自適應(yīng)天線-第二章2.1

1第二章自適應(yīng)陣的反饋概念

2.1

LMS自適應(yīng)陣

2.3

肖(Shor)陣

2.2阿普爾鮑姆陣

2.4

離散的LMS陣

2.5離散的阿普爾鮑姆陣2

2.1LMS自適應(yīng)陣圖2.1LMS自適應(yīng)陣3其中:誤差信號為反饋系統(tǒng)調(diào)節(jié)(WI1,WQ1,····WIN,WQN)使得最小.?表示期望值(均值)——LMS準(zhǔn)則注:2.1.1選定LMS準(zhǔn)則的依據(jù)設(shè)天線陣用于通信系統(tǒng),且陣的輸出包括需要信號、干擾和熱噪音,即:(2.1)式中分別為需要信號,干擾信號,熱噪聲。假設(shè)參考信號是需要信號的復(fù)制信號:(2.2)4則:(2.3)而均方誤差為:(2.4)當(dāng)時(shí),最小;

反之,若最小,則對應(yīng)于陣列輸出端需要信號功率固定,干擾和熱噪聲功率最小。2.1.2最佳加權(quán)先來確定為了得到最小

應(yīng)設(shè)置的加權(quán).對于任意一組加權(quán),陣列輸出為:(2.5)所以,誤差信號為:(2.6)5均方誤差為:(2.7)寫成矩陣形式得到下式:(2.8)式中和分別為下列矩陣:(2.9)(2.10)6的二次函數(shù)(呈碗形曲面).那么而為2N×2N矩陣:(2.11)可以看出:是關(guān)于該碗形曲面有且只有一個(gè)極小值.得到極小值的加權(quán)矢量用表示,它可由下式確定:(2.12)7由于:(2.13)從而可得:(2.15)此時(shí)可以得到其極小值:(2.16)代入式(2.15),可以得到:(2.18)對于任意加權(quán)的均方誤差可改寫成更為有用的形式:(2.19)因?yàn)閷ΨQ矩陣,可以由下式代替(2.20)8從上式可看出的二次型性質(zhì).整理式(2.19)的各項(xiàng)可以得出:(2.21)當(dāng)時(shí):當(dāng)時(shí):因?yàn)榈姆菍蔷€一般不為零,碗形的主軸不與加權(quán)平行.利用以下變換可得到軸平行于碗型的主軸的坐標(biāo)系統(tǒng):(2.22)式中為的坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)矩陣,為元列矩陣.(2.23)將式(2.22)代入式(2.21)之中得到:(2.24)9因的極值為極小值，所以特征值非負(fù)，而且為非負(fù)正定的(半正定).

則便是碗形的正規(guī)坐標(biāo)。若選擇使為對角陣,亦即：式中為的特征值，(2.25)10

因?yàn)榍嫔系奶荻仁侵赶蜃疃干掀路较?且k>0,這個(gè)方程便迫使加權(quán)最陡下坡,或最陡下降方向移動.并且,這個(gè)方程使的時(shí)間變化率正比于曲面的斜率.因?yàn)槎涡颓娴男甭孰S離開其極小點(diǎn)的距離而線性增加,所以當(dāng)加權(quán)遠(yuǎn)離碗底時(shí),式(2.26)使加權(quán)迅速變化,僅當(dāng)加權(quán)接近碗底時(shí)變化才緩慢.2.1.3LMS算法

對于任何給定的陣元排列,曲面的形狀,位置和取向與入射到陣列的信號有關(guān).若這些信號的個(gè)數(shù),到達(dá)角或功率電平隨時(shí)間變化,則碗形曲面及相應(yīng)的將在加權(quán)平面上移動.自適應(yīng)陣的任務(wù)就是在于控制加權(quán)矢量使之對碗形底進(jìn)行跟蹤.在LMS陣中,加權(quán)是根據(jù)梯度算法進(jìn)行調(diào)整的,控制方程為:(2.26)11利用求導(dǎo)公式可得:(2.27)可選:(2.28)這樣,就有:(2.29)因?yàn)?

(2.31)所以,對于給定的

,若,很明顯:將取得最小的負(fù)值.

12利用

的表達(dá)式,即式(2.7),可以得到:(2.33)所以式(2.26)式可以寫為:(2.34)但是上式實(shí)現(xiàn)困難,因?yàn)槠溆疫呌衅谕\(yùn)算.在實(shí)時(shí)處理器中無法得到求解。因此有必要用某種估計(jì)來代替它。最簡單形式如下:(2.35)這個(gè)方程被稱為威德羅等人的LMS算法.13

上式等效于圖2.3所示的反饋環(huán).因?yàn)閮H是自適應(yīng)陣的正交雙道加權(quán)中的一個(gè),所以每個(gè)天線單元陣元后面需要兩個(gè)這樣的環(huán)路,一個(gè)是同相通道,一個(gè)是正交通道,如圖2.4所示.該反饋環(huán)常稱為相關(guān)環(huán),采用這個(gè)術(shù)語是由于該環(huán)內(nèi)形成了和的乘積,并將乘積積分,即:

圖2.3LMS反饋環(huán)圖2.4一個(gè)陣元的LMS反饋(2.36)142.1.4省略E[·]的影響采用近似的影響.此時(shí)曲面為瞬時(shí)隨機(jī)變化的曲面.若為平穩(wěn)隨機(jī)過程,則曲面不隨時(shí)間變化,相應(yīng)地,將在其平均值周圍變化,因此陣的每個(gè)加權(quán)也變成隨機(jī)過程.對于用瞬時(shí)曲面的梯度代替曲面的梯度的算法,加權(quán)繞其平均值起伏,故僅能通過選擇足夠小的增益k來盡可能平均掉隨機(jī)變化,從而使加權(quán)的方差盡可能小.反之,若采用E[·],則可以采用任意大的k值.例:假設(shè)環(huán)路輸入信號為連續(xù)信號x(t),參考信號為r(t):分析:(1)若包含E[·],則圖2.5的加權(quán)滿足方程:(2.37)(2.40)15圖2.5單LMS環(huán)路輸出信號為:(2.41)所以誤差信號為:(2.42)因此:(2.43)所以,w滿足右式:(2.45)16這個(gè)微分方程的解為:(2.46)(注:式中w(0)為w(t)在t=0時(shí)的初值.)(2)若省略E[·],此時(shí),w滿足下式:(2.49)采用數(shù)值求解法,對于k=A=R=1,w(0)=0和θ=0,可得到如圖2.6的解的形式.17

采用E[.]形式時(shí),加權(quán)隨時(shí)間呈簡單指數(shù)形式變化;

省略E[.]形式時(shí),加權(quán)圍繞著指數(shù)形式振蕩,且增加時(shí),加權(quán)逼近指數(shù)形式.18其中就稱作解析信號.2.1.5復(fù)數(shù)表示法

研究一種簡化自適應(yīng)陣分析的方法,即復(fù)數(shù)加權(quán)的解析信號表示法.首先回顧一下希爾伯特變換的定義:而圖2.7處理一個(gè)陣元的正交混合器19圖2.7表示正交混合器和一對加權(quán),這是自適應(yīng)陣的一個(gè)陣元后所接的電路.采用解析信號表示法,P.273圖B.5說明了如何利用解析信號表示法表示正交混合器.圖B.5簡化的正交混合器模型假設(shè)正交混合器是寬帶的,所以:(2.51)我們可以定義復(fù)信號為:(2.52)20再定義復(fù)加權(quán):(2.53)定義相應(yīng)的解析信號為:(2.54)(2.55)(2.56)(2.57)現(xiàn)在討論圖2.7所示的第j陣元的輸出和其希爾伯特變換:(2.58)式中:因此有:(2.60),(2.61)所以,解析信號為:(2.59)(2.62)21定義復(fù)加權(quán)矢量和復(fù)信號矢量分別為:(2.63)但是,根據(jù)和的定義可見,這恰恰就是:(2.64)對于整個(gè)陣,其解析的輸出信號為:(2.65)(2.66)(2.67)所以可以得到:(2.68)222.1.6復(fù)數(shù)LMS算法所以可得:(2.69)(2.71)實(shí)數(shù)形式的LMS算法為:(2.70)利用希爾伯特變換關(guān)系:(2.72)(2.73)23可以得到:(2.74)(2.75)因此式(2.71)可以寫為:(2.76)現(xiàn)在研究反饋方程:(2.78)經(jīng)過演算和推導(dǎo)可以得到復(fù)數(shù)的LMS算法:(2.79)上式可用圖2.8的方塊圖來表示:24圖2.8復(fù)數(shù)的LMS環(huán)路式(2.79)可以寫為下面的矢量形式:(2.80)然而,可以寫為:(2.81)因此式(2.80)為:(2.82)25或:(2.83)定義協(xié)方差矩陣和參考相關(guān)矢量分別為:(2.84)(2.85)則

的微分方程變?yōu)?(2.86)------Hermite矩陣26只要是非奇異的,穩(wěn)態(tài)的加權(quán)矢量便為:(2.87)為了得到瞬態(tài)解,將標(biāo)準(zhǔn)型式的加權(quán)坐標(biāo)旋轉(zhuǎn),令:(2.88)式中R為N×N的酉矩陣:(2.89)

為列矢量,其元素為新加權(quán)值,即:(2.90)27將式(2.88)代入式(2.86),并左乘(‘+’表示轉(zhuǎn)置共軛)得到:(2.91)若選擇R使為對角線陣:

(2.92)式中為的特征值,則的微分方程相互無關(guān).對的解為:

(2.93)因此將有下列形式:28

考慮如圖2.8所示的由兩個(gè)各向同性陣元組成的LMS陣.一個(gè)頻率為的連續(xù)波信號以相對于側(cè)射方向?yàn)榈慕嵌葌鞯疥嚿?設(shè)陣元間距為在頻率時(shí)的半波長.

經(jīng)過矩陣運(yùn)算,可以得到關(guān)于的較為簡練的表達(dá)式:

(2.94)式中由t=0時(shí)

的初值決定.2.1.7例子圖2.9二元LMS陣

①.

假設(shè)信號包含需要信號和熱噪聲:(2.95)(2.96)例1.29上式中和分別為需要信號和熱噪音分量.②.

對于連續(xù)波的需要信號,和為:(2.97)(2.98)上式中為需要信號的幅度,為陣元1處的載波相位角,而為陣元之間的相位移.假設(shè)為均勻分布的隨機(jī)變量,其概率密度為:(2.99)因?yàn)殛囋g距是半波長,則有:(2.100)③.

假設(shè)熱噪音功率密度為,且為零均值的隨機(jī)過程,并且彼此以及和需要信號統(tǒng)計(jì)無關(guān).則有:(2.101)(2.103)30⑤.

每一個(gè)陣元混合為兩路信號,即同相和正交信號分別為:(2.104)④.

假設(shè)參考信號為與需要信號相關(guān)的連續(xù)波信號:(2.105)(2.106)于是,平均的輸入功率為:因此,正交混合器的輸入信號為:(2.107)(2.108)而輸入噪聲功率為:(2.109)所以每個(gè)陣元上的輸入信噪比(SNR)為:(2.110)31⑥.

現(xiàn)在計(jì)算陣列的穩(wěn)態(tài)加權(quán),并研究陣的性能.將信號矢量寫為:式中:(2.111)(2.112)(2.114)先考慮協(xié)方差矩陣,可寫為:(2.115)而由(2.112)有:(2.116)32而且:(2.117)式中I為單位矩陣,所以為:(2.118)因?yàn)槭墙y(tǒng)計(jì)無關(guān)的,所以:(2.119)加權(quán)矢量滿足:(2.120)其穩(wěn)態(tài)部分為:(2.121)根據(jù)式(2.118),為:(2.122)33(2.123)的表達(dá)式為:(2.125)式中變量是陣中每個(gè)陣元的輸入信噪比.我們注意到,兩個(gè)復(fù)加權(quán)和的幅度相同:(2.126)但相位相差.正是這個(gè)適當(dāng)數(shù)量的相位差使得加權(quán)信號和能夠?qū)崿F(xiàn)同相相加.的逆為:34⑦.

計(jì)算方向圖:為了計(jì)算方向圖,假設(shè)單位幅度的信號以角傳到陣,因此,該信號在陣上產(chǎn)生一個(gè)信號矢量:(2.127)陣的輸出信號為:(2.129)該信號的幅度為:(2.130)該陣的電壓方向圖為:(2.131)35值得注意的是的最大值總是在方向(即時(shí)).因此,LMS加權(quán)矢量自動地操縱方向圖的最大值到需要信號的方向上.下圖給出了兩種情況的方向圖：圖2.10二元自適應(yīng)陣的電壓方向圖36⑧.下面研究輸出端的信號和噪音功率.首先,實(shí)信號s(t)的平均功率為:(2.132)利用相應(yīng)的解析信號

,P可表示為:(2.133)因?yàn)?(2.134)現(xiàn)在來看陣輸出端的需要信號功率和熱噪聲功率.由式(2.111)可知陣的輸出信號可以寫作:(2.135)式中:(2.136)(2.137)37因此輸出的需要信號為:(2.138)陣輸出需要信號的功率為:(2.139)式中為參考信號的功率.當(dāng)輸入信號比很高時(shí),輸出的需要信號功率等于參考信號的功率.通常,LMS

反饋實(shí)際上并不能使輸出端的需要信號與參考信號匹配.比較式(2.104)和式(2.138)可以看出:(2.141)式中:(2.142)38比值與輸入SNR有關(guān).如下圖所示,輸入的SNR高時(shí),

基本上等于,但是對于較低的SNR,則小于.圖2.11比值與輸入SNR的關(guān)系下面研究噪聲信號.輸出的噪聲信號為:(2.143)輸出的噪聲信號功率為:(2.144)39(2.145)噪音功率與有關(guān),如圖2.12所示:圖2.12與輸入SNR的關(guān)系而陣的輸出信噪比為:(2.146)40二元自適應(yīng)陣在無干擾下的特點(diǎn):ⅰ.輸出信噪比(SNR)為輸入信噪比的2倍,且為最大輸出SNR;ⅱ.參考信號幅度不影響LMS加權(quán)的最佳值;ⅲ.對于任何,陣也可得到最大輸出SNR.⑨.的瞬態(tài)特性.通常,加權(quán)是從t=0

的任意初值開始,并按式(2.94)的形態(tài)經(jīng)歷瞬態(tài)過程.由式(2.124)有：(2.147)(2.148)式中和為的特征值,這些特征值可通過求解下式得到:41其解為:(2.149)(注意:因?yàn)闊嵩胍繇?xiàng)存在,和均為正,所以是正定的).(2.150)這是關(guān)于未知量和的一個(gè)方程.為了得到另一個(gè)方程,可以采用加權(quán)的微分方程:(2.151)用來表示t=0時(shí)的:(2.152)而:(2.153)合并式(2.152)和式(2.153),并消去因子k得到:(2.154)為了確定具體的加權(quán)瞬態(tài)過程,必須計(jì)算出與的初值有關(guān)的矢量常數(shù)和.在t=0時(shí),應(yīng)用式(2.147)得到:42用和分別乘以式(2.150),并與式(2.154)相加可以得到:(2.155)(2.156)將任意的

值代入這兩個(gè)方程,并計(jì)算出和,即可得到.圖2.13示出了一組用這種方法算出的典型的加權(quán)瞬態(tài)過程,所假設(shè)的參量為:(2.157)(2.158)另外,所用的初始條件為:(2.159)(即:正交加權(quán)的初始值為)43圖2.13二元陣的加權(quán)瞬態(tài)過程可以看出,的瞬態(tài)過程中有兩個(gè)指數(shù)項(xiàng).對于式(2.157)所假設(shè)的數(shù)值,有:(2.160)(2.162),(2.163)相應(yīng)的時(shí)間指數(shù)為:(2.161)44通常,我們發(fā)現(xiàn),當(dāng)信號功率大時(shí),基本上由信號功率確定,而由噪音功率確定.所以,對于高的信噪比,兩時(shí)間常數(shù)之比將為SNR的兩倍.(2.164)這個(gè)比稱為時(shí)間常數(shù)分散度(或特征值分散度).同前,書中22頁中圖2.14給出了根據(jù)圖2.13的瞬態(tài)過程,對不同時(shí)刻算出的一組方向圖.45例2.假設(shè)二元陣與例1相同,陣列接收到連續(xù)波的干擾信號和需要信號,令干擾信號以相對于側(cè)射方向?yàn)榈慕嵌鹊竭_(dá),如圖2.15所示:圖2.15具有需要信號和干擾的二元陣46

①.

上圖所示的陣元信號為:(2.165)(2.166)

假設(shè)干擾信號和為:(2.167)(2.168)

式中為幅度,為陣元間的相位移:(2.169)參考信號仍由式(2.104)表示,它與需要信號相關(guān),且與干擾不相關(guān).

在例1中,輸入信噪比為:(2.171)47同樣,對于干擾信號來說,其輸入干擾噪音比為.定義為輸入干擾噪音比:=輸入INR(2.172)信號矢量可寫為:(2.173)式中與例1中相同.干擾信號矢量為:(2.175)式中:(2.176)最后,與例1一樣有:(2.177)48現(xiàn)在協(xié)方差矩陣變?yōu)?(2.178)需要信號與噪音項(xiàng)已在例1中求得,對于干擾項(xiàng),可類似推出:(2.181)因此:(2.183)

的行列式為:(2.184)而的逆為:(2.185)49參考相關(guān)矢量

:(2.187)該穩(wěn)態(tài)加權(quán)為:(2.189)另外由(2.184)有:(2.190)50

②.

穩(wěn)態(tài)方向圖:現(xiàn)在計(jì)算具有這些加權(quán)的陣的方向圖.以角傳到陣上的單位幅度測試信號將產(chǎn)生下面的信號矢量:該測試信號將產(chǎn)生一個(gè)陣的輸出信號:(2.191)其電壓方向圖為:圖2.16示出用這種方向圖計(jì)算出的一組方向圖.其參數(shù)為:而輸入的INR為:51圖2.16帶有干擾的二元陣的電壓方向圖可見:方向圖零點(diǎn)深度是干擾功率(或)的函數(shù),這種特性正是LMS陣的特點(diǎn)。52

③.

輸出端參量:輸出的需要信號為:(2.192)則輸出的需要信號功率為:(2.193)與此類似,輸出的干擾信號為:則輸出的干擾信號功率為:(2.194)(2.195)53輸出的熱噪音電壓為:(2.196)則輸出的熱噪音功率為:(2.197)最后,定義輸出的需要信號與干擾加熱噪音的比SINR為:(2.198)功率和SINR與的關(guān)系繪于圖2.17～圖2.20中.54圖2.17與的關(guān)系圖2.18與的關(guān)系圖2.19與的關(guān)系圖2.20SINR與的關(guān)系55ⅰ.首先,研究圖2.18所示的與的關(guān)系.由圖可以看出:隨輸入的干擾功率增加,先是增加,然后降低.這種現(xiàn)象出現(xiàn)的原因是:當(dāng)干擾弱時(shí),它不會對控制加權(quán)的反饋環(huán)產(chǎn)生任何影響;當(dāng)干擾很強(qiáng)時(shí),陣的自由度用于抑制干擾(增加10dB將使降低10dB)。ⅱ.輸出需要信號功率隨著上升而下降,因?yàn)槎噧H有一個(gè)自由度,且用于抑制干擾.ⅲ.與幾乎無關(guān),其原因是,加進(jìn)干擾時(shí),