2023學年完整版《冪函數》設計2

《冪函數》教學設計【教學目標】1.掌握冪函數的概念、圖像和性質．2．熟悉α＝1,2,3，eq\f(1,2)，－1時的五類冪函數的圖像、性質及其特點．3．能利用冪函數的圖像與性質解決綜合問題．【教學重點】掌握冪函數的概念、圖像和性質【教學難點】能利用冪函數的圖像與性質解決綜合問題．【課時安排】1課時【教學過程】認知初探1．冪函數的概念一般地，函數y＝xα稱為冪函數，其中α是常數．思考：冪函數y＝xα與指數函數y＝ax(a>0且a≠1)有什么樣的區(qū)別？[提示]冪函數y＝xα的底數為自變量，指數是常數，而指數函數正好相反，指數函數y＝ax中，底數是常數，指數是自變量．2.冪函數的圖像與性質函數y＝xy＝x2y＝x3y＝xy＝eq\f(1,x)定義域RRR_______值域R_R_奇偶性奇函數__偶函數______奇函數___非奇非偶函數_奇函數______單調性在R上遞增在_(－∞，0)上遞減，在(0，＋∞)上遞增在R上遞增在(0，＋∞)上遞增在(－∞，0)和(0，＋∞)上遞減圖像過定點__（0，0）_（1，1）_________（1，1）____小試牛刀1．下列函數中不是冪函數的是()A．y＝eq\r(x) B．y＝x3C．y＝2x D．y＝x－1C[形如y＝xα的函數為冪函數，只有C不是．]2.冪函數f(x)的圖像過點(3，eq\r(3,9))，則f(8)＝()A．2B．4C．6D．8B解析：設冪函數f(x)＝xα(α為常數)，由函數的圖像過點(3，eq\r(3,9))，可得eq\r(3,9)＝3α，∴α＝eq\f(2,3)，則冪函數f(x)＝x，∴f(8)＝8＝4.3.若冪函數y＝(m2＋3m＋3)xm2＋2m－3的圖像不過原點，且關于原點對稱，則m=-2解析：由冪函數的概念，得m2＋3m＋3＝1，解得m＝－1或m＝－2.若m＝－1，則y＝x－4，其圖像不關于原點對稱，所以不符合題意，舍去；若m＝－2，則y＝x－3，其圖像不過原點，且關于原點對稱．故m＝－24．判斷大?。航馕觯阂驗楹瘮祔＝是增函數，又<，∴答案：<例題講解冪函數的概念例1(1)下列函數：①y＝x3；②y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x；③y＝4x2；④y＝x5＋1；⑤y＝(x－1)2；⑥y＝x；⑦y＝ax(a>1)．其中冪函數的個數為()B．2C．3D．4解析：(1)②⑦為指數函數，③中系數不是1，④中解析式為多項式，⑤中底數不是自變量本身，所以只有①⑥是冪函數．答案：(1)B(2)若函數y＝(m2＋2m－2)xm為冪函數且在第一象限為增函數，則m的值為()B．－3C．－1D．3解析：(2)因為函數y＝(m2＋2m－2)xm為冪函數且在第一象限為增函數，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＋2m－2＝1，,m>0，))所以m＝1.答案：(2)A1．只有形如y＝xα(其中α為任意實數，x為自變量)的函數才是冪函數，否則就不是冪函數．2．判斷一個函數是否為冪函數的依據是該函數是否為y＝xα(α為常數)的形式，函數的解析式為一個冪的形式，且(1)指數為常數，(2)底數為自變量，(3)底數系數為1.當堂練習1已知冪函數f(x)＝xα的圖像經過點(9，3)，則f(100)＝________．10解析：由題意可知f(9)＝3，即9α＝3，所以α＝eq\f(1,2)，所以f(x)＝x，所以f(100)＝100＝10.冪函數的圖像和性質例2⑴冪函數y＝xm，y＝xn，y＝xp，y＝xq的圖像如圖，則將m，n，p，q的大小關系用“<”連接起來結果是________．【解析】⑴過原點的指數α>0，不過原點的α<0，所以n<0，當x>1時，在直線y＝x上方的α>1，下方的α<1，所以p>1，0<m<1，0<q<1；x>1時，指數越大，圖像越高，所以m>q，綜上所述n<q<m<p.【答案】⑴n<q<m<p(2)已知冪函數y＝x3m－9(m∈N*)的圖像關于y軸對稱，且在(0，＋∞)上單調遞減，求滿足(a＋3)<(5－2a)的a的取值范圍．[解]⑵因為函數在(0，＋∞)上單調遞減，所以3m－9<0，解得m<3，又m∈N*，所以m＝1,2.因為函數的圖像關于y軸對稱，所以3m－9為偶數，故m＝1，則原不等式可化為(a＋3)eq\s\up18(-\f(1,5))<(5－2a)eq\s\up18(-\f(1,5)).因為y＝xeq\s\up18(-\f(1,5))在(－∞，0)，(0，＋∞)上單調遞減，所以a＋3>5－2a>0或5－2a<a＋3<0或a＋3<0<5－2a，解得eq\f(2,3)<a<eq\f(5,2)或a<－3，a的取值范圍為(－∞，－3)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(5,2))).方法總結冪函數的性質(1)在區(qū)間(0，＋∞)上都有定義，并且圖像都通過點(1,1)．(2)若α>0，則冪函數的圖像通過原點，并且在區(qū)間[0，＋∞)上是增函數．當0<α<1時，在第一象限內為拋物線形，且開口向右；當α>1時，在第一象限內為拋物線形，且開口向上．(3)若α<0，則冪函數在區(qū)間(0，＋∞)上是減函數，在第一象限內為雙曲線形，當x從右邊趨向原點時，圖像在y軸右方無限地逼近y軸；當x趨于＋∞時，圖像在x軸上方無限地逼近x軸．當堂練習2(1)函數f(x)＝xeq\s\up18(-\f(1,2))的大致圖像是()(2)如圖所示，圖中的曲線是冪函數y＝xn在第一象限的圖像，已知n取±2，±eq\f(1,2)四個值，則相應于C1，C2，C3，C4的n依次為()A．－2，－eq\f(1,2)，eq\f(1,2)，2 B．2，eq\f(1,2)，－eq\f(1,2)，－2C．－eq\f(1,2)，－2,2，eq\f(1,2) D．2，eq\f(1,2)，－2，－eq\f(1,2)(1)A(2)B[(1)因為－eq\f(1,2)＜0，所以f(x)在(0，＋∞)上單調遞減，排除選項B，C；又f(x)的定義域為(0，＋∞)，故排除選項D.(2)考慮冪函數的圖像在第一象限內的增減性，注意當n>0時，對于y＝xn，n越大，y＝xn增幅越快，n<0時看|n|的大小．根據冪函數y＝xn的性質，在第一象限內的圖像當n>0時，n越大，y＝xn遞增速度越快，故C1的n＝2，C2的n＝eq\f(1,2)，當n<0時，|n|越大，曲線越陡峭，所以曲線C3的n＝－eq\f(1,2)，曲線C4的n＝－2，故選B.]冪值的大小比較【例3】比較下列各組數中兩個數的大?。?1)與；(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))eq\s\up12(－1)與eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))eq\s\up12(－1)；(3)與；(4)與思路探究](1)判斷奇偶性?奇偶性定義．(2)求反函數?反解，改寫，標注定義域．(3)對數不等式?構建不等式組?解不等式組?得出解集．【解】(1)因為y＝x是[0，＋∞)上的增函數，且eq\f(1,3)＞eq\f(1,4)，所以>.(2)因為y＝x－1是(－∞，0)上的減函數，且－eq\f(2,3)＜－eq\f(3,5)，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))eq\s\up12(－1)＞eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))eq\s\up12(－1).(3)\s\up12(－\f(1,4))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(－\f(1,4))＝2eq\s\up6(\f(1,2))，＝因為y＝x是[0，＋∞)上的增函數，且2＜，所以2＜，即\s\up12(－\f(1,4))＜.(4)由冪函數的單調性，知，又y＝是減函數，所以，從而方法總結(1)比較冪值的大小，關鍵在于構造適當的函數：①若指數相同而底數不同，則構造冪函數；②若指數不同而底數相同，則構造指數函數．(2)若指數與底數都不同，需考慮是否能把指數或底數化為相同，是否可以引入中間量．當堂練習3比較下列各組數的大小：[解](1)函數y＝xeq\s\up18(-\f(5,2))在(0，＋∞)上為減函數．∵3＜，∴3eq\s\up18(-\f(5,2))＞\s\up18(-\f(5,2)).(2)∵y＝在[0，＋∞)上是增函數，＜，∴又∵y＝在R上是減函數，＜，∴，即課堂小結1.冪函數y＝xα(α∈R)中，α為常數，系數為1，底數為單一的x.這是判斷一個函數是否為冪函數的重要依據和唯一標準．冪函數與指數函數的解析式形同而實異，解題時一定要分清，以防出錯．2．冪函數的圖像特征及性質(1)冪函數在第一象限內的圖像，在經過點(1,1)且平行于y軸的直線的右側，按冪指數由小到大的