原子物理-量子力學(xué)3

§2.5定態(tài)薛定諤方程解的算例定態(tài)薛定諤方程問題，就是求解勢能不隨時間改變條件下的薛定諤方程，就是求解哈密頓方程在一維條件下求解微分方程，需要利用一定的邊界條件求出本征函數(shù)ψ的表達(dá)式和本征值E的數(shù)值目的：通過對解的討論，了解量子力學(xué)體系的特征及其物理意義1、一維簡諧振子勢勢能勢能函數(shù)是一條拋物線哈密頓方程為：諧振子—勢能為V(x)、質(zhì)量為m的粒子由于α待定，變系數(shù)的常微分方程諧振子的角頻率方程化為其通式為：前5個厄米多項式為：偶函數(shù)奇函數(shù)波函數(shù)的空間對稱是偶性的，就稱宇稱是偶性的—偶宇稱奇宇稱波函數(shù)的圖形零點能

所以諧振子的能量本征值為:由諧振子的角頻率諧振子的能量是等間隔的分立能級，而且量子數(shù)n取最小值0時，諧振子的能量并不為0。這也意味著，量子束縛態(tài)的動能不可能為零，與經(jīng)典的情況不相同！這是波粒二象性的表現(xiàn)，它滿足不確定關(guān)系的要求！諧振子的幾率分布

在任一能級上，勢能曲線以外概率密度并不為零微觀粒子運動的特點：它在運動中有可能進(jìn)入勢能大于其總能量的區(qū)域。這在經(jīng)典理論看來是不可能出現(xiàn)的！物理意義：1）量子諧振子的能級是量子化的，等間隔均勻分布。能級的間距為。能量本征值只能取一些不連續(xù)的值。2）最低能態(tài)的總能量（或稱之為零點能）為：3）位于諧振子勢井中的質(zhì)點，

量子力學(xué)的結(jié)果：當(dāng)n=0時，在x=o處粒子出現(xiàn)的幾率最大。

經(jīng)典力學(xué)則認(rèn)為：當(dāng)n=0時，在x=o處粒子出現(xiàn)的幾率最小。當(dāng)量子數(shù)n很大時與經(jīng)典力學(xué)的結(jié)果趨于一致！當(dāng)溫度趨于絕對零度時，電磁場的簡諧振動或晶體點陣上的原子振動處于基態(tài)對量子諧振子它們?nèi)栽谡駝?，且平均動能大于零，意味著量子的束縛態(tài)是不可能為零的。例題1：設(shè)想一個質(zhì)量為m=1g的小球，懸掛在一個小輕彈簧下做振幅為A=1mm的簡諧振動。彈簧系數(shù)為k=0.1N/m。按量子理論計算：

1）此彈簧諧振子的能級間隔有多大？

2）與它現(xiàn)有的振動能量對應(yīng)的量子數(shù)是多少？例題2：HCL氣體能強(qiáng)烈吸收波長為3.465um的紅外輻射。這是HCL分子振子吸收入射光子能量的結(jié)果。求：

1）振子的振動頻率；

2）絕對零度時一摩爾HCL氣體的總振動能量。2、一維無限深勢阱如圖，Ⅰ中，勢能為0；Ⅱ、Ⅲ中，勢能為∞不分區(qū)的哈密頓方程I區(qū)中IIIIIIE:動能>0通解為目的：了解勢井中量子狀態(tài)的特點，分立能級、零度能等。Ⅰ為無限深勢阱中勢能是常量，粒子不受力做自由運動令I(lǐng)I、III區(qū)中哈密頓方程為：其形式上的通解：依據(jù)波函數(shù)的邊界條件表明：勢阱外的波函數(shù)為0由于

就有上式↓↑該齊次方程非零解的條件為：勢井中波函數(shù)，在井壁上必定為0，所以邊界條件為：即有因而有即而勢井中粒子的能量本征值1）勢阱內(nèi)粒子能量是量子化的，是勢阱中波函數(shù)的共同點

結(jié)論：進(jìn)一步確定本征函數(shù)2）不存在n=0的波函數(shù)，零點能不為零:為什么？這是由粒子的波動性所決定的，由不確定原理：勢阱中的位置不確定量為Δx≈a不可能有若對波函數(shù)歸一化當(dāng)時，依據(jù)邊界條件，有歸一化條件就是粒子在整個空間內(nèi)出現(xiàn)的總概率為1↑偶宇稱奇宇稱粒子的能量本征函數(shù)與坐標(biāo)關(guān)系偶函數(shù)奇函數(shù)偶宇稱奇宇稱概率密度圖形由上述概率密度與坐標(biāo)的關(guān)系我們可以看到：1）這里由粒子的波動性給出的概率密度的周期性分布與經(jīng)典粒子分布完全不同，按經(jīng)典理論，粒子在阱內(nèi)來來回回自由運動，在各處的概率密度應(yīng)該是相等的，而且與粒子的能量無關(guān)。2）與經(jīng)典粒子不同的第二點。由量子粒子的最小能量為：這符合不確定關(guān)系，因為量子粒子在有限空間內(nèi)運動，其速度不可能為零，而經(jīng)典粒子可能處于靜止的能量為零的最低能態(tài)3）由粒子的能量公式，可得到勢阱中粒子的動量:相應(yīng)地，粒子的德布羅意波長為：該波長也量子化了，它只能是勢阱長度兩倍的整數(shù)分之一。這就類似于兩端固定的弦中產(chǎn)生的駐波的情況。無限深勢阱中粒子的每一個能量本征態(tài)對應(yīng)于德布羅意波的一個特定波長的駐波!例題

在原子核內(nèi)的質(zhì)子和中子可粗略的看成是處于無限深勢阱中而不能逸出，它們在核中的運動也可以認(rèn)為是自由的。按一維無限深勢阱估算，質(zhì)子從第一激發(fā)態(tài)（n=2）到第二激發(fā)態(tài)（n=1）轉(zhuǎn)變時，放出的能量是多少MeV?例題

根據(jù)疊加原理，幾個波函數(shù)的疊加仍是一個波函數(shù)。假設(shè)在無限深勢阱中粒子的一個疊加態(tài)是有基態(tài)和第一激發(fā)態(tài)疊加而成，前者的幅是1/2，后者的幅是（這就意味著基態(tài)的基本概率是1/4，第一激發(fā)態(tài)的基本概率是3/4）。試求這一疊加態(tài)的概率分布。3、階躍勢定義：勢能在空間某一位置由一個值突然變?yōu)榱硪粋€值的勢場。粒子在階躍勢場中的運動在量子力學(xué)中，只需要求解薛定諤方程：a)對x<0區(qū)域，V(x)=0X<0區(qū)域內(nèi)薛定諤方程的通解：向右傳播的行波↓向左傳播的行波↓設(shè)粒子的總能量在x>0區(qū)域要使?jié)M足“有限”的要求，⑴必須要求C=0。⑵要使波函數(shù)連續(xù)，在x=0的位置應(yīng)該有：b)x>0

區(qū)域V(x)=V0薛定諤可以寫為：其通解為：如果這兩個區(qū)域波函數(shù)滿足物理條件，那么這四個解它一定是單值、有限和連續(xù)，否則就不滿足波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件。首先它們滿足單值性的要求把兩個區(qū)域中的通解代入上兩式，可以得到：于是另外，勢能在全區(qū)域有限，且波函數(shù)和能量E也有限，從而波函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)也將有限。因此，要求其一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，有：D為任意常數(shù)，它取決于波函數(shù)振幅的大小，可由歸一化條件確定物理意義：

X<0，波函數(shù)可以看成向右和向左傳播的行波的疊加。由于它們振幅的絕對值相等，疊加后將形成駐波。因此波函數(shù)是隨時間t振蕩的函數(shù)。X>0，它們的概率密度為：在此區(qū)域隨x的增大而隨指數(shù)快速衰減，但在x=0的附近不為零。表明，在X>0的區(qū)域有一定的幾率能夠發(fā)現(xiàn)或找到粒子的可能！由上式可知，出現(xiàn)這種幾率只在x=0的很小的區(qū)域內(nèi)，即它常稱為：透入距離范圍內(nèi)才有顯著的值，超過此范圍將快速趨于零在經(jīng)典物理中，如果粒子的總能量小于勢阱的高度，粒子由于無法越過這一能量差而只能在勢阱之內(nèi)運動，要想越過這個勢能區(qū)是完全不可能的！但按照量子力學(xué)理論給出，其勢能大于總能量的區(qū)域內(nèi)，即勢阱之外，波函數(shù)并不等于零。說明粒子仍有一定的概率密度，雖然這個概率密度是以指數(shù)規(guī)律隨進(jìn)入該區(qū)域的深度而快速減小的，但它可以穿透勢阱壁進(jìn)入勢阱之外的區(qū)域。如何理解量子力學(xué)給出的這一結(jié)果？為什么粒子的動能可能有負(fù)值？

在Ⅱ區(qū)（E<V0）可以看做粒子進(jìn)入該區(qū)域的典型深度，在該處發(fā)現(xiàn)粒子的概率已降為1/e。該距離我們可以認(rèn)為是在此區(qū)域內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子的位置不確定度。即這要歸之于不確定關(guān)系！根據(jù)不確定關(guān)系，粒子在這段距離內(nèi)的動量不確定度為：粒子進(jìn)入的速度可以認(rèn)為是于是粒子進(jìn)入的時間不確定度為：由此，按能量－時間不確定關(guān)系式，粒子能量的不確定度為此時，粒子的總能量將是粒子在到達(dá)區(qū)域內(nèi)，其動能的不確定度大于其名義上的負(fù)動能值。因此，該負(fù)動能只不過是被不確定關(guān)系“掩蓋”了，它只是一種觀察不到的“虛”動能。這和實驗上能觀察到的能量守恒并不矛盾。4、方勢壘方勢壘如圖所示，哈密頓方程為通解通解方程同Ⅰ區(qū)，但這里無反射波，故

如果粒子是從勢壘的左邊入射，通解中表示從左側(cè)入射的波(粒子)表示碰撞器壁后被反射回去的波(粒子)由于在勢壘右側(cè)原來沒有粒子，所以B3=0于是表示貫穿勢壘后而透射過來的波(粒子)可以計算出粒子流量，用幾率流密度表示粒子從I區(qū)經(jīng)過勢壘進(jìn)入III區(qū)，稱作勢壘貫穿或隧道效應(yīng)。可以利用下述邊界條件和波函數(shù)的條件確定：一階微商連續(xù)粒子從I區(qū)經(jīng)過勢壘進(jìn)入III區(qū)的穿透率還可用如下方法計算入射粒子的概率(幾率)幅反射粒子的概率幅貫穿勢壘的粒子的幾率幅所以透射率和反射率可按下面的方法求出：通常只需計算向右運動的粒子。如果勢壘的高度V0比入射粒子能量E大得多，或勢壘較寬時，即物理意義：1）能量E小于勢壘高度的粒子確實有一定的幾率穿越勢壘。透射系數(shù)T與勢壘寬度a、(V0

–E)和粒子質(zhì)量有關(guān)2）隨著勢壘寬度a的增加，透射率T按指數(shù)衰減。若把上式簡單看做主要是由指數(shù)部分決定的，于是如果在勢壘內(nèi)部距表面距離為d處，幾率衰減為表面的1/e，則d被定義為粒子在勢壘中的穿透深度：透射系數(shù)例：試求入射電子能量為1ev，勢壘高度為2ev，寬度為的幾率。如果粒子是質(zhì)子，求透射系數(shù)。解：由勢壘寬度電子：質(zhì)子：其質(zhì)量是電子的1840倍，質(zhì)子的質(zhì)量約為940MeV例，一粒子質(zhì)量為1kg，勢壘的厚度a=10cm，V0-E=1eV，穿透幾率約為：

幾乎不能穿透！

這說明對宏觀物體來說，即便是總能量比勢壘僅少1eV，其量子效應(yīng)也是極其不明顯的。

而對質(zhì)量輕的電子而言，隧道效應(yīng)就變得十分明顯了！經(jīng)典量子《聊齋志異》中，蒲松齡講述的故事，說一個嶗山道士能夠穿墻而過。雖是虛妄之談，但從量子力學(xué)的觀點來看，它還是有一定道理的，只不過是概率“小”了些而已。利用量子隧道效應(yīng)，可解釋放射性原子核的α粒子衰變現(xiàn)象如果一核半徑為R，α粒子在核內(nèi)由于核力的作用，其勢能很低。在核邊界有一個因庫侖力而產(chǎn)生的勢壘。例如：核，其庫侖勢壘可達(dá)35Mev，而這種核在α粒子衰變過程中放出的α粒子的能量不過4.2Mev。理論計算表明這些α粒子就是通過隧道效應(yīng)穿透庫侖勢壘而跑出來的。α粒子衰變解釋熱核反應(yīng)所釋放的核能是兩個帶正電的核，如和，聚合時產(chǎn)生的。這兩個帶正電的核靠近時受到庫侖斥力作用很難結(jié)合在一起。這個斥力作用就相當(dāng)于一個高勢壘，它們就是通過隧道效應(yīng)而聚會到一起的。這些核的能量越大，它們要穿過的勢壘厚度就越小，聚合的概率就越大。這就是為什么熱核聚變反應(yīng)需要高達(dá)的高溫的原因。熱核聚變解釋黑洞的邊界是一種物質(zhì)（包括光），只能進(jìn)不能出的“單向壁”。該單向壁對黑洞內(nèi)的物質(zhì)來說就是一個絕高的勢壘。理論物理學(xué)家霍金(S.W.Hawking)認(rèn)為黑洞并不是絕對黑的。黑洞內(nèi)部的物質(zhì)能通過量子力學(xué)隧道效應(yīng)而逸出。但他估計這種過程很慢。一個質(zhì)量等于太陽質(zhì)量的黑洞溫度約為，約需要年才能完全“蒸發(fā)”消失。不過據(jù)信產(chǎn)生于宇宙大爆炸初期有些微型黑洞(質(zhì)量大約是太陽的倍)，經(jīng)過年到現(xiàn)在已經(jīng)蒸發(fā)完了。黑洞的解釋掃描隧穿顯微鏡工作原理1981年瑞士蘇黎世IBM公司的兩位科學(xué)家賓寧(G.Bonning)和羅赫爾(H.Rohrer),研制成了一種掃描隧穿顯微鏡(STM)可以精確觀察材料表面結(jié)構(gòu)，因而成了研究物理表面和其它實驗的重要顯微工具。由于這一卓越貢獻(xiàn)，他們二人和電子顯微鏡的發(fā)明者魯斯卡(E.Ruska)分享了1986年度的諾貝爾物理學(xué)獎。1988年我國科學(xué)家設(shè)計成了新型的STM，分辨率可達(dá)原子量級，圖像質(zhì)量到達(dá)當(dāng)時國際水平。為進(jìn)一步探索微觀世界的奧秘提供了必要的物質(zhì)基礎(chǔ)。

通常，金屬或介質(zhì)中的電子，不能自由逸出表面，因為它的能量低于表面外的空間的勢能(零)。如果針尖與待測物之間距離極近，這空隙相當(dāng)于一個高度有限而寬度很小的勢壘。

在針尖與平面間加一個小于幾伏的電壓，在這電壓下，針尖中的電子還不能越過“空隙”這一勢壘進(jìn)入平面，但有一定的概率穿越勢壘，形成“隧道電流”。隧道電流的大小對勢壘寬度(針尖到平面的距離)的變化非常敏感。當(dāng)針尖沿平面掃描時，通過隧道電流的變化，便能描繪出平面高低變化的輪廓。掃描隧道顯微鏡(STM)分辨率極高，其橫向分辨率達(dá)0.1nm,縱向為0.01nm，可分辨出單個原子。

STM技術(shù)不僅可用來進(jìn)行材料的表面分析，直接觀察表面缺陷，還可利用STM針尖對原子和分子進(jìn)行操縱和移動，重新排布原子和分子。應(yīng)用到生命科學(xué)中，可研究DNA分子的構(gòu)形等。

ABdEU0U0U0電子云重疊ABU隧道電流id探針樣品用隧道效應(yīng)觀察樣品表面的微結(jié)構(gòu)圖象處理系統(tǒng)掃描探針樣品表面電子云d變

i變反映表面情況A--常數(shù)Φ樣品表面平均勢壘高度(~eV)d~10à隧道電流反饋傳感器參考信號顯示器壓電控制加電壓掃描隧道顯微鏡示意圖操縱原子不是夢“原子書法”

1994年中國科學(xué)院科學(xué)家“寫”出的平均每個字的面積僅百萬分之一平方厘米“原子和分子的觀察與操縱”--白春禮插頁彩圖13硅單晶表面直接提走硅原子形成2納米的線條

一、幾個重要的物理實驗1、盧瑟福的α粒子散射實驗，證實了原子的核式結(jié)構(gòu)2、弗蘭克—赫茲實驗，證實原子內(nèi)部分立能級的存在3、黑體輻射，光電效應(yīng)實驗證實了光具有粒子性4、Compton散射實驗，證實了光的粒子性5、戴維孫—革末實驗，證實了電子的波動性本章小結(jié)盧瑟福的核式模型Bohr氫原子模型氫原子的光譜線系，類氫離子的光譜線系里德伯方程，光譜項及其組合法則Bohr模型的三個基本假設(shè)由Bohr模型獲得里德伯常數(shù)二、模型、假設(shè)與驗證三、量子力學(xué)初步波粒二象性：