牛頓萊布尼茨公式

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實用標準文案教學過程1、復習舊知識，引入課題1）復習：定積分的概念及幾何意義原函數(shù)的概念導數(shù)的定義2）課題引入：從上節(jié)的例題和習題中可以看到利用定積分的定義計算定積分的值是十分繁瑣且易出錯的，有時甚至無法計算。下面將通過對定積分與原函數(shù)關系的討論，到出一種計算定積分的簡便有效的方法—牛頓-萊布尼茨公式。2、講解新課2.1 定積分與不定積分的聯(lián)系若質點以速度v v(t)作變速直線運動，由定積分的定義，質點從時刻a到b所經過的路程為sbv(t)dt。a另一方面，質點從某時刻a到時刻b經過的路程記為s(b)s(a)，則s'(t)v(t)，于是bv(t)dts(b)s(a)sa注意到路程函數(shù) s(t)是速度函數(shù)v(t)的原函數(shù)，因此把定積分與不定積分聯(lián)系起來了，這就是下面要介紹的牛頓 -萊布尼茨公式。2.2牛頓-萊布尼茨公式定理：若函數(shù) f(x)在a,b上連續(xù)，且存在原函數(shù) Fx,文檔大全??????????裝?????????訂?????????線??????????

實用標準文案即F'(x)f(x)，xa,b，則f(x)在a,b上可積，且b（1）f(x)dxFbFaa則上式稱為牛頓-萊布尼茨公式，也稱為微積分基本公式，它也常寫成b bf(x)d(x)F(x)a證明：由定積分定義，任給 0，要證明存在 0，當T 時，有nf i xi Fb Fai 1下面證明滿足如此要求的 確實是存在的。事實上，對于a,b的任一分割T a x0,x1, ,xn b，在每個小區(qū)間xi1,xi 上對Fx使用拉格朗日中值定理，則分別存在i xi1,xi,i 1,2, ,n，使得n nFb Fa Fxi Fxi1 F' i xi（2）i1 i 1因為f(x)在a,b上連續(xù)，從而一致連續(xù)，所以對上述0，存在0，當x',x''a,b且x'x''時有f(x')fx''ba于是，當xiT時，任取ixi1,xi便有i i ，這就證得nf i xi Fb Fai 1文檔大全??????????裝?????????訂?????????線??????????

實用標準文案nf i f i xi1nfifixii1nbai1xi所以f(x)在a,b上可積，且有公式（1）成立。公式使用說明：bxdx時，f(x)的原函數(shù)必須是初（1）在應用公式求fab等函數(shù)，否則使用公式求fxdx失效。即f(x)的原函a數(shù)Fx可由 fxdx求出。2）定理的條件還可以適當減弱，如：1）對Fx的要求可減弱為：在a,b上連續(xù)，在a,b內可導，且F'(x) f(x)，不影響定理的證明。）對f(x)的要求可減弱為：在a,b上可積（不一定連續(xù)），這時公式（2）仍成立。2.3 例題講解例1利用牛頓-萊布尼茨公式計算下列定積分bxndx（n為正整數(shù)）（1）abexdx（2）abdx0ab（3）x2a（4）sinxdx0文檔大全??????????裝?????????訂?????????線??????????

實用標準文案2（5） x 4 x2dx0解：其中（1）—（3）即為上節(jié)的例題和習題，現(xiàn)在用牛頓-萊布尼茨公式來計算就十分方便了。bxndxxn1b1bn1an1（1）an1an1bexdxxbeba（2）eaeabdx1b11（3）x2xaaba（4）sinxdxcosx020（5）先用不定積分法求出fxx4x2的任一原函數(shù)，然后完成定積分計算：2dx14x2d4x214x23x4x23C2212283x4xdx34x300例2利用定積分求極限：lim111Jn1n22nn解：把極限式化為某個積分和的極限式， 并轉化為計算定積分。為此作如下變形：n11Jliminni11n不難看出，其中的和式是函數(shù)fx1在區(qū)間0,1上的x1一個積分和（這里所取得是等分分割，文檔大全??????????裝?????????訂?????????線??????????

實用標準文案xi1,iii1,i,i1,2,,n），所以nnnn111dxln1xln2Jx010當然，也可把J看作fx1在1,2上定積分，同樣有211x3ln2Jdxdx1x2x1注意：這類問題的解題思想，是要把所求的極限轉化為某個函數(shù)fx在某一區(qū)間 a,b上的積分和的極限，然后利用牛頓-萊布尼茨公式計算Jbfxdx的值。a3、課堂小結微積分基本公式：若函數(shù)f(x)在a,b上連續(xù)，且存在原函數(shù)Fx,即F'(x)f(x)，xa,b，則f(x)在a,b上可積，且bFaf(x)dxFba4、課后作業(yè)習題4-3文檔大全實用標準文案文檔大全實用標準文案??????????裝?????????訂?????????線????文檔大全???實用標準文案???文檔大全????實用標準文案?? 文檔大全????實用標準文案??????????裝??????文檔大全??訂實用標準文案?山西水利職業(yè)技術學院教案紙?文檔大全????實用標準文案?山西水利職業(yè)技術學院教案紙?文檔大全