統(tǒng)計學第5章概率與概率分布

NankaiUniversity1第五章概率與概率分布Contents概率及其運算法則1隨機變量的概念2離散型隨機變量的概率分布3NankaiUniversity24連續(xù)型隨機變量的概率分布1.概率及其運算法則NankaiUniversity3事件的概率概率的統(tǒng)計定義概率的運算法則事件的概率任何試驗中出現(xiàn)的事件都有三種情形：必然事件：在每次試驗中一定出現(xiàn)的事件，記作Ω；不可能事件：在任何一次試驗中都不出現(xiàn)的事件，記作Φ；隨機事件：在每次試驗中既可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的事件。事件A在試驗中出現(xiàn)可能性大小的數(shù)值度量，稱作事件A的概率，用P(A)表示。概率的性質：對任一隨機事件A，有0≤P(A)≤1.必然事件的概率為1，P(Ω)=1；不可能事件的概率為0，P(Φ)=0.若A與B互斥，則NankaiUniversity4概率的統(tǒng)計定義在相同條件下隨機試驗n次，某事件A出現(xiàn)m次(m≤n)，則比值m/n稱為事件A發(fā)生的頻率。隨著n的增大，該頻率圍繞某一常數(shù)p上下波動，且波動的幅度逐漸減小，趨于穩(wěn)定，這個頻率的穩(wěn)定值即為該事件的概率，記為P(A)=m/n=pNankaiUniversity5概率的運算法則加法原則法則1：兩個互斥事件之和的概率，等于兩個事件概率之和。設A和B是兩個互斥事件，則法則2：對于任意兩個隨機事件，它們和的概率為兩個事件分別的概率之和減去兩事件之交的概率，即NankaiUniversity6ABAB乘法法則對于任意兩個隨機事件，同時發(fā)生事件A和事件B的概率若A、B事件互相獨立，則同時發(fā)生事件A和事件B的概率

上式還可推廣到多個事件相互獨立的情形。NankaiUniversity7統(tǒng)計應用如果要求一個打火機的可靠性達到90%，而它是由10個零件組成的，那么每個零件的可靠性應該達到多少？一架波音737客機上有300多萬個零部件，如果用可靠性99.99%的零部件去組裝它，這樣的飛機你敢坐嗎？某生產線由三道工序組成，假定三道工序彼此獨立，已知三道工序的合格率分別為：98%，90%和95%，若三道工序后的檢驗工序可以檢查出所有的缺陷，問整條線的合格率是多少？NankaiUniversity82.隨機變量的概念NankaiUniversity9隨機變量的定義隨機變量的分類

隨機變量的定義在同一組條件下，如果每次試驗可能出現(xiàn)這樣或那樣的結果，并且把所有的結果都能列舉出來，即把X的所有可能值x1,x2,…，xn都能列舉出來，而且X的所有可能值具有確定概率P(x1),P(x2),…,P(xn)，其中P(xi)=P(X=xi)稱為概率函數(shù)，則X稱為P(X)的隨機變量，P(X)稱為X的概率函數(shù)。NankaiUniversity10隨機變量的分類按照隨機變量的特性，通?？砂央S機變量分為兩類，即離散型（discrete）隨機變量和連續(xù)型（continuous）隨機變量。離散型隨機變量：如果隨機變量X的所有取值都可以逐個列舉出來，則稱X為離散型隨機變量。連續(xù)型隨機變量：如果隨機變量X的所有取值不可以逐個列舉出來，而是取數(shù)軸上一區(qū)間內的任一點，則稱該隨機變量為連續(xù)型隨機變量。NankaiUniversity113.離散型隨機變量的概率分布NankaiUniversity120—1分布二項分布超幾何分布泊松分布0—1分布設離散型隨機變量X只可能取0和1兩個值，它的概率分布為P(X=1)=p,P(X=0)=1-p=q，其中p,q>0為常量，p+q=1，則稱X服從0—1分布。0—1分布也可寫成下表形式0—1分布是經常遇到的一種分布。如對新生嬰兒的性別登記，檢查產品質量是否合格，某種實驗是否成功，電力消耗是否超過負荷等，都可以用0—1分布的離散型隨機變量來描述。NankaiUniversity13X10P(x)pq二項分布問題：若供應商提供一批產品，已知不良率為p，從中有放回的隨機抽取n次，問恰好有d個不良品的概率？NankaiUniversity14二項分布的條件：實驗次數(shù)固定，包含了n個相同的實驗每次實驗相互獨立每次實驗結果只有兩個（如好與壞，通過與不通過，正面與反面）每次實驗概率保持不變15超幾何分布問題：若有一批產品，批量N=10000件，已知其中有不良品D=500件；若從中無放回的隨機抽取n=100件，問其中有d=3件不良品的概率是多少？NankaiUniversity16設一批產品共N件，其中D件次品，從中任取n件(n≤N)，則此n件產品中的次品數(shù)x是一個離散型隨機變量，其分布律為期望和方差超幾何分布在抽樣檢驗中具有重要作用。17泊松分布問題：若根據(jù)大量抽樣測得某產品的單位缺陷等于1，今從大量的該產品中抽取一件，問該產品沒有缺陷的概率為多少？NankaiUniversity18泊松分布是用來描述在一指定時間范圍內或在指定的面積或體積之內某一事件出現(xiàn)的次數(shù)的分布。下面是一些典型的服從泊松分布的隨機變量的例子：在某企業(yè)中每月發(fā)生的事故的次數(shù)單位時間內到達某一服務柜臺需要服務的顧客人數(shù)某種儀器每月出現(xiàn)故障的次數(shù)泊松分布的公式為泊松分布的期望為泊松分布的方差為NankaiUniversity194.連續(xù)型隨機變量的概率分布NankaiUniversity20均勻分布正態(tài)分布概率密度與分布函數(shù)當用函數(shù)f(x)來表示連續(xù)型隨機變量時，我們將f(x)稱為概率密度函數(shù)。概率密度函數(shù)滿足以下兩個條件：f(x)≥0

需要指出的是，f(x)并不是一個概率，即f(x)≠P(X=x)，f(x)稱為概率密度函數(shù)，而P(X=x)在連續(xù)分布的條件下為零。在連續(xù)分布的情況下以曲線下面的面積表示概率，如隨機變量X在a與b之間的概率可以寫成NankaiUniversity21連續(xù)性隨機變量的概率也可以用分布函數(shù)F(x)來表示，分布函數(shù)定義為因此P(a<X<b)也可以寫成NankaiUniversity22均勻分布若連續(xù)型隨機變量X在有限區(qū)間（a，b）內取值，其概率密度為則稱連續(xù)型隨機變量X為均勻分布。NankaiUniversity23正態(tài)分布(Normaldistribution)如果隨機變量X的概率密度為

則稱X服從正態(tài)分布，記作

f(x)≥0，即整個概率密度曲線都在x軸的上方；曲線f(x)相對于x=μ對稱，并在x=μ處達到最大值曲線的陡峭程度由σ決定，σ越大，曲線越平緩；σ越小，曲線越陡峭；當x趨于無窮時，曲線以x軸為其漸近線。NankaiUniversity24特點：鐘型對稱雙側尾部無限趨近于0具有兩個參數(shù)：μ和σNankaiUniversity25標準正態(tài)分布(StandardNormaldistribution)標準正態(tài)分布的概率密度函數(shù)是

記作隨機變量X服從均值為0，標準差為1的正態(tài)分布標準正態(tài)分布的分布函數(shù)為NankaiUniversity26查標準正態(tài)分布表對于負的x值，可由得到。標準正態(tài)分布的重要性在于，任何一個一般的正態(tài)分布都可以通過線性變換轉化為標準正態(tài)分布。設，則NankaiUni