第6課 正態(tài)分布 概率論

若連續(xù)型隨機(jī)變量

X

的概率密度函數(shù)為

則稱

X

服從參數(shù)為和的正態(tài)分布，正態(tài)分布是應(yīng)用最廣泛的一種連續(xù)型分布.十九世紀(jì)前葉,高斯加以推廣得到正態(tài)分布，德莫佛最早發(fā)現(xiàn)了二項(xiàng)概率的一個(gè)近似公式，這一公式被認(rèn)為是正態(tài)分布的首次露面.定義3

記為X～N(

,

2

).f(x)所確定的曲線叫作正態(tài)曲線.其中-

<

<+

,

>

0為常數(shù)，

3.正態(tài)分布所以通常稱為高斯分布.正態(tài)分布密度的性質(zhì)

(1)在x=處取到最大值故f(x)以μ為對(duì)稱軸，令x=μ+c,

x=μ-c(c>0),

分別代入f(x),

可得且f(μ+c)=f(μ-c)f(μ+c)≤f(μ),f(μ-c)≤f(μ)x=μσ為

f(x)

的兩個(gè)拐點(diǎn)的橫坐標(biāo).(2)正態(tài)分布的密度曲線位于x軸的上方,且關(guān)于x

=對(duì)稱，對(duì)密度函數(shù)求導(dǎo)：=

0，

(3)密度曲線

y

=

f(x)

有拐點(diǎn)即曲線

y

=

f(x)

向左右伸展時(shí),越來越貼近

x

軸.當(dāng)x

→

∞時(shí)，f(x)→

0+,決定了圖形中峰的陡峭程度若固定，改變

的值，反之亦然，則密度曲線左右整體平移.

(4)f(x)以x軸為水平漸近線;正態(tài)分布N(

,

2

)的密度函數(shù)圖形的特點(diǎn):兩頭低,中間高,左右對(duì)稱的

“峰”

狀若固定

，改變

的值，決定了圖形的中心位置

決定圖形的中心位置;

但每個(gè)因素所起的作用不大.經(jīng)濟(jì)學(xué)中的股票價(jià)格、產(chǎn)品的銷量等等，都服從或近似服從正態(tài)分布.正常條件下各種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)，如零件的尺寸；纖維的強(qiáng)度；射擊目標(biāo)的水平或垂直偏差，測(cè)量誤差，

從直方圖，我們可以初步看出,年降雨量近似服從正態(tài)分布.用上海99年降雨量的數(shù)據(jù)畫出了頻率直方圖.下面是我們用某大學(xué)男大學(xué)生的身高的數(shù)據(jù)畫出的頻率直方圖.可見,男大學(xué)生的身高應(yīng)服從正態(tài)分布.除了上面提到的年降雨量和某地區(qū)成年男子的身高、體重外,農(nóng)作物的產(chǎn)量，小麥的穗長(zhǎng)、株高；在自然現(xiàn)象和社會(huì)現(xiàn)象中大量的隨機(jī)變量都服從或者近似服從正態(tài)分布.生物學(xué)中同一群體的形態(tài)指標(biāo)，電子元器件的信號(hào)噪聲、電壓、電流；擬合的正態(tài)密度曲線有很多分布還可以用正態(tài)分布近似.而正態(tài)分布自身還有很多良好的性質(zhì).若影響某一數(shù)量指標(biāo)的隨機(jī)因素很多，每一因素獨(dú)立，服從正態(tài)分布若隨機(jī)變量X～N(

,

2

)，則正態(tài)分布的分布函數(shù)X的分布函數(shù)下面我們介紹一種最重要的正態(tài)分布

——標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布

=0,

=1的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.其密度函數(shù)和分布函數(shù)常用

(x)

和

(x)表示：可查表得其值標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的重要性在于，任何一個(gè)一般的正態(tài)分布都可以通過線性變換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.求P(X

<

0.

5),P(X

>

2.

5)及Y

~N(0,1)

設(shè)X～N(

,

2

)，P(-1.64

X

<

0.82).解P(X

>

2.

5)=

1-(2.

5)

P(X

<

0.

5)=F(0.

5)查表得=0.6915;=1

-

0.

9938=0.

0062;P(-1.64

X

<

0.82)

=(0.

82)-

(-1.

64)

=(0.

82)-[1-

(1.

64)]=0.7434;=

即若

X～N(

,

2

)

=

只需將標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)制成表，就可以解決正態(tài)分布的概率計(jì)算問題.例5設(shè)X～N(0

,1

)，并求該地區(qū)明年

8

月份降雨量超過250mm的概率.例6某地區(qū)8月份降雨量

X服從

=185mm

,

=

28mm

的正態(tài)分布，∵

X～N(185

,282)，寫出X的概率密度，解所求概率為P(X

>

250)

=1-

P(X

250)

=1-(2.

32)

=1-

0.

9898=0.0102

.再看一個(gè)應(yīng)用正態(tài)分布的例子上一講我們已經(jīng)看到，當(dāng)n很大，p接近0或1時(shí)，二項(xiàng)分布近似泊松分布;可以證明，如果n很大，而p不接近于0或1時(shí)，二項(xiàng)分布近似于正態(tài)分布.例8

公共汽車車門高度是按男子與車門頂頭碰頭機(jī)會(huì)在

0.01以下來設(shè)計(jì)的.問門高度應(yīng)如何確定?解

設(shè)車門高度為hcm,按設(shè)計(jì)要求應(yīng)有

P(X≥h)≤0.01或P(X<h)≥0.99，下面求滿足上式的最小

h：若男子身高X～N(170,62),∵X～N(170,62),查表得(2.33)

=

0.9901>0.99，

h=170+13.98184.設(shè)計(jì)車門高度為184mm時(shí)，可使男子與車門頂碰頭機(jī)會(huì)不超過0.01.若

X～N(

,

2

)時(shí)，要求滿足

P(X

>x0)=p

的

x0：

P(X

>x0)=p

已知1987年全國(guó)普通高校統(tǒng)考物理成績(jī)XN(42,36),這表明有16%的考生成績(jī)超過48分，

如果某考生得48分,求有多少考生名列該考生之前?例9(確定超前百分位數(shù)、排定名次)解由條件知即求P(X>48)，查表可知即84%的考生名列該考生之后.=

1-(1),即成績(jī)高于甲的人數(shù)應(yīng)占考生的16.9%,對(duì)于錄取考試人們最關(guān)心的是

①自己能否達(dá)到錄取分?jǐn)?shù)線？

②自己的名次？某公司招工300名(正式工280,臨時(shí)工20名),例10

(預(yù)測(cè)錄取分?jǐn)?shù)和考生名次)

解

設(shè)考生成績(jī)?yōu)閄,最低分?jǐn)?shù)線為x0,166,∴

X

N(166,932)，(1)(預(yù)測(cè)分?jǐn)?shù)線)考后由媒體得知：考試總平均成績(jī)?yōu)?66分,360分以上的高分考生有31人.

考生甲得256分,問他能否被錄用？如錄用能否被錄為正式工？有1657人參加考試,考試滿分為400分.高于此線的考生頻率為300/1657∵高于360分的考生頻率為(2)(預(yù)測(cè)甲的名次)當(dāng)X=256時(shí),P(X>256)這表明高于256分的頻率應(yīng)為0.169,排在甲前應(yīng)有甲大約排在281名.故甲能被錄取,但成為正式工的可能性不大.∴

P(X>360)類似計(jì)算可得，=

0.

9974

例11

設(shè)X～N(

,

2)，

解求P(|X-|

<

k)k=1,2,3.P(|X-|

<

3)

=

P(

-

3

<

X<

+

3

)

這表明

X的取值幾乎全部集中在區(qū)間[-

3,

+3]內(nèi)，這在統(tǒng)計(jì)學(xué)上稱作

3準(zhǔn)則(三倍標(biāo)準(zhǔn)差原則).超出這個(gè)范圍的可能性不到0.3

%

，從而可以忽略不計(jì).為應(yīng)用方便，下面引入標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布分位數(shù)的概念：則稱滿足等式

P(X>u

)

=

的數(shù)

u

為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上側(cè)

分位數(shù)；定義4(P147.)設(shè)X～N(0

,1

)，0<<1,P(X

>u

)=1-P(Xu

)稱滿足等式

P(|X|>u/2

)

=

的數(shù)

u/2

為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的雙側(cè)

分位數(shù)；

(x)O

xu

(x)O

x

/

2

/

2-u/2u/2=，

=1-(u)

(u)=

1-

，

可查表得值類似可得

(u/2

)=

1-

/2

，

若

X～N(

,

2

)時(shí)，要求滿足

P(X

>x0

)=

的

x0：(u)=

1-

u

隨機(jī)變量

X分布函數(shù)離散型連續(xù)型——分布列——密度函數(shù)

復(fù)習(xí)其圖形是右連續(xù)的階梯曲線其圖形是連續(xù)曲線f(x)常見的分布均勻分布、指數(shù)分布、正態(tài)分布離散型連續(xù)型兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布、泊松分布超幾何分布、幾何分布x

p(x)0

f(x)x0

特征非負(fù)規(guī)范至此，我們已介紹了兩類重要的隨機(jī)變量:全部可能的取值取值的概率分布是判定一個(gè)函數(shù)是否為某隨機(jī)變量X的分布列或密度的充要條件.F(X)=

P(X

x)P{x1<X≤x2

}

=F(

x2)-F(

x1)

在f(x)的連續(xù)點(diǎn)，由于改變被積函數(shù)在個(gè)別點(diǎn)處的值不影響積分結(jié)果的性質(zhì),故可在

沒意義的點(diǎn)處任意規(guī)定f(x)的值.是判定一個(gè)函數(shù)f

(x)是否為某連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度的充要條件.P(

X

=

x0

)=0

P(a<Xb)=P(a

Xb)=P(aX<b

)=P(a<Xb

)分布函數(shù)概率分布與分布函數(shù)的關(guān)系?分布函數(shù)的特征—F(x)=

P(X

x)F(-

)=0，F(xiàn)(+

)=

1;

F(x)是x的非減函數(shù);

P(a

<

X

b)

=F(b)-

F(a);

P(X

>

a)

=1-

F(a);X

01pk1-

pp只有兩個(gè)互逆結(jié)果的

n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)(