第8章 截面的幾何性質(zhì)

工程力學(xué)系多媒體教學(xué)課件系列之一工程力學(xué)第8章截

面

的

幾

何

性

質(zhì)水利土木工程學(xué)院工程力學(xué)課程組

靜矩、形心及其相互關(guān)系

慣性矩的概念及計算方法

慣性矩的平行移軸公式

組合截面慣性矩計算單元學(xué)習(xí)目標(biāo)

靜矩、形心及其相互關(guān)系

慣性矩的概念及計算方法慣性矩的平行移軸公式組合截面慣性矩計算截面對于一個構(gòu)件或者結(jié)構(gòu)來說是非常重要的，下面我們列舉一下工程當(dāng)中常見的幾種截面：槽鋼角鋼工字型在工程中，我們總是希望在滿足安全條件的前提下，盡可能地使用較少的材料，以取得較好的經(jīng)濟(jì)效果，由此就會遇到一些與構(gòu)件的截面形狀和尺寸有關(guān)的幾何量，這些量統(tǒng)稱為截面的幾何性質(zhì)。截面的幾何性質(zhì)是影響構(gòu)件的承載力的重要因素之一。一般工程問題，截面的幾何性質(zhì)主要包括：形心、靜矩、慣性矩、慣性半徑、極慣性矩、慣性積、形心主軸和形心主矩等。工程力學(xué)中，研究桿件的應(yīng)力與變形，研究失效問題以及強(qiáng)度、剛度、穩(wěn)定性問題，都要涉及到與截面的幾何性質(zhì)有關(guān)的量。截面A對于y軸的靜矩截面A對于z軸的靜矩zyOdAyzrA注意：靜矩是一個代數(shù)量，可正、可負(fù)或?yàn)榱悖煌唤孛鎸Σ煌鴺?biāo)軸的靜矩不同；靜矩的常用單位是m3或mm3。一.靜矩zyOdAyzrAzCyCC點(diǎn)C(zC，yC)稱為截面形心，通過形心的坐標(biāo)軸稱為形心軸。

1、截面對形心軸的靜矩為零；

2、若截面對某軸的靜矩為零，則該軸必為形心軸。

3、已知靜矩可確定截面的形心坐標(biāo)；已知截面的形心坐標(biāo)可確定靜矩。二.形心位置由若干個簡單截面（如矩形、圓形、三角形等）組成的截面稱為組合截面。組合截面對于某一軸的靜矩等于各組成部分對同一軸的靜矩的代數(shù)和，即也可以通過靜矩來計算組合截面的形心位置，即其中Ai、zCi、yCi分別表示第i個簡單截面的面積及形心坐標(biāo)。三.組合截面形心位置101080120試確定下圖的形心。zyC2C1C1(0,0)C2(-35,60)

【例I-1】【解】方法一：用正面積法求解。將截面分割為兩個矩形，建立坐標(biāo)系如圖所示。形心C坐標(biāo)為（-20.3，34.7）。CC1（0,0）C2（5,5）【解】方法二：用負(fù)面積法求解。將截面分割為兩個矩形，建立坐標(biāo)系如圖所示。101080120C2負(fù)面積zyC1C形心C坐標(biāo)為（-20.3，-20.3）。這兩種方法所得到的形心坐標(biāo)不同是由于選擇不同的坐標(biāo)系引起的。2023/2/111zy4040試確定下圖形心解：按組合圖形解

1.正面積法，圖形分割為三圖(a)例①C1（y為對稱軸）402020③C3②C22023/2/1128080圖(b)2.負(fù)面積法，圖形分割如圖(b)4040負(fù)面積②C2zy①C12023/2/113y例①②③三根10號槽鋼焊成一體，求整個截面的形心∵

y為對稱軸，∴形心在y軸上各種規(guī)格品種的型鋼，幾何尺寸、參數(shù)可查型鋼表——

p370zcxxyy(形心)解：試確定等腰梯形面積的形心和對底邊的靜矩。abhC1C2zyO截面對底邊的靜矩形心位置C

【例I-2】【解】CL6TU6[練習(xí)]求圖示陰影部分的面積對y軸的靜矩。解：[例]求三角形ABC對底邊BC的靜矩bhABCOzy解:z積分得：靜矩、形心及其相互關(guān)系

慣性矩的概念及其計算方法慣性矩的平行移軸公式組合截面慣性矩計算截面對y

軸的慣性矩截面對z

軸的慣性矩截面對O點(diǎn)的極慣性矩zyOdAyzrA注意：慣性矩恒為正值；同一截面對不同坐標(biāo)軸的慣性矩不同；慣性矩的常用單位是m4或mm4。zyOdAyzrA力學(xué)計算中，常將慣性矩寫成截面面積A與某一長度（稱為慣性半徑）平方的乘積，即或注意：慣性半徑恒為正值；同一截面對不同坐標(biāo)軸的慣性半徑不同；慣性矩的常用單位是m或mm。zyOdAyzrA截面對yz軸的慣性積注意：慣性積是一個代數(shù)量，可正、可負(fù)或?yàn)榱?；慣性積是對一對坐標(biāo)軸而言的，這與靜矩、慣性矩和慣性半徑是不同的；慣性積的常用單位是m4或mm4；如果一對相互垂直的軸中一個坐標(biāo)軸通過截面形心，則截面對這一對軸的慣性積為零，反之，如果截面對一對軸的慣性積為零，則其中一軸必通過截面形心。zy（對稱軸）二、性質(zhì)：1.zz說明：兩側(cè)對稱的面積微分——顯然該情況對全部圖形都如此2.I

可分割組合3.若

y

、z之一是對稱軸yy附錄則Iyz=0y坐標(biāo)同值同號，z坐標(biāo)同值反號，積分中相互抵消：已知：圓截面直徑d，求：Iy，Iz，IP。drdrdACyz取圓環(huán)微元面積

【例I-3】【解】

【例I-4】【解】已知：矩形截面b×h，求：Iy，Iz。CyzbhzdzdA2ydydA1分別取平行于x

軸和y

軸的微元面積，24例

求慣性矩（對稱軸）yzh/2h/2H/2H/2B/2B/2b/2b/2慣性積解：因二軸為對稱軸A1A225例

求圖形慣性矩，

求

,②②②解：求①10107070606020②①兩腰負(fù)面積圖形分割為三：圖形仍分割為三：②①四.慣性矩、極慣性矩和慣性積性質(zhì)一覽表名稱定義量綱關(guān)系性質(zhì)靜矩慣性矩極慣性矩慣性積[L3][L4][L4][L4]對形心軸靜矩為零對對稱軸慣積為零靜矩、形心及其相互關(guān)系慣性矩的概念及計算方法

慣性矩的平行移軸公式

組合截面慣性矩計算

平行移軸定理（parallel-axistheorem）是指截面對于互相平行的坐標(biāo)軸的慣性矩、慣性積之間有如下關(guān)系：AzyOz1y1O1ab其中：A為截面面積，x、y軸為形心軸，x1、y1為分別與x、y軸平行的軸，a、b分別為相應(yīng)平行軸之間的距離。AzyOz1y1O1abdAyzy1z1證明：根據(jù)慣性矩和慣性積的定義顯然有即推導(dǎo)Iy、Iz、Iyz與

Iy1、Iz1、Iy1z1的關(guān)系，x、y軸為形心軸。

y1=y＋a，z1=z＋b

同時還應(yīng)有代入上式得AzyOz1y1O1abdAyzy1z1證明：即

y1=y＋a

z1=z＋b

AzyOz1y1O1abdAyzy1z1由于y、z軸通過截面形心，所以Sy＝Sz＝0，即有證明：[證畢]利用平行移軸定理可以通過已知截面對一對坐標(biāo)的慣性矩和慣性積，求其對另一對坐標(biāo)的慣性矩與慣性積。

因?yàn)槊娣e及包含a2、b2的項(xiàng)恒為正，故自形心軸移至與之平行的任意軸，慣性矩總是增加的。

a、b為原坐標(biāo)系原點(diǎn)在新坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，要注意二者的正負(fù)號；二者同號時abA為正，異號時為負(fù)。所以，移軸后慣性積有可能增加也可能減少。在所有互相平行的軸中，對形心軸的慣性矩是最小的。此時a=0，b=0.

試求三角形對z、z1軸的慣性矩。zb/2b/2h/2h/2Oyz1ydyzC

【例I-5】【解】C34例2求圖示圓對其切線AB的慣性矩。解：此題求解——兩種方法：一是按定義直接積分；二是用平行移軸定理B

建立形心坐標(biāo),求圖形對形心軸的慣性矩。AdxyO80802020解（1）確定形心軸Z的位置：先求形心位置取y為對稱軸，形心必位于對稱軸上。Zc=0Z1CZyc（2)求IZIⅡ[例4-4]確定形心軸Z的位置，并求IZyZ80802020IⅡCycZCⅠZCⅡy[例4-5]：求圖示平面圖形對y、z軸的慣性矩Iy、IZCL6TU11（y為對稱軸、過形心）IIIII解（1）求Iy（2)求IZ:Z*ZcIIIIIII靜矩、形心及其相互關(guān)系慣性矩的概念及其計算方法慣性矩的平行移軸公式

組合截面慣性矩計算

工程計算中應(yīng)用最廣泛的是組合截面的形心主慣性矩，即截面對于通過其形心的主軸之慣性矩。為此，必須首先確定截面的形心以及形心主軸的位置。

因?yàn)榻M合截面都是由一些簡單截面組成，在確定其形心、形心主軸以至形心主矩時，通常不采用積分法，而是利用簡單截面的幾何性質(zhì)以及平行移軸定理，按以下步驟進(jìn)行：

將組合截面分解為若干簡單截面，確定其形心；

2010020解：①求形心位置100例

求圖形對其形心軸的慣性矩分割為二,②求Czc(yc

)直接套用矩形公式20100CC2求③C1但

zc

不過二者形心——平行移軸20——圖形分割為二：100例題4求梯形截面對其形心軸yC

的慣性矩.解：將截面分成兩個矩形截面.20140100