第8章.彎曲剛度

第8章梁彎曲剛度§8-1

梁的位移——撓度和轉(zhuǎn)角§8-2

梁的撓曲線近似微分方程及其積分§8-3

按疊加原理計(jì)算梁的撓度和轉(zhuǎn)角§8-3

梁的剛度校核·提高梁的剛度的措施1§8-1

梁的位移——撓度和轉(zhuǎn)角直梁在對(duì)稱平面xy內(nèi)彎曲時(shí)其原來(lái)的軸線AB將彎曲成平面曲線AC1B。梁的橫截面形心(即軸線AB上的點(diǎn))在垂直于x軸方向的線位移w稱為撓度(deflection)，橫截面對(duì)其原來(lái)位置的角位移q稱為橫截面的轉(zhuǎn)角(angleofrotation)。第8章梁彎曲剛度2彎曲后梁的軸線——撓曲線(deflectioncurve)為一平坦而光滑的曲線，它可以表達(dá)為w=f(x)，此式稱為撓曲線方程。由于梁變形后的橫截面仍與撓曲線保持垂直，故橫截面的轉(zhuǎn)角q也就是撓曲線在該相應(yīng)點(diǎn)的切線與x軸之間的夾角，從而有轉(zhuǎn)角方程：第8章梁彎曲剛度3在圖示坐標(biāo)系中，撓度w向下為正，向上為負(fù)；

順時(shí)針轉(zhuǎn)向的轉(zhuǎn)角為正，逆時(shí)針轉(zhuǎn)向的轉(zhuǎn)角為負(fù)。第8章梁彎曲剛度4力學(xué)中的曲率公式數(shù)學(xué)中的曲率公式

小撓度微分方程

§8-2

梁的撓曲線近似微分方程及其積分第8章梁彎曲剛度5小撓度情形下

對(duì)于彈性曲線的小撓度微分方程，式中的正負(fù)號(hào)與w坐標(biāo)的取向有關(guān)。梁的小撓度微分方程及其積分

第8章梁彎曲剛度6梁的小撓度微分方程及其積分

第8章梁彎曲剛度7采用向下的w坐標(biāo)系，有梁的小撓度微分方程及其積分

第8章梁彎曲剛度8

對(duì)于等截面梁，應(yīng)用確定彎矩方程的方法，寫出彎矩方程M(x)，代入上式后，分別對(duì)x作不定積分,得到包含積分常數(shù)的撓度方程與轉(zhuǎn)角方程：

其中C、D為積分常數(shù)。

梁的小撓度微分方程及其積分

第8章梁彎曲剛度9

積分法中常數(shù)由梁的約束條件與連續(xù)條件確定。約束條件是指約束對(duì)于撓度和轉(zhuǎn)角的限制：

在固定鉸支座和輥軸支座處，約束條件為撓度等于零：w=0;

連續(xù)條件是指，梁在彈性范圍內(nèi)加載，其軸線將彎曲成一條連續(xù)光滑曲線，因此，在集中力、集中力偶以及分布載荷間斷處，兩側(cè)的撓度、轉(zhuǎn)角對(duì)應(yīng)相等：w1=w2，θ1＝θ2等等。

在固定端處，約束條件為撓度和轉(zhuǎn)角都等于零：w=0，θ＝0。梁的小撓度微分方程及其積分

小撓度微分方程的積分與積分常數(shù)的確定第8章梁彎曲剛度10例題1

求：加力點(diǎn)B的撓度和支承A、C處的轉(zhuǎn)角。

已知：簡(jiǎn)支梁受力如圖所示。FP、EI、l均為已知。梁的小撓度微分方程及其積分

第8章梁彎曲剛度11

解：1．

確定梁約束力

因?yàn)锽處作用有集中力FP，所以需要分為AB和BC兩段建立彎矩方程。

首先，應(yīng)用靜力學(xué)方法求得梁在支承A、C二處的約束力分別如圖中所示。

2．

分段建立梁的彎矩方程

在圖示坐標(biāo)系中，為確定梁在0～l/4范圍內(nèi)各截面上的彎矩，只需要考慮左端A處的約束力3FP/4；而確定梁在l/4～l范圍內(nèi)各截面上的彎矩，則需要考慮左端A處的約束力3FP/4和荷載FP。梁的小撓度微分方程及其積分

第8章梁彎曲剛度12AB段

BC段

于是，AB和BC兩段的彎矩方程分別為

梁的小撓度微分方程及其積分

第8章梁彎曲剛度133．

將彎矩表達(dá)式代入小撓度微分方程并分別積分梁的小撓度微分方程及其積分

第8章梁彎曲剛度14積分后，得

其中，C1、D1、C2、D2為積分常數(shù)，由支承處的約束條件和AB段與BC段梁交界處的連續(xù)條件確定。梁的小撓度微分方程及其積分

第8章梁彎曲剛度154．

利用約束條件和連續(xù)條件確定積分常數(shù)在支座A、C兩處撓度應(yīng)為零，即x＝0，w1＝0;x＝l，w2＝0因?yàn)?，梁彎曲后的軸線應(yīng)為連續(xù)光滑曲線，所以AB段與BC段梁交界處的撓度和轉(zhuǎn)角必須分別相等，即

x＝l/4，w1＝w2;x＝l/4，1=2梁的小撓度微分方程及其積分

第8章梁彎曲剛度16x＝0，w1＝0;x＝l，w2＝0x＝l/4，w1＝w2;x＝l/4，1=2D1＝D2=0梁的小撓度微分方程及其積分

第8章梁彎曲剛度175．

確定轉(zhuǎn)角方程和撓度方程以及指定橫截面的撓度與轉(zhuǎn)角

將所得的積分常數(shù)代入后,得到梁的轉(zhuǎn)角和撓度方程為：

AB段

BC段

據(jù)此，可以算得加力點(diǎn)B處的撓度和支承處A和C的轉(zhuǎn)角分別為

梁的小撓度微分方程及其積分

第8章梁彎曲剛度18例題2

求：梁的彎曲撓度與轉(zhuǎn)角方程，以及最大撓度和最大轉(zhuǎn)角。

已知：左端固定、右端自由的懸臂梁承受均布載荷。均布載荷集度為q

，梁的彎曲剛度為EI、長(zhǎng)度為l。q、EI、l均已知。梁的小撓度微分方程及其積分

第8章梁彎曲剛度19

解：1．建立Oxw坐標(biāo)系

建立Oxw坐標(biāo)系（如圖所示）。因?yàn)榱荷献饔糜羞B續(xù)分布載荷，所以在梁的全長(zhǎng)上，彎矩可以用一個(gè)函數(shù)描述，即無(wú)需分段。

梁的小撓度微分方程及其積分

Oxw第8章梁彎曲剛度20

從坐標(biāo)為x的任意截面處截開(kāi)，因?yàn)楣潭ǘ擞袃蓚€(gè)約束力，考慮截面左側(cè)平衡時(shí)，建立的彎矩方程比較復(fù)雜，所以考慮右側(cè)部分的平衡，得到彎矩方程：

梁的小撓度微分方程及其積分

2．建立梁的彎矩方程xM(x)FQ(x)第8章梁彎曲剛度213．

建立微分方程并積分梁的小撓度微分方程及其積分

Oxw將上述彎矩方程代入小撓度微分方程，得

第8章梁彎曲剛度22梁的小撓度微分方程及其積分

Oxw積分后，得到

第8章梁彎曲剛度234．

利用約束條件確定積分常數(shù)梁的小撓度微分方程及其積分

固定端處的約束條件為：

第8章梁彎曲剛度24梁的小撓度微分方程及其積分

5．

確定撓度與轉(zhuǎn)角方程第8章梁彎曲剛度256．

確定最大撓度與最大轉(zhuǎn)角梁的小撓度微分方程及其積分

從撓度曲線可以看出，在懸臂梁自由端處，撓度和轉(zhuǎn)角均為最大值。

于是，將x=l，分別代入撓度方程與轉(zhuǎn)角方程，得到：

第8章梁彎曲剛度26確定約束力,判斷是否需要分段以及分幾段分段建立撓度微分方程微分方程的積分利用約束條件和連續(xù)條件確定積分常數(shù)確定撓度與轉(zhuǎn)角方程以及指定截面的撓度與轉(zhuǎn)角積分法小結(jié)分段寫出彎矩方程梁的小撓度微分方程及其積分

第8章梁彎曲剛度27

在很多工程計(jì)算手冊(cè)中，已將各種支承條件下的靜定梁，在各種典型載荷作用下的撓度和轉(zhuǎn)角表達(dá)式一一列出，簡(jiǎn)稱為撓度表。

基于桿件變形后其軸線為一光滑連續(xù)曲線和位移是桿件變形累加的結(jié)果這兩個(gè)重要概念，以及在小變形條件下的力的獨(dú)立作用原理，采用疊加法（superpositionmethod）由現(xiàn)有的撓度表可以得到在很多復(fù)雜情形下梁的位移?！?-3按疊加原理計(jì)算梁的撓度和轉(zhuǎn)角第8章梁彎曲剛度28疊加法應(yīng)用于多個(gè)載荷作用的情形

疊加法應(yīng)用于間斷性分布載荷作用的情形疊加法確定梁的撓度與轉(zhuǎn)角

第8章梁彎曲剛度29

當(dāng)梁上受有幾種不同的載荷作用時(shí)，都可以將其分解為各種載荷單獨(dú)作用的情形，由撓度表查得這些情形下的撓度和轉(zhuǎn)角，再將所得結(jié)果疊加后，便得到幾種載荷同時(shí)作用的結(jié)果。疊加法確定梁的撓度與轉(zhuǎn)角

疊加法應(yīng)用于多個(gè)載荷作用的情形

第8章梁彎曲剛度30

已知：簡(jiǎn)支梁受力如圖所示，q、l、EI均為已知。

求：C截面的撓度wC

；B截面的轉(zhuǎn)角B。例題3疊加法確定梁的撓度與轉(zhuǎn)角

第8章梁彎曲剛度31解：1.將梁上的載荷變?yōu)槿N簡(jiǎn)單的情形。疊加法確定梁的撓度與轉(zhuǎn)角

第8章梁彎曲剛度322.由撓度表查得三種情形下C截面的撓度和B截面的轉(zhuǎn)角。疊加法確定梁的撓度與轉(zhuǎn)角

第8章梁彎曲剛度333.應(yīng)用疊加法，將簡(jiǎn)單載荷作用時(shí)的結(jié)果分別疊加

將上述結(jié)果按代數(shù)值相加，分別得到梁C截面的撓度和支座B處的轉(zhuǎn)角:

疊加法確定梁的撓度與轉(zhuǎn)角

第8章梁彎曲剛度34

對(duì)于間斷性分布載荷作用的情形，根據(jù)受力與約束等效的要求，可以將間斷性分布載荷，變?yōu)榱喝L(zhǎng)上連續(xù)分布載荷，然后在原來(lái)沒(méi)有分布載荷的梁段上，加上集度相同但方向相反的分布載荷，最后應(yīng)用疊加法。疊加法確定梁的撓度與轉(zhuǎn)角

疊加法應(yīng)用于間斷性分布載荷作用的情形第8章梁彎曲剛度35

已知：懸臂梁受力如圖所示，q、l、EI均為已知。

求：C截面的撓度wC和轉(zhuǎn)角C。例題4疊加法確定梁的撓度與轉(zhuǎn)角

第8章梁彎曲剛度36解：1.首先，將梁上的載荷變成有表可查的情形

為了利用撓度表中關(guān)于梁全長(zhǎng)承受均布載荷的計(jì)算結(jié)果，計(jì)算自由端C處的撓度和轉(zhuǎn)角，先將均布載荷延長(zhǎng)至梁的全長(zhǎng)，為了不改變?cè)瓉?lái)載荷作用的效果，在AB段還需再加上集度相同、方向相反的均布載荷。

疊加法確定梁的撓度與轉(zhuǎn)角

第8章梁彎曲剛度37

分別畫出這兩種情形下的撓度曲線大致形狀。于是，由撓度表中關(guān)于承受均布載荷懸臂梁的計(jì)算結(jié)果，上述兩種情形下自由端的撓度和轉(zhuǎn)角分別為

2．再將處理后的梁分解為簡(jiǎn)單載荷作用的情形，計(jì)算各個(gè)簡(jiǎn)單載荷引起的撓度和轉(zhuǎn)角

疊加法確定梁的撓度與轉(zhuǎn)角

第8章梁彎曲剛度38

兩種情形下自由端的撓度和轉(zhuǎn)角分別為

疊加法確定梁的撓度與轉(zhuǎn)角

第8章梁彎曲剛度393．將簡(jiǎn)單載荷作用的結(jié)果疊加

疊加法確定梁的撓度與轉(zhuǎn)角

第8章梁彎曲剛度40

對(duì)于主要承受彎曲的零件和構(gòu)件，剛度設(shè)計(jì)就是根據(jù)對(duì)零件和構(gòu)件的不同工藝要求，將最大撓度和轉(zhuǎn)角(或者指定截面處的撓度和轉(zhuǎn)角)限制在一定范圍內(nèi)，即滿足彎曲剛度條件：

上述二式中w和分別稱為許用撓度和許用轉(zhuǎn)角，均根據(jù)對(duì)于不同零件或構(gòu)件的工藝要求而確定。

梁的剛度條件

§5-5

梁的剛度校核·提高梁的剛度的措施第8章梁彎曲剛度41

已知：鋼制圓軸，左端受力為FP，F(xiàn)P＝20kN，a＝lm，l＝2m，E=206GPa，其他尺寸如圖所示。規(guī)定軸承B處的許用轉(zhuǎn)角θ=0.5°。

試求：根據(jù)剛度要求確定該軸的直徑d。

B例題5

第8章梁彎曲剛度梁剛度校核42解：根據(jù)要求，所設(shè)計(jì)的軸直徑必須使軸具有足夠的剛度，以保證軸承B處的轉(zhuǎn)角不超過(guò)許用數(shù)值。為此，需按下列步驟計(jì)算。

B第8章梁彎曲剛度梁剛度校核431．查表確定B處的轉(zhuǎn)角

由撓度表中查得承受集中載荷的外伸梁B處的轉(zhuǎn)角為

B2．根據(jù)剛度設(shè)計(jì)準(zhǔn)則確定軸的直徑根據(jù)設(shè)計(jì)要求，有

第8章梁彎曲剛度梁剛度校核44B其中，的單位為rad（弧度），而θ