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中南大學開放式精品示范課堂高等數(shù)學建設(shè)組第7章多元函數(shù)積分學高等數(shù)學A7.2曲線曲面積分7.2.3Green公式及其應(yīng)用格林(Green)公式7.2曲線曲面積分格林簡介區(qū)域的連通性格林(Green)公式Green公式的應(yīng)用應(yīng)用習例1-2應(yīng)用習例3-4應(yīng)用習例5應(yīng)用習例6求平面區(qū)域的面積曲線積分與路徑無關(guān)曲線積分與路徑無關(guān)的定義曲線積分與路徑無關(guān)的條件應(yīng)用習例7-9平面上曲線積分與路徑無關(guān)的等價條件應(yīng)用習例10-12二元函數(shù)的全微分應(yīng)用習例13-15小結(jié)Green公式及其應(yīng)用格林(Green)公式:平面區(qū)域的二重積分與沿此區(qū)域的第二類曲線積分的關(guān)系。
意義:微積分基本公式在二重積分情形下的推廣,不僅給計算第二類曲線積分帶來新方法,更重要的是揭示定向曲線積分與積分路徑無關(guān)的條件,在積分理論的發(fā)展中起了重要的作用。
*格林(Green)[英]1793-1841物理學家,數(shù)學家,自學成才英國數(shù)學家和物理學家,僅讀過兩年書,回家?guī)透赣H烤面包賣,一直到40歲,父親去世后才得以到劍橋大學讀書。44歲大學畢業(yè),48歲因流行感冒去世。但依靠自學,做出了巨大的貢獻,相關(guān)成果至今仍是數(shù)學物理中的經(jīng)典內(nèi)容。他的工作培育了數(shù)學物理方面的劍橋?qū)W派。一、格林公式及其應(yīng)用
設(shè)D為平面區(qū)域,如果D內(nèi)任一閉曲線所圍成的部分都屬于D,則稱D為平面單連通區(qū)域,否則稱為復連通區(qū)域.復連通區(qū)域單連通區(qū)域DD1、區(qū)域連通性(不含有“洞”或“點洞”)(含有“洞”或“點洞”)當觀察者沿L的正向行走時,區(qū)域D內(nèi)離他近處的那一部分總在他的左邊.定理1.
設(shè)區(qū)域D
是由分段光滑正向曲線L圍成,則有(Green公式)函數(shù)在D上具有連續(xù)一階偏導數(shù),2、Green公式證明依賴于區(qū)域的形狀證明(1)yxoabDcdABCE思路:公式兩邊化為同一定積分.從簡單情形出發(fā).同理可證yxodDcCEBA證明(2)D兩式相加得GDFCEAB證明(3)由(2)知注意:格林公式的應(yīng)用條件L為封閉曲線(取正向)P,Q在L所圍的區(qū)域D內(nèi)有一階連續(xù)偏導數(shù)注意:(1)便于記憶形式:(2)當邊界曲線取反方向時,Green公式中二重積分符號前添“”號!(3)應(yīng)用Green公式條件缺一不可.3、格林公式的簡單應(yīng)用(1)直接用:當L是封閉曲線時,應(yīng)用格林公式簡化曲線積分注意:還應(yīng)滿足用格林公式的條件例1(簡化曲線積分)例1解:(2)間接用:當L不是封閉曲線時,但可添加輔助曲線使之封閉,再用Green公式簡化計算。例3例4xyoLAB解1
代入法,例3注意:L的方向為順時針方向,即L的反向xyoLABOAB例4(3)不能用:方法一:簡化被積函數(shù)后再用方法二:在D內(nèi)有使P,Q不連續(xù)的點存在,不能直接用格林公式,采用“挖小洞”的方法,挖去不連續(xù)點,再用格林公式。例6三格林公式的簡單應(yīng)用例5例5解2:不符合Green公式的條件,但是可以先將曲線方程代入被積表達式的分母,化簡后可用格林公式.解1:代入法,見練習題解xyoLyxoL例6yxoLxyoL符合Green公式的條件.在D1上符合Green公式的條件.注意:(4)簡化二重積分計算例7解xyo例7(5)計算有界平面區(qū)域的面積GyxoBA如果在區(qū)域G內(nèi)有二、平面曲線積分與路徑無關(guān)1、平面曲線積分與路徑無關(guān)的定義2、曲線積分與路徑無關(guān)的條件定理
1證充分性在G
內(nèi)任取一條閉曲線C,C所圍的閉區(qū)域為D。G
是單連通的,因此,于是,在D
內(nèi)應(yīng)用Green公式,有即,在G
內(nèi)曲線積分與路徑無關(guān)。必要性用反證法假設(shè)在G
內(nèi)存在使的點
M0,即不妨設(shè)由于P,Q
具有一階連續(xù)偏導數(shù),因此在G
內(nèi)必有點
M0的一個小鄰域D′,在D′內(nèi)應(yīng)用Green公式,有于是,矛盾。因此,在G
內(nèi)恒有兩條件缺一不可有關(guān)定理的說明:即選擇較簡便的路徑計算應(yīng)用(直接應(yīng)用,簡化曲線積分的計算)說明:
積分與路徑無關(guān)時,曲線積分可記為曲線積分與路徑無關(guān)的條件應(yīng)用習例應(yīng)用1(直接應(yīng)用,簡化曲線積分的計算)例10解故原式=解例10定理2.
設(shè)D是單連通域
,在D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導數(shù),(1)對D中任一分段光滑曲線
L,曲線積分(2)(3)在D內(nèi)每一點都有與路徑無關(guān),只與起止點有關(guān).函數(shù)則以下四個條件等價:在D內(nèi)是某一函數(shù)的全微分,即(4)沿D中任意光滑閉曲線
L,有3、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的等價條件證明(1)(2)在D內(nèi)取定點因曲線積分則同理可證因此有和任一點B(x,y),與路徑無關(guān),證明(2)(3)設(shè)存在函數(shù)
u(x,y)使得則P,Q在D內(nèi)具有連續(xù)的偏導數(shù),從而在D內(nèi)每一點都有證明(3)(4)設(shè)L為D中任一分段光滑閉曲線,(如圖),利用格林公式,得所圍區(qū)域為說明:
積分與路徑無關(guān)時,曲線積分可記為證明(4)(1)設(shè)為D內(nèi)任意兩條由A到B
的有向分段光滑曲線,則(根據(jù)條件(4))證畢注意:(1)曲線積分與路徑無關(guān)要求在單連通區(qū)域內(nèi)考慮,而Green公式只要求封閉路徑;具體求法為:或者曲線積分與路徑無關(guān)的條件應(yīng)用習例例12解所以積分與路徑無關(guān).或者例12解由Green公式有,(3)如圖,由積分與路徑無關(guān),三、全微分準則、原函數(shù)定理
若在單連通區(qū)域G內(nèi)函數(shù)u(x,y)是Pdx+Qdy的原函數(shù),而是G內(nèi)的任意兩點,則證明:在G內(nèi)任取連接點A到點B的光滑曲線L:證畢進一步問:求u(x,y)的其它方法(用湊微分法不易行)--借助Ⅱ型曲線積分中取定一點在定理5.5的公式例15在右半平面(x>0)有原函數(shù),并求之.例14
全微分準則習例例14
例15在右半平面(x>0)有原函數(shù),并求之.
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