應(yīng)用數(shù)值分析第一章

青島科技大學(xué)數(shù)學(xué)系應(yīng)用數(shù)值分析

Applied

NumericalAnalysis教材

《應(yīng)用數(shù)值分析》王明輝等編，化學(xué)工業(yè)出版社參考書目

NumericalAnalysis(SeventhEdition)

數(shù)值分析（第七版影印版）

RichardL.Burden&J.DouglasFaires（高等教育出版社）有關(guān)新課程的說(shuō)明一．有關(guān)課程本身的幾個(gè)問(wèn)題；二．有關(guān)教學(xué)過(guò)程的一些想法。一．有關(guān)課程本身的幾個(gè)問(wèn)題：

１．開設(shè)本課程的目的：使學(xué)員學(xué)習(xí)與掌握數(shù)值分析基本理論與方法,建立起科學(xué)計(jì)算的良好數(shù)學(xué)基礎(chǔ)為后續(xù)課程作準(zhǔn)備，培養(yǎng)和增強(qiáng)學(xué)員用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的習(xí)慣和本領(lǐng)，使學(xué)員具備一定的分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。２．本課程在數(shù)學(xué)中的位置：它在數(shù)學(xué)眾多分支中，屬于計(jì)算數(shù)學(xué)。３．本課程與已學(xué)課程的聯(lián)系：與高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)最緊密。二．教師有關(guān)教學(xué)過(guò)程的一些想法：

教學(xué)過(guò)程是師生間的一種雙邊活動(dòng)，它是一種特殊的認(rèn)識(shí)過(guò)程（所討論的知識(shí)對(duì)教師而言是已知的,而對(duì)學(xué)員來(lái)說(shuō)是未知的）。在這過(guò)程中，我的想法是：

１．在討論數(shù)值分析基本理論與方法的過(guò)程中,學(xué)員要向會(huì)學(xué)習(xí)、會(huì)思考、會(huì)研究、會(huì)創(chuàng)造、會(huì)應(yīng)用的目標(biāo)靠攏。

２．在教學(xué)活動(dòng)中，講授的重點(diǎn)在思路、方法與培養(yǎng)能力上。

３．希望學(xué)員能以積極、主動(dòng)的姿態(tài)參與到教學(xué)活動(dòng)中,將教學(xué)過(guò)程變成研究、創(chuàng)造與培養(yǎng)能力的過(guò)程。

４．不要迷信書本與教師，要敢于懷疑，敢于研究，敢于創(chuàng)造。課程特點(diǎn)及學(xué)習(xí)要求具有較強(qiáng)的自學(xué)能力和一定的應(yīng)用實(shí)踐能力考核——平時(shí)(30%)和期末筆試(70%)

平時(shí)：點(diǎn)名和作業(yè)，少一次扣3分，上限30分理論性強(qiáng)、實(shí)踐性與理論并重、內(nèi)容廣、系統(tǒng)化和綜合性、涉及到多方面知識(shí)教學(xué)方式：課堂講授與上機(jī)實(shí)習(xí);學(xué)習(xí)方法：預(yù)習(xí)、聽課、練習(xí)、思考、總結(jié)。

提問(wèn)：數(shù)值分析是做什么用的？數(shù)學(xué)建模

構(gòu)造算法程序設(shè)計(jì)上機(jī)計(jì)算求出結(jié)果實(shí)際問(wèn)題近似解

數(shù)值分析計(jì)算機(jī)輸入復(fù)雜問(wèn)題或運(yùn)算第一章科學(xué)計(jì)算簡(jiǎn)介Therearethreegreatbranchesofscience:theory,experimentandcomputation.Thefundamentallawofcomputerscience:Asmachinesbecomemorepowerful,theefficiencyofalgorithmsgrowsmoreimportant,notless.—L.N.Trefethen一、研究對(duì)象數(shù)值分析（NumericalAnalysis），也稱數(shù)值方法、計(jì)算方法或計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)，是計(jì)算數(shù)學(xué)的一個(gè)主要部分，計(jì)算數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)科學(xué)的一個(gè)分支，它研究用計(jì)算機(jī)求解各種數(shù)學(xué)問(wèn)題的數(shù)值計(jì)算方法及其理論與軟件實(shí)現(xiàn)，是用公式表示數(shù)學(xué)問(wèn)題以便可以利用算術(shù)和邏輯運(yùn)算解決這些問(wèn)題的技術(shù)。二、學(xué)科特點(diǎn)

算法能在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)，并有好的計(jì)算復(fù)雜性；

面向計(jì)算機(jī)，提供切實(shí)可行的有效算法；

有可靠理論，對(duì)算法進(jìn)行誤差分析，并能達(dá)到精度要求；

通過(guò)數(shù)值實(shí)驗(yàn)

證明算法行之有效；§1數(shù)值分析簡(jiǎn)介三、學(xué)習(xí)理由1數(shù)值方法能夠極大地覆蓋所能解決的問(wèn)題類型；2學(xué)習(xí)數(shù)值分析可以讓用戶更加智慧地使用“封裝過(guò)的”軟件；3很多問(wèn)題不能直接用封裝的程序解決，如果熟悉數(shù)值方法并擅長(zhǎng)計(jì)算機(jī)編程的話，就可以自己設(shè)計(jì)程序解決問(wèn)題；4數(shù)值分析是學(xué)習(xí)使用計(jì)算機(jī)的有效載體，對(duì)于展示計(jì)算機(jī)的強(qiáng)大和不足是非常理想的；5數(shù)值分析提供了一個(gè)增強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)理解的平臺(tái).§2誤差一.來(lái)源與分類

從實(shí)際問(wèn)題中抽象出數(shù)學(xué)模型——模型誤差

通過(guò)測(cè)量得到模型中參數(shù)的值——觀測(cè)誤差

求(數(shù)學(xué)表達(dá)的)近似解——方法誤差(截?cái)嗾`差)

模型的準(zhǔn)確解與用數(shù)值方法求得的準(zhǔn)確解之差稱為“截?cái)嗾`差”。

機(jī)器字長(zhǎng)有限——舍入誤差簡(jiǎn)化…實(shí)際算法:有限、四則運(yùn)算化…（理論計(jì)算誤差）大家一起猜？11/e解：將作Taylor展開后再積分S4R4取則稱為截?cái)嗾`差|

舍入誤差

|=0.747……由截去部分引起由留下部分引起二、誤差的定義

絕對(duì)誤差其中x為精確值，x*為x的近似值。，例如：上常記為，稱為絕對(duì)誤差限，一般地，的上限記為

由于通常準(zhǔn)確值x是不知道的，所以誤差e*

的準(zhǔn)確值也不可能求出，但根據(jù)具體情況，可事先估計(jì)出誤差的范圍——誤差絕對(duì)值不能超過(guò)某個(gè)正數(shù)，我們把叫做誤差絕對(duì)值的“上界”，或稱“誤差限”?！堋堋芄こ套ⅲ篹*理論上講是唯一確定的，可能取正，也可能取負(fù)。e*>0時(shí)，x*稱為強(qiáng)近似值，e*<0時(shí)，x*稱為弱近似值e*>0不唯一，當(dāng)然e*越小越具有參考價(jià)值。x的相對(duì)誤差限常定義為注：從的定義可見，實(shí)際上被偷換成了，而后才考察其上限。那么這樣的偷換是否合法？嚴(yán)格的說(shuō)法是，與是否反映了同一數(shù)量級(jí)的誤差？關(guān)于此問(wèn)題的詳細(xì)討論可見教材p5。實(shí)際計(jì)算中，相對(duì)誤差通常取為：相對(duì)誤差三、有效數(shù)字

若近似值x*的誤差限是某一位的半個(gè)單位,該位到x*

的第一位非零數(shù)字共有n位,就說(shuō)x*有n位有效數(shù)字.例:問(wèn)：有幾位有效數(shù)字？請(qǐng)證明你的結(jié)論。43注：0.2300有4位有效數(shù)字，而0.0023只有2位有效數(shù)字。12300如果寫成0.123105，則表示只有3位有效數(shù)字。

數(shù)字末尾的0不可隨意省去！用科學(xué)計(jì)數(shù)法，記（其中）。若（即的截取按四舍五入規(guī)則），則有n位有效數(shù)字，精確到。注：關(guān)于有效數(shù)字有以下幾點(diǎn)說(shuō)明：1、用四舍五入法取準(zhǔn)確值的前n位作為近似值，則x*必有n位有效數(shù)字；2、有效數(shù)字位數(shù)相同的兩個(gè)近似數(shù)，絕對(duì)誤差限不一定相同；3、將任何數(shù)乘以10m(m為整數(shù))，等于移動(dòng)該數(shù)的小數(shù)點(diǎn)，并不影響它的有效數(shù)字的位數(shù)；4、準(zhǔn)確值被認(rèn)為具有無(wú)窮位有效數(shù)字.有效數(shù)字與相對(duì)誤差的關(guān)系

有效數(shù)字

相對(duì)誤差限已知x*有n位有效數(shù)字，則其相對(duì)誤差限為相對(duì)誤差限有效數(shù)字已知x*的相對(duì)誤差限可寫為則可見x*至少有n位有效數(shù)字。例：為使的相對(duì)誤差小于0.001%,至少應(yīng)取幾位有效數(shù)字？解：假設(shè)*取到n

位有效數(shù)字，則其相對(duì)誤差上限為要保證其相對(duì)誤差小于0.001%，只要保證其上限滿足已知a1=3，則從以上不等式可解得n>6log6，即n6，應(yīng)取*=3.14159?！?

誤差的傳播一、誤差估計(jì)特別地，由上式可得和、差、積、商之誤差及相對(duì)誤差公式注：函數(shù)值的絕對(duì)誤差等于函數(shù)的全微分，自變量的微分即為自變量的誤差；函數(shù)值的相對(duì)誤差等于函數(shù)的對(duì)數(shù)的全微分。例.)871.030.1(~005.00022.00005.030.1871.0sin005.030.1871.0cos)~(sincos49543.030.1871.0cos)871.030.1(~

22能有二位有效數(shù)字，所以而，由于，解：fuuxyyfxyxffu=<?′+′?-=??-=???==e二、病態(tài)問(wèn)題與條件數(shù)三、算法的數(shù)值穩(wěn)定性(NumericalStability)例：蝴蝶效應(yīng)

——青島的一只蝴蝶翅膀一拍，風(fēng)和日麗的紐約就刮起臺(tái)風(fēng)來(lái)了？！QFNY以上是一個(gè)病態(tài)問(wèn)題關(guān)于本身是病態(tài)的問(wèn)題，我們還是留給數(shù)學(xué)家去頭痛吧！例：計(jì)算

公式一:注意此公式精確成立記為則初始誤差????!!!發(fā)生了什麼?!考察第n步的誤差我們有責(zé)任改變。造成這種情況的是不穩(wěn)定的算法迅速積累,誤差呈遞增走勢(shì).可見初始的小擾動(dòng)

公式二:注意此公式與公式一在理論上等價(jià)。方法：先估計(jì)一個(gè)IN

,再反推要求的In(n<<N)。可取取

我們很幸運(yùn)！考察反推一步的誤差：以此類推，對(duì)n<N

有：誤差逐步遞減,這樣的算法稱為穩(wěn)定的算法。

在我們今后的討論中，誤差將不可回避，算法的穩(wěn)定性會(huì)是一個(gè)非常重要的話題?！?數(shù)值誤差控制1.避免相近二數(shù)相減例：a1=0.12345，a2=0.12346，各有5位有效數(shù)字。而a2

a1=0.00001，只剩下1位有效數(shù)字。

幾種經(jīng)驗(yàn)性避免方法：當(dāng)|x|<<1時(shí)：2.避免小分母:分母小會(huì)造成舍入誤差增大3.避免大數(shù)吃小數(shù)例：用單精度計(jì)算的根。精確解為算法1：利用求根公式在計(jì)算機(jī)內(nèi)，109存為0.11010，1存為0.1101。做加法時(shí)，兩加數(shù)的指數(shù)先向大指數(shù)對(duì)齊，再將浮點(diǎn)部分相加。即1的指數(shù)部分須變?yōu)?010，則：1=0.00000000011010，取單精度時(shí)就成為：109+1=0.100000001010+0.000000001010=0.100000001010大數(shù)吃小數(shù)

x3.81574

y0.0001==38157.4

x3.81574

y+y0.0001+0.00001==34688.5算法2：先解出再利用注：求和時(shí)從小到大相加，可使和的誤差減小。例：按從小到大、以及從大到小的順序分別計(jì)算1+2+3+…+40+1094.先化簡(jiǎn)再計(jì)算，減少步驟，避免誤差積累。再如秦九韶算法補(bǔ)充材料

20世紀(jì)十大算法在世紀(jì)之交，經(jīng)過(guò)科學(xué)家的評(píng)選和投票，20世紀(jì)的十大算法得到了國(guó)際學(xué)術(shù)界的公認(rèn)。現(xiàn)在按照時(shí)間順序列于下。本課程將討論其中一部分。Monte-Ca