第3章 正弦交流電路的穩(wěn)態(tài)分析

Answerofhomework（NO.5）6-12見課本習(xí)題答案;6-14見課本習(xí)題答案;6-150.22s2-16見課本習(xí)題答案;6-24見課本習(xí)題答案;3-175°，i1

超前i2第3章正弦交流電路的穩(wěn)態(tài)分析

3.3單一參數(shù)的交流電路3.4復(fù)阻抗、復(fù)導(dǎo)納及等效變換3.2正弦量的相量表示法3.1正弦量的基本概念3.5正弦交流電路中的功率及功率因數(shù)3.6正弦穩(wěn)態(tài)電路的計算3.7串聯(lián)及并聯(lián)電路的諧振3.8耦合電感電路與理想變壓器學(xué)習(xí)目標(biāo)

正確理解正弦量的概念，牢記正弦量的三要素。正確區(qū)分瞬時值、最大值、有效值和平均值。深刻理解正弦量的相量表示法。深刻理解和掌握交流電路中電阻、電容、電感元件上的電壓、電流之間的相位關(guān)系，并能進行相關(guān)的計算。正確區(qū)分瞬時功率、平均功率、有功功率、無功功率和視在功率，并會進行計算。

3.1正弦量的基本概念若電壓、電流是時間t的正弦函數(shù)，稱為正弦交流電。

以電流為例，正弦量的一般解析式為：瞬時值i(t)：時間t不同時取值不同3.1.1正弦量的三要素振幅Im

：正弦量變化的最大值相位：表示正弦量變化進程。初相：當(dāng)t=0時的相位叫初相位角頻率ω：正弦量單位時間變化的弧度數(shù)（rad/s）把振幅、角頻率和初相稱為正弦量的三要素。只有確定了三要素，正弦量才是確定的。波形如圖3.1-1所示圖3.1-1正弦量的波形從波形圖中也可讀出正弦量的三要素因為正弦量每經(jīng)歷一個周期的時間T，相位增加2π，則角頻率ω、周期T和頻率?之間關(guān)系為：

ω、T、?反映的都是正弦量變化的快慢，ω越大，即?越大或T越小，正弦量變化越快；ω越小，即?越小或T越大，正弦量變化越慢。

3.1.2頻率與周期3.1.3初相位及相位差初相位反映正弦量的起始位置，通常在的范圍內(nèi)取值

用正弦函數(shù)表示正弦波形時，把波形圖上原點前后正負(fù)T/2內(nèi)曲線由負(fù)變正經(jīng)過零值的那一點作為正弦波的起點。初相角就是波形起點到坐標(biāo)原點的角度，于是初相角不大于，且波形起點在原點左側(cè)；反之。圖3.1-2如圖3.1-2所示，初相分別為0、

由圖可見，初相為正值的正弦量，在t=0時的值為正，起點在坐標(biāo)原點之左；初相為負(fù)值的正弦量，在t=0時的值為負(fù)，起點在坐標(biāo)原點之右。

設(shè)有兩個同頻率的正弦量為

叫做它們的相位差。

正弦量的相位是隨時間變化的，但同頻率的正弦量的相位差不變，等于它們的初相之差。同相：初相相等的兩個正弦量，它們的相位差為零，反相:如果，則兩個正弦量反相。超前：如果，則表示i1超前i2

滯后：如果，則表示i1滯后i2

正交：如果，則兩個正弦量正交如圖3.1-3（a）、（b）、（c）、（d）分別表示兩個正弦量同相、超前、正交、反相。圖3.1-3i1與i2同相、超前、正交、反相注意：（1），否則無法得出導(dǎo)前、之后等結(jié)論。（2）比較的正弦信號的表示方法應(yīng)相同（本書用正弦）。（3）不同頻率的正弦量相位差是隨時間變化的（本書中談到的相位差都是指同頻率之間的相位差）。，

例：某電路中，則他們的三要素分別為多少？有效值為多少？它們的相位差為多少？

同頻率正弦量的相位差，不隨時間變化，與計時起點的選擇無關(guān)。為了分析問題的方便，在一些有關(guān)的同頻率正弦量中，可以選擇其中的一個初相為零的正弦量為參考，其他正弦量的初相必須與這個參考正弦量的初相比較，即以其他正弦量的初相等于它們和參考正弦量之間的相位差。在n個正弦量中，只能選擇一個為參考正弦量。

1、有效值周期量的有效值定義為：一個周期量和一個直流量，分別作用于同一電阻，如果經(jīng)過一個周期的時間產(chǎn)生相等的熱量，則這個周期量的有效值等于這個直流量的大小。電流、電壓有效值用大寫字母I、U表示。根據(jù)有效值的定義，則有

則周期電流的有效值為3.1.3正弦電流、電壓的有效值2、正弦量的有效值對于正弦電流，設(shè)同理:正弦量的最大值與有效值之間存在著的關(guān)系

3.2正弦量的相量表示法

3.2.1復(fù)數(shù)及其運算規(guī)律

圖3.2-1②代數(shù)式：③指數(shù)式：④極坐標(biāo)式1、復(fù)數(shù)及其表示（1）復(fù)數(shù)：對于任意實數(shù)a、b，定義為復(fù)數(shù)。其中j稱為虛數(shù)單位：j2=-1

（2）表示①向量圖表示（見圖3.2-1）：實部：a虛部：b模：輻角：例：代數(shù)式與極坐標(biāo)式互換（2）各種表示間的相互轉(zhuǎn)換2、復(fù)數(shù)運算（1）復(fù)數(shù)相等：兩個復(fù)數(shù)相等，其實部和虛部分別相等A1±A2=（a1+jb1）±(a2+jb2)=(a1±a2)+j(b1±b2)

即：若A1=a1+jb1A2=a2+jb2

A1=A2則：a1=a2b1=b2（2）加減運算：兩個復(fù)數(shù)相加（或相減）時，將實部與實部相加（或相減），虛部與虛部相加（或相減）。即：（3）乘除運算：此運算用指數(shù)式或極坐標(biāo)式進行較簡單，作乘除運算時，分別把模進行乘除，輻角進行加減。即若：（4）旋轉(zhuǎn)因子任何一個復(fù)數(shù)A乘以等于把復(fù)數(shù)A逆時針旋轉(zhuǎn)度，所以稱為旋轉(zhuǎn)因子。3.2.2正弦量的相量表示法

（2）相量與正弦量的關(guān)系：一一對應(yīng)關(guān)系

把這個復(fù)數(shù)分別稱為正弦量的有效值相量和振幅相量。特別應(yīng)該注意，相量與正弦量之間只具有對應(yīng)關(guān)系，而不是相等的關(guān)系。

也可表示成：（1）相量表示:用復(fù)數(shù)來表示正弦量.復(fù)數(shù)的模和幅角分別等于正弦量的幅值和初相位例:已知u1=141sin(ωt+60o)V，u

2=70.7sin(ωt-45o)V。求：⑴求相量；(2)求兩電壓之和的瞬時值u(t)（3）畫出相量圖解（1）（3）相量的表示方法：可以用復(fù)數(shù)表示方法的任意一種（4）相量的運算：可以用復(fù)數(shù)運算的任何一種（2）（3）相量圖如圖3.2-2所示圖3.2-2例：已知：求：3.2.3、基爾霍夫定律的相量形式（1）KCL的相量形式（2）KVL的相量形式例：已知圖3.2-3中求并畫相量圖。圖3.2-3解：由KVL得：寫成相量形式為：例：已知下圖中求：圖3.2-4相量圖如圖3.2-4所示。3.3單一參數(shù)的交流電路

在交流電路中，電壓和電流是變動的，是時間的函數(shù)。電路元件不僅有耗能元件的電阻，而且有儲能元件電感和電容。下面分別討論它們的伏安關(guān)系式（即VAR）的相量形式及在正弦交流電路中的功率。3.3.1電阻元件中的正弦交流電

（1）或（2）頻率相等（3）初相位相等

比較得電阻元件上正弦電流與電壓的相量關(guān)系為：設(shè)電流、電壓為關(guān)聯(lián)參考方向如圖3.3-1，解析式為：根據(jù)歐姆定律得出電流與電壓的瞬時值關(guān)系為：比較得電阻元件上正弦電流與電壓的三要素的關(guān)系為：圖3.3-1圖3.3-2電阻元件的電壓、電流相量及波形圖電阻元件上電壓、電流相量、波形圖如圖3.3-2所示。3.3.2電感中的正弦電流

（1）或（2）頻率相等（3）比較得電感元件上正弦電流與電壓的相量關(guān)系為：設(shè)電流、電壓為關(guān)聯(lián)參考方向如圖3.3-3，解析式為：根據(jù)電感元件上電流與電壓的瞬時值關(guān)系得：比較得電感元件上正弦電流與電壓的三要素的關(guān)系為：圖3.3-3圖3.3-4電感元件的波形、相量圖

電感元件中電壓、電流的波形、相量圖如圖3.3-4所示?？梢钥闯?，電感上電流滯后電壓為90°。通常把XL=ωL定義為電感元件的感抗，它是電壓有效值與電流有效值的比值,對于一定的電感L，當(dāng)頻率越高時，其所呈現(xiàn)的抗感越大，反之越小。在直流情況下，頻率為零，XL=0，電感相當(dāng)于短路。

3.3.3電容中的正弦電流

（1）或（2）頻率相等（3）比較得電容元件上正弦電流與電壓的相量關(guān)系為：設(shè)電流、電壓為關(guān)聯(lián)參考方向如圖3.3-5，解析式為：根據(jù)電容元件上電流與電壓的瞬時值關(guān)系得：比較得電容元件上正弦電流與電壓的三要素的關(guān)系為：圖3.3-5圖3.3-6電容元件的波形、相量圖以上表明電容電流超前電容電壓90°，可以用相量圖或波形圖清楚地說明。如圖3.3-6所示。通常把定義為電容的容抗。例：圖3.3-7中已知R=3Ω,C=0.125F,

，求電流并畫相量圖。解：寫出各已知量的相量形式：根據(jù)電阻元件上電流與電壓的相量關(guān)系得：根據(jù)電容元件上電流與電壓的相量關(guān)系得：根據(jù)KCL的相量形式得：圖3.3-7相量圖如圖3.3-8所示.圖3.3-8例：下圖中已知R=100Ω，C=5μF,L=0.3H,求各元件兩端的電壓。解：寫出各已知量的相量模型：根據(jù)各元件上電流與電壓的相量關(guān)系得：根據(jù)KVL的相量形式得：3.4復(fù)阻抗、復(fù)導(dǎo)納及等效變換1、阻抗：（1）定義：無源二端電路，端口電壓相量與電流相量之比定義為阻抗。并用Z表示,如圖3.4-1所示圖3.4-1（2）公式：或2、各獨立元件的阻抗：電阻：電感：電容：3.4.1RLC電路的串聯(lián)、復(fù)阻抗3、RLC串聯(lián)電路的阻抗RLC串聯(lián)電路如圖3.4-2(a)所示：3.4-2(b)是RLC串聯(lián)電路的相量模型圖3.4-2根據(jù)相量形式的KVL得:圖3.4-2所以RLC串聯(lián)電路的阻抗

式中∣Z∣稱為阻抗的模，其中X=XL-XC稱為電抗，電抗和阻抗的單位都是歐姆。稱為阻抗角，它等于電壓超前電流的相位角.當(dāng)XL>XC，>0

時,電路呈感性，電壓超前于電流一個

角;當(dāng)XL<XC，<0

時,電路呈容性，電壓滯后于電流一個角;當(dāng)XL=XC，=0時，電路呈阻性，電壓與電流同相位，此時電路處于串聯(lián)諧振狀態(tài).4、阻抗角與阻抗模例：在RLC串聯(lián)電路中，已知R=30Ω,C=40μF，L=127mH，，求電流及各元件兩端的電壓。并畫相量圖。解：寫出各已知量的相量模型：串聯(lián)電路的阻抗為：串聯(lián)電路的電流為：圖3.4-3各元件兩端的電壓為：5、RLC串聯(lián)電路的相量圖阻抗：阻抗模：阻抗角：阻抗三角形：電壓三角形：設(shè)：則：相量圖3.4.2RLC電路的并聯(lián)、復(fù)導(dǎo)納

1、導(dǎo)納：（1）定義：無源二端電路，端口電流相量與電壓相量之比定義為導(dǎo)納。并用Y表示,如圖3.4-5所示（2）公式：或2、各獨立元件的導(dǎo)納：電阻：電感：電容：圖3.4-5

對于如圖圖3.4-6所示R、L、C并聯(lián)電路，根據(jù)相量形式得KCL，得到：圖3.4-6RLC并聯(lián)電路3、RLC并聯(lián)電路的等效導(dǎo)鈉并聯(lián)電路的等效導(dǎo)鈉：其中B=BL-BC稱為電納。導(dǎo)鈉模：導(dǎo)鈉角：

無源二端網(wǎng)絡(luò)既可以用一個復(fù)阻抗來等效也可以用一個復(fù)導(dǎo)納來等效，對于同一電路，阻抗與導(dǎo)納互為倒數(shù)。

3.4.3復(fù)阻抗與復(fù)導(dǎo)納的等效變換

若已知阻抗Z=R+jX則等效阻抗為Z=Re+jXe則等效導(dǎo)納為Y=Ge-jBe其中若已知導(dǎo)納Y=G-jB其中3.5正弦交流電路中的功率及功率因數(shù)設(shè)流過電阻元件的電流為iR(t)=Im

sinωtA其電阻兩端電壓為uR(t)=Im

R

sinωt=UmsinωtV則在關(guān)聯(lián)參考方向下，瞬時功率為3.5.1

R、L、C元件的功率和能量pR(t)=u(t)i(t)=2URIRsin2ωt=URIR（1-cos2ωt）W由于cos2ωt≤1,故此pR（t）=URIR（1-cos2ωt）≥0電阻元件的瞬時功率是以兩倍于電壓的頻率變化的，而且pR（t）≥0，說明電阻元件是耗能元件。其瞬時功率的波形圖如3.5-1所示1、電阻元件的功率圖3.5-1電阻元件的瞬時功率電阻的平均功率可見對于電阻元件，平均功率的計算公式與直流電路相似。在關(guān)聯(lián)參考方向下，設(shè)流過電感元件的電流為2、電感元件的功率其瞬時功率為:

則電感電壓為：

上式表明，電感元件的瞬時功率也是以兩倍于電壓的頻率變化的；且pL(t)的值可正可負(fù)，其波形圖如圖3.5-2所示。圖3.5-2電感元件的瞬時功率

從圖上看出，當(dāng)uL(t)、iL(t)都為正值時或都為負(fù)值時，pL(t)為正，說明此時電感吸收電能并轉(zhuǎn)化為磁場能量儲存起來；反之，當(dāng)pL(t)為負(fù)時，電感元件向外釋放能量。pL(t)的值正負(fù)交替，說明電感元件與外電路不斷地進行著能量的交換。電感消耗的平均功率為：

電感消耗的平均功率為零，說明電感元件不消耗功率，只是與外界交換能量。

在電壓、電流為關(guān)聯(lián)參考方向下，設(shè)流過電容元件的電流為:

則電容電壓為：

其瞬時功率為：3．電容元件的功率

uc

(t)、ic(t)、pc(t)的波形如圖3.5-3所示。圖3.5-3電容元件的瞬時功率

從圖上看出，pc(t)、與pL(t)波形圖相似，電容元件只與外界交換能量而不消耗能量。電容的平均功率也為零，即：電感元件以磁場能量與外界進行能量交換，電容元件是以電場能量與外界進行能量交換。

3.5.2二端電路的功率1、瞬時功率在圖3.5-4所示二端電路中，設(shè)電流i(t)及端口電壓u(t)在關(guān)聯(lián)參考方向下，分別為：則二端電路的瞬時功率為：

圖3.5-4

上式表明，二端電路的瞬時功率由兩部分組成，第一項為常量，第二項是兩倍于電壓角頻率而變化的正弦量。從圖上看出，u(t)或i(t)為零時，p(t)為零；當(dāng)二者同號時，p(t)為正，電路吸收功率；二者異號時，p(t)為負(fù)，電路放出功率，圖上陰影面積說明，一個周期內(nèi)電路吸收的能量比釋放的能量多，說明電路有能量的消耗。瞬時功率的波形如圖3.5-5所示圖3.5-52、有功功率（也叫平均功率）和功率因素

式中稱為二端電路的功率因素，功率因素的值取決于電壓與電流之間的相位差，也叫功率因素角。

有功功率：瞬時功率在一個周期內(nèi)的平均值當(dāng)時，，電壓與電流正交，單口網(wǎng)絡(luò)不吸收有功功率；當(dāng)，時，電壓與電流同相，此時等效成一個電阻，單端口網(wǎng)絡(luò)吸收功率。一般情況下。

對RLC串聯(lián)電路（其電壓、電流的相量關(guān)系如圖3.5-6所示）有功功率：圖3.5-63、無功功率、視在功率和復(fù)功率

（1）無功功率：反映一端口網(wǎng)絡(luò)與電源間進行能量交換的程度。用Q表示，定義（2）視在功率：通常將二端電路電壓和電流有效值的乘積稱為，用S表示，即

S=UI（3）P、Q、S之間的關(guān)系

功率三角形：工程上為了計算方便，把有功功率作為實部，無功功率作為虛部，組成復(fù)數(shù)，稱為復(fù)功率，用表示復(fù)功率，即有功功率、無功功率、視在功率的單位分別用瓦（W）、乏（var）、伏安（V.A）以示區(qū)別。（4）復(fù)功率例：在RLC串聯(lián)電路中已知R=30Ω,C=40μF,L=127mH，，求電流，有功功率、無功功率、視在功率及功率因素解：寫出各已知量的相量模型：串聯(lián)電路的阻抗為：串聯(lián)電路的電流為：

3.5.3正弦穩(wěn)態(tài)電路的最大功率傳輸

如圖3.5-7所示，交流電源的電壓為，其內(nèi)阻抗為Zs=Rs+jxs，負(fù)載阻抗ZL=RL+jXL

,電路中電流為：電流有效值為：

圖3.5-7負(fù)載吸收的功率為：

負(fù)載獲取最大功率的條件為：負(fù)載能獲取最大功率此時最大功率為：

3.5.4功率因數(shù)的提高1、意義：根據(jù)：（1）當(dāng)視在功率額定時。提高功率因數(shù)可以提高電源設(shè)備的利用率（2）在額定電壓下向負(fù)載輸送一定的有功功率時，可以減少線路的功率損耗2、方法：根據(jù)：Q=QL-QC，圖3.5-8實際電路中大部分負(fù)載是感性的，常用在感性負(fù)載兩端并聯(lián)補償電容的方法（如圖圖3.5-8）來提高功率因數(shù)3、計算：并聯(lián)補償電容的計算方法為：額定功率額定電壓補償前功率因數(shù)角補償后功率因數(shù)角3.6正弦穩(wěn)態(tài)電路的計算3.6.1相量法分析正弦穩(wěn)態(tài)的主要步驟1、畫出電路的相量模型2、根據(jù)KCL、KVL和元件的VCR相量形式，建立電路方程或?qū)懗鱿鄳?yīng)公式，并求解得到電壓電流的相量表達式。3、根據(jù)計算得到的電壓相量和電流相量，寫出相應(yīng)的瞬時值表達式3.6.2阻抗串聯(lián)和并聯(lián)電路分析1、多阻抗的串聯(lián)n個阻抗串聯(lián)組成的單口網(wǎng)絡(luò)，就端口特性來說，等效與一個阻抗，如圖3.6-1所示，其等效阻抗等于各串聯(lián)阻抗之和，圖3.6-1

2、導(dǎo)納并聯(lián)n個導(dǎo)納并聯(lián)組成的單口網(wǎng)絡(luò)，就端口特性來說，等效與一個導(dǎo)納，如圖3.6-2所示，其等效導(dǎo)納等于各并聯(lián)導(dǎo)納之和，圖3.6-2例：圖3.6-3中已知試求電流圖3.6-3例：下圖中已知，試求電流。解：寫出各已知量的相量模型：RL串聯(lián)支路的阻抗為：電容C所在支電路的阻抗為：電路的等效阻抗為：電路的電流為：3.6.3一般正弦穩(wěn)態(tài)電路分析例：求圖3.6-4中的電壓u1和u2。在一般正弦穩(wěn)態(tài)電路分析中，前面直流電路的分析方法（包括回路電流法、節(jié)點電壓法、戴維南定理等）仍然適用，但交流電路中要用復(fù)數(shù)進行計算。所以首先要畫出電路的相量模型，然后根據(jù)基本定律（）及電路的分析方法用相量建立復(fù)代數(shù)方程，解出變量的相量。再將求出的相量轉(zhuǎn)換成正弦量。圖3.6-4解：該電路已畫出相量圖，用節(jié)點電壓法最方便。兩個獨立節(jié)點的一般方程為：寫成相量形式為代入已知量得：化簡得：轉(zhuǎn)換成瞬時表達式為：由克萊姆法則解得：例：圖3.6-6（a）中，已知，求：（1）若Z4=7Ω，則流過Z4的電流i多大。(2)若Z4可變。則Z4為多大時可取得最大功率？最大功率為多大？解：此題用戴維南定理來解。首先畫出電路的相量模型。Z4支路斷開，求余下電路的戴維南等效電路：電路的相量模型圖3.6-6（b）所示圖3.6-6（a）先求等效電阻：圖3.6-6（b）再用疊加定理求開路電壓：開路電壓：戴維南等效電路如圖（3.6-6(c)）：3.6-6(c)(1)電流i的相量為：圖3.6-6（b）根據(jù)最大功率傳輸定理得：Z4=Z*0=7.16-j1.82Ω時可取得最大功率最大功率為說明：當(dāng)負(fù)載是純電阻時，獲得最大功率的條件是：ZL=Z0最大功率為：例：圖3.6-5中已知。求電流i1(t)和i2(t)

。圖3.6-55.1

1、諧振條件：諧振現(xiàn)象：含有電容器和電感的線性無源二端網(wǎng)絡(luò)在激勵為某一頻率時，端口電流和端口電壓同相的現(xiàn)象。3.7.1串聯(lián)諧振的條件和特征串聯(lián)諧振電路的阻抗諧振頻率：應(yīng)用：3.7串聯(lián)及并聯(lián)電路的諧振2、諧振特征（1）阻抗特征：阻抗最小且為純電阻。特征阻抗ρ：諧振時的感抗或容抗。（2）電流特征：電流最大且與端口電壓同相（3）電壓特征：①電感兩端的電壓和電容兩端的電壓大小相等，相位相反，其大小為電源電壓的Q倍。②品質(zhì)因數(shù)Q：特征阻抗與電路中純電阻的比值。③電阻上電壓與整個諧振電路兩端的電壓相等。（4）功率特征：無功功率：有功功率：②諧振時，電源只向電阻提供有功功率。①諧振時，電源不向電路提供無功功率。（5）能量特征：①諧振時，電場能量與磁場能量的最大值相等②諧振時，在一定外加電壓下，電磁能量與電路的品質(zhì)因數(shù)的平方成正比例：在RLC串聯(lián)電路中已知R=1kΩ,C=400μF,L=1mH，求諧振時的頻率f0、回路的特征阻抗ρ和品質(zhì)因素Q各為多少？解：諧振頻率為：特征阻抗為：品質(zhì)因素為：頻率特性：（1）阻抗與導(dǎo)納的頻率特性復(fù)阻抗的模值隨頻率變化的關(guān)系稱為幅頻特性。阻抗角隨頻率的變化特性。不同R值（Q值不同）時，電流的諧振曲線：

電流與頻率的關(guān)系曲線稱為電流諧振曲線。（2）電流的諧振曲線：電路中的電流、電壓、阻抗、導(dǎo)納等隨頻率而變化的關(guān)系稱為頻率特性。電流、電壓與頻率的關(guān)系曲線稱為諧振曲線。諧振曲線：幅頻特性：相頻特性：3.7.2串聯(lián)諧振電路的諧振曲線（3）串聯(lián)諧振電路的通頻帶1）通頻帶的概念：把電流諧振曲線上

所對應(yīng)的頻率范圍稱為該回路的通頻帶B。2）通頻帶B與品質(zhì)因素Q的關(guān)系:

通頻帶B與品質(zhì)因素Q成反比，Q值愈大，諧振曲線愈尖銳，通頻帶愈窄，回路的選擇性愈好。1、諧振條件：2、諧振特征：（1）阻抗最大（2）電壓最大（3）電流特征：3、并聯(lián)諧振電路的諧振曲線和通頻帶（1）電壓的幅頻特性曲線和相頻特性曲線（2）并聯(lián)諧振回路的通頻帶3.7.3并聯(lián)電路的諧振3.8.1耦合電感元件及伏安特性自感現(xiàn)象：當(dāng)通過電感線圈的電流變化時，在其自身產(chǎn)生感生電壓的現(xiàn)象，產(chǎn)生的電壓稱為自感電壓。伏安關(guān)系：對正弦量：3.8耦合電感電路與理想變壓器（關(guān)聯(lián)參考方向）像這種一個線圈的磁通與另一個線圈相交鏈的現(xiàn)象，稱為磁耦合，即互感。Φ21

和Φ12

稱為耦合磁通或互感磁通。圖3.8-1耦合電感1、互感現(xiàn)象：由于一個線圈中的電流變化在另一個線圈中產(chǎn)生感生電壓的現(xiàn)象，稱為互感現(xiàn)象，產(chǎn)生的電壓叫互感電壓。定義互感系數(shù)：

因為Φ21≤Φ11，Φ12≤Φ22，線圈1的自感磁鏈與互感磁鏈分別為ψ11=N1Φ11，ψ12=N1Φ12；線圈2的自感磁鏈與互感磁鏈分別為ψ22=N2Φ22，ψ21=N2Φ21?？梢宰C明：M21=M12=M定義耦合系數(shù)K

0≤K≤1，K值越大，說明兩個線圈之間耦合越緊，當(dāng)K=1時，稱全耦合，當(dāng)K=0時，說明兩線圈沒有耦合。所以可以得出圖3.8-1中:

2、耦合電感元件的電壓、電流關(guān)系

由電磁感應(yīng)定律式中、分別為線圈1、2的自感電壓，、分別為線圈1、2的互感電壓。

如果自感磁通與互感磁通的方向相反，即磁通相消，如圖3.8-2所示，耦合電感的電壓、電流關(guān)系方程式為：圖3.8-2耦合電感3.8.2同名端

1、同名端的規(guī)定：具有磁耦合的兩線圈，當(dāng)電流分別從兩線圈各自的某端同時流入（或流出）時，若兩者產(chǎn)生的磁通相助，則這兩端叫作互感線圈的同名端，用黑點“·”或星號“*”作標(biāo)記。例如，圖3.8-3，判斷電流從兩個線圈的“*”標(biāo)記端流入時，磁通的方向。圖3.8-3同名端圖3.8-4（a）（b）(c)(d)例如，寫出圖3.8-4中耦合線圈的伏安關(guān)系2、同名端判斷方法：如圖3.8-5當(dāng)開關(guān)突然閉合時，如果電壓表的指針正向偏轉(zhuǎn)，則表示接電壓表正極性端鈕與電源的正極性端為一對同名端。即這里1和3為一對同名端。如電壓表的指針反向偏轉(zhuǎn)，則端鈕1與端鈕4為同名端。圖3.8-53.8.3耦合電感的串聯(lián)分析耦合電感的串聯(lián)有兩種方式——順接和反接。順接串聯(lián)就是異名端相接，如圖3.8-6（a）所示。

由此可知，順接串聯(lián)的耦合電感可以用一個等效電感L來代替，如圖3.8-6（b）所示，等效電感L=L1+L2+2M圖3.8-6耦合電感順接串聯(lián)因為順接串聯(lián)耦合電感的電流從同名端流入，且電流相等所以圖3.8-7耦合電感的反接串聯(lián)由此可知，反接串聯(lián)的耦合電感可以用一個等效電感L代替如圖3.8-7(b)

，等效電感L的值L=L1+L2-2M

耦合電感的另一種串聯(lián)方式是反接串聯(lián)。反接串聯(lián)是同名端相接，如圖3.8-7(a)所示，因為反接串聯(lián)耦合電感的電流從異名端流入，且電流相等所以1、互感線圈的同名端連在一起如圖3.8-8（a）所示，為三支路共一節(jié)點、其中有兩條支路存在互感的電路，由圖可知，L1的b端與L2的d端是同名端且連接在一起，可以等效為圖3.8-8（b）所示的互感線圈的T型去耦等效電路。3.8.4耦合電感的T型分析圖3.8-8同名端相連的T型去耦等效電路

將以上兩式經(jīng)數(shù)學(xué)變換，可得畫出兩式T型等效電路如圖3.8-8（b）所示。在圖（b）中因有3個電感相互間無互感，它們的自感系數(shù)分別為L1-M、L2-M和M，又連接成T型結(jié)構(gòu)形式，所以稱之為互感線圈的T型去耦等效電路。兩線圈上的電壓分別為

2、互感線圈的異名端連接在一起圖3.8-9(a)中，兩線圈上的電壓分別為：圖3.8-9（b）異名端相連的T型去耦等效電路

將以上兩式經(jīng)數(shù)學(xué)變換，可得

畫得T型等效電路如圖3.8-9(b)所示：圖3.8-10兩個耦和電感的并聯(lián)

利用上述等效電路，可以得出如圖3.8-10(a)和(c)所示的耦合電感并聯(lián)的去耦等效電路，分別如圖3.8-10(b)

和(d)所示。由圖(b)(d)應(yīng)用無互感的電感串、并聯(lián)關(guān)系，可以得到同名端、異名端連接時耦合電感并聯(lián)的等效電感為

耦合電感中有電阻時等效關(guān)系如圖3.8-11所示：圖3.8-113.8.5空芯變壓器所謂空芯變壓器是由兩個繞在非鐵磁材料制成的芯子上并且具有互感的線圈組成的，其耦合系數(shù)較小，屬于松耦合。

設(shè)空芯變壓器電路如圖3.8-12所示，其中R!、R2分別為變壓器初、次級繞組的電阻，RL為負(fù)載電阻，設(shè)uS為正弦輸入電壓。圖3.8-12圖3.8-13變壓器的相量模型如圖3.8-13所示或?qū)憺椋骸?.8-13空心變壓器相量模型圖變壓器的相量模型如圖3.8-13所示，列出回路方程為：Z11=R1+jωL1

稱為初級回路自阻抗；Z22=R2+jωL2+RL

稱為次級回路自阻抗；Z12=Z21=jωM

稱為初次級回路互阻抗式中：求得的初級、次級電流相量分別為：……(1)……(2)有(1)式得：次極回路接負(fù)載后對初級回路的影響相當(dāng)與在初級回路中串聯(lián)一個阻抗Z1’，這個阻抗稱為副邊在原邊的反射阻抗。由電源端看進去的等效電路，也就是初級等效電路應(yīng)如圖3.8-14所示。當(dāng)我們只需要求解初級電流時，可利用這一等效電路迅速求得結(jié)果。

圖3.8-14初級等效電路輸入阻抗：由電源端看進去的阻抗為：

由此可見，輸入阻抗由兩部分組成：即初級回路的自阻抗及次級回路在初級回路的反映阻抗。有(2)式得：初級回路對次級回路的影響相當(dāng)與在次級回路中接入等效電壓源U’S

及串聯(lián)一個等效阻抗Z’2。次級回路的等效如圖3.8-15所示。當(dāng)我們只需要求解次級電流時，可利用這一等效電路迅速求得結(jié)果。圖3.8-153.8.6理想變壓器

理想變壓器是鐵芯變壓器的理想化模型，它的唯一參數(shù)只是一個稱之為變比的常數(shù)n，而不是L1、L2、

M等參數(shù)，理想變壓器滿足以下3個理想條件：(1)耦合系數(shù)K=1，即為全耦合；(2)自感系數(shù)L1、L2為無窮大，但L1/L2為常數(shù)。(3)無任何損耗，這意味著繞線圈的金屬導(dǎo)線無任何電阻，做芯的鐵磁材料的磁導(dǎo)率μ無窮大.1、理想變壓器電壓變換特性圖3.8-16(a)所示的鐵芯變壓器，其初、次級匝數(shù)分別為N1和N2，可判定a、c為同名端，設(shè)i1、i2分別從同名端流入（屬磁通相助），設(shè)初、次級電壓u1、u2與各自線圈上的電流i1、i2為關(guān)聯(lián)參考方向。圖3.8-16變壓器示意圖及其模型

由于為全耦合，則線圈的互感磁通必等于自感磁通，即φ21=φ11，φ12=φ22，穿過初、次級線圈的磁通相同，即圖3.8-16變壓器示意圖及其模型

φ11+φ12=φ11+φ22=φφ22+φ21=φ22+φ11=φ上式中φ稱為主磁通。初、次級線圈交鏈的磁鏈ψ1、ψ2分別為對ψ1、ψ2求導(dǎo)，得初、次級電壓分別為

所以

或上式為理想變壓器初、次級電壓之間的關(guān)系。式中n稱為匝比或變比，它等于初級與次級線圈的匝數(shù)之比。ψ1=N1φψ2=N2φ上式反映了理想變壓器初、次級電流之間的關(guān)系。通過以上分析，說明理想變壓器具有變換電壓和電流的作用。在正弦穩(wěn)態(tài)下，其相量形式為即2、理想變壓器電流變換特性任意時刻，理想變壓器吸收的功率恒等于零。例如對圖3.8-16

所示的理想變壓器，其瞬時功率為應(yīng)該強調(diào)以下幾點：（1）對于變壓關(guān)系式取“+”還是取“-”，僅取決于電壓參考方向與同名端的位置。當(dāng)u1、u2參考方向在同名