第四講單自由度系統(tǒng)的受迫振動

2.2簡諧激勵作用下的受迫振動

2.2.1振動微分方程2.2.2受迫振動的振幅B、相位差的討論2.1.3旋轉(zhuǎn)失衡引起的強(qiáng)迫振動2.1.4支撐運(yùn)動引起的強(qiáng)迫振動受迫振動激勵形式－系統(tǒng)在外界激勵下產(chǎn)生的振動。

－外界激勵一般為時間的函數(shù)，可以是周期函數(shù)，也可以是非周期函數(shù)。簡諧激勵是最簡單的激勵。2.2簡諧激勵作用下的受迫振動

簡諧激振力振力的幅值，ω為激振力的圓頻率。以平衡位置O為坐標(biāo)原點(diǎn)，x軸鉛直向下為正，物塊運(yùn)動微分方程為：具有粘性阻尼的單自由度受迫振動微分方程，是二階常系數(shù)線性非齊次常微分方程。2.2.1振動微分方程

例：，F(xiàn)0為激簡諧激勵的響應(yīng)－全解有阻尼系統(tǒng)在簡諧激勵力作用下的運(yùn)動微分方程

微分方程全解：齊次解:x1(t)特解:x2(t)有阻尼系統(tǒng)在簡諧激勵下，運(yùn)動微分方程的全解非齊次通解齊次通解非齊次特解=＋齊次非齊次有阻尼系統(tǒng)在簡諧激勵下，運(yùn)動微分方程的全解

x2(t)——有阻尼系統(tǒng)簡諧激勵響應(yīng)中的特解是指不隨時間衰減的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：x1(t)——有阻尼自由振動運(yùn)動微分方程的解:受迫振動的構(gòu)成：0246810-2-1012B0瞬態(tài)振動完整受迫振動穩(wěn)態(tài)振動t這表明：穩(wěn)態(tài)受迫振動是與激勵頻率相同的諧振動。

可以看出：穩(wěn)態(tài)受迫振動的振幅與滯后相位差均與初始條件無關(guān)，僅僅取決于系統(tǒng)和激勵的特性。2.1.1振動微分方程代入其中初始條件：特解（穩(wěn)態(tài)響應(yīng)）的求解：將得到：相位差；其中r是激勵的頻率與系統(tǒng)的固有頻率之比穩(wěn)態(tài)受迫振動的振幅系統(tǒng)的唯一穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為：忽略阻尼時（c=0)：同理，扭轉(zhuǎn)振動微分方程為：扭轉(zhuǎn)受迫振動的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為：對振幅和相位進(jìn)行無綱量化處理：等效于F0靜止作用在彈簧上產(chǎn)生的靜變形令：振幅放大因子幅頻響應(yīng)曲線相頻響應(yīng)曲線2.2.2受迫振動的振幅B、相位差的討論

在低頻區(qū)和高頻區(qū)，當(dāng)<<1時，由于阻尼影響不大，為了簡化計算，可將有阻尼系統(tǒng)簡化為無阻尼系統(tǒng)。2.1.2受迫振動的振幅B、相位差的討論幅頻響應(yīng)曲線相頻響應(yīng)曲線幅頻特性與相頻特性1、r

＝0

的附近區(qū)域(低頻區(qū)或彈性控制區(qū))，θ＝0，響應(yīng)與激勵同相；對于不同的值，曲線密集，阻尼影響不大。2、r

>>1的區(qū)域(高頻區(qū)或慣性控制區(qū))，，，響應(yīng)與激勵反相；阻尼影響也不大。3、r

＝1的附近區(qū)域(共振區(qū))，急劇增大并在

r＝1略為偏左處有峰值。通常將r＝1，即＝0稱為共振頻率。阻尼影響顯著且阻尼愈小，幅頻響應(yīng)曲線愈陡峭。在相頻特性曲線圖上，無論阻尼大小，r＝1時，總有，θ

＝

/2,這也是共振的重要現(xiàn)象。例題例質(zhì)量為M的電機(jī)安裝在彈性基礎(chǔ)上。由于轉(zhuǎn)子不均衡，產(chǎn)生偏心，偏心距為e，偏心質(zhì)量為m。轉(zhuǎn)子以勻角速ω轉(zhuǎn)動如圖示，試求電機(jī)的運(yùn)動。彈性基礎(chǔ)的作用相當(dāng)于彈簧常量為k的彈簧。設(shè)電機(jī)運(yùn)動時受到粘性欠阻尼的作用，阻尼系數(shù)為c。解：取電機(jī)的平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)O，x軸鉛直向下為正。作用在電機(jī)上的力有重力Mg、彈性力F、阻尼力FR、虛加的慣性力FIe、FIr，受力圖如圖所示。2.2.3旋轉(zhuǎn)失衡引起的強(qiáng)迫振動根據(jù)達(dá)朗貝爾原理，有=f0例題(1)電機(jī)作受迫振動的運(yùn)動方程為例題將（1）代入P41（2.54）、（2.55）得到：幅頻特性曲線和相頻特性曲線例題當(dāng)激振力的頻率即電機(jī)轉(zhuǎn)子的角速度等于系統(tǒng)的固有頻率ω0時，該振動系統(tǒng)產(chǎn)生共振，此時電機(jī)的轉(zhuǎn)速稱為臨界轉(zhuǎn)速。

例題2.2.4支撐運(yùn)動引起的強(qiáng)迫振動

例：在圖示的系統(tǒng)中，物塊受粘性欠阻尼作用，其阻尼系數(shù)為c，物塊的質(zhì)量為m，彈簧的彈性常量為k。設(shè)物塊和支撐只沿鉛直方向運(yùn)動，且支撐的運(yùn)動為