工程圖學(xué)基礎(chǔ) 第3章 立體的投影

第3章立體的投影第一節(jié)平面立體

表面由平面圍成的立體稱為平面立體，常見的主要有棱柱和棱錐。

繪制平面立體的投影，可歸納為繪制其所有多邊形表面的投影，也就是繪制這些多邊形的邊和頂點(diǎn)的投影。

作圖時(shí)可見的棱線投影畫成粗實(shí)線，不可見的棱線投影畫成虛線。

一、棱柱

1.棱柱的投影

棱柱由若干個(gè)側(cè)棱面和兩個(gè)互相平行的多邊形底面圍成。作棱柱投影圖時(shí)，一般先畫出反映棱柱頂面和底面實(shí)形的多邊形，再根據(jù)投影規(guī)律作出其余兩面投影。如圖為正五棱柱及其的投影圖。32.棱柱表面上取點(diǎn)

在棱柱表面取點(diǎn)，就是已知棱柱表面上點(diǎn)的某一個(gè)投影，求其余兩面投影。其與平面上取點(diǎn)作圖方法相同，但要判別該點(diǎn)投影的可見性?！纠?】如圖所示，已知五棱柱表面上M點(diǎn)和N點(diǎn)的正面投影，求作它們的水平和側(cè)面投影。分析：由M和N點(diǎn)正面投影m′和n′的位置及可見性，可判斷M點(diǎn)在棱面AA0BB0上，N點(diǎn)在棱面DD0EE0上。4作圖：作圖過程如圖所示。1）由m′和n′位于的這兩個(gè)棱面的水平投影有積聚性，按照投影規(guī)律直接作出m和n。2）由n′在棱面DD0E0E的側(cè)面投影有積聚性，按照投影規(guī)律直接作出n″。3）由m′、m作出m″。

注意：在棱柱表面取點(diǎn)，利用棱柱投影積聚性和投影規(guī)律作圖。

二、棱錐1.棱錐的投影作投影圖時(shí)，先畫底面的投影，再畫錐頂?shù)耐队?，最后將錐頂同底面各點(diǎn)的同面投影連接即可。2.棱錐表面上的點(diǎn)棱錐表面取點(diǎn)，原理和方法與平面上取點(diǎn)相同。即在棱錐表面取點(diǎn)，先要過該點(diǎn)在棱錐表面取一條直線，先做直線的投影，然后求點(diǎn)的投影?！纠?】如圖所示，已知三棱錐表面上K點(diǎn)的正面投影，求K點(diǎn)的水平和側(cè)面投影。

分析：由于K的正面投影可見，可判斷K點(diǎn)位于SAB棱面上；因?yàn)镾AB為一般位置平面，則利用在點(diǎn)所在的平面內(nèi)作輔助線的方法，作出它的其余兩投影。即在SAB棱面上過K點(diǎn)取一條直線。作圖：1）在△SAB內(nèi)，過k′點(diǎn)作輔助線SⅠ的正面投影s′1′。2）Ⅰ在底線AB上，作直線SⅠ的水平投影s1，由k′作投影連線，在s1上交k點(diǎn)。3）作出SⅠ的側(cè)面投影s″1"，由k作投影連線，在s″1″上交k″點(diǎn)。如果過k′在SAB面上作a′b′的平行線2′4′，求k和k″點(diǎn)，則作圖更簡便。第二節(jié)曲面立體

表面全由曲面圍成，或由平面與曲面圍成的立體稱為曲面立體，常見的曲面立體主要是回轉(zhuǎn)體，包括圓柱、圓錐、圓球和圓環(huán)等。在畫曲面立體曲面部分的投影時(shí)，應(yīng)畫出其在投影方向上的最大輪廓線（也稱為轉(zhuǎn)向輪廓線）的投影。此外，對于回轉(zhuǎn)體，還必須用細(xì)點(diǎn)畫線畫出回轉(zhuǎn)軸的投影和圓的中心線。圓柱圓錐圓球圓環(huán)一、圓柱圓柱體是由圓柱面和兩個(gè)端面（圓平面）所圍成的。圓柱面可以看成由直線AA0繞與它平行的軸線OO0旋轉(zhuǎn)而成。直線AA0稱為母線，圓柱面上任意一條平行于軸線OO0的直線，稱為圓柱面的素線。1.圓柱的投影如圖，當(dāng)圓柱的軸線為鉛垂線時(shí)，其水平投影為圓，正面投影和側(cè)面投影均為矩形。圓柱面的水平投影積聚成一個(gè)圓；圓柱的上底面和下底面是水平面，它們的水平投影重合，反映實(shí)形圓，上底面的水平投影可見，下底面的水平投影不可見。正面投影矩形上下兩條邊分別是圓柱上、下圓平面在正面投影上積聚的兩條直線；左右兩條邊分別是圓柱面正面投影的轉(zhuǎn)向輪廓線AA0和CC0的正面投影，也是圓柱表面最左、最右素線。同理，圓柱側(cè)面投影矩形的上下兩條邊分別是圓柱上、下圓平面在側(cè)面投影上積聚的兩條直線；

前后兩條邊分別是圓柱面?zhèn)让嫱队暗霓D(zhuǎn)向輪廓線BB0和DD0的側(cè)面投影，也是圓柱表面最前、最后素線。2.圓柱面上取點(diǎn)軸線垂直于投影面的圓柱，圓柱面的投影具有積聚性，因此，在圓柱表面取點(diǎn)，可利用積聚性直接求解。

【例3】求圓柱面上點(diǎn)的水平和側(cè)面投影。分析：由M和N點(diǎn)的正面投影m′和n′的位置及可見性可知，M點(diǎn)位于前半柱面上，N點(diǎn)位于正面投影轉(zhuǎn)向輪廓上。作圖：1）由m′和n′作水平投影連線，求出m和n。2）由m′和n′作側(cè)面的投影連線，由m、n按寬相等和前后對應(yīng)，作出m″、n″。由于M點(diǎn)在左半圓柱面上，N點(diǎn)在右半圓柱面上，則m″可見，n″不可見。二、圓錐圓錐體是由圓錐面和底圓平面所圍成的立體。圓錐面可看成由直母線繞與它相交的軸線旋轉(zhuǎn)而成。因此，圓錐面上的素線是通過錐頂?shù)闹本€，母線上任意一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是一個(gè)與軸線垂直的緯圓。（1）圓錐的投影當(dāng)圓錐的軸線為鉛垂線時(shí)，其水平投影為圓，正面投影和側(cè)面投影均為等腰三角形。由于圓錐面上所有素線都傾斜于水平面，因此，其水平投影圓沒有積聚性。圓錐面的水平投影是該圓內(nèi)區(qū)域。圓錐的底面是水平面，它的水平投影反映為實(shí)形圓，圓錐面的水平投影可見，底面的水平投影不可見。正面投影等腰三角形的底邊是圓錐底面在正面投影上積聚性直線；左右兩條邊是圓錐面正面投影的轉(zhuǎn)向輪廓線SA和SB的正面投影，SA和SB也是圓錐面最左、最右素線，它們的其余兩投影與軸線或中心重合。同理，圓錐側(cè)面投影等腰三角形的邊是圓錐底面在側(cè)面投影上積聚性直線；前后兩條邊是圓錐面?zhèn)让嫱队暗霓D(zhuǎn)向輪廓線SC和SD的側(cè)面投影，SC和SD也是圓錐面最前、最后素線，它們的其余兩投影與軸線或中心重合。在水平投影中，圓的兩條中心線交點(diǎn)即為軸線的水平投影，也是頂點(diǎn)S的水平投影。顯然，圓錐面的三面投影都沒有積聚性。2.圓錐面上取點(diǎn)在圓錐面上取點(diǎn)時(shí)，要借助輔助線作圖。通常是取過錐頂?shù)乃鼐€或作垂直于軸線的緯圓，即素線法和緯圓法。【例4】已知圓錐的三面投影以及圓錐面上A點(diǎn)的正面投影，求作它的水平投影和側(cè)面投影。方法1：素線法1）連s′和a′，延長s′a′，交底圓正面投影b′，由b′引鉛垂投影連線，在前半底圓的水平投影上交b點(diǎn)。2）作側(cè)面投影b″，連s和b、s″和b″，即得素線SB的三面投影s′b′、sb和s″b″。

3）由a′分別引豎直和水平的投影連線，在sb上作出a，在s″b″上作出a″。4）由于圓錐面水平投影可見，a可見，而A點(diǎn)在左半圓錐面上，a″可見。方法2：緯圓法1）過

a′作直線1′2′平行于底圓的投影，即為緯圓的正面投影。2）在水平投影上作直徑為12，并與底圓同心的圓，得緯圓的水平投影。3）由a′點(diǎn)作豎直線，在此圓周求出a。4）利用投影規(guī)律作出a″。并判斷可見性。

三、圓球

圓球的表面是球面。球面可看作是圓繞其任意直徑回轉(zhuǎn)而形成，1.圓球的投影

圓球的三面投影均為圓，其直徑與圓球的球面直徑相等，但這三個(gè)圓分別是圓球面上三個(gè)方向最大輪廓圓的投影。

最大正平圓A

最大水平圓B

最大側(cè)平圓C2.圓球面上取點(diǎn)

圓球的三面投影均無積聚性.

在圓球表面取點(diǎn)要利用球面上的輔助緯圓。在圓球表面過一點(diǎn)可作正平圓、水平圓和側(cè)平圓三種緯圓，【例5】如圖4-10（a）所示，已知球面上M點(diǎn)的正面投影，求作其水平投影和側(cè)面投影。分析：由M點(diǎn)的正面投影m′的位置及可見性可知，M點(diǎn)位于右、前、上圓球表面上，在圓球表面過M點(diǎn)可作正平圓、水平圓和側(cè)平圓三種緯圓。在作出緯圓三面投影基礎(chǔ)上，便可求出M點(diǎn)的其余兩面投影。作圖：本題以正平緯圓為例。1）過m′作球面上的輔助正平圓的正面投影，根據(jù)正面投影上所反映的圓的直徑，作出該圓的水平投影。2）由m′引鉛垂投影連線，交輔助圓的水平投影于m，因M點(diǎn)在上半圓球上，所以m可見。3）按點(diǎn)的投影規(guī)律求出側(cè)面投影m″。因M點(diǎn)在球面的右半部分，則其側(cè)面投影不可見。過M在圓球表面上還可作輔助水平緯圓和側(cè)平緯圓。第三節(jié)平面與立體相交平面與立體表面的交線，稱為截交線，該平面稱為截平面。當(dāng)平面截切立體時(shí)，由截交線圍成的平面圖形，稱為截?cái)嗝?分析：由圖知，截平面與五棱柱四個(gè)棱面和上底面相交，截交線為五邊形。五邊形的頂點(diǎn)分別是兩條底線、四條棱線與截平面的交點(diǎn)。由于截平面是正垂面，故截交線的正面投影積聚為直線段。根據(jù)A、B、C、D、E屬于五棱柱的底線和棱線，可求出其側(cè)面投影和水平投影。最后順次連接各點(diǎn)，即可求得截交線。一、平面與平面立體相交

平面與平面立體相交所得的截交線是由直線段組成的封閉多邊形，多邊形的頂點(diǎn)是截平面與立體棱線（或底線）的交點(diǎn)，多邊形的各邊是截平面與立體棱面或底面的交線?！纠?】求作五棱柱被平面P切割后的截交線及五棱柱被切割后的三面投影。作圖：1）直接標(biāo)出截平面與五棱柱棱線和上底面底線上各交點(diǎn)的正面投影a′、b′、c′、d′、e′和水平投影a、b、c、d、e。2）根據(jù)直線上點(diǎn)的投影規(guī)律，求出各點(diǎn)的側(cè)面投影a″、b″、c″、d″、e″。3）依次連接五個(gè)交點(diǎn)的同面投影，并判斷可見性，既得截交線的各投影。4）整理棱線，完成作圖，如圖所示?！纠?】如圖，求四棱錐被平面P和Q截切后的投影。分析：正垂面與4個(gè)側(cè)面分別相交于直線段III、IIII、IIIV和IIIV。水平面與側(cè)面分別相交于直線段VIVIII、IIIVIIV、VIIV和VVII，它們分別與四棱錐的底邊平行，只要求出VI、VII、VIII點(diǎn)的投影，就可以求出IV、V點(diǎn)的投影，兩截平面相交于直線段IVV。I、VIIII點(diǎn)位于棱線SA上，其正面投影1′和8′已知，可根據(jù)直線上點(diǎn)的投影特性求出其水平投影1、8和側(cè)面投影1″、8″。同理，可求出II、

IV、III、VII點(diǎn)的三面投影。作圖：1）直接標(biāo)出兩平面與四棱錐棱線的交點(diǎn)的正面投影1′、2′、3′、6′、7′、8′及4′、5′。2）根據(jù)直線上點(diǎn)的投影規(guī)律，分別求出各點(diǎn)的側(cè)面投影1″、2″、3″、6″、7″、8″、4″、5″，水平投影1、2、3、6、7、8、4、5。3）順次連接各點(diǎn)的同面投影，判斷可見性，即得截交線的投影。4）整理棱線，完成作圖，如圖所示。

二、平面與回轉(zhuǎn)體相交

平面與回轉(zhuǎn)體表面相交，其截交線是由曲線，或曲線與直線段，或全為直線段所組成的封閉平面圖形。求作平面與回轉(zhuǎn)體的截交線的基本方法是求出截平面與回轉(zhuǎn)體表面上若干個(gè)共有點(diǎn)，如確定截交線形狀和范圍的特殊點(diǎn)（最大范圍點(diǎn)、可見與不可見的分界點(diǎn)等），以及間距較大特殊點(diǎn)的中間點(diǎn)，然后依次連接各點(diǎn)，并判斷可見性，最后整理輪廓線。1.平面與圓柱相交

當(dāng)截平面與圓柱面的軸線平行、垂直、傾斜時(shí)，其截交線分別是兩條平行直線、圓、橢圓。[例8]如圖所示，已知圓柱被正垂面斜切，求作側(cè)面投影。分析：截平面傾斜于圓柱的軸線，截交線為橢圓。由于截平面P為正垂面，圓柱的軸線為鉛垂線，因此，截交線的正面投影與截平面的正面積聚性投影重影。

水平投影與圓柱面積聚性水平投影重影。

側(cè)面投影為橢圓。作圖：

1）作特殊點(diǎn)。由圖知，最低點(diǎn)A、最高點(diǎn)C是橢圓長軸的兩端點(diǎn)，也是圓柱面最左、最右素線上的點(diǎn)。最前點(diǎn)B、最后點(diǎn)D是橢圓短軸兩端點(diǎn)，也是圓柱面最前、最后素線上的點(diǎn)。它們的正面投影a′、b′、c′、d′和水平投影a、b、c、d可直接作出，然后根據(jù)投影規(guī)律作出其側(cè)面投影a″、b″、c″、d″。2）作中間點(diǎn)。為準(zhǔn)確作圖，還須在特殊點(diǎn)之間作出適當(dāng)數(shù)量的中間點(diǎn)。3）連線并判斷可見性。依次連接各點(diǎn)側(cè)面投影，并判斷可見性,整理輪廓線.【例9】求作圖4-17（a）所示帶切口圓柱的側(cè)面投影。

分析：切口體的上是由2個(gè)側(cè)平面和1個(gè)水平面截切圓柱體左、右兩側(cè)而成。側(cè)平面截切得兩條平行直線段，其正面和側(cè)面投影均為直線段，水平投影為點(diǎn)；

水平面截切截交線為圓弧，正面投影為直段，水平投影為圓弧。

切口體下部由兩個(gè)側(cè)平面和一個(gè)水平面截切圓柱體中間部分而成。

兩側(cè)平面截圓柱面得截交線正面和側(cè)面投影為直線段，水平投影為點(diǎn)；水平面截交線正面投影為直線，水平投影為圓弧。作圖：1）作圓柱上部切口的投影。由a′b′c′d′和abcd求得a″b″c″d″。水平面截切圓柱體的兩個(gè)圓弧截交線平行于水平投影面，側(cè)面投影重合為一直線c″d″，2）作圓柱體下部切槽的投影。由e′f′g′h′和efgh求得e″f″g″h″。水平截交線的側(cè)面投影仍為一直線，側(cè)面投影在e″h″、f″g″之間為虛線，在其兩側(cè)應(yīng)為一小段實(shí)線，3）整理輪廓線。2.平面與圓錐相交

截平面與圓錐軸線的相對位置不同，截交線的形狀分別為圓、橢圓、拋物線、雙曲線、三角形?！纠?0】如圖4-18（a）所示，求圓錐被正垂面截切后的投影。分析：由圖可知，截平面與圓錐軸線的傾角大于圓錐母線與軸線的傾角，所以截交線為橢圓。因截平面是正垂面，其正面投影為直線，水平和側(cè)面投影是截交線上點(diǎn)的投影連線。截交線上點(diǎn)的投影，除一部分特殊點(diǎn)可根據(jù)點(diǎn)、線的從屬關(guān)系直接求出外，其余各點(diǎn)可用輔助圓法求出。

作圖：1）求特殊點(diǎn)。求橢圓長軸端點(diǎn)A、B（截交線上的最低、最高點(diǎn)）和短軸端點(diǎn)C、D（截交線上的最前、最后點(diǎn)）的水平和側(cè)面投影。2）求中間點(diǎn)G、H的水平和側(cè)面投影。3）依次連接各點(diǎn)的同面投影，并判斷可見性。4）整理輪廓線，完成作圖?！纠?1】求作圓錐面被正平面截切后的投影。

分析：截平面與圓錐面的軸線平行，截交線是雙曲線，其水平投影與截平面的水平積聚性投重影，正面投影反映實(shí)形。作圖：1）作特殊點(diǎn)。2）作中間點(diǎn)。3）依次連接各點(diǎn)的正面投影，判斷可見性，完成作圖。3.平面與圓球相交平面與圓球相交，其截交線總是圓。當(dāng)截平面平行于投影面時(shí)，截交線在該投影面上的投影反映實(shí)形；當(dāng)截平面垂直于投影面時(shí)，截交線在該投影面上的投影積聚為直線，直線的長度等于截交線圓的直徑；當(dāng)截平面傾斜于投影面時(shí)，截交線在該投影面上的投影為橢圓?！纠?2】如圖，求作圓球被正垂面截切后的投影。分析：圓球被正垂面截去左上角，截交線是一個(gè)正垂圓，其正面投影積聚為直線段，水平投影為橢圓。作圖：1）作特殊點(diǎn)A、B和C、D的水平和側(cè)面投影。2）作中間點(diǎn)I、II、III、IV的水平和側(cè)面投影。3）依次連接各點(diǎn)的水平投影和側(cè)面投影，并判斷可見性、整理輪廓線，完成作圖?！纠?3】求半球被截切后的投影。

分析：該立體是在半球的上部用P和Q平面截切后形成的。截平面P為正平面，截切半球截交線為一正平圓弧。其正面投影反映圓弧，水平投影和側(cè)面投影均積聚為直線；截平面Q為水平面，截切半球后的截交線為一水平圓弧，其水平投影反映圓弧，正面投影和側(cè)面投影均積聚為直線。作圖：1）完成正平面P的投影。2）完成水平面Q的投影。3）判斷可見性、并整理輪廓線，完成作圖。第四節(jié)兩回轉(zhuǎn)體表面相交求作兩曲面立體的相貫線，可歸結(jié)為求兩回轉(zhuǎn)體表面共有線和共有點(diǎn)。求相慣線上的點(diǎn)，先作出相貫線上的一些特殊點(diǎn)，然后按需要再求相貫線上的一些一般點(diǎn)，并判斷可見性。投影有積聚性時(shí)，可利用積聚性在曲面立體表面上取點(diǎn)的方法作出兩立體表面上的這些共有點(diǎn)。一般情況下，可用輔助面求這些共有點(diǎn)。一、表面取點(diǎn)法求該圓柱和另一回轉(zhuǎn)體的相貫線的投影，可以看作是已知另一回轉(zhuǎn)體表面上線的一個(gè)投影而求作其它投影的問題。在相貫線上取一些點(diǎn)，按已知曲面立體表面上點(diǎn)的一個(gè)投影求其它投影的方法，得到所取點(diǎn)的其它投影，并相連即得相貫線的投影，這種方法稱為表面取點(diǎn)法?！纠?4】如圖，已知兩圓柱的三面投影，求作它們的相貫線。分析：兩圓柱軸線垂直相交，相貫線是一條前后、左右對稱的封閉空間曲線。小圓柱面水平投影積聚為圓，相貫線的水平投影重合在該圓上；大圓柱面?zhèn)让嫱队胺e聚為圓，相貫線的側(cè)面投影也重合在圓上，并且是在小圓柱穿進(jìn)處的一段圓弧上，且左半和右半相貫線的側(cè)面投影互相重合。于是問題就可歸結(jié)為已知相貫線的水平投影和側(cè)面投影，求作它的正面投影。作圖：１）求特殊點(diǎn)最