自適應天線-第二章2.1

1第二章自適應陣的反饋概念

2.1

LMS自適應陣

2.3

肖(Shor)陣

2.2阿普爾鮑姆陣

2.4

離散的LMS陣

2.5離散的阿普爾鮑姆陣2

2.1LMS自適應陣圖2.1LMS自適應陣3其中:誤差信號為反饋系統(tǒng)調節(jié)(WI1,WQ1,····WIN,WQN)使得最小.?表示期望值(均值)——LMS準則注:2.1.1選定LMS準則的依據(jù)設天線陣用于通信系統(tǒng),且陣的輸出包括需要信號、干擾和熱噪音,即:(2.1)式中分別為需要信號,干擾信號,熱噪聲。假設參考信號是需要信號的復制信號:(2.2)4則:(2.3)而均方誤差為:(2.4)當時,最小;

反之,若最小,則對應于陣列輸出端需要信號功率固定,干擾和熱噪聲功率最小。2.1.2最佳加權先來確定為了得到最小

應設置的加權.對于任意一組加權,陣列輸出為:(2.5)所以,誤差信號為:(2.6)5均方誤差為:(2.7)寫成矩陣形式得到下式:(2.8)式中和分別為下列矩陣:(2.9)(2.10)6的二次函數(shù)(呈碗形曲面).那么而為2N×2N矩陣:(2.11)可以看出:是關于該碗形曲面有且只有一個極小值.得到極小值的加權矢量用表示,它可由下式確定:(2.12)7由于:(2.13)從而可得:(2.15)此時可以得到其極小值:(2.16)代入式(2.15),可以得到:(2.18)對于任意加權的均方誤差可改寫成更為有用的形式:(2.19)因為對稱矩陣,可以由下式代替(2.20)8從上式可看出的二次型性質.整理式(2.19)的各項可以得出:(2.21)當時:當時:因為的非對角線一般不為零,碗形的主軸不與加權平行.利用以下變換可得到軸平行于碗型的主軸的坐標系統(tǒng):(2.22)式中為的坐標旋轉矩陣,為元列矩陣.(2.23)將式(2.22)代入式(2.21)之中得到:(2.24)9因的極值為極小值，所以特征值非負，而且為非負正定的(半正定).

則便是碗形的正規(guī)坐標。若選擇使為對角陣,亦即：式中為的特征值，(2.25)10

因為曲面上的梯度是指向最陡上坡方向,且k>0,這個方程便迫使加權最陡下坡,或最陡下降方向移動.并且,這個方程使的時間變化率正比于曲面的斜率.因為二次型曲面的斜率隨離開其極小點的距離而線性增加,所以當加權遠離碗底時,式(2.26)使加權迅速變化,僅當加權接近碗底時變化才緩慢.2.1.3LMS算法

對于任何給定的陣元排列,曲面的形狀,位置和取向與入射到陣列的信號有關.若這些信號的個數(shù),到達角或功率電平隨時間變化,則碗形曲面及相應的將在加權平面上移動.自適應陣的任務就是在于控制加權矢量使之對碗形底進行跟蹤.在LMS陣中,加權是根據(jù)梯度算法進行調整的,控制方程為:(2.26)11利用求導公式可得:(2.27)可選:(2.28)這樣,就有:(2.29)因為:

(2.31)所以,對于給定的

,若,很明顯:將取得最小的負值.

12利用

的表達式,即式(2.7),可以得到:(2.33)所以式(2.26)式可以寫為:(2.34)但是上式實現(xiàn)困難,因為其右邊有期望運算.在實時處理器中無法得到求解。因此有必要用某種估計來代替它。最簡單形式如下:(2.35)這個方程被稱為威德羅等人的LMS算法.13

上式等效于圖2.3所示的反饋環(huán).因為僅是自適應陣的正交雙道加權中的一個,所以每個天線單元陣元后面需要兩個這樣的環(huán)路,一個是同相通道,一個是正交通道,如圖2.4所示.該反饋環(huán)常稱為相關環(huán),采用這個術語是由于該環(huán)內形成了和的乘積,并將乘積積分,即:

圖2.3LMS反饋環(huán)圖2.4一個陣元的LMS反饋(2.36)142.1.4省略E[·]的影響采用近似的影響.此時曲面為瞬時隨機變化的曲面.若為平穩(wěn)隨機過程,則曲面不隨時間變化,相應地,將在其平均值周圍變化,因此陣的每個加權也變成隨機過程.對于用瞬時曲面的梯度代替曲面的梯度的算法,加權繞其平均值起伏,故僅能通過選擇足夠小的增益k來盡可能平均掉隨機變化,從而使加權的方差盡可能小.反之,若采用E[·],則可以采用任意大的k值.例:假設環(huán)路輸入信號為連續(xù)信號x(t),參考信號為r(t):分析:(1)若包含E[·],則圖2.5的加權滿足方程:(2.37)(2.40)15圖2.5單LMS環(huán)路輸出信號為:(2.41)所以誤差信號為:(2.42)因此:(2.43)所以,w滿足右式:(2.45)16這個微分方程的解為:(2.46)(注:式中w(0)為w(t)在t=0時的初值.)(2)若省略E[·],此時,w滿足下式:(2.49)采用數(shù)值求解法,對于k=A=R=1,w(0)=0和θ=0,可得到如圖2.6的解的形式.17

采用E[.]形式時,加權隨時間呈簡單指數(shù)形式變化;

省略E[.]形式時,加權圍繞著指數(shù)形式振蕩,且增加時,加權逼近指數(shù)形式.18其中就稱作解析信號.2.1.5復數(shù)表示法

研究一種簡化自適應陣分析的方法,即復數(shù)加權的解析信號表示法.首先回顧一下希爾伯特變換的定義:而圖2.7處理一個陣元的正交混合器19圖2.7表示正交混合器和一對加權,這是自適應陣的一個陣元后所接的電路.采用解析信號表示法,P.273圖B.5說明了如何利用解析信號表示法表示正交混合器.圖B.5簡化的正交混合器模型假設正交混合器是寬帶的,所以:(2.51)我們可以定義復信號為:(2.52)20再定義復加權:(2.53)定義相應的解析信號為:(2.54)(2.55)(2.56)(2.57)現(xiàn)在討論圖2.7所示的第j陣元的輸出和其希爾伯特變換:(2.58)式中:因此有:(2.60),(2.61)所以,解析信號為:(2.59)(2.62)21定義復加權矢量和復信號矢量分別為:(2.63)但是,根據(jù)和的定義可見,這恰恰就是:(2.64)對于整個陣,其解析的輸出信號為:(2.65)(2.66)(2.67)所以可以得到:(2.68)222.1.6復數(shù)LMS算法所以可得:(2.69)(2.71)實數(shù)形式的LMS算法為:(2.70)利用希爾伯特變換關系:(2.72)(2.73)23可以得到:(2.74)(2.75)因此式(2.71)可以寫為:(2.76)現(xiàn)在研究反饋方程:(2.78)經(jīng)過演算和推導可以得到復數(shù)的LMS算法:(2.79)上式可用圖2.8的方塊圖來表示:24圖2.8復數(shù)的LMS環(huán)路式(2.79)可以寫為下面的矢量形式:(2.80)然而,可以寫為:(2.81)因此式(2.80)為:(2.82)25或:(2.83)定義協(xié)方差矩陣和參考相關矢量分別為:(2.84)(2.85)則

的微分方程變?yōu)?(2.86)------Hermite矩陣26只要是非奇異的,穩(wěn)態(tài)的加權矢量便為:(2.87)為了得到瞬態(tài)解,將標準型式的加權坐標旋轉,令:(2.88)式中R為N×N的酉矩陣:(2.89)

為列矢量,其元素為新加權值,即:(2.90)27將式(2.88)代入式(2.86),并左乘(‘+’表示轉置共軛)得到:(2.91)若選擇R使為對角線陣:

(2.92)式中為的特征值,則的微分方程相互無關.對的解為:

(2.93)因此將有下列形式:28

考慮如圖2.8所示的由兩個各向同性陣元組成的LMS陣.一個頻率為的連續(xù)波信號以相對于側射方向為的角度傳到陣上.設陣元間距為在頻率時的半波長.

經(jīng)過矩陣運算,可以得到關于的較為簡練的表達式:

(2.94)式中由t=0時

的初值決定.2.1.7例子圖2.9二元LMS陣

①.

假設信號包含需要信號和熱噪聲:(2.95)(2.96)例1.29上式中和分別為需要信號和熱噪音分量.②.

對于連續(xù)波的需要信號,和為:(2.97)(2.98)上式中為需要信號的幅度,為陣元1處的載波相位角,而為陣元之間的相位移.假設為均勻分布的隨機變量,其概率密度為:(2.99)因為陣元間距是半波長,則有:(2.100)③.

假設熱噪音功率密度為,且為零均值的隨機過程,并且彼此以及和需要信號統(tǒng)計無關.則有:(2.101)(2.103)30⑤.

每一個陣元混合為兩路信號,即同相和正交信號分別為:(2.104)④.

假設參考信號為與需要信號相關的連續(xù)波信號:(2.105)(2.106)于是,平均的輸入功率為:因此,正交混合器的輸入信號為:(2.107)(2.108)而輸入噪聲功率為:(2.109)所以每個陣元上的輸入信噪比(SNR)為:(2.110)31⑥.

現(xiàn)在計算陣列的穩(wěn)態(tài)加權,并研究陣的性能.將信號矢量寫為:式中:(2.111)(2.112)(2.114)先考慮協(xié)方差矩陣,可寫為:(2.115)而由(2.112)有:(2.116)32而且:(2.117)式中I為單位矩陣,所以為:(2.118)因為是統(tǒng)計無關的,所以:(2.119)加權矢量滿足:(2.120)其穩(wěn)態(tài)部分為:(2.121)根據(jù)式(2.118),為:(2.122)33(2.123)的表達式為:(2.125)式中變量是陣中每個陣元的輸入信噪比.我們注意到,兩個復加權和的幅度相同:(2.126)但相位相差.正是這個適當數(shù)量的相位差使得加權信號和能夠實現(xiàn)同相相加.的逆為:34⑦.

計算方向圖:為了計算方向圖,假設單位幅度的信號以角傳到陣,因此,該信號在陣上產生一個信號矢量:(2.127)陣的輸出信號為:(2.129)該信號的幅度為:(2.130)該陣的電壓方向圖為:(2.131)35值得注意的是的最大值總是在方向(即時).因此,LMS加權矢量自動地操縱方向圖的最大值到需要信號的方向上.下圖給出了兩種情況的方向圖：圖2.10二元自適應陣的電壓方向圖36⑧.下面研究輸出端的信號和噪音功率.首先,實信號s(t)的平均功率為:(2.132)利用相應的解析信號

,P可表示為:(2.133)因為:(2.134)現(xiàn)在來看陣輸出端的需要信號功率和熱噪聲功率.由式(2.111)可知陣的輸出信號可以寫作:(2.135)式中:(2.136)(2.137)37因此輸出的需要信號為:(2.138)陣輸出需要信號的功率為:(2.139)式中為參考信號的功率.當輸入信號比很高時,輸出的需要信號功率等于參考信號的功率.通常,LMS

反饋實際上并不能使輸出端的需要信號與參考信號匹配.比較式(2.104)和式(2.138)可以看出:(2.141)式中:(2.142)38比值與輸入SNR有關.如下圖所示,輸入的SNR高時,

基本上等于,但是對于較低的SNR,則小于.圖2.11比值與輸入SNR的關系下面研究噪聲信號.輸出的噪聲信號為:(2.143)輸出的噪聲信號功率為:(2.144)39(2.145)噪音功率與有關,如圖2.12所示:圖2.12與輸入SNR的關系而陣的輸出信噪比為:(2.146)40二元自適應陣在無干擾下的特點:ⅰ.輸出信噪比(SNR)為輸入信噪比的2倍,且為最大輸出SNR;ⅱ.參考信號幅度不影響LMS加權的最佳值;ⅲ.對于任何,陣也可得到最大輸出SNR.⑨.的瞬態(tài)特性.通常,加權是從t=0

的任意初值開始,并按式(2.94)的形態(tài)經(jīng)歷瞬態(tài)過程.由式(2.124)有：(2.147)(2.148)式中和為的特征值,這些特征值可通過求解下式得到:41其解為:(2.149)(注意:因為熱噪音項存在,和均為正,所以是正定的).(2.150)這是關于未知量和的一個方程.為了得到另一個方程,可以采用加權的微分方程:(2.151)用來表示t=0時的:(2.152)而:(2.153)合并式(2.152)和式(2.153),并消去因子k得到:(2.154)為了確定具體的加權瞬態(tài)過程,必須計算出與的初值有關的矢量常數(shù)和.在t=0時,應用式(2.147)得到:42用和分別乘以式(2.150),并與式(2.154)相加可以得到:(2.155)(2.156)將任意的

值代入這兩個方程,并計算出和,即可得到.圖2.13示出了一組用這種方法算出的典型的加權瞬態(tài)過程,所假設的參量為:(2.157)(2.158)另外,所用的初始條件為:(2.159)(即:正交加權的初始值為)43圖2.13二元陣的加權瞬態(tài)過程可以看出,的瞬態(tài)過程中有兩個指數(shù)項.對于式(2.157)所假設的數(shù)值,有:(2.160)(2.162),(2.163)相應的時間指數(shù)為:(2.161)44通常,我們發(fā)現(xiàn),當信號功率大時,基本上由信號功率確定,而由噪音功率確定.所以,對于高的信噪比,兩時間常數(shù)之比將為SNR的兩倍.(2.164)這個比稱為時間常數(shù)分散度(或特征值分散度).同前,書中22頁中圖2.14給出了根據(jù)圖2.13的瞬態(tài)過程,對不同時刻算出的一組方向圖.45例2.假設二元陣與例1相同,陣列接收到連續(xù)波的干擾信號和需要信號,令干擾信號以相對于側射方向為的角度到達,如圖2.15所示:圖2.15具有需要信號和干擾的二元陣46

①.

上圖所示的陣元信號為:(2.165)(2.166)

假設干擾信號和為:(2.167)(2.168)

式中為幅度,為陣元間的相位移:(2.169)參考信號仍由式(2.104)表示,它與需要信號相關,且與干擾不相關.

在例1中,輸入信噪比為:(2.171)47同樣,對于干擾信號來說,其輸入干擾噪音比為.定義為輸入干擾噪音比:=輸入INR(2.172)信號矢量可寫為:(2.173)式中與例1中相同.干擾信號矢量為:(2.175)式中:(2.176)最后,與例1一樣有:(2.177)48現(xiàn)在協(xié)方差矩陣變?yōu)?(2.178)需要信號與噪音項已在例1中求得,對于干擾項,可類似推出:(2.181)因此:(2.183)

的行列式為:(2.184)而的逆為:(2.185)49參考相關矢量

:(2.187)該穩(wěn)態(tài)加權為:(2.189)另外由(2.184)有:(2.190)50

②.

穩(wěn)態(tài)方向圖:現(xiàn)在計算具有這些加權的陣的方向圖.以角傳到陣上的單位幅度測試信號將產生下面的信號矢量:該測試信號將產生一個陣的輸出信號:(2.191)其電壓方向圖為:圖2.16示出用這種方向圖計算出的一組方向圖.其參數(shù)為:而輸入的INR為:51圖2.16帶有干擾的二元陣的電壓方向圖可見:方向圖零點深度是干擾功率(或)的函數(shù),這種特性正是LMS陣的特點。52

③.

輸出端參量:輸出的需要信號為:(2.192)則輸出的需要信號功率為:(2.193)與此類似,輸出的干擾信號為:則輸出的干擾信號功率為:(2.194)(2.195)53輸出的熱噪音電壓為:(2.196)則輸出的熱噪音功率為:(2.197)最后,定義輸出的需要信號與干擾加熱噪音的比SINR為:(2.198)功率和SINR與的關系繪于圖2.17～圖2.20中.54圖2.17與的關系圖2.18與的關系圖2.19與的關系圖2.20SINR與的關系55ⅰ.首先,研究圖2.18所示的與的關系.由圖可以看出:隨輸入的干擾功率增加,先是增加,然后降低.這種現(xiàn)象出現(xiàn)的原因是:當干擾弱時,它不會對控制加權的反饋環(huán)產生任何影響;當干擾很強時,陣的自由度用于抑制干擾(增加10dB將使降低10dB)。ⅱ.輸出需要信號功率隨著上升而下降,因為二元陣僅有一個自由度,且用于抑制干擾.ⅲ.與幾乎無關,其原因是,加進干擾時,