固體物理習(xí)題解答

第一章習(xí)題1.1何謂布喇菲格子？試畫出NaCl晶體的結(jié)點(diǎn)所構(gòu)成的布喇菲格子。答：所謂布喇菲格子是指晶體由完全相同的原子組成，原子與晶格的格點(diǎn)相重合，而且每個(gè)格點(diǎn)周圍的情況都一樣。（Bravais格子）氯化鈉結(jié)構(gòu)：面心立方Na+布氏格子和面心立方Cl-的布氏格子套構(gòu)而成的復(fù)式格子。1.2為何金剛石結(jié)構(gòu)是復(fù)式格子？答：金剛石晶胞位于立方體體內(nèi)原子和立方體角或面心原子價(jià)鍵的取向各不相同，所以是復(fù)式格子這種復(fù)式格子實(shí)際上是兩個(gè)面心立方格子套構(gòu)而成的。1.3對(duì)于六角密堆積結(jié)構(gòu)，試證明：。底面原子及與體心原子之間均緊密接觸則紅線的長(zhǎng)度為c/2aac/2aa如果，則可認(rèn)為是由原子密排面所組成，但這些平面之間是疏松堆積的。1.4金屬Na在273K因馬氏體相變從體心立方轉(zhuǎn)變?yōu)榱敲芏逊e結(jié)構(gòu)，假定相變時(shí)金屬的密度維持不變，已知立方相的晶格常數(shù)ac

=0.423nm，設(shè)六角密堆積結(jié)構(gòu)相的c/a維持理想值，試求其晶格常數(shù)。

解：體心立方每個(gè)晶胞包含2個(gè)原子，一個(gè)原子所占的體積為單位體積內(nèi)原子數(shù)（即密度）為六角密堆積每個(gè)晶胞包含6個(gè)原子，一個(gè)原子所占的體積為即：因?yàn)槊芏炔蛔儯?.5如將等體積的剛球分別排成簡(jiǎn)立方、體心立方、面心立方、六角密積以及金剛石結(jié)構(gòu)，設(shè)x表示剛球體積與總體積之比，試針對(duì)不同的結(jié)構(gòu)求x

。解：理想晶體是由剛性原子球堆積而成，一個(gè)晶胞中剛性原子球占據(jù)的體積與晶胞體積的比值稱為晶體的致密度，即題中的x設(shè)n為一個(gè)晶胞中的剛性原子球數(shù)，r表示剛性原子球半徑，V表示晶胞體積，則致密度為(1)簡(jiǎn)單立方任意一個(gè)原子球有6個(gè)最近鄰，若原子以剛性球堆積，則有a晶胞內(nèi)包含一個(gè)原子，所以有：任意一個(gè)原子球有8個(gè)最近鄰，若原子以剛性球堆積，則體心原子與處在8個(gè)頂角位置處的原子球相切，因此，對(duì)角線長(zhǎng)度為(2)體心立方a晶胞體積為晶胞內(nèi)包含2個(gè)原子，所以有：(3)面心立方(4)六角密積a任意一個(gè)原子球有12個(gè)最近鄰，若原子以剛性球堆積，則面心原子與面角處4個(gè)原子球相切，因此，面對(duì)角線長(zhǎng)度為晶胞體積為晶胞內(nèi)包含4個(gè)原子，所以有：任意一個(gè)原子球有12個(gè)最近鄰，若原子以剛性球堆積，則面心原子與面上其它6個(gè)原子球相切，因此有晶胞體積由第1題知晶胞內(nèi)包含6個(gè)原子，所以有：(5)金剛石結(jié)構(gòu)任意一個(gè)原子球有4個(gè)最近鄰，若原子以剛性球堆積，則空間對(duì)角線四分之一處的原子與三個(gè)面上的面心原子球及頂角處原子球相切，因此有晶胞體積為晶胞內(nèi)包含8個(gè)原子，所以有：簡(jiǎn)立方、體心立方、面心立方、六角密積以及金剛石結(jié)構(gòu)的致密度依次為1.6基矢為的晶體為何種結(jié)構(gòu)？方法1：先計(jì)算出原胞體積由原胞體積可推斷為體心結(jié)構(gòu)方法2：由已知的三個(gè)基矢構(gòu)造三個(gè)新的基矢由此可推斷為體心結(jié)構(gòu)1.7、1.8、1.9、1.10、1.12和1.13見課件1.11已知三斜晶系的晶體中，三個(gè)基矢為，和,現(xiàn)測(cè)知該晶體的某一晶面法線與基矢的夾角依次為α、β和γ，試求該晶面的面指數(shù)晶面指數(shù)為

其中是保證為互質(zhì)數(shù)的因子,稱為互質(zhì)因子解：最靠近原點(diǎn)的晶面在三個(gè)基矢上的截距分別為1.14如圖所示，B、C兩點(diǎn)是面心立方晶胞上的兩面心，求：（1）ABC面的密勒指數(shù)；（2）AC晶列的指數(shù)。BCA矢量與矢量的叉乘即是ABC面的法線矢量ABC面的密勒指數(shù)為（1）（2）AC晶列的指數(shù)BCA所以AC晶列的晶列指數(shù)為第二章習(xí)題2.1證明簡(jiǎn)單六角布喇菲格子的倒格子仍為簡(jiǎn)單六角布喇菲格子，并給出其倒格子的晶格常數(shù)。解：在直角坐標(biāo)系中，簡(jiǎn)單六角布喇菲格子的基矢為：相應(yīng)的倒格子基矢為：容易看出此倒格子為簡(jiǎn)單六角布喇菲格子晶格常數(shù)為：2.2對(duì)正交簡(jiǎn)單晶格，假設(shè)沿三個(gè)基矢方向的周期分別為a、b和c的，當(dāng)入射X射線方向沿[100]方向（其重復(fù)周期為a）時(shí)，試確定在哪些方向上會(huì)出現(xiàn)衍射極大？什么樣的X射線波長(zhǎng)才能觀察到極大？解：任意倒格矢因入射X射線方向沿[100]方向故有晶體衍射的布里淵表述假定衍射極大出現(xiàn)在方向所以衍射極大出現(xiàn)在方向?yàn)橛^察到衍射極大要求入射波波長(zhǎng)滿足2.3證明：體心立方晶格的倒格子是面心立方面心立方晶格的倒格子是體心立方

由倒格子定義體心立方格子原胞基矢倒格子基矢同理可見由為基矢構(gòu)成的格子為面心立方格子

——面心立方格子原胞基矢倒格子基矢同理可見由為基矢構(gòu)成的格子為體心立方格子

——2.4證明倒格子原胞體積

倒格子基矢倒格子體積2.5正格子中晶面指數(shù)為的晶面和倒格矢正交倒格矢是晶面指數(shù)為所對(duì)應(yīng)的晶面族的法線意味著證明所以晶面族與和倒格矢正交同理可證2.6試導(dǎo)出倒格矢的長(zhǎng)度與晶面族面間距間的關(guān)系見課件2.8試畫出周期為的一維布喇菲格子的第一和第二布里淵區(qū)。2.9試畫出邊長(zhǎng)為的二維正方格子的第一和第二布里淵區(qū)。

2.7如果基矢構(gòu)成簡(jiǎn)單正交系證明晶面族的面間距為說明面指數(shù)簡(jiǎn)單的晶面，其面密度比較大，容易解理簡(jiǎn)單正交系倒格子基矢倒格子矢量晶面族的面間距——面指數(shù)越簡(jiǎn)單的晶面，其晶面的間距越大晶面上格點(diǎn)的密度越大，這樣的晶面越容易解理倒格子基矢2.10假設(shè)具有立方對(duì)稱、由同種原子構(gòu)成的某種晶體，在對(duì)其進(jìn)行x射線分析時(shí)，在衍射譜圖中只觀察到（110）、（200）、（220）或（222）等衍射峰，但沒有觀察到（100）、（300）、（111）或（221）等衍射峰，試通過分析說明該晶體具有何種類型的晶體結(jié)構(gòu)。

解：對(duì)立方對(duì)稱晶體，有簡(jiǎn)單立方、體心立方和面心立方三種典型的晶體結(jié)構(gòu)。對(duì)同種原子組成的面心立方晶體，衍射指數(shù)全偶或全奇時(shí)，衍射強(qiáng)度最強(qiáng)，而衍射指數(shù)中部分為奇或部分為偶的衍射峰消失。（200）、（220）或（222）衍射峰的的衍射指數(shù)全為偶數(shù)，但同時(shí)出現(xiàn)（110）衍射峰，這是部分為奇和部分為偶的情況，故可判斷該晶體并非面心立方結(jié)構(gòu)。對(duì)簡(jiǎn)單立方，只能出現(xiàn)偶數(shù)指數(shù)的衍射峰，由于（110）衍射峰的出現(xiàn)，可判斷該晶體并非簡(jiǎn)單立方結(jié)構(gòu)。對(duì)同種原子組成的體心立方晶體，晶胞中包含2個(gè)原子，其中一個(gè)在立方體頂角，另一個(gè)在立方體體心，它們的坐標(biāo)分別為（000）和（1/2，1/2，1/2），得到衍射強(qiáng)度為可見，當(dāng)衍射指數(shù)之和為奇數(shù)時(shí)，反射消失，而對(duì)于衍射指數(shù)之和為偶數(shù)時(shí)，衍射加強(qiáng)（110）、（200）、（220）或（222）等衍射峰符合衍射指數(shù)之和為偶數(shù)的條件（衍射加強(qiáng)），而（100）、（300）、（111）或（221）等衍射峰符合衍射指數(shù)之和為奇數(shù)的條件（反射消失）因此，根據(jù)觀察到的衍射峰特征可判斷該晶體具有體心立方結(jié)構(gòu)。2.11對(duì)面心立方的KBr晶體，其中K和Br離子各自組成一套面心格子，試通過分析論證該晶體的衍射譜圖有何特征？解：對(duì)面心立方結(jié)構(gòu)的晶體，晶胞中共包含4個(gè)原子，其中一個(gè)在立方體頂角，另三個(gè)在立方體面心，它們的坐標(biāo)分別為（000）、（1/2，0，1/2）、（1/2，1/2，0）和（0，1/2，1/2），由此得到衍射強(qiáng)度為可見，對(duì)于衍射指數(shù)中部分為奇或部分為偶時(shí)，而對(duì)衍射指數(shù)全偶或全奇時(shí)此時(shí)衍射強(qiáng)度最小衍射強(qiáng)度最強(qiáng)2.12從形式上看，KCl非常相似KBr，但對(duì)KCl進(jìn)行衍射分析時(shí)，實(shí)驗(yàn)上觀察到和KBr相似的面指數(shù)全為偶數(shù)的衍射峰，但沒有觀察到面指數(shù)全為奇數(shù)的衍射峰，為什么？答：實(shí)驗(yàn)上觀察到和KBr相似的面指數(shù)全為偶數(shù)的衍射峰，說明KCl晶體具有和KBr相似的面心立方結(jié)構(gòu)，但沒有觀察到面指數(shù)全為奇數(shù)的衍射峰，說明兩者又不完全相同。這是因?yàn)镵Cl中兩種離子的電子數(shù)目相等，散射振幅幾乎相同，因此，對(duì)X-射線來說，就好似一個(gè)晶格常數(shù)為a/2的單原子簡(jiǎn)單立方晶格，對(duì)簡(jiǎn)單立方晶格，只出現(xiàn)偶數(shù)指數(shù)的衍射峰。2.13對(duì)由同種原子（碳）構(gòu)成的金剛石晶體，試求出衍射強(qiáng)度不為零的條件。對(duì)于金剛石晶體，選擇立方體作為晶胞，則每個(gè)晶胞中共有8個(gè)原子，一個(gè)在立方體頂角上，坐標(biāo)為三個(gè)在立方體的面心位置，坐標(biāo)分別為另外四個(gè)在立方體對(duì)角線的1/4位置處，坐標(biāo)分別將這些原子坐標(biāo)代入式得到衍射強(qiáng)度為由上式很容易求出衍射強(qiáng)度不為零的條件是：衍射面指數(shù)nh、nk和nl均為奇數(shù)；衍射面指數(shù)nh、nk和nl均為偶數(shù)且也為偶數(shù)。如果衍射面指數(shù)不滿足上述兩條件，則衍射消失。3.1證明兩種一價(jià)離子組成一維晶格的馬德隆常數(shù)假設(shè)參考離子帶負(fù)電荷，則正離子取“+”、負(fù)離子取“-”參考離子則有2源于參考離子左右各有兩個(gè)距離相等的離子利用第三章習(xí)題3.2若一晶體兩個(gè)離子之間的相互作用能可以表示為計(jì)算1)平衡間距r02)結(jié)合能W（單個(gè)原子的）3)體彈性模量4)若取計(jì)算的值

1)平衡間距r0的計(jì)算平衡條件2)單個(gè)原子的結(jié)合能晶體內(nèi)能3)體彈性模量晶體的體積——A為常數(shù)，N為原胞數(shù)目晶體內(nèi)能體彈性模量由平衡條件體彈性模量4)若取計(jì)算的值3.3設(shè)若一晶體平衡時(shí)體積為V0，原子間總的相互作用能為U0，如果原子間相互作用能由式所表述，試證明壓縮系數(shù)為證明：體彈性模量晶體體積因此，體彈性模量可表示為

3.4已知有N個(gè)離子組成的NaCl晶體，其結(jié)合能為現(xiàn)以來代替排斥項(xiàng)，且當(dāng)晶體處于平衡時(shí)，這兩者對(duì)互作用勢(shì)能的貢獻(xiàn)相同，試求n和的關(guān)系。

將結(jié)合能在平衡位置處展開以代替后根據(jù)題意結(jié)合能兩式相比n和的關(guān)系3.5計(jì)算面心立方簡(jiǎn)單格子的A6和A12(1)只計(jì)最近鄰；（2）計(jì)算到次近鄰。o111角頂o原子周圍有8個(gè)這樣的晶胞標(biāo)號(hào)為1的原子是原子o的最近鄰，總共有12個(gè)最近鄰，以最近鄰距離度量，則aj=1222R為最近鄰距離若只計(jì)最近鄰則標(biāo)號(hào)為2的原子是原子o的次近鄰，總共有6個(gè)次近鄰，以最近鄰距離度量，則aj=21/2若計(jì)算到次近鄰則4.1對(duì)一維雙原子分子鏈，原子質(zhì)量均為m，原子統(tǒng)一編號(hào)，任一原子與兩最近鄰的間距不同，力常數(shù)分別為1和2，晶格常數(shù)為a，求原子的運(yùn)動(dòng)方程以及色散關(guān)系。123n-1nn+1N-2N-1N第n-1與第n+1個(gè)原子屬于同一種原子n+2n+3第n與第n+2個(gè)原子屬于同一種原子于是第n個(gè)原子受的力為第n+1個(gè)原子受的力為第四章習(xí)題對(duì)每種原子，可寫出其運(yùn)動(dòng)方程將方程的解寫成角頻率為的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的形式，即色散關(guān)系得到A、B非0解的條件是系數(shù)行列式必須為0，即由此得到代入4.2問長(zhǎng)光學(xué)支格波與長(zhǎng)聲學(xué)支格波在本質(zhì)上有何區(qū)別？長(zhǎng)光學(xué)支格波的特征是每個(gè)原胞內(nèi)的不同原子做相對(duì)振動(dòng)，振動(dòng)頻率較高，包含了晶格振動(dòng)頻率最高的振動(dòng)模式。長(zhǎng)聲學(xué)支格波的特征是原胞內(nèi)的不同原子沒有相對(duì)位移，原胞做整體振動(dòng)，振動(dòng)頻率較低，包含了晶格振動(dòng)頻率最低的振動(dòng)模式。任何晶體都存在聲學(xué)支格波，但簡(jiǎn)單晶格晶體不存在光學(xué)支格波。4.3按德拜模型試計(jì)算晶體中的聲子數(shù)目，并對(duì)高溫和很低溫度兩種情況分別進(jìn)行討論。頻率為的格波的聲子數(shù)對(duì)德拜模型，模式密度或頻率分布函數(shù)為則總的聲子數(shù)高溫所以高溫時(shí)聲子數(shù)為很低溫度作變量變換4.4設(shè)一長(zhǎng)度為L(zhǎng)的一維簡(jiǎn)單晶格，原子質(zhì)量為m，原子間距為a，原子間的相互作用勢(shì)可表示成試由簡(jiǎn)諧近似求（1）色散關(guān)系；（2）模式密度D（）；（3）晶格比熱。（1）色散關(guān)系恢復(fù)力常數(shù)代入得到色散關(guān)系為設(shè)單原子鏈長(zhǎng)度波矢取值每個(gè)波矢的寬度狀態(tài)密度dq間隔內(nèi)的狀態(tài)數(shù)——對(duì)應(yīng)q，取值相同，d間隔內(nèi)的狀態(tài)數(shù)目（2）模式密度D（）一維單原子鏈色散關(guān)系令兩邊微分得到d間隔內(nèi)的狀態(tài)數(shù)目代入——一維單原子鏈的頻率分布函數(shù)（3）晶格比熱頻率為的格波的熱振動(dòng)能為整個(gè)晶格的熱振動(dòng)能為4.5設(shè)晶體中每個(gè)振子的零點(diǎn)振動(dòng)能為，試用德拜模型求晶體的零點(diǎn)振動(dòng)能

根據(jù)量子力學(xué)零點(diǎn)能是諧振子所固有的，與溫度無關(guān)，故T=0K時(shí)振動(dòng)能E0就是各振動(dòng)模零點(diǎn)能之和4.6如果原子離開平衡位置位移后的勢(shì)能為如用經(jīng)典理論，試證明比熱為：4.7假設(shè)晶體總的自由能可表示為其中表示晶格振動(dòng)對(duì)系統(tǒng)自由能的貢獻(xiàn)，是絕對(duì)零度時(shí)系統(tǒng)的內(nèi)能，若可表示其中是德拜溫度，試證明：（1）壓力，為格林愛森常數(shù)；（2）線膨脹系數(shù)4.8（1）溫度一定時(shí)，問一個(gè)光學(xué)波的聲子數(shù)目和一個(gè)聲學(xué)波的聲子數(shù)目哪個(gè)多？（2）對(duì)同一個(gè)振動(dòng)模式，問溫度高時(shí)的聲子數(shù)目和溫度低時(shí)的聲子數(shù)目哪個(gè)多？頻率為的格波的平均聲子數(shù)為（1）光學(xué)波的頻率總是比聲學(xué)波的頻率高，所以，溫度一定時(shí)，一個(gè)光學(xué)波的聲子數(shù)目少于一個(gè)聲學(xué)波的聲子數(shù)目（2）溫度高時(shí)的聲子數(shù)目多于溫度時(shí)的聲子數(shù)目5.1試問絕對(duì)零度時(shí)價(jià)電子與晶格是否交換能量？晶格的振動(dòng)形成格波，價(jià)電子與晶格交換能量，實(shí)際上是價(jià)電子與格波交換能量，格波的能量子稱為聲子，因此，價(jià)電子與格波交換能量可看成是價(jià)電子與聲子交換能量。頻率為的格波的聲子數(shù)絕對(duì)零度時(shí)，任何頻率的格波的聲子全部消失，因此，絕對(duì)零度時(shí)價(jià)電子與晶格不再交換能量。第五章習(xí)題5.2試問晶體膨脹時(shí)費(fèi)米能級(jí)如何變化？費(fèi)米能級(jí)晶體膨脹時(shí)，體積變大，但電子數(shù)目不變，故n變小，因此，費(fèi)米能級(jí)降低。5.3試問為什么價(jià)電子的濃度越高，電導(dǎo)率越高？從公式看，電導(dǎo)率正比于價(jià)電子的濃度，因此，價(jià)電子濃度越高，電導(dǎo)率就越高然而，并非所有價(jià)電子都參與導(dǎo)電，僅僅費(fèi)米面附近的電子才參與對(duì)導(dǎo)電的貢獻(xiàn)，因此，費(fèi)米球越大，對(duì)導(dǎo)電有貢獻(xiàn)的電子數(shù)目就越多，而費(fèi)米球的半徑可見，電子濃度越高，費(fèi)米球就越大，對(duì)導(dǎo)電有貢獻(xiàn)的電子什么也就越多，因此，電導(dǎo)率就越高5.4假設(shè)二維電子氣的能態(tài)密度試證明費(fèi)米能為其中n為單位面積的電子數(shù)。單位面積金屬的電子總數(shù)為5.5試求一維金屬中自由電子的能態(tài)密度、費(fèi)米能級(jí)、電子平均動(dòng)能以及一個(gè)電子對(duì)比熱的貢獻(xiàn)。設(shè)一維金屬中有N個(gè)導(dǎo)電電子，晶格常數(shù)為a，則狀態(tài)密度為能態(tài)密度則在k—k+dk范圍內(nèi)電子數(shù)為在E—E+dE內(nèi)電子數(shù)為絕對(duì)零度時(shí)費(fèi)米能級(jí)以下所有態(tài)被電子占據(jù)，故有平均一個(gè)電子所具有的能量平均一個(gè)電子對(duì)比熱的貢獻(xiàn)為5.6試求二維金屬中自由電子的能態(tài)密度、費(fèi)米能級(jí)、電子平均動(dòng)能以及一個(gè)電子對(duì)比熱的貢獻(xiàn)。設(shè)二維金屬的面積為S，則狀態(tài)密度為能態(tài)密度則在k—k+dk范圍內(nèi)電子數(shù)為在E—E+dE內(nèi)電子數(shù)為絕對(duì)零度時(shí)費(fèi)米能級(jí)以下所有態(tài)被電子占據(jù)，故有平均一個(gè)電子所具有的能量平均一個(gè)電子對(duì)比熱的貢獻(xiàn)為5.7證明，當(dāng)時(shí)，電子數(shù)目每增加一個(gè)，則費(fèi)米能變化為其中為費(fèi)米能級(jí)處的能態(tài)密度。電子數(shù)目每增加一個(gè)，費(fèi)米能的變化5.8每個(gè)原子占據(jù)的體積為a3，絕對(duì)零度時(shí)價(jià)電子的費(fèi)米半徑為，計(jì)算每個(gè)原子的價(jià)電子數(shù)目根據(jù)自由電子氣模型，絕對(duì)零度時(shí)費(fèi)米半徑為而已知金屬絕對(duì)零度時(shí)費(fèi)米半徑為兩者比較可知電子密度為因此該金屬的原子具有兩個(gè)價(jià)電子——銀的質(zhì)量密度——原子量——電阻率

5.9若將銀看成具有球形費(fèi)米面的單價(jià)金屬計(jì)算以下各量1)

費(fèi)密能量和費(fèi)密溫度2)

費(fèi)密球半徑3)

費(fèi)密速度4)在室溫以及低溫時(shí)電子的平均自由程

1)

費(fèi)密能量和費(fèi)密溫度費(fèi)密能量費(fèi)密溫度2)

費(fèi)密球半徑3)

費(fèi)密速度4)

在室溫以及低溫時(shí)電子的平均自由程電導(dǎo)率馳豫時(shí)間平均自由程0K到室溫之間的費(fèi)密半徑變化很小平均自由程6.1電子在周期場(chǎng)中的勢(shì)能函數(shù)

且a=4b，是常數(shù)。1)畫出此勢(shì)能曲線，并計(jì)算勢(shì)能的平均值；2)用近自由電子模型計(jì)算晶體的第一個(gè)和第二個(gè)帶隙寬度

第六章習(xí)題2a-b2a2a+b(n-1)a-b(n-1)a+b(n-1)ana-bna+bna(n+1)a-b(n+1)a+b(n+1)a-b0b

勢(shì)能的平均值勢(shì)能的平均值令近自由電子近似中，勢(shì)能函數(shù)的第n個(gè)傅里葉系數(shù)

禁帶寬帶第一帶隙寬度第二帶隙寬度6.2對(duì)于一維周期勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的電子，試求電子處在下列態(tài)中的的波矢其中a是晶格常數(shù)

根據(jù)布洛赫定理一維情形布洛赫定理1)電子的波函數(shù)電子的波矢2)電子的波函數(shù)電子的波矢3)電子的波函數(shù)電子的波矢4)電子的波函數(shù)電子的波矢6.3假設(shè)二維正方格子的周期勢(shì)場(chǎng)可表示為：a為晶格常數(shù)，試由近自由電子近似計(jì)算布里淵區(qū)邊界處的能隙能隙布里淵頂角(/a,/a)處的能隙布里淵頂角布里淵頂角處的能隙6.4假設(shè)有一維單原子鏈，原子間距a，總長(zhǎng)度為L(zhǎng)＝Na1)用緊束縛近似方法求出與原子s態(tài)能級(jí)相對(duì)應(yīng)的能帶函數(shù)2)求出其能帶密度函數(shù)的表達(dá)式