數學建模案例分析

數學建模之——

數學建模案例分析重慶郵電大學楊春德教授案例一：離散概率模型

問題：

一個電子器件工廠生產一種二極管。質量控制工程師負責保證在產品出廠前檢測出次品的二極管。估計這個廠生產的二極管有0.3％是次品?？梢詫γ總€二極管逐個進行檢驗，也可以把若干二極管串聯起來成組進行檢驗。如果檢驗通不過，也就是說其中有一個或幾個二極管是次品。已知檢驗一個單個的二極管的花費是5分錢，檢驗一組n>1個二極管的花費是4+n分錢。如果成組檢驗沒有通過，則這一組的每一個二極管必須逐個重新檢驗以便于找出這些次品。要求尋求檢測次品二極管的質量控制的步驟使得用于檢驗的花費最少。

變量n是決策變量，同時隨便選取n＝1,2,3,…，變量C是我們所選擇的質量控制步驟的隨機的結果。C是一個隨機變量。然而量A不是隨機的。它表示隨機變量C／n的平均或期望值。顯然如果n＝1，則A=5分，否則(n>1)，當分組檢驗結果全部二極管都是好的，則C=4+n，當檢驗結果有次晶，則C＝(4+n)+5n，A＝(C的平均值)／n。其目標就是求n的數值，使A最小。1、符號假設2、問題的分析

n：每個檢驗組內二極管的數目；C：一組元件的檢驗費用(分)；A：平均檢驗費用(分／二極管)。

考慮隨機一個變量X，它可以取一個離散數值集合中的任何一個數值

對于我們的問題，任何的n>1，隨機變量C

取兩個可能數值中的一個：如果所有的二極管都是好的，則C＝4+n否則C＝(4+n)+5n3、建模

因為我們必須重新檢驗每一個二極管。用p表示所有的二極管都是正品的概率，剩下的可能性(有一個或更多的次品二極管)一定有概率1-p。則C的平均或期望值是于是模型為：隨機變量C的期望值是

4、模型求解

由強大數定律可知，如果一直使用每組有n個二極管的分組檢驗的方法，這個公式提供了平均的檢驗費用，這時我們需要作為n的函數來極小化A。每一個二極管的平均檢驗費用為令

則5、結果分析對于檢驗次品二極管的質量控制步驟可以使用分組檢驗的方法做得非常經濟．逐個檢驗的花費是5分/個。次品的二極管出現得很少，每一千中只有三個。使用每一組17個二極管串聯起來分組化驗，在不影響質量的前提下可以將檢驗的費用降低到三分之一(1.5分/二極管)。質量控制步驟的實行將依賴于若干模型范圍之外的因素。也許由于我們操作的特殊性對于10個或20個一批的二極管或者n是4或5的倍數時檢驗起來更容易。好在對于我們的問題來說，在n=10和n=35之間時檢驗的平均花費A沒有明顯的變化。在操作過程中的次品率q＝o.003同樣也是必須考慮的。例如，這個數值可能會隨著工廠內的環(huán)境條件而發(fā)生變化。將我們上面的模型推廣，我們有

在n＝17時我們有靈敏度：于是，q的微小的改變很可能不會導致檢驗費用大的變化。更一般的穩(wěn)健性分析要考慮獨立性的假設。我們這里必需要假設在操作過程中接連出現次品的次數之間是無關的。事實上，有可能由于生產環(huán)境中的一些異常的原因，如工作臺的顫動或電壓變化的沖擊，使得次品的二極管趨向于出現在一些批次中。這時，獨立隨機變量模型的數學分析就不能完全處理這個問題。問題

案例二：連續(xù)概率模型

1、符號說明

3.

建模2.

問題的分析其密度函數是

指數分布的一個非常重要的性質是“無記憶性”。對于任何的t>０和ｓ>0，我們有換句話說，對于下一次到達現象發(fā)生這件事情來說，我們已經等待的s單位的時間并不影響直到下一次到達現象發(fā)生的時間的(條件)分布。指數分布會“忘記”我們已經等待了多長的時間。我們假設放射性衰變以一個未知的速率久。令

4.模型求解

以概率1成立

數學模型的建立與建模目的密切相關幾類常見建模目的:

1.

描述或解釋現實世界的各類現象(常采用機理分析的方法,探索研究對象的內在規(guī)律性)；（二）、建立數學模型

2.

預測感興趣的事件是否會發(fā)生,或者事物的發(fā)展趨勢(常采用數理統(tǒng)計或模擬的方法)；3.

優(yōu)化管理、決策或者控制(事物需合理地定義可量化的評價指標及評價方法)

5、結果分析

案例三：公共地的悲劇

問題：

有一個關于牧民與草地的故事，說的是當村莊的草地向村民完全開放時，每一個村民都想多養(yǎng)一頭牛，因為多養(yǎng)一頭牛增加的收益大于其購養(yǎng)成本，是有利潤的。盡管因為平均草量下降，增加一頭?？赡苁拐麄€草地的牛的單位收益下降。試問村民應該如何養(yǎng)羊才能使收益最大呢？1、假設與符號說明2、問題分析村民可以從增加的羊只上獲得所有的利益負面：草地的承載力因為額外增加的羊只有所耗損。然而，關鍵性在于這兩者的代價并非平等：村民獲得所有的利益，但是資源的虧損卻是轉嫁到所有村民的身上。因此，就理性觀點考量，每一位村民勢必會衡量如此的效用，進而增加一頭頭的羊只。但是當所有的村民皆做出如此的結論，并且無限制的放牧時，草地負載力的耗損將是必然的后果。于是每一個個體依照理性反應所做出的決定將會相同，畢竟獲得的利益將永遠大于利益的耗損。盡管因為平均草量下降，增加一頭?？赡苁拐麄€草地的牛的單位收益下降。但對于單個村民來說，他增加一頭牛是有利的。可是如果所有的村民都看到這一點，都增加一頭牛，那么草地將被過度放牧，從而不能滿足牛的需要，導致所有牧民的牛都餓死。這個故事就是公共資源的悲劇。3、建模與求解也就是再把上式全部相加，并除以n，可得從全村放養(yǎng)總量G的最優(yōu)選擇考慮，則應最大化全村養(yǎng)羊的總收益，即它的一價微分條件為4、結果分析和全村最優(yōu)條件相比，納什均衡時放養(yǎng)的羊的總量太多了，全村的草地被過度使用，這就是公共地的悲劇?，F在，對一些沒有排他性使用權的資源和環(huán)境，群體（某些個人。某些地區(qū)、某些國家）對資源和環(huán)境使用的均衡結果遠遠超過全社會總體的最優(yōu)使用的結果，從而導致的“公共地的悲劇”形象的發(fā)生。

案例四：最后要價仲裁問題1、假設與符號說明2、問題分析3、建模與求解由此，就可以用期望工資水平

的解。由上述方程組可得

上式表明，雙方要價的平均值一定等于仲裁人偏好方案的中值。將上式代入式前方程組中任何一個方程，可得

上式表示雙方要價之差等于仲裁人偏好方案中值點概率密度的倒數。設若仲裁人的偏好方案服從均值為m，方差為б2的正