2023學(xué)年完整版《力矩》導(dǎo)學(xué)案

《力矩》導(dǎo)學(xué)案定義1：從給定點(diǎn)到力作用線(xiàn)任意點(diǎn)的向徑和力本身的矢積。應(yīng)用學(xué)科：機(jī)械工程（一級(jí)學(xué)科）；機(jī)構(gòu)學(xué)（二級(jí)學(xué)科）；機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)（三級(jí)學(xué)科）定義2：力對(duì)物體產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)的量度，即力對(duì)一軸線(xiàn)或?qū)σ稽c(diǎn)的矩。應(yīng)用學(xué)科：水利科技（一級(jí)學(xué)科）；工程力學(xué)、工程結(jié)構(gòu)、建筑材料（二級(jí)學(xué)科）；工程力學(xué)（水利）（三級(jí)學(xué)科）力矩在物理學(xué)里，力矩是一個(gè)向量，可以被想象為一個(gè)旋轉(zhuǎn)力或角力，導(dǎo)致出旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的改變。這個(gè)力定義為線(xiàn)型力叉乘徑長(zhǎng)。依照國(guó)際單位制，力矩的單位是牛頓-米。而依照英制單位，測(cè)量的單位則為英尺-鎊。力矩希臘字母是tau。目錄1．歷史2．定義3.單位4.靜力觀念5.動(dòng)力觀念歷史力矩不代表轉(zhuǎn)矩。力矩的概念，起源于阿基米德對(duì)杠桿的研究。定義力矩(torque)：力臂(L)和力（F）的叉乘(M)。物理學(xué)上指使物體轉(zhuǎn)動(dòng)的力乘以到轉(zhuǎn)軸的距離[1]。即：M=L×F。其中L是從轉(zhuǎn)動(dòng)軸到著力點(diǎn)的矢量,F是矢量力；力矩也是矢量。力矩的量綱是距離×力；與能量的量綱相同。但是力矩通常用牛頓-米，而不是用焦耳作為單位。力矩的單位由力和力臂的單位決定。力對(duì)物體產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)作用的物理量。可分為力對(duì)軸的矩和力對(duì)點(diǎn)的矩。力對(duì)軸的矩是力對(duì)物體產(chǎn)生繞某一軸轉(zhuǎn)動(dòng)作用的物理量。它是代數(shù)量，其大小等于力在垂直于該軸的平面上的分力同此分力作用線(xiàn)到該軸垂直距離的乘積；其正負(fù)號(hào)用以區(qū)別力矩的不同轉(zhuǎn)向，按右手螺旋定則確定：以右手四指沿分力方向（X軸/Y軸），且掌心面向轉(zhuǎn)軸（X軸/Y軸）而握拳，大拇指方向（Z軸）與該軸正向一致時(shí)取正號(hào)，反之則取負(fù)號(hào)。力對(duì)點(diǎn)的矩是力對(duì)物體產(chǎn)生繞某一點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)作用的物理量。它是矢量，等于力作用點(diǎn)位置矢r和力矢F的矢量積。例如，用球鉸鏈固定于O點(diǎn)的物體受力F作用，以r表示自O(shè)點(diǎn)至F作用點(diǎn)A的位置矢，r和F的夾角為a（見(jiàn)圖）。物體在F作用下，繞垂直于r與F組成的平面并通過(guò)O點(diǎn)的軸轉(zhuǎn)動(dòng)。轉(zhuǎn)動(dòng)作用的大小和轉(zhuǎn)軸的方向取決于F對(duì)O點(diǎn)的矩矢M，M＝r×F；M的大小為rFsina，方向由右手定則確定。力矩M在過(guò)矩心O的直角坐標(biāo)軸上的投影為Mx、My、Mz。可以證明Mx、My、Mz就是F對(duì)x，y，z軸的矩。力矩的量綱為L(zhǎng)2MT-2，其國(guó)際制單位為N?m。例如，3牛頓的力作用在離支點(diǎn)2米的杠桿上的力矩等于1牛頓的力作用在離支點(diǎn)6米的力矩，這里假設(shè)力與杠桿垂直。一般地，力矩可以用矢量叉積（注意：不是矢量點(diǎn)乘）定義：其中r是從轉(zhuǎn)動(dòng)軸到力的矢量,F是矢量力。單位力矩的量綱是距離乘以力；依照國(guó)際單位制，力矩的單位是牛頓-米。雖然牛頓與米的次序，在數(shù)學(xué)上，是可以變換的。BIPM(國(guó)際重量測(cè)量局)設(shè)定這次序應(yīng)是牛頓-米，而不是米-牛頓。依照國(guó)際單位制，能量與功量的單位是焦耳，定義為1牛頓-米。但是，焦耳不是力矩的單位。因?yàn)?，能量是力點(diǎn)積距離的標(biāo)量；而力矩是距離叉積力的偽矢量。當(dāng)然，量綱相同并不盡是巧合；使1牛頓-米的力矩，作用一全轉(zhuǎn)，需要恰巧2*Pi焦耳的能量。定義力對(duì)物體的作用效應(yīng)，除移動(dòng)效應(yīng)外，還有轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)。靜力觀念當(dāng)一個(gè)物體在靜態(tài)平衡時(shí)，凈作用力是零，對(duì)任何一點(diǎn)的凈力矩也是零。關(guān)于二維空間，平衡的要求是：x,y方向合力均為0，且合力矩為0.動(dòng)力觀念力矩是角動(dòng)量隨時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，就像力是動(dòng)量隨時(shí)間的導(dǎo)數(shù)。剛體的角動(dòng)量是轉(zhuǎn)動(dòng)慣量乘以角速度。什么是力矩電動(dòng)機(jī)所謂的力矩電動(dòng)機(jī)是一種扁平型多極永磁直流電動(dòng)機(jī)。其電樞有較多的槽數(shù)、換向片數(shù)和串聯(lián)導(dǎo)體數(shù)，以降低轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)和轉(zhuǎn)速脈動(dòng)。力矩電動(dòng)機(jī)有直流力矩電動(dòng)機(jī)和交流力矩電動(dòng)機(jī)兩種。其中，直流力矩電動(dòng)機(jī)的自感電抗很小，所以響應(yīng)性很好；其輸出力矩與輸入電流成正比，與轉(zhuǎn)子的速度和位置無(wú)關(guān)；它可以在接近堵轉(zhuǎn)狀態(tài)下直接和負(fù)載連接低速運(yùn)行而不用齒輪減速，所以在負(fù)載的軸上能產(chǎn)生很高的力矩對(duì)慣性比，并能消除由于使用減速齒輪而產(chǎn)生的系統(tǒng)誤差。交流力矩電動(dòng)機(jī)又可以分為同步和異步兩種，目前常用的是鼠籠型異步力矩電動(dòng)機(jī)，它具有低轉(zhuǎn)速和大力矩的特點(diǎn)。一般地，在紡織工業(yè)中經(jīng)常使用交流力矩電動(dòng)機(jī)，其工作原理和結(jié)構(gòu)和單相異步電動(dòng)機(jī)的相同，但是由于鼠籠型轉(zhuǎn)子的電阻較大，所以其機(jī)械特性較軟。在物理學(xué)里，作用力使物體繞著轉(zhuǎn)動(dòng)軸或支點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的趨向，[1]稱(chēng)為力矩(torque)。轉(zhuǎn)動(dòng)力矩又稱(chēng)為轉(zhuǎn)矩。力矩能夠使物體改變其旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。推擠或拖拉涉及到作用力，而扭轉(zhuǎn)則涉及到力矩。如圖右，力矩等于徑向矢量與作用力的叉積。簡(jiǎn)略地說(shuō)，力矩是一種施加于好像螺栓或飛輪一類(lèi)的物體的扭轉(zhuǎn)力。例如，用扳手的開(kāi)口箝緊螺栓或螺帽，然后轉(zhuǎn)動(dòng)扳手，這動(dòng)作會(huì)產(chǎn)生力矩來(lái)轉(zhuǎn)動(dòng)螺栓或螺帽。根據(jù)國(guó)際單位制，力矩的單位是牛頓米；根據(jù)英制單位，力矩的單位則是英尺磅。力矩的表示符號(hào)是希臘字母，或。力矩與三個(gè)物理量有關(guān)：施加的作用力、從轉(zhuǎn)軸到施力點(diǎn)的位移矢量、兩個(gè)矢量之間的夾角。力矩以方程表示為力矩的大小為目錄[顯示][編輯]歷史力矩的概念，起源于阿基米德對(duì)杠桿的研究。[編輯]定義：用右手定則決定力矩方向力矩等于作用于杠桿的作用力乘以支點(diǎn)到力的垂直距離。例如，3牛頓的作用力，施加于離支點(diǎn)2米處，所產(chǎn)生的力矩，等于1牛頓的作用力，施加于離支點(diǎn)6米處，所產(chǎn)生的力矩。力矩是個(gè)矢量。力矩的方向與它所造成的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的旋轉(zhuǎn)軸同方向。力矩的方向可以用右手定則來(lái)決定。假設(shè)作用力垂直于杠桿。將右手往杠桿的旋轉(zhuǎn)方向彎卷，伸直的大拇指與支點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)軸同直線(xiàn)，則大拇指指向力矩的方向[2]。假設(shè)作用力施加于位置為的粒子。選擇原點(diǎn)（以紅點(diǎn)表示）為參考點(diǎn)，只有垂直分量會(huì)產(chǎn)生力矩。這力矩的大小為，方向?yàn)榇怪庇谄聊幌蛲?。更一般地，如圖右，假設(shè)作用力施加于位置為的粒子。選擇原點(diǎn)為參考點(diǎn)，力矩以方程定義為。力矩大小為；其中，是兩個(gè)矢量與之間的夾角。力矩大小也可以表示為；其中，是作用力對(duì)于的垂直分量。任何與粒子的位置矢量平行的作用力不會(huì)產(chǎn)生力矩。從叉積的性質(zhì)，可以推論，力矩垂直于位置矢量和作用力。力矩的方向與旋轉(zhuǎn)軸平行，由右手定則決定。[編輯]力矩與角動(dòng)量之間的關(guān)系地心引力的力矩造成角動(dòng)量的改變。因此，陀螺呈現(xiàn)進(jìn)動(dòng)現(xiàn)象。假設(shè)一個(gè)粒子的位置為，動(dòng)量為。選擇原點(diǎn)為參考點(diǎn)，此粒子的角動(dòng)量為。粒子的角動(dòng)量對(duì)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為；其中，是質(zhì)量，是速度，是加速度。應(yīng)用牛頓第二定律，，可以得到。按照力矩的定義，，所以，。作用于一物體的力矩，決定了此物體的角動(dòng)量對(duì)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)。假設(shè)幾個(gè)力矩共同作用于物體，則這幾個(gè)力矩的合力矩共同決定角動(dòng)量的對(duì)于時(shí)間的變化：。關(guān)于物體的繞著固定軸的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，；其中，是物體對(duì)于固定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，是物體的角速度。所以，取上述方程對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)：；其中，是物體的角加速度。[編輯]單位力矩的定義是距離乘以作用力。根據(jù)國(guó)際單位制，力矩的單位是牛頓米[3](Nm)。雖然牛頓與米的次序，在數(shù)學(xué)上，是可以交換的，但是國(guó)際重量測(cè)量局(BureauInternationaldesPoidsetMesures)規(guī)定這次序應(yīng)是牛頓米，而不是米牛頓[4]。根據(jù)國(guó)際單位制，能量與功量的單位是焦耳，定義為1牛頓米。但是，焦耳不是力矩的單位。因?yàn)?，能量是力點(diǎn)積距離的標(biāo)量；而力矩是距離叉積作用力的矢量。當(dāng)然，量綱相同并不盡是巧合，使1牛頓米的力矩，作用1全轉(zhuǎn)，需要恰巧焦耳的能量：。其中，是能量，是移動(dòng)的角度，單位是弧度。根據(jù)英制，力矩的單位是英尺磅。[編輯]矩臂方程矩臂圖在物理學(xué)外，其他的學(xué)術(shù)界里，力矩時(shí)常會(huì)如以下定義：。右圖顯示出矩臂(momentarm)、前面所提及的相對(duì)位置、作用力(force)。這個(gè)定義并沒(méi)有指出力矩的方向，只有力矩的大小。所以，并不適用于三維空間問(wèn)題。[編輯]靜力概念當(dāng)一個(gè)物體在靜態(tài)平衡時(shí)，合力是零，對(duì)任何一點(diǎn)的和力矩也是零。二維空間的平衡要求是，，。這里，是作用力分別在x-軸與y-軸的分量。假若，這三個(gè)聯(lián)立方程有解，則稱(chēng)此系統(tǒng)為靜定系統(tǒng)；不然，則稱(chēng)為靜不定系統(tǒng)。[編輯]力矩、能量和功率之間的關(guān)系假設(shè)施加作用力于一物體，使得此物體移動(dòng)一段距離，則作用力對(duì)于此物體做了機(jī)械功。類(lèi)似地，假設(shè)施加力矩于一物體，使得此物體旋轉(zhuǎn)一段角位移，則力矩對(duì)于此物體做了機(jī)械功。對(duì)于穿過(guò)質(zhì)心的固定軸的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，以數(shù)學(xué)方程表達(dá)，；其中，是機(jī)械功，、分別是初始角和終結(jié)角，是無(wú)窮小角位移元素。根據(jù)功能定理，也代表物體的旋轉(zhuǎn)動(dòng)能的改變，以方程表達(dá)，。功率是單位時(shí)間內(nèi)所做的機(jī)械功。對(duì)于旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，功率以方程表達(dá)為。請(qǐng)注意，力矩注入的功率只相依于瞬時(shí)角速度；而角速度是否在增加中，或在減小中，或保持不變，功率都與這些狀況無(wú)關(guān)。實(shí)際上，在與大型輸電網(wǎng)絡(luò)相連接的發(fā)電廠里，可以觀察到這關(guān)系。發(fā)電廠的發(fā)電機(jī)的角速度是由輸電網(wǎng)絡(luò)的頻率設(shè)定，而發(fā)電廠的功率