2023 年九年級數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí) 因式分解的應(yīng)用 解答題專題訓(xùn)練（含解析）

2022-2023學(xué)年九年級數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)《因式分解的應(yīng)用》解答題專題訓(xùn)練（附答案）1．已知x2﹣x﹣1＝0，求代數(shù)式﹣x3+2x2+2022的值．2．在△ABC中，角A、B、C所對的邊的長分別為a、b、c，若a2﹣2ab+b2＝ac﹣bc且∠C＝60°．試證明△ABC是等邊三角形．3．常見的分解因式的方法有提公因式法、公式法及十字相乘法，而有的多項式既沒有公因式，也不能直接運用公式分解因式，但是某些項通過適當(dāng)?shù)恼{(diào)整能構(gòu)成可分解的一組，用分組來分解一個多項式的因式，這種方法叫分組分解法．如x2+2xy+y2﹣16，我們細心觀察這個式子就會發(fā)現(xiàn)，前三項符合完全平方公式，分解后與后面的部分結(jié)合起來又符合平方差公式，可以繼續(xù)分解，過程為：x2+2xy+y2﹣16＝（x+y）2﹣42＝（x+y+4）（x+y﹣4）．它并不是一種獨立的因式分解的方法，而是為提公因式或運用公式分解因式創(chuàng)造條件．閱讀材料并解答下列問題：（1）分解因式：2a2﹣8a+8；（2）請嘗試用上面的方法分解因式：x2﹣y2+3x﹣3y；（3）若△ABC的三邊a，b，c滿足a2﹣ab﹣ac+bc＝0，請判斷△ABC的形狀并加以說明．4．如圖1，六個小圖形拼成一個大長方形，大長方形面積＝長×寬＝（a+2b）（a+b），六個小圖形面積和為：a2+ab+ab+ab+b2+b2＝a2+3ab+2b2，可得等式：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．（1）仿照上面的方法，由圖2可得等式；（2）利用（1）所得等式，解決問題：已知a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，求a2+b2+c2的值．5．下面是某同學(xué)對多項式（x2﹣3x+4）（x2﹣3x+6）+1進行因式分解的過程．解：設(shè)x2﹣3x＝m原式＝（m+4）（m+6）+1（第一步）＝m2+10m+25（第二步）＝（m+5）2（第三步）＝（x2﹣3x+5）2（第四步）回答下列問題：（1）該同學(xué)第二步到第三步運用了因式分解的．A．提取公因式；B．平方差公式；C．完全平方公式（2）請你模仿以上方法嘗試對多項式（x2+2x）（x2+2x+6）+9進行因式分解．（3）因式分解：（x2﹣4x+6）（x2﹣4x+2）+4＝（在橫線處直接寫出因式分解的結(jié)果）．6．王老師在黑板上寫下了四個算式：①32﹣12＝（3+1）（3﹣1）＝8＝8×1；②52﹣32＝（5+3）（5﹣3）＝16＝8×2；③72﹣52＝（7+5）（7﹣5）＝24＝8×3；④92﹣72＝（9+7）（9﹣7）＝32＝8×4；…認真觀察這些算式，并結(jié)合你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，解答下列問題：（1）112﹣92＝；132﹣112＝．（2）小華發(fā)現(xiàn)上述算式的規(guī)律可以用文字語言概括為：“兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差能被8整除”，如果設(shè)兩個連續(xù)奇數(shù)分別為2n+1和2n﹣1（n為正整數(shù)），請你用含有n的算式驗證小華發(fā)現(xiàn)的規(guī)律．7．第一環(huán)節(jié)：自主閱讀材料：常用的分解因式方法有提公因式、公式法等．但有的多項式只用上述方法就無法分解，如x2﹣4y2+2x﹣4y，細心觀察這個式子會發(fā)現(xiàn)前兩項符合平方差公式，后兩項可提取公因式，分解過程為：x2﹣4y2+2x﹣4y＝（x2﹣4y2）+（2x﹣4y）…分組＝（x﹣2y）（x+2y）+2（x﹣2y）…組內(nèi)分解因式＝（x﹣2y）（x+2y+2）…整體思想提公因式這種分解因式的方法叫分組分解法．第二環(huán)節(jié)：利用這種方法解決下列問題．因式分解：x2y﹣4y﹣2x2+8．第三環(huán)節(jié)：拓展運用．已知a，b，c為△ABC的三邊，且b2+2ab＝c2+2ac，試判斷△ABC的形狀并說明理由．8．教科書中這樣寫道：“我們把多項式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”，如果一個多項式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個適當(dāng)?shù)捻棧故阶又谐霈F(xiàn)完全平方式，再減去這個項，使整個式子的值不變，這種方法叫做配方法．能解決一些與非負數(shù)有關(guān)的問題或求代數(shù)式最大值，最小值等．例如：分解因式．原式＝x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣22＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）例如．求代數(shù)式2x2+4x﹣1的最小值．原式＝2x2+4x﹣1＝2（x2+2x+1﹣1）﹣1＝2（x+1）2﹣3．可知當(dāng)x＝﹣1時，2x2+4x﹣1有最小值，最小值是﹣3．（1）分解因式：a2﹣2a﹣3＝．（2）試說明：x、y取任何實數(shù)時，多項式x2+y2﹣4x+2y+6的值總為正數(shù)．（3）當(dāng)m，n為何值時，多項式m2﹣2mn+2n2﹣4m﹣4n+25有最小值，并求出這個最小值．9．在現(xiàn)今”互聯(lián)網(wǎng)+”的時代，密碼與我們的生活已經(jīng)密切相連，密不可分，而諸如“123456”、生日等簡單密碼又容易被破解，因此利用簡單方法產(chǎn)生一組容易記憶的密碼就很有必要了．有一種用“因式分解”法產(chǎn)生的密碼，方便記憶，其原理是：將一個多項式分解因式，如多項式x3﹣x2因式分解的結(jié)果為x2（x﹣1），當(dāng)x＝5時，x2＝25，x﹣1＝04，此時可以得到數(shù)字密碼2504或0425；如多項式x3+2x2﹣x﹣2因式分解的結(jié)果為（x﹣1）（x+1）（x+2），當(dāng)x＝10時，x﹣1＝09，x+1＝11，x+2＝12，此時可以得到數(shù)字密碼091112．（1）根據(jù)上述方法，當(dāng)x＝12，y＝5時，求多項式x3﹣xy2分解因式后可以形成哪些數(shù)字密碼；（寫出三個）（2）若一個直角三角形的周長為12，斜邊長為5，其中兩條直角邊分別為x，y，求出一個由多項式x3y+xy3分解因式后得到的密碼；（只需一個即可）（3）若多項式x2+（m﹣3n）x﹣6n因式分解后，利用本題的方法，當(dāng)x＝25時可以得到一個密碼2821，求m、n的值．10．如圖，將一塊長方形紙板沿圖中的虛線裁剪成9塊，其中2塊是邊長為a的小正方形，5塊是長為b，寬為a的小長方形，2塊是邊長為b的大正方形．（1）觀察圖形，可以發(fā)現(xiàn)代數(shù)式2a2+5ab+2b2可以分解因式為；（2）若這塊長方形紙板的面積為177，每塊長為b，寬為a的小長方形的面積是15．①則圖中1塊邊長為a的小正方形和1塊邊長為b的大正方形的面積之和為；②試求圖中所有剪裁線（虛線部分）長的和．11．如圖，已知D是△ABC的邊BC上的一點，AB＝CD＝a，AD＝b，BD＝c，且滿足a2+2ab＝c2+2bc，AE是△ABD的中線．（1）判斷△ABD的形狀，并說明理由；（2）求證：AD是∠EAC的平分線．12．如圖，將一張大長方形紙板按圖中虛線裁剪成9塊，其中有2塊是邊長為a厘米的大正方形，2塊是邊長都為b厘米的小正方形，5塊是長為a厘米，寬為b厘米的相同的小長方形，且a＞b．（1）觀察圖形，可以發(fā)現(xiàn)代數(shù)式2a2+5ab+2b2可以因式分解為．（2）若圖中空白部分的面積為20平方厘米，大長方形紙板的周長為30厘米，求圖中陰影部分的面積．13．如圖1所示的正方形，我們可以利用兩種不同的方法計算它的面積，從而得到完全平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2．請你結(jié)合以上知識，解答下列問題：（1）寫出圖2所示的長方形所表示的數(shù)學(xué)等式．（2）根據(jù)圖3得到的結(jié)論，解決下面的問題：若a+b+c＝10，ab+ac+bc＝38，求代數(shù)式a2+b2+c2的值．（3）小華同學(xué)用圖4中x張邊長為a的正方形紙片，y張邊長為b的正方形紙片，z張邊長分別為a，b的長方形紙片拼出一個面積為（2a+3b）（6a+5b）的長方形，求代數(shù)式x+y+z的值．14．把代數(shù)式通過配方等手段，得到完全平方式，再運用完全平方式的非負性來增加題目的已知條件，這種解題方法叫做配方法．配方法在代數(shù)式求值、解方程、最值問題等都有著廣泛的應(yīng)用．例如：①用配方法分解因式：a2+6a+8．原式＝a2+6a+9﹣1＝（a+3）2﹣1＝（a+3+1）（a+3﹣1）＝（a+4）（a+2）．②利用配方法求最小值：求a2+6a+8最小值．解：a2+6a+8＝a2+2a?3+32﹣32+8＝（a+3）2﹣1．因為不論x取何值，（a+3）2總是非負數(shù)，即（a+3）2≥0．所以（a+3）2﹣1≥﹣1，所以當(dāng)x＝﹣3時，a2+6a+8有最小值，最小值是﹣1．根據(jù)上述材料，解答下列問題：（1）填空：x2﹣8x+＝（x﹣）2；（2）將x2﹣10x+2變形為（x+m）2+n的形式，并求出x2﹣10x+2的最小值；（3）若M＝6a2+19a+10，N＝5a2+25a，其中a為任意實數(shù)，試比較M與N的大小，并說明理由．15．如果一個自然數(shù)M能分解成p2+q，其中p與q都是兩位數(shù)，p與q的個位數(shù)字相同，十位數(shù)字之和為10，則稱數(shù)M為“方加數(shù)”，并把數(shù)M＝p2+q的過程，稱為“方加分解”，例如：236＝122+92，12與92的個位數(shù)字相同，十位數(shù)字之和等于10，所以236是“方加數(shù)”．（1）判斷212是否是“方加數(shù)”？．并說明理由；（2）把一個四位“方加數(shù)”M進行“方加分解”，即M＝p2+q，并將p放在q的左邊組成一個新的四位數(shù)N，若N能被7整除，且N的各個數(shù)位數(shù)字之和能被3整除，求出所有滿足條件的M．16．我們已經(jīng)學(xué)過將一個多項式分解因式的方法有提公因式法和運用公式法，其實分解因式的方法還有分組分解法、拆項法等等．①分組分解法：例如：x2﹣2xy+y2﹣4＝（x2﹣2xy+y2）﹣4＝（x﹣y）2﹣22＝（x﹣y﹣2）（x﹣y+2）．②拆項法：例如：x2+2x﹣3＝x2+2x+1﹣4＝（x+1）2﹣22＝（x+1﹣2）（x+1+2）＝（x﹣1）（x+3）．（1）仿照以上方法，按照要求分解因式：①（分組分解法）4x2+4x﹣y2+1；②（拆項法）x2﹣6x+8；（2）已知：a、b、c為△ABC的三條邊，a2+b2+c2﹣4a﹣4b﹣6c+17＝0，求△ABC的周長．17．七年級教材下冊“第九章整式乘法與因式分解”中，通過拼圖、推演，得到了整式乘法法則和公式；逆向思考，得到了多項式因式分解的方法，在學(xué)習(xí)過程中讓同學(xué)們了解到了公式的幾何背景，感受了數(shù)形結(jié)合的思想方法．如課本77頁，在邊長為a的正方形紙片上剪去一個邊長為b（b＜a）的小正方形（如圖），通過計算圖中的陰影面積，發(fā)現(xiàn)了一個重要的結(jié)論：．其實，通過拼圖算面積這種方法不僅能得到許多公式，還可以證明很多重要的定理．活動材料：如圖，4張A型直角三角形紙片、1張B型正方形紙片．活動要求：利用這兩種紙片（每種紙片需全部使用）拼成一個新的正方形，通過不同的方法計算圖形的面積，從而探究出相應(yīng)的等式．活動內(nèi)容：（1）根據(jù)要求，小騰拼出了如圖的大正方形，請你根據(jù)此圖說明a2+b2＝c2成立的理由．（2）利用（1）的結(jié)論計算：若b﹣a＝，c2＝，求b2﹣a2的值．18．?dāng)?shù)學(xué)活動課上，老師準備了若干張如圖1所示的三種紙片，A種紙片是邊長為a的正方形，B種紙片是邊長為b的正方形，C種紙片是長為b、寬為a的長方形．現(xiàn)在用A種紙片一張，B種紙片一張，C種紙片兩張拼成如圖2所示的大正方形．觀察圖形并解答下列問題．（1）由圖1到圖2的過程可得到的因式分解等式為（用含a，b的代數(shù)式表示）；（2）小敏用圖1中的A、B、C三種紙片拼出一個面積為（2a+b）（a+2b）的大長方形，求需要A、B、C三種紙片各多少張；（3）如圖3，C為線段AB上的動點，分別以AC，BC為邊在AB的兩側(cè)作正方形ACDE和正方形BCFG．若AB＝6，記正方形ACDE和正方形BCFG的面積分別為S1，S2，且S1+S2＝20，利用（1）中的結(jié)論求圖中三角形ACF的面積．19．?dāng)?shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題的一種重要思想方法，借助此方法可將抽象的數(shù)學(xué)知識變得直觀且具有可操作性，從而幫助我們解決問題．初中數(shù)學(xué)中有一些代數(shù)恒等式可以用一些卡片拼成的圖形面積來解釋．某同學(xué)在學(xué)習(xí)的過程中動手剪了如圖①所示的正方形與長方形紙片若干張．（1）他用1張1號、1張2號和2張3號卡片拼出一個新的圖形（如圖②）．根據(jù)這個圖形的面積關(guān)系寫出一個你所熟悉的乘法公式，這個乘法公式是；（2）如果要拼成一個長為（a+2b），寬為（a+b）的大長方形，則需要2號卡片張，3號卡片張；（3）當(dāng)他拼成如圖③所示的長方形，根據(jù)6張小紙片的面積和等于大紙片（長方形）的面積可以把多項式a2+3ab+2b2分解因式，其結(jié)果是；（4）請你依照該同學(xué)的方法，在指定位置畫出拼圖并利用拼圖分解因式a2+5ab+6b2＝．20．【閱讀理解】數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題的一種重要的思想方法，借助這種方法可將抽象的數(shù)學(xué)知識變得直觀起來并且具有可操作性，從而可以幫助我們進行推理，獲得結(jié)論．初中數(shù)學(xué)里的一些代數(shù)公式，很多都可以借助幾何圖形進行直觀推導(dǎo)和解釋．例如：求1+2+3+4+…+n的值（其中n是正整數(shù)）．如果采用數(shù)形結(jié)合的方法，即用圖形的性質(zhì)來說明數(shù)量關(guān)系的事實，那就非常的直觀．現(xiàn)利用圖形的性質(zhì)來求1+2+3+4+…+n的值，方案如下：如圖1，斜線左邊的三角形圖案是由上到下每層依次分別為1，2，3，…，n個小圓圈排列組成的．而組成整個三角形小圓圈的個數(shù)恰為所求式子1+2+3+4+…+n的值．為求式子的值，現(xiàn)把左邊三角形倒放于斜線右邊，與原三角形組成一個平行四邊形．此時，組成平行四邊形的小圓圈共有n行，每行有（n+1）個小圓圈，所以組成平行四邊形小圓圈的總個數(shù)為n（n+1）個，因此，組成一個三角形小圓圈的個數(shù)為，即1+2+3+4+?+n＝．【問題提出】求13+23+33+?+n3的值（其中n是正整數(shù)）．【問題解決】為解決上述問題，我們借鑒已有的經(jīng)驗，采用由特殊到一般，歸納的研究方法，利用數(shù)形結(jié)合法，借助圖形進行推理獲得結(jié)論．探究1如圖2，13可以看成1個1×1的正方形的面積，即13＝1×12＝12．探究2如圖3，A表示1個1×1的正方形，其面積為：1×12＝13；B表示1個2×2的正方形，其面積為：1×22；C，D分別表示1個1×2的長方形，其面積的和為：2×1×2＝1×22；B，C，D的面積和為1×22+1×22＝（1+1）×22＝23，而A，B，C，D恰好可以拼成一個（1+2）×（1+2）的大正方形．由此可得：13+23＝（1+2）2＝32．探究3請你類比上述探究過程，借助圖形探究：13+23+33＝＝．（要求自己構(gòu)造圖形并寫出推證過程）【結(jié)論歸納】將上述探究過程發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，推廣到一般情況中去，通過歸納，我們便可以得到：13+23+33+?+n3＝＝．（要求直接寫出結(jié)論，不必寫出推證過程）【結(jié)論應(yīng)用】圖4是由若干個棱長為1的小正方體搭成的大正方體，圖中大小正方體一共有多少個？為了準確數(shù)出大小正方體的總個數(shù)，我們可以分類統(tǒng)計，即數(shù)出棱長分別是1，2，3，4，5，6的正方體的個數(shù)，再求總和．例如：棱長是1的正方體有：6×6×6＝63個，棱長是2的正方體有：5×5×5＝53個，…棱長是6的正方體有：1×1×1＝13個；然后利用上面歸納的結(jié)論，通過計算，可得圖4中大小正方體的個數(shù)為．【逆向應(yīng)用】如果由若干個棱長為1的小正方體搭成的大正方體中，大小正方體一共有36100個，那么棱長為1的小正方體的個數(shù)為．【拓展探究】觀察下列各式：13＝1；23＝3+5；33＝7+9+11；43＝13+15+17+19；??若m3（m為正整數(shù)）按上面規(guī)律展開后，發(fā)現(xiàn)等式右邊含有“2021”這個數(shù)，則m的值．參考答案1．解：∵x2﹣x﹣1＝0，∴x2＝x+1，∴﹣x3+2x2+2022＝﹣x?x2+2x2+2022＝﹣x（x+1）+2（x+1）+2022＝﹣x2﹣x+2x+2+2022＝﹣x2+x+2024＝﹣（x+1）+x+2024＝﹣x﹣1+x+2024＝2023．2．證明：∵a2﹣2ab+b2＝ac﹣bc，∴（a﹣b）2＝c（a﹣b），∴（a﹣b﹣c）（a﹣b）＝0，在△ABC中，∵b+c＞a，∴a﹣b﹣c＜0，∴a﹣b＝0，a＝b，∴△ABC是等腰三角形，∵∠C＝60°，∴△ABC是等邊三角形．3．解：（1）原式＝2（a2﹣4a+4）＝2（a﹣2）2；（2）原式＝（x+y）（x﹣y）+3（x﹣y）＝（x﹣y）（x+y+3）；（3）△ABC是等腰三角形或等邊三角形．理由如下：∵a2﹣ab﹣ac+bc＝0，∴a（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝0，∴（a﹣b）（a﹣c）＝0，∴a＝b或a＝c∴△ABC是等腰三角形．4．解：（1）如圖2，是幾個小正方形和小長方形拼成的一個邊長為a+b+c的大正方形，用不同的方法表示這個大正方形的面積，得到的等式為（a+b+c）2＝a2+c2+b2+2（ab+bc+ac）．故答案為：（a+b+c）2＝a2+c2+b2+2（ab+bc+ac）；（2）∵a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，∴a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2（ab+bc+ac）＝121﹣76＝45．5．解：（1）該同學(xué)第二步到第三步運用了因式分解的完全平方公式．故答案為：C；（2）設(shè)x2+2x＝y(tǒng)，原式＝y(tǒng)（y+6）+9＝y(tǒng)2+6y+9＝（y+3）2＝（x2+2x+3）2；（3）設(shè)x2﹣4x+2＝z，原式＝z（z+4）+4＝z2+4z+4＝（z+2）2＝（x2﹣4x+2+2）2＝（x2﹣4x+4）2＝[（x﹣2）2]2＝（x﹣2）4．故答案為：（x﹣2）4．6．解：（1）112﹣92＝（11+9）（11﹣9）＝8×5＝40；132﹣112＝（13+11）（13﹣11）＝8×6＝48．故答案為：40；48；（2）（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝（2n+1﹣2n+1）（2n+1+2n﹣1）＝2×4n＝8n，∵n為正整數(shù)，∴兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差是8的倍數(shù)．7．解：第二環(huán)節(jié)：x2y﹣4y﹣2x2+8＝y(tǒng)（x2﹣4）﹣2（x2﹣4）＝y(tǒng)（x﹣2）（x+2）﹣2（x﹣2）（x+2）＝（y﹣2）（x﹣2）（x+2）；第三環(huán)節(jié)：△ABC是等腰三角形，理由：∵b2+2ab＝c2+2ac，∴b2﹣c2+2ab﹣2ac＝0，（b﹣c）（b+c）+2a（b﹣c）＝0，（2a+b+c）（b﹣c）＝0，∵2a+b+c≠0，∴b﹣c＝0，即b＝c，∴△ABC是等腰三角形．8．解：（1）a2﹣2a﹣3＝a2﹣2a+1﹣4＝（a﹣1）2﹣4＝（a﹣1﹣2）（a﹣1+2）＝（a﹣3）（a+1）；（2）多項式x2+y2﹣4x+2y+6的值總為正數(shù)，理由：x2+y2﹣4x+2y+6＝x2﹣4x+4+y2+2y+1+1＝（x﹣2）2+（y+1）2+1，∵（x﹣2）2≥0，（y+1）2≥0，∴（x﹣2）2+（y+1）2+1≥1，∴多項式x2+y2﹣4x+2y+6的值總為正數(shù)；（3）m2﹣2mn+2n2﹣4m﹣4n+25＝m2﹣2m（n+2）+（n+2）2+n2﹣8n+16+5＝（m﹣n﹣2）2+（n﹣4）2+5，當(dāng)m﹣n﹣2＝0，n﹣4＝0時代數(shù)式有最小值，解得m＝6，n＝4，最小值為5．9．解：（1）x3﹣xy2＝x（x﹣y）（x+y），當(dāng)x＝12，y＝5時，x﹣y＝07，x+y＝17，可得數(shù)字密碼是120717；也可以是121707，171207；（2）由題意得：，解得xy＝12，而x3y+xy3＝xy（x2+y2），∴可得數(shù)字密碼為1225．（3）∵密碼為2821，∴當(dāng)x＝25時，∴x2+（m﹣3n）x﹣6n＝（x+3）（x﹣4），即：x2+（m﹣3n）x﹣6n＝x2﹣x﹣12，∴，解得．10．解：（1）如圖，∵矩形ABCD由2塊邊長為a的小正方形，5塊長為b，寬為a的小長方形，2塊邊長為b的大正方形組成，∴S矩形ABCD＝2a2+5ab+2b2，又∵矩形ABCD的長為（a+2b），寬為（2a+b），∴S矩形ABCD＝（a+2b）（2a+b），∴2a2+5ab+2b2＝（a+2b）（2a+b），故答案為：（a+2b）（2a+b）；（2）①∵這塊長方形紙板的面積為177，每塊長為b，寬為a的小長方形的面積是15，∴2a2+5ab+2b2＝177，ab＝15，∴2（a2+b2）+5ab＝177，2（a2+b2）+5×15＝177，2（a2+b2）＝177﹣75，2（a2+b2）＝102，a2+b2＝51，即1塊邊長為a的小正方形和1塊邊長為b的大正方形的面積之和為51，故答案為：51；②通過平移的性質(zhì)可知，圖中所有剪裁線（虛線部分）長的和即為矩形ABCD的周長，2[（2a+b）+（a+2b）]＝2（2a+b+a+2b）＝2（3a+3b）＝6a+6b，又∵a2+b2＝51，∴（a+b）2﹣2ab＝51，又∵ab＝15，∴（a+b）2﹣2×15＝51，∴（a+b）281，∵a+b＞0，∴a+b＝9，∴6a+6b＝54，∴圖中所有剪裁線（虛線部分）長的和為54．11．（1）解：△ABD是等腰三角形，理由如下，∵a2+2ab＝c2+2bc，∴（a﹣c）（a+c+2b）＝0，∵a+c+2b≠0，∴a＝c，∴△ABD是等腰三角形．（2）證明：如圖，取AB的中點F，連接DF，則由（1）得，a＝c，∴AB＝BD，∠FAD＝∠EDA，∵點E是BD的中點，F(xiàn)是AB的中點，∴DE＝BD，AF＝AB，DF∥AC，∴DE＝AF，∠ADF＝∠DAC，在△ADF和△DAE中，，∴△ADF≌△DAE（SAS），∴∠ADF＝∠DAE，∴∠DAE＝∠DAC，∴AD是∠EAC的平分線．12．解：（1）由題意得，大正方形的面積為a2平方厘米，小正方形的面積為b2平方厘米，小長方形的面積為ab平方厘米，∴2a2+5ab+2b2為大長方形的面積，∵大長方形的長為（2a+b）厘米，寬為（2b+a）厘米，∴大長方形的面積為（2a+b）（2b+a）平方厘米，∴2a2+5ab+2b2＝（2a+b）（2b+a），故答案為：（2a+b）（2b+a）．（2）∵空白部分的面積為20平方厘米，大長方形的周長為30厘米，∴5ab＝20，2（2a+b+2b+a）＝30，解，得：，∴陰影部分的面積為2a2+2b2＝2×42+2×12＝34（平方厘米），答：圖中陰影部分的面積為34平方厘米．13．（1）拼成的大矩形面積之和＝（a+b）（a+2b），各個小圖形面積之和＝a2+3ab+2b2，∴圖2所表示的數(shù)學(xué)等式是（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2．故答案為：（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2．（2）圖（3）中大正方形的面積＝（a+b+c）2，各個小圖形面積之和＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．∵a+b+c＝10，ab+ac+bc＝38．∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc＝102，即a2+b2+c2+2（ab+ac+bc）＝100，∴a2+b2+c2＝100﹣2×38＝24．（3）大長方形的面積為（2a+3b）（6a+5b）＝12a2+10ab+18ab+15b2＝12a2+28ab+15b2，小圖形的面積分別為a2，b2，ab，∴x＝12，y＝15，z＝28．∴x+y+z＝12+15+28＝55．14．解：（1）∵x2﹣8x+16＝（x﹣4）2，故答案為：16，4．（2）x2﹣10x+2＝x2﹣10x+25﹣23＝（x﹣5）2﹣23．∵（x﹣5）2≥0，∴當(dāng)x＝5時，原式有最小值﹣23．（3）M﹣N＝6a2+19a+10﹣5a2﹣25a＝a2﹣6a+10＝a2﹣6a+9+1＝（a﹣3）2+1．∵（a﹣3）2≥0，∴M﹣N＞0．∴M＞N．15．解：（1）212＝112+91，∴212是“方加數(shù)”；（2）設(shè)p的十位數(shù)是m，個位數(shù)是n，則q的十位數(shù)是10﹣m，個位數(shù)是n，∴N的各位數(shù)字之和是m+n+10﹣m+n＝10+2n，∵N能被3整除，∴n＝1或n＝4或n＝7，當(dāng)n＝1時，N＝1000m+100+100﹣10m+1＝990m+201，∵N能被7整除，∴m＝3，∴M＝312+71＝1032；當(dāng)n＝4時，N＝1000m+400+100﹣10m+4＝990m+504，∵N能被7整除，∴m＝7，∴M＝742+34＝5510；當(dāng)n＝7時，N＝1000m+700+100﹣10m+7＝990m+807，∵N能被7整除，∴m＝4，∴M＝472+67＝2276；綜上所述：滿足條件的M有1032和5510和2276．16．（本題滿分10分）解：（1）①4x2+4x﹣y2+1＝（4x2+4x+1）﹣y2＝（2x+1）2﹣y2＝（2x+y+1）（2x﹣y+1）；②x2﹣6x+8＝x2﹣6x+9﹣1＝（x﹣3）2﹣1＝（x﹣3﹣1）（x﹣3+1）＝（x﹣4）（x﹣2）；（2）∵a2+b2+c2﹣4a﹣4b﹣6c+17＝0，∴（a2﹣4a+4）+（b2﹣4b+4）+（c2﹣6c+9）＝0，∴（a﹣2）2+（b﹣2）2+（c﹣3）2＝0，∴a＝2，b＝2，c＝3，∴a+b+c＝2+2+3＝7．故△ABC的周長為：7．17．解：第一圖的陰影部分面積為：a2﹣b2，第二圖陰影部分的面積為：（a+b）（a﹣b），重要的結(jié)論a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故答案為：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；活動內(nèi)容：（1）由圖象可知，，∴a2+b2+2ab﹣2ab＝c2，∴a2+b2＝c2；（2）∵b﹣a＝，∴，∴，∵a2+b2＝c2，c2＝，∴，解得ab＝3，∵（a+b）2＝a2+b2+2ab，∴，∴a+b＝，∴．18．解：（1）根據(jù)題意得，a2+2ab+b2＝（a+b）2，故答案為：a2+2ab+b2＝（a+b）2；（2）∵（2a+b）（a+2b）＝2a2+5ab+2b2，∴所需A、B兩種紙片各2張，C種紙片5張；（3）設(shè)AC＝a，BC＝CF＝b則a+b＝6，∵S1+S2＝20，∴a2+b2＝20，∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，∴a2+b2＝（a