行且相等解析：A是假命題；B，C是存在量詞命題．7．下列命題中，既是真命題又是存在量詞命題的是(A)A．存在一個a∈R，使a2＝aB．存在實數(shù)x，使|x|＝－1C．對一切a∈R，a＝|a|D．對任意a，b，(a－b)2＝eq\r(a－b2)解析：C，D是全稱量詞命題，B是假命題．8．判斷下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題，并判斷真假．(1)梯形的對角線相等．(2)存在一個四邊形有外接圓．(3)二次方程都存在實數(shù)根．(4)每一條線段的長度都能用正有理數(shù)表示．解：(1)命題完整的表述應為“所有梯形的對角線相等”，很顯然為全稱量詞命題．它是假命題．(2)命題為存在量詞命題．它是真命題．(3)命題完整的表述為“所有的二次方程都存在實數(shù)根”，故為全稱量詞命題．它是假命題．(4)命題為全稱量詞命題．它是假命題，如：邊長為1的正方形的對角線長為eq\r(2)，它的長度就不是有理數(shù)．題型3全稱量詞命題與存在量詞命題的綜合應用9．已知命題p：“?x≥3，使得2x－1≥m”是真命題，則實數(shù)m的取值范圍是__{m|m≤5}__．解析：因為當x≥3時，2x－1≥5，所以若“?x≥3，使得2x－1≥m”是真命題，則m≤5.10．(1)已知對任意的x∈{x|1≤x≤3}，都有m≥x，求實數(shù)m的取值范圍；(2)已知存在實數(shù)x∈{x|1≤x≤3}，使m≥x，求實數(shù)m的取值范圍．解：(1)由于對任意的x∈{x|1≤x≤3}，都有m≥x，故只需m大于或等于x的最大值，即m≥3.故m的取值范圍是{m|m≥3}．(2)由于存在實數(shù)x∈{x|1≤x≤3}，使m≥x，故只需m大于或等于x的最小值，即m≥1.故m的取值范圍是{m|m≥1}．11．若對于一切x∈R且x≠0，都有|x|>ax，求實數(shù)a的取值范圍．解：若x>0，由|x|>ax得a<eq\f(|x|,x)＝1；若x<0，由|x|>ax得a>eq\f(|x|,x)＝－1.若對于一切x∈R且x≠0，都有|x|>ax，則實數(shù)a的取值范圍是{a|－1<a<1}．易錯點命題概念理解不清致誤12．將“x2＋y2≥2xy”改寫成全稱量詞命題，下列說法正確的是(A)A．對任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xyB．存在x，y∈R，使x2＋y2≥2xyC．對任意x>0，y>0，都有x2＋y2≥2xyD．存在x<0，y<0，使x2＋y2≥2xy解析：命題“x2＋y2≥2xy”是指對任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立，故命題“x2＋y2≥2xy”改寫成全稱量詞命題為“對任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立”．故選A.[誤區(qū)警示]本題是含有雙變量的全稱量詞命題，理解全稱量詞命題的定義及形式是解決問題的關(guān)鍵．題中隱含任意x，y∈R，解題時要注意挖掘隱含條件．(限時30分鐘)一、選擇題1．下列說法正確的個數(shù)是(C)①命題“所有的四邊形都是矩形”是存在量詞命題；②命題“任意x∈R，x2＋2<0”是全稱量詞命題；③命題“存在x∈R，x2＋4x＋4≤0”是存在量詞命題．A．0 B．1C．2 D．3解析：只有②③正確．2．(多選題)下列命題是全稱量詞命題的是(ABD)A．中國公民都有受教育的權(quán)利B．每一個中學生都要接受愛國主義教育C．有人既能寫小說，也能搞發(fā)明創(chuàng)造D．任何一個數(shù)除0，都等于03．下列四個命題既是存在量詞命題又是真命題的是(B)A．銳角三角形的內(nèi)角是銳角或鈍角B．至少有一個實數(shù)x，使x2≤0C．兩個無理數(shù)的和必是無理數(shù)D．存在一個負數(shù)x，使eq\f(1,x)>2解析：A中銳角三角形的內(nèi)角是銳角或鈍角是全稱量詞命題；B中x＝0時，x2＝0，所以B是存在量詞命題又是真命題；C中因為eq\r(3)＋(－eq\r(3))＝0，所以C是假命題；D中對于任何一個負數(shù)x，都有eq\f(1,x)<0，所以D是假命題．4．下列存在量詞命題是假命題的是(B)A．存在x∈Q，使2x－x3＝0B．存在x∈R，使x2＋x＋1＝0C．有的整數(shù)是偶數(shù)D．有的有理數(shù)沒有倒數(shù)解析：對于任意的x∈R，x2＋x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)>0恒成立，所以存在x∈R，使x2＋x＋1＝0是假命題．5．(多選題)下列命題中是真命題的是(ACD)A．?x∈R,2x2－3x＋4>0B．?x∈{1，－1,0},2x＋1>0C．?x∈N，使eq\r(x)≤xD．?x∈N*，使x為29的約數(shù)解析：對于A，這是全稱量詞命題，由于Δ＝(－3)2－4×2×4<0，所以2x2－3x＋4>0恒成立，故A為真命題；對于B，這是全稱量詞命題，由于當x＝－1時，2x＋1>0不成立，故B為假命題；對于C，這是存在量詞命題，當x＝0時，有eq\r(x)≤x成立，故C為真命題；對于D，這是存在量詞命題，當x＝1時，x為29的約數(shù)成立，所以D為真命題．6．將a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2改寫成全稱量詞命題是(D)A．?a，b∈R，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2B．?a<0，b>0，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2C．?a>0，b>0，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2D．?a，b∈R，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2解析：A，B不是全稱量詞命題，故排除；等式a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2對全體實數(shù)都成立．7．設(shè)非空集合P，Q滿足P∩Q＝Q且P≠Q(mào)，則下列命題是假命題的是(D)A．?x∈Q，有x∈P B．?x∈P，有x?QC．?x?Q，有x∈P D．?x?Q，有x?P解析：因為P∩Q＝Q且P≠Q(mào)，所以QP，所以集合Q中的元素都是集合P的元素，但是集合P中有集合Q中沒有的元素，所以A，B，C正確，D錯誤．8．已知?x∈{x|0≤x≤2}，m>x，?x∈{x|0≤x≤2}，n>x，那么m，n的取值范圍分別是(C)A．{m|m>0}，{n|n>0}B．{m|m>0}，{n|n>2}C．{m|m>2}，{n|n>0}D．{m|m>2}，{n|n>2}解析：由?x∈{x|0≤x≤2}，m>x，可得m>2，由?x∈{x|0≤x≤2}，n>x，可得n>0.9．已知函數(shù)y1＝x2－2x，y2＝ax＋2(a>0)，若?－1≤x1≤2，?－1≤x2≤2，使得xeq\o\al(2,1)－2x1＝ax2＋2，則實數(shù)a的取值范圍是(D)A．eq\b\lc\{\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))0<a≤eq\f(1,2) B．eq\b\lc\{\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))eq\f(1,2)≤a≤3C．{a|0<a≤3} D．{a|a≥3}解析：由二次函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)y1＝x2－2x，－1≤x1≤2的取值范圍為{y1|－1≤y1≤3}，由一次函數(shù)的性質(zhì)可知函數(shù)y2＝ax＋2，－1≤x2≤2的取值范圍是{y2|2－a≤y2≤2＋2a}．因為?－1≤x1≤2，?－1≤x2≤2，使得xeq\o\al(2,1)－2x1＝ax2＋2，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－a≤－1，,2＋2a≥3，))解得a≥3.二、填空題10．下列命題中，是全稱量詞命題的有__①②③__，是存在量詞命題的有__④__.(填序號)①正方形的四條邊相等；②所有有兩個角是45°的三角形是等腰直角三角形；③正數(shù)的平方根不等于0；④至少有一個正整數(shù)是偶數(shù)．11．下列全稱量詞命題中是真命題的為__①②③__.(填序號)①負數(shù)的倒數(shù)為負數(shù)；②菱形的每一條對角線平分一組對角；③角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等；④?x∈R，y∈R，都有x2＋|y|>0.解析：①②③為真命題；當x＝y(tǒng)＝0時，x2＋|y|＝0，④為假命題．12．已知命題p：“?x∈R，(a－3)x＋1＝0”是真命題，則實數(shù)a的取值集合是{a∈R|a≠3}.解析：因為“?x∈R，(a－3)x＋1＝0”是真命題，所以關(guān)于x的方程(a－3)x＋1＝0有實數(shù)解，所以a－3≠0，即a≠3，所以實數(shù)a的取值集合是{a∈R|a≠3}．三、解答題13．判斷下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題，并判斷真假．(1)存在x，使得x－2≤0；(2)矩形的對角線互相垂直平分；(3)三角形的兩邊之和大于第三邊；(4)有些質(zhì)數(shù)是奇數(shù)．解：(1)存在量詞命題．如x＝2時，x－2＝0成立，所以是真命題．(2)全稱量詞命題．因為鄰邊不相等的矩形的對角線不互相垂直，所以全稱量詞命題“矩形的對角線互相垂直平分”是假命題．(3)全稱量詞命題．因為三角形的兩邊之和大于第三邊，所以全稱量詞命題“三角形的兩邊之和大于第三邊”是真命題．(4)存在量詞命題．因為3是質(zhì)數(shù)，3也是奇數(shù)，所以存在量詞命題“有些質(zhì)數(shù)是奇數(shù)”是真命題．14．?a∈Z，使關(guān)于x的分式方程eq\f(2,x－1)＋eq\f(a,1－x)＝4的解為正數(shù)，且?y<－2，關(guān)于y的不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y＋2,3)－\f(y,2)>1，,2y－a≤0))成立．求符合條件的a的值．解：分式方程eq\f(2,x－1)＋eq\f(a,1－x)＝4的解為x＝eq\f(6－a,4)且a≠2，因為關(guān)于x的分式方程eq\f(2,x－1)＋eq\f(a,1－x)＝4的解為正