2022衡水中學(xué)政治內(nèi)部學(xué)習(xí)資料專題02 平面向量（新高考地區(qū)專用）（解析版）

專題02平面向量技巧導(dǎo)圖技巧導(dǎo)圖技巧詳講技巧詳講一：奔馳定理1：奔馳定理內(nèi)容---三角形的面積比等于其所對(duì)應(yīng)的系數(shù)比已知是內(nèi)的一點(diǎn)，的面積分別為，，，求證：2.推導(dǎo)過程證明方法一：如圖延長與邊相交于點(diǎn)則推論是內(nèi)的一點(diǎn)，且，則二.極化恒等式2.推導(dǎo)過程：三角形的四心1.推論重心：中線的交點(diǎn)，①是的重心②中線長度分成2：1③=內(nèi)心：角平分線的交點(diǎn)（內(nèi)切圓的圓心），角平分線上的任意點(diǎn)到角兩邊的距離相等①是的內(nèi)心②外心：①是的外心②垂心：高線的交點(diǎn)，高線與對(duì)應(yīng)邊垂直①是的垂心:證明：如圖為三角形的垂心，同理得，②由，得，即，所以．同理可證，．技巧舉證技巧舉證技巧1奔馳定理【例1】是內(nèi)一點(diǎn)，滿足，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】技巧法：公共點(diǎn)P，三角形ABC，則常規(guī)法：是內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，．延長到，使得，延長到，使得，連結(jié)、、，則．是的重心，設(shè)，則，，，，．故選：．技巧法注意事項(xiàng)技巧法注意事項(xiàng)條件一般是3個(gè)同起點(diǎn)的向量相加減且等于零向量，若系數(shù)有正有負(fù)則公共點(diǎn)在三角形外，系數(shù)都為正則公共點(diǎn)在三角形內(nèi)三角形所對(duì)應(yīng)的向量的找法圖像法：三角形頂上的向量頂點(diǎn)法：公共點(diǎn)即起點(diǎn)，剩余3點(diǎn)構(gòu)成三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的向量兩個(gè)點(diǎn)其中一個(gè)點(diǎn)為公共點(diǎn)，另外一點(diǎn)則是三角形的頂點(diǎn)?！九e一反三】1.已知所在平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足，則與的面積的比值為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】技巧法,所以,即公共點(diǎn)為P，三角形ABC，則所對(duì)應(yīng)的向量，其系數(shù)為2，為整個(gè)三角形，其所對(duì)應(yīng)的系數(shù)為三個(gè)向量的系數(shù),6，所以面積比為常規(guī)法：如圖所示,,所以,即,所以,設(shè)和的中點(diǎn)分別為,則由可得,即,即點(diǎn)是的中位線上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn),所以,故選:C2.（廣東省深圳外國語學(xué)校2020）點(diǎn)是所在平面上一點(diǎn)，若，則與的面積之比是（）A．3 B．2 C． D．【答案】D【解析】技巧法：公共點(diǎn)為A，三角形為PCB，則與對(duì)應(yīng)的向量為，則與的面積之比為常規(guī)法：點(diǎn)是所在平面上一點(diǎn)，過作，如下圖所示：由，故，所以與的面積之比為，故選：D．3.（天津市紅橋區(qū)2019）已知點(diǎn)O是內(nèi)一點(diǎn)，滿足，，則實(shí)數(shù)m為（）A．2 B．-2 C．4 D．-4【答案】D【解析】技巧法：，常規(guī)法：由得：設(shè)，則三點(diǎn)共線如下圖所示：與反向共線本題正確選項(xiàng)：技巧2三角形的四心【例2-1】點(diǎn)O是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，滿足，則點(diǎn)O是的__________心．【答案】垂【解析】，即同理可得：，點(diǎn)為的垂心本題正確結(jié)果：垂【例2-2】（黑龍江省哈爾濱市哈爾濱師范大學(xué)附屬中學(xué)）在中，設(shè)，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡必通過的（）A．垂心 B．內(nèi)心 C．重心 D．外心【答案】D【解析】設(shè)為中點(diǎn)，則為的垂直平分線軌跡必過的外心本題正確選項(xiàng)：【舉一反三】1.（河北省保定市）過內(nèi)一點(diǎn)任作一條直線，再分別過頂點(diǎn)作的垂線，垂足分別為，若恒成立，則點(diǎn)是的（）A．垂心 B．重心 C．外心 D．內(nèi)心【答案】B【解析】本題采用特殊位置法較為簡單.因?yàn)檫^內(nèi)一點(diǎn)任作一條直線，可將此直線特殊為過點(diǎn)A，則，有.如圖：則有直線AM經(jīng)過BC的中點(diǎn)，同理可得直線BM經(jīng)過AC的中點(diǎn)，直線CM經(jīng)過AB的中點(diǎn)，所以點(diǎn)是的重心，故選B.2．（遼寧朝陽柳城高中）設(shè)點(diǎn)P是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，，則點(diǎn)P是△ABCA．內(nèi)心 B．外心 C．重心 D．垂心【答案】D【解析】由于點(diǎn)P是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，，同理可知,則說明點(diǎn)P是三角形ACB的垂心，故選D.3．設(shè)點(diǎn)O是三角形ABC所在平面上一點(diǎn)，若，則點(diǎn)O是三角形ABC的________心．【答案】外心【解析】由可得點(diǎn)到三角形各頂點(diǎn)的距離相等，所以點(diǎn)是三角形的外心故答案為外心.4．設(shè)是平面內(nèi)一定點(diǎn)，為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，若，則為的（）A．內(nèi)心 B．外心 C．重心 D．垂心【答案】B【解析】若可得，即為即有，則，故O為的外心，故選B.技巧3極化恒等式【例3】（1）（2020福建省南平市）在中，若，邊上中線長為3，則（）A．-7 B．7 C．-28 D．28（2）（2020屆河南省八市重點(diǎn)高中聯(lián)盟領(lǐng)軍）在中，，點(diǎn)在上，且，若，則的值是（）A． B． C． D．【答案】（1）A（2）A【解析】（1）在中，設(shè)的中點(diǎn)為，則.由題意知：.則故選A.（2）如圖，設(shè)的中點(diǎn)為.因?yàn)?因?yàn)?，所?又因?yàn)?，所以，，所?故選：A.【舉一反三】1.（2018?天津）如圖，在平面四邊形中，，，，．若點(diǎn)為邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為A． B． C． D．3【答案】A【解析】如圖所示，以為原點(diǎn)，以所在的直線為軸，以所在的直線為軸，過點(diǎn)做軸，過點(diǎn)做軸，，，，，，，，，，，，，，，設(shè)，，，，，，當(dāng)時(shí)，取得最小值為．故選：．2.（2017年新課標(biāo)2）已知是邊長為4的等邊三角形，為平面內(nèi)一點(diǎn)，則的最小值是A． B． C． D．【答案】D【解析】則A（0，2），B（﹣2，0），C（2，0），設(shè)P（x，y），則=（﹣x，2﹣y），=（﹣2﹣x，﹣y），=（2﹣x，﹣y），所以?（+）=﹣x?（﹣2x）+（2﹣y）?（﹣2y）=2x2﹣4y+2y2=2[x2+（y﹣）2﹣3]；所以當(dāng)x=0，y=時(shí)，?（+）取得最小值為2×（﹣3）=﹣6．故選D．3．（2020屆湖北省武漢市）已知等邊△ABC內(nèi)接于圓：x2+y2=1，且P是圓τ上一點(diǎn)，則的最大值是（）A． B．1 C． D．2【答案】D【解析】如圖所示建立直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)，則.當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.故選：.技巧強(qiáng)化技巧強(qiáng)化1．（2020上海市控江中學(xué)）點(diǎn)在△內(nèi)部，且滿足，則△的面積與△、△面積之和的比為________【答案】【解析】技巧法：由奔馳定理可得常規(guī)法：作，則，，.以為鄰邊作平行四邊形，連接，交于，如圖所示：，.根據(jù)與相似得：，；，，，，的面積與、面積之和的比為．故答案為：．2．已知點(diǎn)P在△ABC所在的平面內(nèi)，若2＋3＋4＝3，則△PAB與△PBC的面積的比值為__________．【答案】【解析】由2＋3＋4＝3，得2＋4＝3＋3，∴2＋4＝3，即4＝5.∴3．（2020屆山西省太原市第五中學(xué)校）設(shè)點(diǎn)在的外部，且，則?！敬鸢浮?:1【解析】技巧法：有奔馳定理可得3:1常規(guī)法：連接并延長至，滿足，連接并延長至，滿足，連接并延長至，滿足，如圖所示.所以可得，，.因?yàn)椋?，即為的重心，所以可得，因?yàn)?，所以而所以，同理，，所以，所?4．(2020·哈爾濱三模)已知O為正三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，若△OAB的面積與△OAC的面積比值為3，則λ的值為?！敬鸢浮俊窘馕觥吭O(shè)AC、BC邊的中點(diǎn)為E、F，則由，得∴點(diǎn)O在中位線EF上．∵△OAB的面積與△OAC的面積比值為3，∴點(diǎn)O為EF上靠近E的三等分點(diǎn)，∴λ＝.5．（2020屆海南省全國大聯(lián)考）設(shè)點(diǎn)是的重心，且滿足，則?！敬鸢浮俊窘馕觥恳?yàn)辄c(diǎn)是的重心,所以,因?yàn)?由正弦定理可得,所以,即,故,則,則由余弦定理可得.6．若在△中,，其外接圓圓心滿足，則__________.【答案】【解析】由，得為△的重心，又為外接圓圓心，所以可得△為等邊三角形，故.7．已知是銳角的外心，．若，則實(shí)數(shù)______．【答案】【解析】設(shè)外接圓的半徑為，∵，∴，∵，，∴，即，即，故，故，故，故答案為：．8．（2020湖北省重點(diǎn)高中聯(lián)考協(xié)作）已知是平面上一定點(diǎn)，滿足，，，則的軌跡一定通過的（外心 、垂心、重心、內(nèi)心）【答案】B【解析】技巧法：由四心可知為垂心常規(guī)法：，，即，，，，∴與垂直，即，點(diǎn)P在BC的高線上，即P的軌跡過的垂心.故選：B．9．已知O，N，P在所在平面內(nèi)，且，，且，則點(diǎn)O，N，P依次是的（填三角形的四心）【答案】外心重心垂心【解析】由題：，所以O(shè)是外接圓的圓心，取中點(diǎn)，，，即所在直線經(jīng)過中點(diǎn)，與中線共線，同理可得分別與邊的中線共線，即N是三角形三條中線交點(diǎn)，即重心，，，，，即，同理可得，即P是三角形的垂心.10．（2020河南省八市重點(diǎn)高中聯(lián)盟）已知是半徑為1的圓的一條直徑，點(diǎn)是圓上一動(dòng)點(diǎn)，則的最大值等于?！敬鸢浮?【解析】，當(dāng)為圓直徑時(shí)取等號(hào)，11．（2020屆江蘇省無錫市）正方形的邊長為2，圓內(nèi)切于正方形，為圓的一條動(dòng)直徑，點(diǎn)為正方形邊界上任一點(diǎn)，則的取值范圍是______.【答案】【解析】由題可得：，故答案為：12．（2020屆江蘇省蘇州市張家港市）已知正方形的邊長為4，是的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在正方形的內(nèi)部或其邊界移動(dòng)，并且滿足，則的最小值是______．【答案】【解析】如圖所示，由，則.

動(dòng)點(diǎn)在以為直徑的半圓上，取的中點(diǎn).所以又動(dòng)點(diǎn)在以為直徑的半圓上，設(shè)圓心為，半徑為1.所以的最小值為.所以．故答案為：13．（2020屆江蘇省沭陽縣）如圖所示，在中，，則的最小值是__________【答案】【解析】.設(shè),易得.故,因?yàn)?.故當(dāng)且僅當(dāng)反向時(shí)取得最小值,為.故答案為：14．（