統(tǒng)計(jì)學(xué)集中和離散

第三章集中趨勢(shì)和離中趨勢(shì)3·1集中趨勢(shì)的測(cè)度3·2離中趨勢(shì)的測(cè)度3·3偏態(tài)與峰度的測(cè)定1

3·1集中趨勢(shì)的測(cè)度集中趨勢(shì)是指一組數(shù)據(jù)（或總體各單位標(biāo)志值）向某一中心值靠攏的傾向，測(cè)度集中趨勢(shì)也就是尋找資料一般水平代表值或中心值，即平均指標(biāo)。所謂平均指標(biāo)，是說明同質(zhì)總體內(nèi)各單位某一數(shù)量標(biāo)志在一定時(shí)間、地點(diǎn)條件下所達(dá)到的一般水平。趨勢(shì)的測(cè)度值（平均指標(biāo)）主要有算術(shù)平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)、幾何平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)等。本節(jié)將分別介紹它們的計(jì)算方法、特點(diǎn)及應(yīng)用場(chǎng)合。

22集中趨勢(shì)測(cè)度方法：

平均指標(biāo)

算術(shù)平均數(shù)調(diào)和平均數(shù)幾何平均數(shù)位置平均數(shù)眾數(shù)中位數(shù)分位數(shù)3北京46507天津34938內(nèi)蒙古21884山西21525河北19911

遼寧23202吉林20513黑龍江19386

上海49310江蘇27374浙江31086安徽22180福建22283江西18400山東22844河南20935湖北19818湖南21534廣東29443廣西21898海南19357

重慶23098四川21312貴州20668云南20481西藏46098

陜西21296甘肅20987青海26166寧夏26210新疆2143407年各地職工平均工資12345678912314

北

京

(2)56328

天

津

(4)41748

河

北

24756

山

西

(16)25828

內(nèi)蒙古

(14)26114

遼

寧

(10)27729

吉

林

23486

黑龍江

23046

上

海

(1)56565

江

蘇

(7)31667

浙

江

(5)34146

安

徽

(13)26363

福

建

(17)25702

江

西

21000

山

東

(12)26404

河

南

24816

湖

北

22739

湖

南

24870

廣

東

(6)33110

廣

西

(18)25660

海

南

21864

重

慶

(11)26985

四

川

25038

貴

州

24602

云

南

24030

西

藏

(3)47280

陜

西

(15)25942

甘

肅

24017

青

海

(8)30983

寧

夏

(9)30719

新

疆

2468708年各地職工平均工資5全國(guó)平均數(shù)據(jù)

2007年全國(guó)城鎮(zhèn)單位在崗職工年平均工資為24932元，日平均工資為99．31元

2008年全國(guó)城鎮(zhèn)單位在崗職工平均工資為２９２２９元，日平均工資為１１１．９９元。

2009年，全國(guó)城鎮(zhèn)單位就業(yè)人員平均工資為32244元。2010年，全國(guó)城鎮(zhèn)單位就業(yè)人員平均工資為36539元。

年份19902000200920102011城鎮(zhèn)居民人均可支配收入(元)1510

6280

17175

1910921810農(nóng)村居民人均純收入(元)

686

2253

5153

59196977

2011年城鎮(zhèn)居民收入中位數(shù)19118元，農(nóng)村居民收入中位數(shù)6194元。608年中國(guó)城鎮(zhèn)職工平均工資為2.9萬元,同比增17.2%平均數(shù)背后存在三大差異：平均工資存在地區(qū)差異。２００８年城鎮(zhèn)單位在崗職工平均工資高于全國(guó)平均水平的有９個(gè)省區(qū)市，低于全國(guó)平均水平的有２２個(gè)省區(qū)市。分四大區(qū)域看，平均工資由高到低排列依次是東部、西部、東北和中部，分別為３４３１６元、２５６０２元、２５１０１元和２４３９０元。平均工資存在行業(yè)差異。２００８年平均工資最高的行業(yè)是證券業(yè)１７２１２３元，最低的行業(yè)是木材加工及木竹滕棕草制品業(yè)１５６６３元。受國(guó)際金融危機(jī)影響較大的紡織業(yè)和紡織服裝鞋帽制造業(yè)在崗職工平均工資分別為１６２２２元和１８５７２元。

不同類型單位平均工資存在差異。２００８年機(jī)關(guān)在崗職工平均工資為３３８６９元，事業(yè)單位平均工資為２９７５８元，企業(yè)平均工資為２８３５９元。機(jī)關(guān)、事業(yè)單位平均工資略高于全國(guó)平均水平，企業(yè)平均工資略低于全國(guó)平均水平的格局多年來一直沒有改變。7女性為購(gòu)物一年走247公里

不少女性是商場(chǎng)的忠實(shí)擁躉：新貨上市時(shí)要去嘗鮮，商品打折時(shí)要去“掃貨”，有時(shí)為找到自己喜歡的東西，更是不惜“長(zhǎng)途跋涉”。那么，這樣下來，愛逛街的女性一年會(huì)走多遠(yuǎn)的路？

女性年均逛街160小時(shí)

英國(guó)德貝納姆百貨公司調(diào)查2000名顧客后發(fā)現(xiàn)，女性平均每周花費(fèi)2.5小時(shí)逛商場(chǎng)，行走大約4.7公里。男性每周逛商場(chǎng)的平均時(shí)間約為50分鐘，行走大約2.4公里。

分解來看，女性平均每次逛街買衣服需要1小時(shí)59分，買食品需要1小時(shí)22分，到住所附近買其他雜物需要38分鐘。

按每年買24次服裝、60次食品和48次雜物來算，女性每年花在買衣服上的時(shí)間為47小時(shí)36分，花在買食品上的時(shí)間為82小時(shí)，花在買雜物上的時(shí)間為30小時(shí)24分。

8女性為購(gòu)物一年走247公里

也就是說，女性平均每年有160小時(shí)的時(shí)間在逛街，相當(dāng)于約20個(gè)8小時(shí)工作日。行走長(zhǎng)度達(dá)到約247公里。

購(gòu)物3小時(shí)熱量消耗相當(dāng)一個(gè)漢堡

逛街除了可以滿足女性的消費(fèi)欲望外，還可以“順便”鍛煉身體。

統(tǒng)計(jì)數(shù)字顯示，女性每次出去逛街時(shí)大約要走7305步，相當(dāng)于國(guó)家醫(yī)療服務(wù)系統(tǒng)推薦的“日行萬步”的四分之三。如果再算上她們手提肩背的“戰(zhàn)利品”，那么效果不亞于去健身房鍛煉。

怪不得有超過半數(shù)的受調(diào)查者說，逛街一天比去健身房累得多。

研究人員進(jìn)一步推算得出：購(gòu)物3小時(shí)能幫助女性消耗495卡路里，相當(dāng)于一個(gè)麥當(dāng)勞巨無霸漢堡；逛街2小時(shí)也能用掉約283卡路里，等于一杯中號(hào)拿鐵咖啡。

從平均值來看，女性每周逛街可以消耗385卡路里，相當(dāng)于一塊胡蘿卜蛋糕或兩大杯紅酒。

(新華社供本報(bào)特稿)9一、算術(shù)平均數(shù)

算術(shù)平均數(shù)是集中趨勢(shì)中最常用、最重要的測(cè)度值。它是將總體標(biāo)志總量除以總體單位總量而得到的均值。（一）算術(shù)平均數(shù)的基本公式算術(shù)平均數(shù)＝總體標(biāo)志總量/總體單位總量注意：式中分子、分母指標(biāo)必須屬于同一總體，即各標(biāo)志值與各單位之間是一一對(duì)應(yīng)的。這也是算術(shù)平均數(shù)與強(qiáng)度相對(duì)指標(biāo)的區(qū)別。（二）兩種計(jì)算形式：首先看兩個(gè)資料。10例一：設(shè)有一組大學(xué)生的月生活費(fèi)支出為：150，200，240，300，350，500（單位：元）。(x=290)例二：有一班級(jí)的大學(xué)生月生活費(fèi)支出如下表：

月生活費(fèi)（元）x人數(shù)（人）f頻率（%）15035.3620058.93240712.503002442.853501628.5750011.79合計(jì)56100.00

1111

加權(quán)算術(shù)平均數(shù)計(jì)算表

月生活費(fèi)（元）x人數(shù)（人）f頻率（%）xfx*頻率15035.364508.0420058.93100017.86240712.50168030.003002442.857200128.553501628.575600100.0050011.795008.95合計(jì)56100.0016430293.40資料欄計(jì)算欄解：該班級(jí)學(xué)生平均月生活費(fèi)=（公式）=16430/56=293.39(元)

121、簡(jiǎn)單算術(shù)平均數(shù)（適用于未分組資料）計(jì)算公式為：

如果所給的數(shù)據(jù)是已經(jīng)分組的次數(shù)分布數(shù)列，則算術(shù)平均數(shù)的計(jì)算應(yīng)采用加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的形式。

132、加權(quán)算術(shù)平均數(shù)（適用于分組資料）（為什么由分組資料計(jì)算平均指標(biāo)不能將各組的標(biāo)志值簡(jiǎn)單平均？）。

計(jì)算公式為：

式中：f——代表各組的次數(shù)或頻數(shù)（即各組的單位數(shù)）。

比較兩個(gè)公式，并解釋為什么次數(shù)f又稱之為權(quán)數(shù)？1415

平均數(shù)的大小不僅取決于各組標(biāo)志值x的大小，同時(shí)還受各組次數(shù)f多少的影響。各組標(biāo)志值次數(shù)的多少在平均數(shù)的計(jì)算中具有權(quán)衡輕重的作用，因而把各組的次數(shù)又稱為權(quán)數(shù)，用各組的次數(shù)去乘以各組的標(biāo)志值，就是對(duì)各組的標(biāo)志值進(jìn)行加權(quán)。所以，用這種方法計(jì)算的算術(shù)平均數(shù)，稱為加權(quán)算術(shù)平均數(shù)。試想，如果各組次數(shù)完全相同，結(jié)果會(huì)怎樣？16實(shí)務(wù)中給定的權(quán)數(shù)資料，既可以是絕對(duì)數(shù)，也可以是相對(duì)數(shù)，即頻率或稱權(quán)數(shù)系數(shù)。當(dāng)權(quán)數(shù)為相對(duì)數(shù)時(shí)，加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的表達(dá)公式如何呢？

算術(shù)平均數(shù)既可依據(jù)單項(xiàng)變量數(shù)列計(jì)算也可依據(jù)組距數(shù)列計(jì)算；既可根據(jù)絕對(duì)數(shù)計(jì)算，也可根據(jù)相對(duì)數(shù)或平均數(shù)進(jìn)行計(jì)算。17如果根據(jù)相對(duì)數(shù)或平均數(shù)進(jìn)行計(jì)算，則應(yīng)注意的問題是：（1）

只能用加權(quán)形式計(jì)算；（2）

權(quán)數(shù)的選擇問題。18

【例三】見下表所給資料。某市某局18個(gè)企業(yè)稅收計(jì)劃完成情況計(jì)劃完成（%）企業(yè)數(shù)（個(gè)）計(jì)劃任務(wù)數(shù)（萬元）95——1005100100——10581200105——1103100110以上260合計(jì)181460要求：計(jì)算18個(gè)企業(yè)稅收收入平均計(jì)劃完成程度。

19

計(jì)算表計(jì)劃完成（%）組中值x（%）計(jì)劃任務(wù)數(shù)f（萬元）實(shí)際完成數(shù)xf（萬元）95——10097.510097.5100——105102.512001230.0105——110107.5100107.5110以上112.56067.5

合計(jì)—14601502.5計(jì)算欄

解：平均計(jì)劃完成程度x=∑xf/∑f

=1502.5/1460=102.91%

20【例四】（用于計(jì)算調(diào)和平均數(shù)）

計(jì)劃完成（%）企業(yè)數(shù)（個(gè)）實(shí)際完成數(shù)（萬元）

95——100597.5100——10581230.0105——1103107.5110以上267.5合計(jì)181502.5要求同上：計(jì)算18個(gè)企業(yè)稅收收入平均計(jì)劃完成程度。

21計(jì)算表計(jì)劃完成（%）組中值x（%）實(shí)際完成數(shù)m

計(jì)劃任務(wù)數(shù)m/x（萬元）（萬元）95—10097.597.5100100—105102.51230.01200

105—110107.5107.5100110以上112.567.560合計(jì)—1502.51460

計(jì)算欄解：=1502.5/1460=102.91%

22(三)算術(shù)平均數(shù)的數(shù)學(xué)性質(zhì)1、各個(gè)變量值與算術(shù)平均數(shù)的離差總和等于零。表達(dá)式:∑(x-x)=0或∑(x-x)f=02、各個(gè)變量值與算術(shù)平均數(shù)的離差平方總和為最小值。表達(dá)式:

∑(x-x)2=最小

或

最小

23二、調(diào)和平均數(shù)——又稱“倒數(shù)平均數(shù)”，它是根據(jù)各變量值的倒數(shù)來計(jì)算的平均數(shù)。具體地講，調(diào)和平均數(shù)是各變量值倒數(shù)的算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù)。（一）調(diào)和平均數(shù)的計(jì)算方法1、

簡(jiǎn)單調(diào)和平均數(shù)（適用于未分組資料）計(jì)算公式為：

xH==(1/x1+1/x2+……+1/xn)/n∑(1/x)

1n24二、調(diào)和平均數(shù)（一）調(diào)和平均數(shù)的計(jì)算方法2、加權(quán)調(diào)和平均數(shù)（適用于分組資料）計(jì)算公式:

25二、調(diào)和平均數(shù)以m加權(quán)的調(diào)和平均數(shù)與以f加權(quán)的算術(shù)平均數(shù)的關(guān)系.因?yàn)椋鹘M標(biāo)志總量m=所以，各組的單位數(shù)（次數(shù)）f=則：

26（二）加權(quán)算術(shù)平均數(shù)和加權(quán)調(diào)和平均數(shù)的采用

1、由平均數(shù)計(jì)算[例五]以某種蔬菜為例，資料見表。

某種蔬菜的有關(guān)資料

價(jià)格x（元/公斤）采購(gòu)金額m（元）早市0.5010.00中市0.4513.50晚市0.408.00合計(jì)—31.50

27

【例六】?jī)r(jià)格x（元/公斤）采購(gòu)量f（公斤）早市0.5020中市0.4530晚市0.4020合計(jì)——70分別依據(jù)表一和表二的資料，計(jì)算該種蔬菜的平均價(jià)格。

思路：平均每公斤價(jià)格＝購(gòu)買金額/采購(gòu)量=0.45（元／公斤）

282、由相對(duì)數(shù)計(jì)算

例題見前述計(jì)劃完成程度的計(jì)算。結(jié)論：在由相對(duì)數(shù)或平均數(shù)計(jì)算平均數(shù)時(shí)，在什么情況下采用加權(quán)算術(shù)平均數(shù)或加權(quán)調(diào)和平均數(shù)，首先要明確所求平均指標(biāo)的分子、分母是什么，而后再根據(jù)所掌握的資料條件來選擇。如果所掌握的權(quán)數(shù)資料是計(jì)算公式的分母數(shù)值時(shí)，則直接采用加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的形式；如果所掌握的權(quán)數(shù)資料是計(jì)算公式的分子數(shù)值時(shí)，則需采用加權(quán)調(diào)和平均數(shù)的形式。

29三、幾何平均數(shù)幾何平均數(shù)是計(jì)算平均比率或平均發(fā)展速度的最適用的一種方法。凡是變量值的連乘積等于總比率或總速度的現(xiàn)象，都采用幾何平均數(shù)反映現(xiàn)象總體的一般水平。根據(jù)所掌握資料的不同，也有簡(jiǎn)單和加權(quán)兩種形式:（一）簡(jiǎn)單幾何平均數(shù)是n個(gè)變量值連乘開n次方根的結(jié)果。

30三、幾何平均數(shù)（二）加權(quán)幾何平均數(shù)

31幾何平均數(shù)應(yīng)用案例：【例七】某機(jī)械廠有四個(gè)連續(xù)作業(yè)的車間：毛坯車間、粗加工車間、精加工車間和裝配車間，某月份各車間的產(chǎn)品合格率依次為：95%，90%，92%，85%。要求計(jì)算四個(gè)車間的平均產(chǎn)品合格率。（90.43%）【例八】投資銀行某項(xiàng)投資是按復(fù)利計(jì)算，18年間年利率的分配情況是：利率（%）3581015期限（年）14562要求：計(jì)算18年間的平均年利率。（8.45%）32四、切尾均值切尾均值是一種新的集中趨勢(shì)測(cè)度方法，在大賽中得到廣發(fā)應(yīng)用。切尾均值是去掉大小兩端的若干數(shù)值后計(jì)算中間數(shù)據(jù)的均值。

33四、切尾均值式中：n表示觀察值的個(gè)數(shù)；表示切尾系數(shù)，各觀察值是經(jīng)排隊(duì)后由小到大形成的順序統(tǒng)計(jì)量值。2834五、位置平均數(shù)（一）眾數(shù)（二）中位數(shù)（三）分位數(shù)四分位數(shù)十分位數(shù)百分位數(shù)35

（一）眾數(shù)1、眾數(shù)的概念眾數(shù)是總體中出現(xiàn)次數(shù)最多的標(biāo)志值，即最普遍、最常見的標(biāo)志值。眾數(shù)只有在總體單位較多而又有明確的集中趨勢(shì)的資料中才有意義。2、眾數(shù)的確定

單項(xiàng)數(shù)列中，出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)組的標(biāo)志值就是眾數(shù)。若在數(shù)列中有兩組的次數(shù)是相同的，且次數(shù)最多，則就是雙眾數(shù)或復(fù)眾數(shù)。

組距數(shù)列中，眾數(shù)的確定要分兩步：第一步，用直接觀察法確定眾數(shù)組即次數(shù)最多的那一組；第二步，計(jì)算眾數(shù)的近似值。比較精確的方法是用眾數(shù)組次數(shù)與相鄰兩組次數(shù)之差來推算眾數(shù)的近似值。

五、位置平均數(shù)36眾數(shù)一般有兩種計(jì)算公式：

Δ1

下限公式：M0=L+d

Δ1+Δ2上限公式：M0=U-Δ2/(Δ1+Δ2)d

組距數(shù)列眾數(shù)的確定一般與其相鄰兩組的頻數(shù)分布有關(guān)。若眾數(shù)組前一組的頻數(shù)比眾數(shù)組后一組的頻數(shù)多，則眾數(shù)小于眾數(shù)組的組中值；反之，眾數(shù)大于其組中值。若眾數(shù)組前一組的頻數(shù)等于其后一組的頻數(shù)，則眾數(shù)就是眾數(shù)組的組中值。

37五、位置平均數(shù)（二）中位數(shù)1、中位數(shù)的概念中位數(shù)是將總體單位某一變量的各個(gè)變量值按大小順序排列，處在數(shù)列中間位置的那個(gè)變量值就是中位數(shù)。

2、中位數(shù)的確定（1）未分組資料確定中位數(shù)在資料未分組的情況下，將各變量值按大小順序排列后，

首先，確定中位數(shù)的位置，即(n+1)/2；

然后，根據(jù)中點(diǎn)位置確定中位數(shù)。

38（二）中位數(shù)2、中位數(shù)的確定

單項(xiàng)數(shù)列

（2）分組資料確定中位數(shù)組距數(shù)列

由單項(xiàng)數(shù)列計(jì)算中位數(shù)：

首先，計(jì)算各組的累積次數(shù)；

然后，根據(jù)中點(diǎn)位置（總次數(shù)/2）在累積次數(shù)中確定中位數(shù)所在組，以確定中位數(shù)。

39（二）中位數(shù)2、中位數(shù)的確定（2）分組資料確定中位數(shù)由組距數(shù)列計(jì)算中位數(shù)（情況要復(fù)雜一些）：分三步驟：第一步，計(jì)算累積次數(shù)；第二步，計(jì)算中位數(shù)位置（總次數(shù)/2），以確定中位數(shù)組；

第三步，用比例推算法估計(jì)中位數(shù)的近似值。40組距數(shù)列中位數(shù)的計(jì)算公式下限公式：上限公式：41下限公式的比例推算法：累積次數(shù)Sm-1=180中點(diǎn)位置f/2=215

中位數(shù)所在組次數(shù)fm=180215-180=35中位數(shù)在該組分?jǐn)偨M距的比例為：35/18042五、位置平均數(shù)（三）分位數(shù)中位數(shù)是將統(tǒng)計(jì)分布從中間分成面積相等的兩部分（即兩邊數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)相等）。與中位數(shù)性質(zhì)相似的還有四分位數(shù)十分位數(shù)百分位數(shù)43（三）分位數(shù)1、四分位數(shù)（Qi）

又稱四分位點(diǎn)，它是通過3個(gè)點(diǎn)將排好序的全部數(shù)據(jù)等分為4部分，其中每部分包含25%的數(shù)據(jù)，處在分割點(diǎn)上的數(shù)值就是四分位數(shù)。很顯然，其中中間的四分位數(shù)就是中位數(shù)。所以，通常所說的的四分位數(shù)是指第一個(gè)和第三個(gè)四分位數(shù)，分別又稱作下四分位數(shù)和上四分位數(shù)。44（三）分位數(shù)四分位數(shù)的計(jì)算方法：與中位數(shù)計(jì)算相類似（1）未分組資料計(jì)算首先對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行排序，然后確定四分位數(shù)所在位置。設(shè)：下四分位數(shù)為上四分位數(shù)為中間四分位數(shù)為45（三）分位數(shù)四分位數(shù)的計(jì)算方法：（1）未分組資料計(jì)算

的位置=的位置=46（三）分位數(shù)四分位數(shù)的計(jì)算方法：（1）未分組資料計(jì)算

的位置=47（三）分位數(shù)四分位數(shù)的計(jì)算方法：（1）未分組資料計(jì)算當(dāng)四分位數(shù)的位置不在某個(gè)數(shù)值上時(shí)，可根據(jù)四分位數(shù)的位置，按比例分?jǐn)偹姆治粩?shù)位置兩側(cè)數(shù)值的差值。48（三）分位數(shù)四分位數(shù)的計(jì)算方法：（2）分組資料計(jì)算首先，確定和的位置，并確定和所在的組。

的位置=N/4的位置=3N/449（三）分位數(shù)四分位數(shù)的計(jì)算方法：（2）分組資料計(jì)算

然后，仿照中位數(shù)的計(jì)算公式確定和的具體數(shù)值。

50（三）分位數(shù)四分位數(shù)的計(jì)算方法：（2）分組資料計(jì)算51四分位數(shù)的計(jì)算方法：（2）分組資料計(jì)算式中：和分別為和所在組的下限值；

和分別為和所在組的次數(shù)；

52（三）分位數(shù)四分位數(shù)的計(jì)算方法：（2）分組資料計(jì)算案例p2753（三）分位數(shù)2、十分位數(shù)(Di)3、百分位數(shù)(Pi)十分位數(shù)和百分位數(shù)是分別將排好序的數(shù)據(jù)分布10等分和100等分的分割點(diǎn)上數(shù)值。計(jì)算公式仿照四分位數(shù)計(jì)算即可。54六、平均指標(biāo)之間的相互關(guān)系

（一）算術(shù)平均數(shù)、幾何平均數(shù)和調(diào)和平均數(shù)的關(guān)系三者存在的數(shù)量關(guān)系表現(xiàn)在：根據(jù)同一資料所計(jì)算的三種平均數(shù)，幾何平均數(shù)大于調(diào)和平均數(shù)而小于算術(shù)平均數(shù)，即X≥XG≥XH

；當(dāng)變量數(shù)列中所有的標(biāo)志值都相等時(shí)，三種平均數(shù)相同，即X＝XG＝XH。（二）中位數(shù)、眾數(shù)與算術(shù)平均數(shù)的關(guān)系這三者之間的關(guān)系，決定于總體內(nèi)部的次數(shù)分布狀況。

55（二）中位數(shù)、眾數(shù)與算術(shù)平均數(shù)的關(guān)系

在對(duì)稱分布的情況下，中位數(shù),眾數(shù)和算術(shù)平均數(shù)合而為一，即：Me=M0=在非對(duì)稱分布的情況下，中位數(shù),眾數(shù)和算術(shù)平均數(shù)之間存在一定的差別。如果分布右偏，則三者之間的關(guān)系是:M0＜Me＜；如果分布左偏，則三者之間的關(guān)系是:M0＞Me＞。可見，無論是右偏還是左偏，中位數(shù)總是介于算術(shù)平均數(shù)和眾數(shù)之間。適度偏態(tài)時(shí)，-Me的距離是-M0的1/3。

56對(duì)稱分布M0=Me

=

X；57MeM0X右偏分布58左偏分布XMeM059（三）眾數(shù)、中位數(shù)和算術(shù)平均數(shù)的特點(diǎn)和應(yīng)用

場(chǎng)合眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)分布的峰值，是一種位置代表值。其優(yōu)點(diǎn)是易于理解，不受極端值的影響。當(dāng)數(shù)據(jù)的分布具有明顯的集中趨勢(shì)時(shí)，尤其是對(duì)于偏態(tài)分布，眾數(shù)的代表性比均值要好。其缺點(diǎn)是具有不唯一性。中位數(shù)是一組數(shù)據(jù)中間數(shù)據(jù)的代表值，其特點(diǎn)是不受數(shù)據(jù)極端值的影響，因此，對(duì)于具有偏態(tài)分布的數(shù)據(jù)，中位數(shù)的代表性要比均值好。算術(shù)平均數(shù)是就全部數(shù)據(jù)計(jì)算的，它具有優(yōu)良的數(shù)學(xué)性質(zhì)，是實(shí)際應(yīng)用最廣泛的集中趨勢(shì)測(cè)度值。其主要缺點(diǎn)是易受極端值的影響，對(duì)于偏態(tài)分布的數(shù)據(jù)，均值的代表性較差。

60

結(jié)論：從各種代表值之間的關(guān)系及其特點(diǎn)可看出：當(dāng)數(shù)據(jù)呈對(duì)稱分布或接近對(duì)稱分布時(shí)，三個(gè)代表值相等或接近相等，這時(shí)，應(yīng)選擇均值作為集中趨勢(shì)的代表值（為什么？）；當(dāng)數(shù)據(jù)為偏態(tài)分布，特別當(dāng)偏斜的程度較大時(shí)，則應(yīng)選擇眾數(shù)或中為數(shù)等位置平均數(shù)，這時(shí)它們的代表性要比均值好。此外，均值只適用于定距或定比尺度的數(shù)據(jù)，而對(duì)于定類或定序尺度的數(shù)據(jù)無法計(jì)算均值，但卻可以計(jì)算眾數(shù)和中位數(shù)。

61補(bǔ)充介紹：箱線圖箱線圖是由一組數(shù)據(jù)的最大值、最小值、中位數(shù)和兩個(gè)四分位數(shù)5個(gè)特征值繪制而成的。對(duì)于單組數(shù)據(jù)，可繪制簡(jiǎn)單箱線圖；對(duì)于多組數(shù)據(jù)，可繪制多批比較箱線圖。箱線圖可反映出一組數(shù)據(jù)分布特征，還可進(jìn)行多組數(shù)據(jù)分布特征的比較。62箱線圖的繪制方法箱線圖是由一個(gè)箱子和兩條線段組成。（1）找出一組數(shù)據(jù)的5個(gè)特征值；（2）連接兩個(gè)四分位數(shù)畫出箱子；（3）將兩個(gè)極值點(diǎn)與箱子相連接。63第二節(jié)頻數(shù)分布離中程度的測(cè)度[案例1]有兩組男生身高分別為：甲組（cm）：168，172，172，173，175，190乙組（cm）：168，172，175，175，178，182兩組平均身高均為175cm，它們的代表性一樣嗎？64

[案例2]有男、女兩組身高：男組（cm）:168，172，172，173，175，190女組（cm）：163，164，165，165，167，171男組平均身高175cm；（7.02cm,4.01%）女組平均身高165.83cm。(2.61cm,1.57%)思考：兩組平均身高的代表性如何評(píng)價(jià)？第二節(jié)頻數(shù)分布離中程度的測(cè)度65

[案例3]從某校一年級(jí)大學(xué)生中隨機(jī)抽取100人，測(cè)得他們的身高和體重平均值分別是168厘米和52千克,相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差為9厘米和5千克，問身高和體重哪一個(gè)差異大？(5.36%,9.62%)第二節(jié)頻數(shù)分布離中程度的測(cè)度66案例1計(jì)算表:

甲組乙組

身高xx-x(x-x)2身高xx-x(x-x)2168-749168-749172-39172-39172-3917500173-2417500175001783919015225182749合計(jì)296合計(jì)116

甲組：σ=[∑(x-x)2/n]1/2=7.02（厘米）乙組：σ=[116/6]1/2=4.4（厘米）67第二節(jié)頻數(shù)分布離中程度的測(cè)度

離中程度，是各個(gè)變量值遠(yuǎn)離其中心值的程度，又稱離散程度，或變異指標(biāo)。

為什么要測(cè)度離中程度？集中趨勢(shì)只是數(shù)據(jù)分布的一個(gè)特征，它所反映的是總體各單位變量值向其中心值聚集的程度。而各變量值之間的差異狀況如何，均值的代表性有多大，這就需要用離中程度對(duì)其進(jìn)行考察。數(shù)據(jù)的離中程度是數(shù)據(jù)分布的另一個(gè)重要特征，它與均值的關(guān)系是：

變量值的差異大，離散程度就大，均值的代表性就??；變量值差異小，離散程度就小，均值的代表性也就大。

68

描述數(shù)據(jù)離散程度的測(cè)度值主要有極差、平均差、方差和標(biāo)準(zhǔn)差、離散系數(shù)等。

一、極差

極差亦稱全距，即兩極之差。根據(jù)全距的大小來說明變量值變動(dòng)范圍的大小。極差R＝最大值-最小值對(duì)于組距分組數(shù)據(jù)，極差也可以近似表示為：R=最高組的上限值-最低組的下限值優(yōu)缺點(diǎn)：極差是描述數(shù)據(jù)離散程度的最簡(jiǎn)便測(cè)度值，其計(jì)算簡(jiǎn)單，易于理解，但它容易受極端值的影響。第二節(jié)頻數(shù)分布離中程度的測(cè)度69補(bǔ)充：內(nèi)距內(nèi)距，是兩個(gè)四分位數(shù)之差，即：

內(nèi)距=上四分位數(shù)-下四分位數(shù)與極差比較，內(nèi)距基本不受極端值的影響，且內(nèi)距反映的是中間50%數(shù)值大小的差異，故能給出比極差更多的數(shù)據(jù)差異信息。70二、平均差

平均差是表明總體各單位變量值與其均值之間絕對(duì)離差的算術(shù)平均數(shù)，又稱平均離差，一般用A·D表示。

為什么采取離差的絕對(duì)值，即

71平均差兩種計(jì)算形式（1）簡(jiǎn)單平均差(適用于未分組資料)其公式為：

（2）加權(quán)平均差（分組資料）其公式為：

72二、平均差優(yōu)缺點(diǎn)：平均差是根據(jù)全部變量值計(jì)算的，受極端值的影響比較小，所以，它能夠綜合反映總體中各單位變量值的離散程度。但由于它采用絕對(duì)值計(jì)算不符合代數(shù)方法的演算，所以在統(tǒng)計(jì)研究中應(yīng)用較少。

73

三、方差和標(biāo)準(zhǔn)差（一）

方差和標(biāo)準(zhǔn)差的含義方差，是總體各單位變量值與其算術(shù)平均數(shù)的離差平方的算術(shù)平均數(shù)，用σ2表示，方差的平方根就是標(biāo)準(zhǔn)差σ。與方差不同的是，標(biāo)準(zhǔn)差是具有量綱的，它與變量值的計(jì)量單位相同，其實(shí)際意義要比方差清楚。因此，在對(duì)社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象進(jìn)行分析時(shí)，更多使用標(biāo)準(zhǔn)差。

思考：與平均差比較，標(biāo)準(zhǔn)差的優(yōu)點(diǎn)是什么？74

平均差與標(biāo)準(zhǔn)差的比較：標(biāo)準(zhǔn)差與平均差雖都是變量值與均值的平均離差，但不同的是平均差所平均的是離差絕對(duì)值，而標(biāo)準(zhǔn)差平均的是離差平方。標(biāo)準(zhǔn)差徹底解決了正負(fù)離差不能相加的問題。它在抽樣調(diào)查、相關(guān)分析中應(yīng)用較多，所以標(biāo)準(zhǔn)差是應(yīng)用較為廣泛的一種離中趨勢(shì)的測(cè)度值。

75標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算有兩種形式——

簡(jiǎn)單平均式和加權(quán)平均式（1）在未分組資料情況下，采用簡(jiǎn)單平均式。公式為：

（2）在分組資料情況下，采用加權(quán)平均式。公式為：

76(二)方差的數(shù)學(xué)性質(zhì)：

1、變量的方差等于變量平方的平均數(shù)減去變量平均數(shù)的平方。即：2、變量對(duì)算術(shù)平均數(shù)的方差，小于對(duì)任意常數(shù)的方差。（三）標(biāo)準(zhǔn)差的應(yīng)用

標(biāo)準(zhǔn)差可用于計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)化值。

標(biāo)準(zhǔn)化值是某一數(shù)據(jù)與平均數(shù)的距離以標(biāo)準(zhǔn)差為單位的測(cè)量值。其計(jì)算公式為：

77一組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)原始數(shù)據(jù)都可以計(jì)算出對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)化值，這一組標(biāo)準(zhǔn)化值組成一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)化值的平均數(shù)為零，標(biāo)準(zhǔn)差為1。

當(dāng)Zi=0時(shí),即xi=x，這時(shí)原始數(shù)據(jù)正好等于這一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)；

當(dāng)Zi>0時(shí)，原始數(shù)據(jù)高于其平均數(shù)；當(dāng)Zi<0時(shí)，原始數(shù)據(jù)低于其平均數(shù)。標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)越大，說明它距離平均數(shù)越遠(yuǎn)。標(biāo)準(zhǔn)化值的作用：標(biāo)準(zhǔn)化值不僅能表明各原始數(shù)據(jù)在一組數(shù)據(jù)分布中的相對(duì)位置，而且還能在不同分布的各原始數(shù)據(jù)間進(jìn)行比較，同時(shí)還能接受代數(shù)方法的處理。因此，標(biāo)準(zhǔn)化值在統(tǒng)計(jì)分析中起這十分重要的作用。

78標(biāo)準(zhǔn)化值的應(yīng)用：比如，已知某班統(tǒng)計(jì)學(xué)平均成績(jī)?yōu)?0分，標(biāo)準(zhǔn)差為10分；會(huì)計(jì)學(xué)平均成績(jī)?yōu)?0分，標(biāo)準(zhǔn)差為8分。甲學(xué)生統(tǒng)計(jì)學(xué)成績(jī)?yōu)?2分，會(huì)計(jì)學(xué)成績(jī)?yōu)?8分。試比較甲學(xué)生兩門課程考試成績(jī)的優(yōu)劣。若僅從原始分?jǐn)?shù)看，甲學(xué)生統(tǒng)計(jì)學(xué)的成績(jī)高于會(huì)計(jì)學(xué)成績(jī)。但由于甲學(xué)生這兩門課的成績(jī)分屬于不同的分布，所以無法直接比較。要正確比較，首先要把原始數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)，使這兩個(gè)分?jǐn)?shù)放在標(biāo)準(zhǔn)差為1、平均數(shù)為0的統(tǒng)一尺度下進(jìn)行比較。統(tǒng)計(jì)學(xué)的標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)為：Z=（82-80）/10=0.2會(huì)計(jì)學(xué)的標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)為：Z=（78-70）/8=1從標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)可看出，甲學(xué)生統(tǒng)計(jì)學(xué)成績(jī)超過全班平均成績(jī)0.2個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差，即接近于平均成績(jī)；會(huì)計(jì)學(xué)成績(jī)超過平均成績(jī)1個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差。顯然，甲學(xué)生的會(huì)計(jì)學(xué)成績(jī)相對(duì)地更優(yōu)些。79四、變異系數(shù)平均差和標(biāo)準(zhǔn)差其數(shù)值大小，不僅決定于各標(biāo)志值的差異程度，還決定于數(shù)列平均水平的高低，同時(shí)它們具有與標(biāo)志值相同的名數(shù)。因而，對(duì)于具有不同平均水平和不同計(jì)量單位的數(shù)列，就不能直接利用標(biāo)準(zhǔn)差等來比較其標(biāo)志變動(dòng)程度的大小，而需要用變異系數(shù)，以消除不同數(shù)列水平的影響。80四、變異系數(shù)變異系數(shù)是將標(biāo)準(zhǔn)差或平均差與其平均數(shù)對(duì)比所得的比值，又稱離散系數(shù)。公式為：

或（被常用）

變異系數(shù)是一個(gè)無名數(shù)的數(shù)值，可用于比較不同數(shù)列的變異程度。

81五、成數(shù)（一）成數(shù)的概念

所謂成數(shù)是總體中具有某種屬性或特征的單位數(shù)占全部單位數(shù)的比重，它反映了總體中“是”或“非”屬性的構(gòu)成，并且代表著該種屬性或特征反復(fù)出現(xiàn)的程度，即頻率。

成數(shù)的計(jì)算。在一個(gè)是非標(biāo)志總體中，如果全部總體單位數(shù)用Ｎ來表示，具有某種屬性或特征的單位數(shù)用Ｎ1表示，它在全部總體單位數(shù)中所占的比重（即成數(shù)）用P表示。則：P＝Ｎ1/Ｎ

82

將不具有某種屬性或特征的單位數(shù)用Ｎ0表示，它在全部總體單位數(shù)中所占的比重（成數(shù)）用Q表示，則：Q＝Ｎ0/Ｎ

兩個(gè)成數(shù)之和等于１，即：Ｎ1/Ｎ＋Ｎ0/Ｎ＝１亦即，P＋Q＝１因而，Q＝１－P83（二）是非標(biāo)志的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差

是非標(biāo)志是品質(zhì)標(biāo)志，因而無法直接計(jì)算其平均質(zhì)量。要計(jì)算是非標(biāo)志的平均數(shù)，就必須將是非標(biāo)志在性質(zhì)上的差別過渡到數(shù)量上的變異，即將是非標(biāo)志數(shù)量化。如果以“１”表示具有某種屬性或特征的單位的標(biāo)志值，以“0”表示不具有某種屬性或特征的單位的標(biāo)志值，則是非標(biāo)志就轉(zhuǎn)化為（0，1）的數(shù)量標(biāo)志值。

列成統(tǒng)計(jì)表，則有：

是非標(biāo)志值（變量值）x比重（成數(shù)）f1

P0

Q合計(jì)

184

是非標(biāo)志平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算表

是非標(biāo)志值比重變量值×離差離差離差平方（變量值）（成數(shù)）比重平方×權(quán)數(shù)xfxfx-x(x-x)2(x-x)2f