自動控制理論全套課件(王孝武 方敏)

自動控制理論教材：《自動控制理論》王孝武，方敏，葛鎖良編.

機(jī)械工業(yè)出版社2010.6參考書：

《自動控制理論》（第五版），胡壽松主編.科學(xué)出版社

《現(xiàn)代控制工程》緒方勝彥著,科學(xué)出版社

《自動控制原理》孫虎章主編，中央廣播電視大學(xué)參考葛鎖良老師課件主講教師:平兆武合肥工業(yè)大學(xué)電氣與自動化工程學(xué)院自動化系第一章緒論1.1自動控制與自動控制系統(tǒng)

一：自動控制所謂自動控制，是指在沒有人直接參與的情況下，利用外加的設(shè)備或裝置（稱控制裝置或控制器），使機(jī)器、設(shè)備或生產(chǎn)過程（統(tǒng)稱控制對象）的某個(gè)工作狀態(tài)或參數(shù)（即被控量）自動地按照預(yù)定的規(guī)律運(yùn)行。思考：實(shí)際中的自動控制？蒸汽機(jī)速度控制英國J．Watt發(fā)明的離心式調(diào)速器控制蒸汽機(jī)速度，被普遍認(rèn)為是最早應(yīng)用于工業(yè)過程的自動控制系統(tǒng)。

（１７８８年）n0二：自動控制系統(tǒng)由控制器（控制裝置）和被控對象組成，具有自動控制功能的系統(tǒng)，稱為自動控制系統(tǒng)。被控制的機(jī)器設(shè)備或生產(chǎn)過程稱作被控對象，將表征其工況的關(guān)鍵參數(shù)稱作被控量（輸出量），而將對這些工況參數(shù)所要求達(dá)到的值稱作給定值（或希望值、輸入量）。自動控制的任務(wù)可抽象為：使被控對象的被控量按給定值變化。對被控對象實(shí)施控制的裝置稱為控制器。其基本功能有:測量、決策和執(zhí)行1.2自動控制系統(tǒng)的組成自動控制系統(tǒng)是由各種結(jié)構(gòu)不同的元部件組成的。將組成系統(tǒng)的元部件按職能分類主要由以下幾種。

1：測量元件其職能是對物理量進(jìn)行檢測(被控量、內(nèi)部變量、干擾信號)2：給定元件其職能是給出與期望的被控量相對應(yīng)的系統(tǒng)輸入量

3：比較元件其職能是對兩個(gè)物理量進(jìn)行比較、加減運(yùn)算，以形成偏差信號4：放大元件其職能是將比較元件給出的偏差信號進(jìn)行放大，用來推動執(zhí)行元件去控制被控對象。

5：執(zhí)行元件其職能是直接推動被控對象，使被控量發(fā)生變化6:校正元件也叫補(bǔ)償元件，它是結(jié)構(gòu)或參數(shù)便于調(diào)整的元件，用串聯(lián)或反饋方式連接在系統(tǒng)中，以改善系統(tǒng)的性能。

自動控制系統(tǒng)原理框圖

術(shù)語：前向通道（從輸入端到輸出端）、反饋通道（從輸出端到比較元件）輸入信號、輸出信號、擾動信號擾動負(fù)反饋、正反饋反饋信號、誤差信號、控制信號控制裝置1.3自動控制方式根據(jù)控制信號的來源不同，可以分為以下三種控制結(jié)構(gòu)：輸出計(jì)算執(zhí)行被控對象干擾控制裝置輸入控制量按給定值控制：按干擾補(bǔ)償：輸出計(jì)算執(zhí)行被控對象干擾控制裝置測量控制量輸入輸出比較、計(jì)算執(zhí)行被控對象測量干擾控制裝置輸入控制量自動控制方式：1.開環(huán)控制方式：按給定值控制、按干擾補(bǔ)償2.閉環(huán)控制方式（反饋控制）：按偏差調(diào)節(jié)基本控制方式3.復(fù)合控制方式：在閉環(huán)控制基礎(chǔ)上附加輸入補(bǔ)償或干擾補(bǔ)償按偏差調(diào)節(jié)：干擾控制裝置補(bǔ)償裝置被控對象輸出干擾輸入控制裝置補(bǔ)償裝置被控對象輸出輸入按輸入補(bǔ)償?shù)膹?fù)合控制按干擾補(bǔ)償?shù)膹?fù)合控制明確控制系統(tǒng)的任務(wù)；明確系統(tǒng)工作原理；被控對象是什么？被控量（系統(tǒng)輸出量）？有哪些干擾？參考輸入？有誰提供？畫出控制系統(tǒng)的原理方框圖，分析系統(tǒng)采用何種控制方式。分析實(shí)際控制系統(tǒng)的步驟：分析舉例爐溫控制系統(tǒng)控制任務(wù)：保持爐溫T為T0不變被控對象：爐子被控量：爐溫T控制方式：按給定值控制定時(shí)開關(guān)電阻絲爐子給定爐溫實(shí)際爐溫工作原理：．．．．水位自動控制系統(tǒng)水門2杠桿水門1水箱控制任務(wù)：保持水位Ｈ為Ｈ０不變被控對象：水箱被控量：水位Ｈ工作原理：．．．．水門１杠桿水箱Ｈ０ＨＱ１水門２用水量Ｑ２控制方式：按干擾補(bǔ)償熱處理爐溫度控制系統(tǒng)控制任務(wù)：保持爐溫T為T0不變被控對象：烘爐被控量：爐溫T工作原理：．．．．控制方式：按偏差調(diào)節(jié)無靜差系統(tǒng)位置隨動控制系統(tǒng)橋式電位計(jì)放大器電動機(jī)減速器工作機(jī)械手柄控制任務(wù)：要求工作機(jī)械的角位置θc跟隨給定角位置θr被控對象：工作機(jī)械被控量：角位置工作原理：．．．．控制方式：按偏差調(diào)節(jié)減速器橋式電位器電動機(jī)-放大器工作機(jī)械無靜差系統(tǒng)谷物濕度控制系統(tǒng)控制任務(wù)：保持輸出谷物濕度為給定值被控對象：谷物被控量：谷物濕度工作原理：．．．．控制方式：復(fù)合控制濕度測量調(diào)節(jié)器谷物-閥門給定濕度谷物濕度濕度測量輸入谷物濕度1.４自動控制系統(tǒng)的分類另外：

按控制方式可分為開環(huán)控制、閉環(huán)控制、復(fù)合控制等；

按元件類型可分為機(jī)械系統(tǒng)、電氣系統(tǒng)、液壓系統(tǒng)、氣動系統(tǒng)等；

按系統(tǒng)功用可分為溫度控制系統(tǒng)、壓力控制系統(tǒng)、位置控制系統(tǒng)等；

按系統(tǒng)性能可分為集總參數(shù)系統(tǒng)和分布參數(shù)系統(tǒng)、確定系統(tǒng)和不確定系統(tǒng)等；按照描述系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型：

線性系統(tǒng)：時(shí)變系統(tǒng)、定常系統(tǒng)

非線性系統(tǒng)按照系統(tǒng)傳遞的信號的性質(zhì)：

連續(xù)控制系統(tǒng)（用微分方程描述）離散控制系統(tǒng)（用差分方程描述）按照系統(tǒng)輸入信號的變化規(guī)律：

隨動控制系統(tǒng)（伺服系統(tǒng)）恒值控制系統(tǒng)（鎮(zhèn)定系統(tǒng)、調(diào)節(jié)系統(tǒng)）程序控制系統(tǒng)線性連續(xù)系統(tǒng)這類系統(tǒng)可用線性微分方程描述，其一般形式為：

系數(shù)a0、a1、…，b0、b1、…為常數(shù)時(shí)，系統(tǒng)稱為線性定常系統(tǒng)，系數(shù)a0、a1、…，b0、b1、…隨時(shí)間而變時(shí)，系統(tǒng)稱為線性時(shí)變系統(tǒng)。

線性離散系統(tǒng)離散系統(tǒng)是指系統(tǒng)的某處或多處的信號為脈沖序列或數(shù)碼形式，因而信號在時(shí)間上是離散的。這類系統(tǒng)可用差分方程描述，其一般形式為：

非線性系統(tǒng)

系統(tǒng)中只要有一個(gè)元部件的輸入-輸出特性是非線性的，這類系統(tǒng)就稱為非線性系統(tǒng)，這時(shí)要用非線性微分（或差分）方程來描述其特性。例如：1.5對控制系統(tǒng)的性能要求控制系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)過程系統(tǒng)受到外部作用（給定值或干擾）后，被控量（輸出）隨時(shí)間變化的全過程稱為系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)過程c(t)?？刂葡到y(tǒng)動態(tài)過程（瞬態(tài)過程）穩(wěn)態(tài)過程考慮時(shí)：不同控制系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)過程比較穩(wěn)定性

穩(wěn)定性是保證系統(tǒng)正常工作的先決條件。一個(gè)穩(wěn)定的控制系統(tǒng)，其被控量偏離期望值的初始偏差應(yīng)隨時(shí)間的增長逐漸減小或趨于零。也就是說，控制器的控制作用應(yīng)使誤差逐漸減小。若控制不當(dāng)，使誤差逐漸變大，就形成了不穩(wěn)定的控制系統(tǒng)，不穩(wěn)定的控制系統(tǒng)是不能正常工作的。

快速性

為了很好完成控制任務(wù)，控制系統(tǒng)僅僅滿足穩(wěn)定性要求是不夠的，還必須對其過渡過程的形式和快慢提出要求。

準(zhǔn)確性

當(dāng)過渡過程結(jié)束后，被控量達(dá)到的穩(wěn)態(tài)值（即平衡狀態(tài)）應(yīng)與期望值一致。被控量的穩(wěn)態(tài)值與期望值之間的誤差稱為穩(wěn)態(tài)誤差。穩(wěn)態(tài)誤差是衡量控制系統(tǒng)控制精度的重要標(biāo)志。

對控制系統(tǒng)要求：穩(wěn)、快、準(zhǔn)1.6自動控制理論發(fā)展概況自動控制理論

自動控制理論是研究自動控制共同規(guī)律的技術(shù)科學(xué)。它的發(fā)展初期，是以反饋理論為基礎(chǔ)的自動調(diào)節(jié)原理，并主要用于工業(yè)控制。第二次世界大戰(zhàn)期間，為了設(shè)計(jì)和制造飛機(jī)及船用自動駕駛儀、火炮定位系統(tǒng)、雷達(dá)跟蹤系統(tǒng)以及其他基于反饋原理的軍用裝備，進(jìn)一步促進(jìn)并完善了自動控制理論的發(fā)展。到戰(zhàn)后，已形成完整的自動控制理論體系，這就是以傳遞函數(shù)為基礎(chǔ)的經(jīng)典控制理論，它主要研究單輸入-單輸出、線性定常系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)。

60年代初期，隨著現(xiàn)代應(yīng)用數(shù)學(xué)新成果的推出和電子計(jì)算機(jī)技術(shù)的應(yīng)用，為適應(yīng)宇航技術(shù)的發(fā)展，自動控制理論跨入了一個(gè)新階段——現(xiàn)代控制理論。它主要研究具有高性能、高精度的多變量變參數(shù)系統(tǒng)的最優(yōu)控制問題，采用的方法是以狀態(tài)為基礎(chǔ)的時(shí)域法。目前，自動控制理論還在繼續(xù)發(fā)展，并且已跨越學(xué)科界限，正向以控制論、信息論、仿生學(xué)為基礎(chǔ)的智能控制理論發(fā)展。

經(jīng)典控制理論核心是反饋控制的思想

20世紀(jì)40-50年代發(fā)展形成1945年美國人Bode“網(wǎng)絡(luò)分析與放大器的設(shè)計(jì)”（專著），奠定了控制理論的基礎(chǔ)。50年代趨于成熟對單輸入單輸出系統(tǒng)進(jìn)行分析，采用頻率法、根軌跡法、相平面法、描述函數(shù)法；討論系統(tǒng)穩(wěn)定性的代數(shù)和幾何判據(jù)以及校正網(wǎng)絡(luò)等現(xiàn)代控制理論

20世紀(jì)60年代以后空間技術(shù)的發(fā)展提出了許多復(fù)雜控制問題，用于導(dǎo)彈、人造衛(wèi)星和宇宙飛船

Kalman“控制系統(tǒng)的一般理論”（論文）奠定了現(xiàn)代控制理論的基礎(chǔ)解決多輸入、多輸出、時(shí)變參數(shù)、高精度復(fù)雜系統(tǒng)的控制問題大系統(tǒng)、復(fù)雜系統(tǒng)、智能控制系統(tǒng)

20世紀(jì)80年代以后各學(xué)科相互滲透，要分析的系統(tǒng)越來越大，越來越復(fù)雜。例人工智能、模擬人的人腦功能、機(jī)器人等。自動控制的應(yīng)用領(lǐng)域交通工程機(jī)器人建筑與樓宇自動化辦公自動化家庭自動化商業(yè)自動化管理自動化社會與經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)控制軍事與國防航空航天工業(yè)生產(chǎn)過程（石油、化工、冶金、熱動….）電力系統(tǒng)自動化先進(jìn)制造技術(shù)車輛工程1.7本課程的內(nèi)容線性定常連續(xù)系統(tǒng)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

系統(tǒng)的分析方法：

系統(tǒng)的校正方法（第2章）（第3章）（第4章）（第5章）（第6章）時(shí)域法根軌跡法頻域法復(fù)習(xí):拉普拉斯變換及線性微分方程的求解

1拉氏變換的定義存在

，則稱其為的拉普拉斯變換，記為設(shè)函數(shù)當(dāng)時(shí)有定義，且積分2幾種典型函數(shù)的拉氏變換

1）單位階躍函數(shù)1(t)1f(t)t2）單位斜坡函數(shù)f(t)t3）單位加速度函數(shù)f(t)t1(t)可用于表示信號作用的時(shí)間域f(t)t4）單位脈沖函數(shù)且1f(t)tf(t)t00規(guī)定積分下限取0-3拉氏變換的幾個(gè)基本法則1).線性性質(zhì)2).微分性質(zhì)若則3).積分性質(zhì)4).終值定理設(shè)，且在平面的右半平面及除原點(diǎn)外的虛軸上解析，即極點(diǎn)均位于平面的左半平面（包括坐標(biāo)原點(diǎn)）設(shè)，則有5).位移定理按定義求拉氏反變換很困難，一般常用部分分式法計(jì)算：4拉氏反變換例例s域的代數(shù)方程拉氏變換解代數(shù)方程系統(tǒng)的微分方程系統(tǒng)輸出的象函數(shù)拉氏反變換微分方程的解例5、用拉氏變換法求解微分方程應(yīng)用拉氏變換的求解微分方程的優(yōu)點(diǎn)：（1）將微積分運(yùn)算轉(zhuǎn)換為代數(shù)運(yùn)算（2）運(yùn)算過程中，初始條件直接代入，不象直接解微分方程：先解出通解，然后再由初始條件來確定待定系數(shù)。第2章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2.1引言建立控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是對系統(tǒng)進(jìn)行分析和設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)。系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型：描述系統(tǒng)輸入輸出變量以及內(nèi)部各變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式。

靜態(tài)數(shù)學(xué)模型：

動態(tài)數(shù)學(xué)模型：

靜態(tài)條件下（變量的各階導(dǎo)數(shù)為0）,代數(shù)方程動態(tài)條件下動態(tài)數(shù)學(xué)模型有多種形式：微分方程、差分方程、狀態(tài)方程

傳遞函數(shù)、動態(tài)結(jié)構(gòu)圖、信號流圖

時(shí)域：

復(fù)域：

頻域：

頻率特性建立控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的方法:對模型的要求：分析法（也稱解析法或機(jī)理法）

實(shí)驗(yàn)法：

傳統(tǒng)方法

現(xiàn)代方法（系統(tǒng)辨識方法）

盡可能符合實(shí)際物理系統(tǒng)的特性，并且準(zhǔn)確可靠；在滿足精度要求的情況下，建立的數(shù)學(xué)模型應(yīng)盡可能簡單。

2.2控制系統(tǒng)的微分方程一、系統(tǒng)微分方程的建立確定系統(tǒng)或元件的輸入量和輸出量。依據(jù)各個(gè)變量之間遵循的物理或化學(xué)定律，列出一組微分方程。消去中間變量，得到系統(tǒng)輸入變量和輸出變量之間的微分方程。對微分方程進(jìn)行整理，寫成標(biāo)準(zhǔn)形式。即將輸出量及其各階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)放在等號左邊，輸入量及其各階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)放在等號右邊，并按降冪排列。分析法建立動態(tài)系統(tǒng)的輸入－輸出微分方程的步驟：例2-1列寫圖示電路的輸入輸出微分方程)(tuiiRC)(tuc負(fù)載效應(yīng)對于兩級RC網(wǎng)絡(luò),若要消除負(fù)載效應(yīng)，可在兩個(gè)RC電路之間設(shè)置隔離放大器

根據(jù)基爾霍夫定律，可寫出下列方程組

若兩個(gè)RC電路之間沒有隔離放大器

力-電學(xué)相似系統(tǒng)例2-2有源網(wǎng)絡(luò)如圖所示。列寫輸出與輸入之間的微分方程解：由運(yùn)算放大器的基本特性和基爾霍夫定律，列寫出下列方程消去中間變量,整理后得

例2-3思考：理想運(yùn)算放大器的特性？例2-4電樞電壓控制的他勵直流電動機(jī)電磁轉(zhuǎn)矩方程

電樞反電勢

電樞回路電壓平衡方程電動機(jī)軸上轉(zhuǎn)矩平衡方程消去中間變量、，可得-----

三階微分方程

電磁轉(zhuǎn)矩方程

電樞反電勢

電樞回路電壓平衡方程電動機(jī)軸上轉(zhuǎn)矩平衡方程一般情況電樞電感

很小，可令。有-----二階微分方程

若以

為輸出，則微分方程變?yōu)閮蛇叧?，令?-5

直流調(diào)速控制系統(tǒng)（空載）例2-6位置隨動系統(tǒng)橋式電位計(jì)放大器

電動機(jī)減速器電動機(jī)（折算到電動機(jī)軸上的等效轉(zhuǎn)動慣量、等效摩擦系數(shù)、等效外加阻力矩）消去中間變量并將折算公式代入，得到若忽略的數(shù)值，考慮令得到二階線性定常系統(tǒng)二、

非線性微分方程的線性化（1）兩個(gè)外作用同時(shí)加于系統(tǒng)所產(chǎn)生的總響應(yīng)等于各個(gè)外作用單獨(dú)作用時(shí)分別產(chǎn)生的響應(yīng)之和；（2）外作用的數(shù)值增大若干倍時(shí)，響應(yīng)也增加同樣的倍數(shù)。線性系統(tǒng)的特點(diǎn)：可疊加性和齊次性（疊加原理）

嚴(yán)格地說，實(shí)際物理元件或系統(tǒng)都是非線性的。如果系統(tǒng)具有嚴(yán)重的非線性，就要采用非線性系統(tǒng)的分析處理方法；但大多數(shù)系統(tǒng)在一定限制條件下，都可通過線性化方法近似地用線性方程來描述。這里介紹一種線性化方法---小偏差法。

考慮到實(shí)際控制系統(tǒng)都有一個(gè)設(shè)定工作狀態(tài)，即系統(tǒng)中各個(gè)變量都在各自的設(shè)定值（工作點(diǎn)、平衡點(diǎn)）附近作小范圍變化，“小偏差法”的基本思想是，對于描述非線性元件輸入與輸出之間特性的非線性函數(shù)，在元件工作點(diǎn)鄰域內(nèi)展開成泰勒級數(shù)，在能夠忽略二次以上各項(xiàng)的條件下，用泰勒展開式的一次項(xiàng)近似表示元件輸入輸出特性函數(shù)，使得系統(tǒng)中非線性元件線性化，從而使描述系統(tǒng)的非線性微分方程線性化。將非線性函數(shù)在平衡點(diǎn)處展開成泰勒級數(shù)解：

設(shè)流體是不可壓縮的，根據(jù)物質(zhì)守恒定律，有

根據(jù)流體力學(xué)

例2-8

單容水箱液位系統(tǒng)如圖所示。為水箱的流入量，

水箱液面高度為

，水箱的截面積為。

列寫

與之間的

線性化微分方程。

為流出量，是與負(fù)載閥的特性有關(guān)的系數(shù)，閥的開度一定時(shí)為常數(shù)?？傻?/p>

一階非線性微分方程。

下面用小偏差法將非線性微分方程線性化。稱為水阻

1．將非線性元件（節(jié)流閥）的特性線性化設(shè)系統(tǒng)在平衡點(diǎn)附近的小范圍內(nèi)工作，各變量可以表示為在平衡點(diǎn)處對非線性函數(shù)進(jìn)行泰勒展開：由于很小，

考慮平衡點(diǎn)處

平衡點(diǎn)附近的線性增量方程。

簡記為2．將非線性微分方程增量化將代入3．將非線性微分方程線性化求得：總結(jié)使用小偏差法的步驟：1．將非線性元件線性化

設(shè)非線性元件的輸入輸出特性可用非線性函數(shù)表示，且可以在平衡點(diǎn)的鄰域內(nèi)展開成泰勒級數(shù)，忽略展開式中的高次項(xiàng)，則元件的輸入輸出特性可近似寫成線性化增量方程。2．將非線性微分方程增量化

由于非線性元件的線性化描述是一個(gè)增量方程，為方便起見，需要將系統(tǒng)中的變量轉(zhuǎn)換成增量形式，使描述系統(tǒng)的微分方程增量化。具體做法為：將微分方程中的各個(gè)變量用平衡點(diǎn)處的值和增量值之和的形式表示，并且考慮平衡點(diǎn)處各變量之間的關(guān)系，就可以得到增量化的非線性微分方程。3．將非線性微分方程線性化

將非線性元件的線性增量方程與系統(tǒng)的非線性增量微分方程聯(lián)立，求得描述系統(tǒng)的線性增量微分方程。小偏差法的應(yīng)用條件：（1）要求輸入輸出變量在平衡點(diǎn)附近作小范圍變化，否則忽略泰勒展開式的二次方以上各項(xiàng)，會產(chǎn)生大的誤差。（2）要求非線性特性曲線在平衡點(diǎn)處連續(xù)可導(dǎo)，對某些非線性特性，平衡點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)不存在，不能使用小偏差法。也可以直接對非線性方程進(jìn)行線性化在平衡點(diǎn)處求得：2.3線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)一、

傳遞函數(shù)的定義傳遞函數(shù)定義：線性定常系統(tǒng)在零初始條件下，輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比。線性定常系統(tǒng)的微分方程一般可表示為令初始條件為零，進(jìn)行拉氏變換，得到根據(jù)傳遞函數(shù)的定義

RC網(wǎng)絡(luò)：令拉氏變換：傳遞函數(shù)二、傳遞函數(shù)的一般形式用s的多項(xiàng)式分式表示的傳遞函數(shù)形式-------靜態(tài)放大倍數(shù)或靜態(tài)增益

傳遞函數(shù)也可寫成零極點(diǎn)表示的形式

是分子多項(xiàng)式方程的m個(gè)根，稱為的零點(diǎn)；是分母多項(xiàng)式方程的n個(gè)根，稱為的極點(diǎn)。、的值由確定，零、極點(diǎn)可以是實(shí)數(shù)，也可以是復(fù)數(shù)，若為復(fù)數(shù)，一定以共軛形式出現(xiàn)。根軌跡增益?zhèn)鬟f函數(shù)的零、極點(diǎn)可以用零、極點(diǎn)分布圖表示

在復(fù)平面上，用“○”表示零點(diǎn)，“×”表示極點(diǎn)。例如三、傳遞函數(shù)的零、極點(diǎn)對輸出的影響設(shè)則四、運(yùn)動的模態(tài)模態(tài)：線性微分方程的解=特解

+齊次微分方程的通解通解：由微分方程的特征方程決定，代表自由運(yùn)動?！臁臁煳?、關(guān)于傳遞函數(shù)的幾點(diǎn)說明傳遞函數(shù)的概念只適用于線性定常系統(tǒng)，是一種在復(fù)域中描述其運(yùn)動特性的數(shù)學(xué)模型。2.傳遞函數(shù)是復(fù)變量s的有理真分式函數(shù)，即，且所有系數(shù)均為實(shí)數(shù)（因?yàn)橄到y(tǒng)中元件參數(shù)是實(shí)數(shù)）。傳遞函數(shù)是一個(gè)輸入變量和一個(gè)輸出變量之間的關(guān)系，表征了系統(tǒng)的固有特性。建立一個(gè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)時(shí)，必須指明是哪一個(gè)輸入變量和哪一個(gè)是輸出變量之間的傳遞函數(shù)。傳遞函數(shù)與微分方程之間可以相互轉(zhuǎn)換。用微分算子替換傳遞函數(shù)中的復(fù)變量s，并用輸入和輸出變量的時(shí)間函數(shù)替換傳遞函數(shù)中的象函數(shù)，就可以由傳遞函數(shù)得到微分方程。

5.傳遞函數(shù)是在零初始條件下定義的，它與輸入信號的拉氏變換的乘積僅反映了系統(tǒng)在零初始條件下的響應(yīng)規(guī)律。若要求解系統(tǒng)在非零初始條件下的響應(yīng)，則應(yīng)該先由傳遞函數(shù)求出系統(tǒng)的微分方程，然后在考慮初始條件的情況下求解該微分方程，從而得到系統(tǒng)在非零初始條件下的響應(yīng)表達(dá)式。

6.一個(gè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，可以通過該系統(tǒng)在零初始條件下的單位脈沖響應(yīng)的拉氏變換求得，即，并且由傳遞函數(shù)拉氏反變換可求得系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)，即。六、典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)任何一個(gè)復(fù)雜的系統(tǒng)，從結(jié)構(gòu)上看都可以由不同的元部件組成。從數(shù)學(xué)模型來看，一個(gè)復(fù)雜系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，可以分解成一些具有典型特性的環(huán)節(jié)。由于典型環(huán)節(jié)比較簡單，建立典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)并研究其特性，可以為復(fù)雜系統(tǒng)的分析提供基礎(chǔ)。比例環(huán)節(jié)（放大環(huán)節(jié)）比例環(huán)節(jié)的輸出量能夠無失真、無延遲地按照一定比例關(guān)系復(fù)現(xiàn)輸入量。

為比例系數(shù)，也稱放大系數(shù)或增益

輸入輸出方程傳遞函數(shù)微分環(huán)節(jié)微分環(huán)節(jié)的輸出量是輸入量對時(shí)間t的微分。

積分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)的輸出量是輸入量對時(shí)間t的積分。輸入輸出方程傳遞函數(shù)輸入輸出方程傳遞函數(shù)微分環(huán)節(jié)有一個(gè)零點(diǎn)位于s平面的坐標(biāo)原點(diǎn)。

積分環(huán)節(jié)有一個(gè)極點(diǎn)位于s平面的坐標(biāo)原點(diǎn)。

慣性環(huán)節(jié)一階微分環(huán)節(jié)輸入輸出方程傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)輸入輸出方程慣性環(huán)節(jié)有一個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)極點(diǎn)，T為慣性環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)。

一階微分環(huán)節(jié)的輸出量是輸入量的比例加微分。

一階微分環(huán)節(jié)有一個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)零點(diǎn)。振蕩環(huán)節(jié)二階微分環(huán)節(jié)延遲環(huán)節(jié)（滯后環(huán)節(jié)）傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)輸入輸出方程輸入輸出方程輸入輸出方程

振蕩環(huán)節(jié)有一對共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)分布在s平面的左半開平面。

二階微分環(huán)節(jié)有一對共軛復(fù)數(shù)零點(diǎn)位于s平面的左半開平面。稱為延遲時(shí)間比例環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)一階微分環(huán)節(jié)幾種典型環(huán)節(jié)的運(yùn)算放大器電路實(shí)現(xiàn)七、控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)系統(tǒng)輸入輸出微分方程系統(tǒng)的輸入輸出傳遞函數(shù)系統(tǒng)輸入輸出變換方程各元部件變量的象函數(shù)之間的代數(shù)方程組

零初始條件下拉氏變換

零初始條件下拉氏變換

微積分消元

代數(shù)消元

由定義各元部件變量之間的微分方程組求控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)的方法例2-7求圖示電路的傳遞函數(shù)寫出基本方程123采用復(fù)阻抗求位置隨動系統(tǒng)的傳遞函數(shù)例2-8零初始條件下進(jìn)行拉氏變換求位置隨動系統(tǒng)的傳遞函數(shù)例2-8列寫出元部件變量之間的一組動態(tài)方程：零初始條件下的拉氏變換，可得一組變換方程列寫出元部件變量之間的一組動態(tài)方程：零初始條件下的拉氏變換，可得一組變換方程消去中間變量，并考慮1）求與之間的傳遞函數(shù)，令2）求與之間的傳遞函數(shù)，令

忽略的情況下令二階振蕩環(huán)節(jié)消去中間變量，并考慮2.4控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖一、結(jié)構(gòu)圖的組成結(jié)構(gòu)圖是描述系統(tǒng)中各元部件的功能和信號之間傳遞關(guān)系的圖解表示?？刂葡到y(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖也稱方塊圖、方框圖。

特點(diǎn)：結(jié)構(gòu)圖能形象直觀地表示輸入信號在系統(tǒng)中的傳遞過程，能直接反映每個(gè)中間變量的特性。通過結(jié)構(gòu)圖的等效變換方法，還可以方便地求系統(tǒng)中任意兩個(gè)變量之間的傳遞函數(shù)，避免使用消元法。

1.信號線2.引出點(diǎn)（測量點(diǎn)）3.綜合點(diǎn)（比較點(diǎn)）4.方框（環(huán)節(jié)）結(jié)構(gòu)圖包含有四種基本單元：

二、結(jié)構(gòu)圖的繪制建立控制系統(tǒng)動態(tài)結(jié)構(gòu)圖的步驟：列寫系統(tǒng)各元部件的微分方程；2.

在零初始條件下，對各微分方程進(jìn)行拉氏變換，并將每一個(gè)變換方程用方框表示；

3.

按系統(tǒng)中各變量的傳遞順序，依次將方框連接起來。將系統(tǒng)的輸入變量置于左端，輸出變量置于右端，得到系統(tǒng)完整的結(jié)構(gòu)圖。

繪制圖示RC無源網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)圖。

解：應(yīng)用電路理論，可以直接利用復(fù)阻抗的概念列寫拉氏變換后的方程組：從輸入變量開始，按照變量之間因果關(guān)系，對方程進(jìn)行整理：

11RCsR12R-例2-9繪制圖示RC無源網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)圖。

11RCsR12R-例2-911R2R-另一種形式繪制圖示兩級RC網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)圖。

-例2-10--繪制電樞電壓控制的他勵直流電動機(jī)結(jié)構(gòu)圖。

-例2-11-例2-12建立位置隨動系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖---三、結(jié)構(gòu)圖的等效變換等效變換：指變換前后系統(tǒng)輸入輸出傳遞關(guān)系保持不變。等效變換規(guī)則：串聯(lián)方框的等效變換規(guī)則并聯(lián)方框的等效變換規(guī)則反饋方框的等效變換規(guī)則綜合點(diǎn)與引出點(diǎn)的移動規(guī)則串聯(lián)方框的等效變換)(sR)(sC)()(21sGsG=1G2G…nG)(sR)(sCnGGGL21=)(sR)(sC)(1sG)(2sG)(sU)(sC)(sR并聯(lián)方框的等效變換)(1sG)(2sG+±)(sRC(s))()(21sGsG±)(sR)(sC=反饋方框的等效變換綜合點(diǎn)與引出點(diǎn)的移動綜合點(diǎn)前移綜合點(diǎn)后移引出點(diǎn)前移引出點(diǎn)后移相鄰引出點(diǎn)之間移動

相鄰綜合點(diǎn)之間移動

綜合點(diǎn)和引出點(diǎn)交換位置負(fù)號在支路上的移動注意：綜合點(diǎn)和引出點(diǎn)之間交換位置，往往會使結(jié)構(gòu)圖變復(fù)雜，一般盡量避免使用?；唭杉塕C網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)圖，并求傳遞函數(shù)。

-例2-13----------化簡下面的結(jié)構(gòu)圖，并求傳遞函數(shù)。例2-14------對圖示結(jié)構(gòu)圖進(jìn)行化簡,求傳遞函數(shù)（1）（2）（3）（7）解：例2-15（4）R31GG42GGHG3HG45GC--（5）R4231GGGG+-HGHG43+5GC（6）R4231GGGG+HGHG1431++C5G引出點(diǎn)前移綜合點(diǎn)后移相鄰綜合點(diǎn)移動例2-16對圖示結(jié)構(gòu)圖進(jìn)行化簡,求傳遞函數(shù)---------+--引出點(diǎn)前移綜合點(diǎn)和引出點(diǎn)交換位置綜合點(diǎn)后移綜合點(diǎn)后移一個(gè)兩輸入兩輸出系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖所示。求下列傳遞函數(shù)：解：令令

例2-17結(jié)構(gòu)圖化簡求傳遞函數(shù)的步驟2.應(yīng)用移動規(guī)則，消除回路之間的交叉聯(lián)系，使系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖變換為無交叉的多回路結(jié)構(gòu)。注意在消除交叉聯(lián)系時(shí)，應(yīng)力求避免相鄰的綜合點(diǎn)與引出點(diǎn)之間交換位置。3.對多回路系統(tǒng)，由里向外進(jìn)行變換，直至變?yōu)橐粋€(gè)方框，即可得到輸入輸出總的傳遞函數(shù)。1.確定系統(tǒng)的輸入量和輸出量。如果系統(tǒng)有多個(gè)輸入量或輸出量，要分別進(jìn)行結(jié)構(gòu)圖化簡，求各自的傳遞函數(shù)。信號流圖與結(jié)構(gòu)圖一樣，都是用圖形來描述控制系統(tǒng)中信號傳遞關(guān)系，但符號更簡單，便于繪制和應(yīng)用。2.5控制系統(tǒng)的信號流圖一、信號流圖的概念信號流圖是由節(jié)點(diǎn)和支路組成的信號傳遞網(wǎng)絡(luò)，是一種表示聯(lián)立線性代數(shù)方程組的圖。

例：線性代數(shù)方程組

abcdef1x2x3x4xg5x信號流圖中的幾個(gè)術(shù)語節(jié)點(diǎn)：用來表示變量和信號，其大小為流入節(jié)點(diǎn)的支路信號之和,用符號“o”表示。

輸入節(jié)點(diǎn)（源節(jié)點(diǎn)）：只有輸出支路的節(jié)點(diǎn)。輸入節(jié)點(diǎn)對應(yīng)系統(tǒng)的輸入變量；

輸出節(jié)點(diǎn)（匯節(jié)點(diǎn)）：只有輸入支路的節(jié)點(diǎn)，輸出節(jié)點(diǎn)對應(yīng)系統(tǒng)的輸出變量；

混合節(jié)點(diǎn)：既有輸入支路，又有輸出支路的節(jié)點(diǎn)。支路：連接兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的定向線段，具有確定的增益（支路增益），增益可以是常數(shù)（增益為1時(shí)，可以省略），也可以是傳遞函數(shù)。信號按照箭頭方向從支路的一個(gè)節(jié)點(diǎn)乘以增益后流向另一節(jié)點(diǎn)。通路：從一個(gè)節(jié)點(diǎn)沿支路箭頭方向到達(dá)另一節(jié)點(diǎn)所經(jīng)過的各相連支路叫通路（通道）。

前向通路：從輸入節(jié)點(diǎn)到輸出節(jié)點(diǎn)的通路，且通過任何節(jié)點(diǎn)不多于一次?；芈罚喝绻返慕K點(diǎn)就是通路的起點(diǎn)，且通過任何節(jié)點(diǎn)不多于一次，稱為回路。

自回路：只有一條支路的回路稱為自回路。

不接觸回路：如果一些回路之間沒有公共節(jié)點(diǎn)則稱它們?yōu)椴唤佑|回路。前向通路增益：前向通路中，各支路增益的乘積?；芈吩鲆妫夯芈分懈髦吩鲆娴某朔e。abcdef1x2x3x4xg5x（1）節(jié)點(diǎn)變量是所有流向該節(jié)點(diǎn)的信號之和，而從同一節(jié)點(diǎn)流向各支路的信號均用該節(jié)點(diǎn)變量表示。（2）支路表示了一個(gè)節(jié)點(diǎn)信號到另一個(gè)節(jié)點(diǎn)信號的傳輸關(guān)系，信號只能沿著支路上的箭頭方向傳遞。（3）在混合節(jié)點(diǎn)上，增加一條具有單位增益的支路，可把混合節(jié)點(diǎn)變?yōu)檩敵龉?jié)點(diǎn)，即可以分離出系統(tǒng)的輸出變量。需要注意的是，用這種方法不能將混合節(jié)點(diǎn)變?yōu)檩斎牍?jié)點(diǎn)。（4）對于給定系統(tǒng)，信號流圖不是唯一的。（5）信號流圖只適用于線性系統(tǒng)。2.關(guān)于信號流圖的幾點(diǎn)說明二、信號流圖的繪制例2-18信號流圖可以由控制系統(tǒng)的微分方程直接繪制，也可以由動態(tài)結(jié)構(gòu)圖轉(zhuǎn)化獲得。1.由系統(tǒng)的微分方程繪制信號流圖

繪制圖示電路的信號流圖。已知電容初始電壓為解：

列寫微分方程如下：在考慮初始條件的情況下進(jìn)行拉氏變換，得

2.由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖繪制信號流圖1）用“o”在結(jié)構(gòu)圖的信號線上標(biāo)出信號流圖的節(jié)點(diǎn)。2）用與結(jié)構(gòu)圖相應(yīng)的支路連接節(jié)點(diǎn)，方框中的傳遞函數(shù)為信號流圖中的支路增益，綜合點(diǎn)處的“—”號用負(fù)增益表示。3）略去只有一個(gè)輸入支路和一個(gè)輸出支路的節(jié)點(diǎn)（因?yàn)榱魅肓鞒鲞@些節(jié)點(diǎn)的信號相同），注意新的支路增益是與所略去節(jié)點(diǎn)有關(guān)的支路增益的乘積。信號流圖與結(jié)構(gòu)圖的對應(yīng)關(guān)系：信號流圖的節(jié)點(diǎn)對應(yīng)結(jié)構(gòu)圖的信號線，信號流圖的支路和支路增益對應(yīng)結(jié)構(gòu)圖的方框。繪制圖示結(jié)構(gòu)圖的信號流圖。解：1.首先在結(jié)構(gòu)圖上標(biāo)出節(jié)點(diǎn).按順序自左向右排列節(jié)點(diǎn).例2-192.

用支路連接節(jié)點(diǎn)，標(biāo)出支路增益。3.

略去只有一個(gè)輸入支路和一個(gè)輸出支路的節(jié)點(diǎn).實(shí)際上，只需要在輸入量和輸出量信號線上、綜合點(diǎn)之后、引出點(diǎn)之前的信號線上標(biāo)出節(jié)點(diǎn)Re2e3eC1G4G2G3GH-例2-20-三、信號流圖的等效變換規(guī)則2：并聯(lián)支路的簡化規(guī)則3：混合節(jié)點(diǎn)的消除規(guī)則1：串聯(lián)支路的簡化規(guī)則4：回路的消除n個(gè)同方向的并聯(lián)支路可用一個(gè)等效支路代替，等效支路增益等于并聯(lián)支路增益之和。

n個(gè)同方向的串聯(lián)支路可用一個(gè)等效支路代替，等效支路增益等于串聯(lián)支路增益的乘積。四、梅遜增益公式式中

——從輸入至輸出的前向通路數(shù)

——特征式——余因子式。在信號流圖中除去與第k條前向通路相接觸的回路后求得的特征式?！谢芈吩鲆嬷汀忻績蓚€(gè)互不接觸回路增益乘積之和

——所有每三個(gè)互不接觸的回路增益乘積之和

其中

——從輸入到輸出的第k條前向通路的通路增益梅遜公式給出了一種直接由信號流圖或結(jié)構(gòu)圖計(jì)算系統(tǒng)傳遞函數(shù)的方法。例2-21RC1G3GH1-試用梅遜公式求圖示信號流圖的傳遞函數(shù)H3-H2-G2G4有3個(gè)回路，回路增益：從R到C的前向通路：

試用梅遜公式求圖示信號流圖的傳遞函數(shù)。解：

有4個(gè)回路，回路增益：②①③④兩兩互不接觸回路：三個(gè)互不接觸回路：

特征式：

例2-22從R到C的前向通路：

4條。各前向通路的余子式：控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖所示，試用梅遜公式由求傳遞函數(shù)解：

有2條前向通路：例2-23使用梅遜公式時(shí)需要注意：梅遜公式只適用于求信號流圖的輸出節(jié)點(diǎn)、混合節(jié)點(diǎn)對輸入節(jié)點(diǎn)的總增益。求一個(gè)節(jié)點(diǎn)對一個(gè)混合節(jié)點(diǎn)的總增益不能直接使用梅遜公式。RC1G3GH1-H3-H2-G2G4E求2.6閉環(huán)控制系統(tǒng)中幾個(gè)常用的傳遞函數(shù)概念

一、閉環(huán)系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)二、閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)

斷開系統(tǒng)的主反饋通路后，前向通路的傳遞函數(shù)與反饋通路傳遞函數(shù)的乘積，稱為閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)。

---輸入---干擾---輸出---誤差2.6閉環(huán)控制系統(tǒng)中幾個(gè)常用的傳遞函數(shù)概念

一、閉環(huán)系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)---輸入---干擾---輸出---誤差三、閉環(huán)傳遞函數(shù)

（1）輸入信號作用下系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)定義：當(dāng)時(shí)，與之間的傳遞函數(shù)定義：當(dāng)時(shí)，與之間的傳遞函數(shù)（2）干擾信號作用下系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)（3）系統(tǒng)總的輸出定義系統(tǒng)的誤差：

四、閉環(huán)系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)

定義：當(dāng)時(shí)，與之間的傳遞函數(shù)（1）作用下系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)定義：當(dāng)時(shí)，與之間的傳遞函數(shù)（3）系統(tǒng)總的誤差（2）作用下系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)五、閉環(huán)特征方程

四種閉環(huán)傳遞函數(shù)表達(dá)式具有相同的分母：方程稱為閉環(huán)控制系統(tǒng)的特征方程（閉環(huán)特征方程）。閉環(huán)特征方程的根稱為閉環(huán)特征根，即閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)。本章小結(jié)建立系統(tǒng)的動態(tài)數(shù)學(xué)模型，是對系統(tǒng)進(jìn)行定性分析和定量估算的基礎(chǔ)，也是對系統(tǒng)進(jìn)行仿真研究的依據(jù)。本章主要介紹了連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的四種數(shù)學(xué)模型：微分方程、傳遞函數(shù)、結(jié)構(gòu)圖、信號流圖。建立這些模型的方法是分析法。

微分方程是另外三種數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)，只有正確分析元部件和系統(tǒng)的工作原理，并且進(jìn)行合理的簡化，才能得到合乎實(shí)際需要的微分方程。不同的物理系統(tǒng)，只要具有相同的運(yùn)動規(guī)律，就可以抽象出相同的微分方程，說明這些系統(tǒng)的動態(tài)過程具有相同的本質(zhì)特征。

由于實(shí)際系統(tǒng)中的元部件往往不同程度地存在著非線性特性，系統(tǒng)需要由非線性微分方程描述，這就給系統(tǒng)的分析和計(jì)算帶來很大困難。工程實(shí)際中，在系統(tǒng)的工作點(diǎn)附近進(jìn)行線性化處理的小偏差法是常用的線性化方法之一。

結(jié)構(gòu)圖和信號流圖是圖形化的數(shù)學(xué)模型，可以清楚地描述系統(tǒng)中各個(gè)變量之間的信號傳遞關(guān)系。結(jié)構(gòu)圖和信號流圖是以傳遞函數(shù)的概念為基礎(chǔ)建立起來的，同時(shí)又為求解系統(tǒng)輸入輸出傳遞函數(shù)提供了更為方便的方法，即結(jié)構(gòu)圖和信號流圖的等效變換方法、梅遜增益公式計(jì)算方法。傳遞函數(shù)是用拉氏變換求解微分方程中引伸出來的數(shù)學(xué)模型，只適用于線性定常系統(tǒng)。傳遞函數(shù)是由系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)和參數(shù)決定的，表征了系統(tǒng)的固有特性。因此，傳遞函數(shù)是經(jīng)典控制理論中最主要的數(shù)學(xué)模型，是控制系統(tǒng)分析和校正方法的基礎(chǔ)。如何建立線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)是本章學(xué)習(xí)的重點(diǎn)。求控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)方法數(shù)學(xué)物理原理微積分消元代數(shù)消元拉氏變換拉氏變換等效變換梅遜公式等效變換梅遜公式控制系統(tǒng)原理框圖元部件微分方程系統(tǒng)輸入輸出微分方程系統(tǒng)輸入輸出變換方程系統(tǒng)輸入輸出傳遞函數(shù)元部件變換方程元部件結(jié)構(gòu)圖系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖系統(tǒng)的信號流圖第3章控制系統(tǒng)的時(shí)域分析3.1

引言時(shí)域分析法：直接在時(shí)間域中對系統(tǒng)性能進(jìn)行分析的方法。即在系統(tǒng)輸入端施加一個(gè)典型輸入信號，根據(jù)系統(tǒng)的微分方程或傳遞函數(shù)，求出系統(tǒng)的輸出，并依據(jù)輸出來分析系統(tǒng)的性能（穩(wěn)定性、瞬態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能）。時(shí)域分析法特點(diǎn)：（1）是一種直接分析方法，直觀、易于理解；（2）比較準(zhǔn)確，可以提供輸出響應(yīng)的全部信息；（3）求解高階系統(tǒng)比較困難?？紤]單輸入、單輸出線性定常系統(tǒng)：取初始時(shí)刻t=0，方程兩邊進(jìn)行拉氏變換：

其中整理后在用時(shí)域分析法研究控制系統(tǒng)時(shí)，為了分析和比較系統(tǒng)性能的優(yōu)劣，通常對系統(tǒng)的初始狀態(tài)和輸入信號作一些典型化處理。

影響系統(tǒng)響應(yīng)c(t)

的因素：

系統(tǒng)自身的結(jié)構(gòu)與參數(shù)加在系統(tǒng)上的輸入信號（信號的大小及形式）系統(tǒng)的初始狀態(tài)（或初始條件）對C(s)進(jìn)行拉氏反變換：零狀態(tài)響應(yīng)零輸入響應(yīng)求得一、典型初始狀態(tài)

二、典型輸入信號規(guī)定取零初始狀態(tài)典型初始狀態(tài)表明在輸入信號作用于系統(tǒng)之前，輸出量相對于平衡工作點(diǎn)的增量為零，其各階導(dǎo)數(shù)也為零，系統(tǒng)處于相對靜止?fàn)顟B(tài)。所謂典型輸入信號，是指根據(jù)系統(tǒng)經(jīng)常遇到的輸入信號形式，在數(shù)學(xué)描述上加以理想化的一些基本輸入函數(shù)。是各種實(shí)際輸入信號的近似和抽象形式盡可能簡單，便于計(jì)算和分析在實(shí)驗(yàn)中易于產(chǎn)生典型輸入信號特點(diǎn)：1.單位階躍函數(shù)

常用的典型輸入信號有以下幾種：

2.單位斜坡函數(shù)

3.單位加速度函數(shù)

4.單位脈沖函數(shù)

5.正弦函數(shù)

三、典型時(shí)間響應(yīng)

初始狀態(tài)為零的系統(tǒng)，在典型輸入信號作用下的輸出，稱為典型時(shí)間響應(yīng)。

瞬態(tài)過程：瞬態(tài)過程又稱過渡過程或動態(tài)過程，是指系統(tǒng)在典型輸入信號作用下，系統(tǒng)輸出由初始狀態(tài)到達(dá)最終狀態(tài)的響應(yīng)過程。

穩(wěn)態(tài)過程：指系統(tǒng)在典型輸入信號作用下，當(dāng)時(shí)間t趨于無窮大時(shí)，系統(tǒng)輸出量的表現(xiàn)形式。穩(wěn)態(tài)過程只存在于穩(wěn)定的系統(tǒng)中。典型時(shí)間響應(yīng)由瞬態(tài)過程和穩(wěn)態(tài)過程兩部分組成：單位階躍響應(yīng)單位斜坡響應(yīng)單位脈沖響應(yīng)…..描述穩(wěn)定的系統(tǒng)在單位階躍函數(shù)作用下，瞬態(tài)過程隨時(shí)間t的變化狀況的指標(biāo)，稱為瞬態(tài)性能指標(biāo)。四、控制系統(tǒng)的性能指標(biāo)瞬態(tài)性能指標(biāo)穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)描述系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)控制精度或抗擾動能力的一種性能指標(biāo)，通常在階躍函數(shù)、斜坡函數(shù)和加速度函數(shù)作用下進(jìn)行測定或計(jì)算。在系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)過程的不同階段，有相應(yīng)的性能指標(biāo)要求。1.延遲時(shí)間

：指響應(yīng)曲線第一次達(dá)到其終值一半所需要的時(shí)間。2.上升時(shí)間

：指響應(yīng)曲線從零第一次上升到終值所需要的時(shí)間；對于無振蕩的系統(tǒng)，也可定義為響應(yīng)從終值的10%上升到終值的90%所需要的時(shí)間。上升時(shí)間是系統(tǒng)響應(yīng)速度的一種度量。3.峰值時(shí)間

：指響應(yīng)超過終值達(dá)到第一個(gè)峰值所需要的時(shí)間。4.調(diào)節(jié)時(shí)間

：指響應(yīng)達(dá)到并保持在終值±5%（或±2%）內(nèi)所需要的時(shí)間。5.超調(diào)量：指響應(yīng)的最大偏離量

與終值h(∞)之差的百分比，即：階躍響應(yīng)下的性能指標(biāo)5.超調(diào)量：指響應(yīng)的最大偏離量

與終值h(∞)之差的百分比，即：瞬態(tài)性能指標(biāo)2.上升時(shí)間

：指響應(yīng)曲線從零第一次上升到終值所需要的時(shí)間；對于有振蕩的系統(tǒng)，也可定義為響應(yīng)從終值的10%上升到終值的90%所需要的時(shí)間。上升時(shí)間是系統(tǒng)響應(yīng)速度的一種度量。1.延遲時(shí)間

：指響應(yīng)曲線第一次達(dá)到其終值一半所需要的時(shí)間。

穩(wěn)態(tài)誤差

：當(dāng)時(shí)間趨于無窮大時(shí)，系統(tǒng)的希望輸出量與實(shí)際輸出量之差。穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)3.峰值時(shí)間

：指響應(yīng)超過終值達(dá)到第一個(gè)峰值所需要的時(shí)間。4.調(diào)節(jié)時(shí)間

：指響應(yīng)達(dá)到并保持在終值±5%（或±2%）內(nèi)所需要的時(shí)間。一階系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖閉環(huán)傳遞函數(shù)為

R(s)E(s)C(s)-3.2一階系統(tǒng)的時(shí)域分析一、一階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型用一階微分方程描述的系統(tǒng)稱為一階系統(tǒng)。

其開環(huán)傳遞函數(shù)為

一階系統(tǒng)的主要參數(shù):時(shí)間常數(shù)

T2T3Th(t)014T63.2%86.5%95%98.2%t二、一階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)1.單位階躍響應(yīng)

T1/T初始斜率一階系統(tǒng)的性能指標(biāo)一階系統(tǒng)跟蹤階躍輸入信號時(shí)無穩(wěn)態(tài)誤差，稱為無靜差系統(tǒng)。穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)為：

瞬態(tài)性能指標(biāo)為：

延遲時(shí)間：

上升時(shí)間：

調(diào)節(jié)時(shí)間：

一階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)如果按照其初始速度勻速上升,經(jīng)過T秒可達(dá)到響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)值;經(jīng)過一階系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線上任一點(diǎn)作切線，與直線相交，切點(diǎn)與交點(diǎn)之間的時(shí)間間隔(次割距)為T。當(dāng)時(shí)間時(shí),一階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)值為穩(wěn)態(tài)值的63.2%;

時(shí)間常數(shù)T的物理意義:

討論:的單位階躍響應(yīng)及性能2.單位脈沖響應(yīng)

T2T3T01/T4T0.368/T0.135/T0.05/T0.018/T初始斜率穩(wěn)態(tài)誤差3.單位斜坡響應(yīng)

說明一階系統(tǒng)跟蹤單位斜坡輸入信號時(shí)，穩(wěn)態(tài)誤差為T。

04.單位加速度響應(yīng)

說明一階系統(tǒng)無法跟蹤加速度輸入信號。

5.四種響應(yīng)的關(guān)系

R(s)C1(s)C2(s)輸入信號的積分（或微分）作用于線性定常系統(tǒng)后的響應(yīng),等于該輸入信號作用于系統(tǒng)后的響應(yīng)的積分（或微分）。

為積分環(huán)節(jié)或微分環(huán)節(jié)

例3-1

一階系統(tǒng)如圖所示，試求：（1）當(dāng)反饋系數(shù)時(shí)，系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的調(diào)節(jié)時(shí)間ts；（2）如果要求ts小于0.1秒，試問系統(tǒng)的反饋系數(shù)應(yīng)如何調(diào)整？解：

（1）系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：

根據(jù)一階系統(tǒng)求調(diào)節(jié)時(shí)間的公式，有（2）系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：-C(s)R(s)時(shí)間常數(shù)：時(shí)間常數(shù)：已知某元部件的傳遞函數(shù)為：

采用圖示方法引入負(fù)反饋，將調(diào)節(jié)時(shí)間減至原來的0.1倍，但總放大系數(shù)保持不變，試選擇KH、K0的值。

KH-C(s)R(s)K0解：

原系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時(shí)間為

引入負(fù)反饋后，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：

若將調(diào)節(jié)時(shí)間減至原來的0.1倍，但總放大系數(shù)保持不變，則：

解得

例3-23.3二階系統(tǒng)的時(shí)域分析一、二階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型二階系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖：閉環(huán)傳遞函數(shù)為：二階系統(tǒng)的主要參數(shù)：R(s)E(s)C(s)-開環(huán)傳遞函數(shù)為：

:自然振蕩頻率（無阻尼振蕩頻率）:阻尼比閉環(huán)特征方程

閉環(huán)特征根為

二、二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)1.欠阻尼情況（0<ξ<1）

閉環(huán)極點(diǎn)為共軛復(fù)數(shù)：

圖中：

衰減系數(shù)：

阻尼振蕩頻率：

系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)與原點(diǎn)的連線稱為等阻尼線，β反映了阻尼比ξ的大小。h(t)包含穩(wěn)態(tài)分量和瞬態(tài)分量，其穩(wěn)態(tài)分量為1，瞬態(tài)分量呈現(xiàn)振蕩衰減特性。輸入信號：

h(t)的包絡(luò)線為：

包絡(luò)線在繪制h(t)曲線時(shí)，應(yīng)注意到：

（1）延遲時(shí)間：

由方程

,作曲線：或

較大范圍內(nèi)

由曲線擬合出:（3）峰值時(shí)間：（2）上升時(shí)間：

（6）穩(wěn)態(tài)誤差：（5）調(diào)節(jié)時(shí)間：

說明二階欠阻尼系統(tǒng)跟蹤階躍輸入信號時(shí)，無穩(wěn)態(tài)誤差，系統(tǒng)為無靜差系統(tǒng)。（4）超調(diào)量：

為方便，往往采用包絡(luò)線代替實(shí)際響應(yīng)曲線估算調(diào)節(jié)時(shí)間。

超調(diào)量的大小只取決于阻尼比（橫坐標(biāo)為無因次時(shí)間）阻尼比ξ

越小，系統(tǒng)的超調(diào)量越大，系統(tǒng)的響應(yīng)振蕩越劇烈。阻尼比的大小反映了系統(tǒng)響應(yīng)的平穩(wěn)性。ωn越大，振蕩越劇烈．故ξ大、

ωn小，響應(yīng)平穩(wěn)。

調(diào)節(jié)時(shí)間的計(jì)算公式為近似表達(dá)式(略保守)工程上把ξ=0.707時(shí)的二階系統(tǒng)稱為最佳二階系統(tǒng)，這時(shí)121080.20.40.60.84201.00.680.436調(diào)節(jié)時(shí)間與閉環(huán)極點(diǎn)實(shí)部數(shù)值ξωn成反比。當(dāng)阻尼比一定時(shí)，加大自然振蕩頻率ωn會減小調(diào)節(jié)時(shí)間。為了減小調(diào)節(jié)時(shí)間，通常取ξ=0.4~0.8。2.無阻尼情況（ξ=0）

無阻尼是欠阻尼的特殊情況

:單位階躍響應(yīng)為等幅振蕩曲線。3.過阻尼情況（ξ>1）閉環(huán)極點(diǎn)為兩個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)極點(diǎn)：設(shè)

則

相當(dāng)于兩個(gè)慣性環(huán)節(jié)串聯(lián)(與一階系統(tǒng)不同)穩(wěn)態(tài)誤差為0，說明系統(tǒng)跟蹤階躍輸入信號時(shí)，無穩(wěn)態(tài)誤差，系統(tǒng)為無靜差系統(tǒng)。

動態(tài)指標(biāo):(近似為一階系統(tǒng))(與欠阻尼擬合方法相同)過阻尼二階系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時(shí)間特性

考慮:，作曲線：由圖中曲線看出：4.臨界阻尼情況（ξ=1）

閉環(huán)極點(diǎn)為重極點(diǎn)：

即

臨界阻尼二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)具有非周期性，沒有振蕩和超調(diào)。該響應(yīng)曲線不同于典型一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)，起始點(diǎn)斜率為零.動態(tài)性能指標(biāo)為：穩(wěn)態(tài)誤差為0，說明跟蹤階躍輸入信號時(shí)，無穩(wěn)態(tài)誤差，系統(tǒng)為無靜差系統(tǒng)。

5.負(fù)阻尼情況（ξ<0）

設(shè)二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線如圖所示，試確定系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。

解：

根據(jù)響應(yīng)曲線，可知代入傳遞函數(shù)例3-3系統(tǒng)如圖所示。要求單位階躍響應(yīng)無超調(diào)，調(diào)節(jié)時(shí)間不大于1秒，求開環(huán)增益K。

R(s)E(s)C(s)-解：

系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：

驗(yàn)證：

根據(jù)題意，要使調(diào)節(jié)時(shí)間最小應(yīng)選擇ξ=1，有例3-4三、二階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)

由于單位脈沖響應(yīng)是單位階躍響應(yīng)對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，對不同阻尼比下的單位階躍響應(yīng)表達(dá)式求導(dǎo)，可以得到二階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)。穩(wěn)態(tài)誤差為：

四、二階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)

瞬態(tài)分量穩(wěn)態(tài)分量穩(wěn)態(tài)誤差為：

穩(wěn)態(tài)誤差為：

穩(wěn)態(tài)誤差為：

小結(jié)閉環(huán)傳遞函數(shù)阻尼比ξ階躍響應(yīng)曲線特性瞬態(tài)指標(biāo)穩(wěn)態(tài)誤差欠阻尼按正弦規(guī)律衰減振蕩00過阻尼按指數(shù)規(guī)律單調(diào)上升00臨界阻尼按指數(shù)規(guī)律單調(diào)上升00問題：僅靠調(diào)整參數(shù)不能同時(shí)改善瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能。開環(huán)傳遞函數(shù)R(s)E(s)C(s)-五、改善二階系統(tǒng)瞬態(tài)性能的措施R(s)E(s)C(s)-欠阻尼系統(tǒng)在單位階躍信號作用下，系統(tǒng)將產(chǎn)生超調(diào)。[0，t1]時(shí)間內(nèi)：e(t)為正，輸出c(t)增加，一方面使輸出接近希望值，另一方面有可能使系統(tǒng)出現(xiàn)超調(diào)，要減小超調(diào)，e(t)不能過大。給e(t)加入一個(gè)附加的負(fù)信號，有利于減小超調(diào)；在[t1，t2]時(shí)間內(nèi)：系統(tǒng)出現(xiàn)超調(diào)，e(t)為負(fù)，有利于減弱c(t)增加的趨勢。給e(t)加入一個(gè)附加的負(fù)信號，有利于減小超調(diào)；在[t2，t3]時(shí)間內(nèi)：c(t)已經(jīng)過最大值，出現(xiàn)下降趨勢，e(t)為負(fù)，有利于c(t)的下降，同時(shí)有可能使c(t)出現(xiàn)反向超調(diào)。給e(t)加入一個(gè)附加的正信號，有利于減小反向超調(diào)。在[t3，t4]時(shí)間內(nèi)：c(t)出現(xiàn)反向超調(diào)，e(t)為正，有利于減小c(t)的反向超調(diào)。在此時(shí)間段內(nèi)，給e(t)加入一個(gè)附加的正信號，有利于減小反向超調(diào)。通過以上分析，要減小超調(diào)量，可以給e(t)加入一個(gè)附加信號，其極性要求為：

[0，t1]：“-”[t1，t2]：“-”[t2，t3]：“+”[t3，t4]：“+”經(jīng)分析，e(t)的導(dǎo)數(shù)

和-c(t)的導(dǎo)數(shù)的極性符合要求。因此，減小系統(tǒng)的超調(diào)量，改善平穩(wěn)性的措施可以有以下兩種：

輸出信號的測速負(fù)反饋控制誤差信號的比例-微分控制取控制信號為1、比例-微分控制

系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：

閉環(huán)傳遞函數(shù)為：

阻尼比為：

可見，采用比例-微分控制，增加了系統(tǒng)的等效阻尼比，不改變系統(tǒng)的自然振蕩頻率和開環(huán)增益，但增加了一個(gè)閉環(huán)零點(diǎn)。

R(s)E(s)C(s)-R(s)E(s)C(s)注意：采用比例-微分控制后，系統(tǒng)為有零點(diǎn)的二階系統(tǒng)，性能指標(biāo)計(jì)算公式為：

式中：

1）峰值時(shí)間

2）超調(diào)量

3）調(diào)節(jié)時(shí)間

21dndxwjb--2、測速反饋控制

開環(huán)傳遞函數(shù)為：

閉環(huán)傳遞函數(shù)為：

阻尼比為：

可見，測速反饋控制增大了系統(tǒng)的等效阻尼比，不改變自然振蕩頻率，但降低了系統(tǒng)的開環(huán)增益。

R(s)E(s)C(s)3、兩種措施的比較比例-微分控制測速反饋控制增加了等效阻尼比超調(diào)量下降；調(diào)節(jié)時(shí)間減小增加了等效阻尼比超調(diào)量下降；調(diào)節(jié)時(shí)間減小不改變自然振蕩頻率不改變自然振蕩頻率不改變開環(huán)增益不影響常值穩(wěn)態(tài)誤差降低了開環(huán)增益加大了系統(tǒng)在斜坡信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差增加了一個(gè)閉環(huán)負(fù)實(shí)零點(diǎn)抗噪聲干擾能力較差；可減小上升時(shí)間不增加閉環(huán)零點(diǎn)抗噪聲干擾能力較好；例3-5根據(jù)系統(tǒng)傳遞函數(shù)找出單位階躍響應(yīng)曲線例3-6圖示系統(tǒng),根據(jù)單位階躍響應(yīng)曲線判定反饋極性3.4高階系統(tǒng)的時(shí)域分析一、高階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型R(s)E(s)C(s)-靜態(tài)增益（靜態(tài)放大倍數(shù)）實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)閉環(huán)零點(diǎn)實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)閉環(huán)極點(diǎn)二、高階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)（考慮無重極點(diǎn)的情況）1.若閉環(huán)極點(diǎn)si為互不相同的實(shí)數(shù)靜態(tài)放大倍數(shù)幅值大、衰減慢的分量起主要作用2.若閉環(huán)極點(diǎn)中有q個(gè)實(shí)數(shù)極點(diǎn)，r對復(fù)數(shù)極點(diǎn)(q+2r=n)1.如果高階系統(tǒng)的所有閉環(huán)極點(diǎn)都具有負(fù)實(shí)部，即所有閉環(huán)極點(diǎn)都位于左半s開平面，那么隨著時(shí)間的增長，響應(yīng)的瞬態(tài)分量趨于零，其穩(wěn)態(tài)輸出量h(∞)=A0。（這時(shí)稱系統(tǒng)是穩(wěn)定的）2.閉環(huán)極點(diǎn)負(fù)實(shí)部的絕對值越大，其對應(yīng)的瞬態(tài)響應(yīng)分量衰減得越迅速；反之，則衰減緩慢。結(jié)論3.瞬態(tài)響應(yīng)分量衰減快慢也取決于瞬態(tài)分量的系數(shù)。系數(shù)是由相應(yīng)的閉環(huán)零極點(diǎn)之間的距離決定的。三、高階系統(tǒng)的近似分析高階系統(tǒng)的分析方法：使用計(jì)算機(jī)，應(yīng)用數(shù)值分析法求解微分方程（MATLAB仿真工具）近似分析（利用主導(dǎo)極點(diǎn)、偶極子的概念）使用高階系統(tǒng)性能指標(biāo)的估算公式閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)和偶極子穩(wěn)定的高階系統(tǒng)所有的閉環(huán)極點(diǎn)中，如果距離虛軸最近的極點(diǎn)到虛軸的距離小于其它極點(diǎn)到虛軸距離的1/5，且周圍沒有閉環(huán)零點(diǎn)，這樣的閉環(huán)極點(diǎn)就稱為主導(dǎo)極點(diǎn)。閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)可以是實(shí)數(shù)極點(diǎn)，也可以是復(fù)數(shù)極點(diǎn)。閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)所對應(yīng)的響應(yīng)分量，在系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)過程中起主導(dǎo)作用。閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)以外的其他閉環(huán)極點(diǎn)對系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)過程影響甚微，因而統(tǒng)稱為非主導(dǎo)極點(diǎn)。一對閉環(huán)零、極點(diǎn)之間的距離小于它們到虛軸的距離的1/10,則這樣的一對閉環(huán)零、極點(diǎn)稱為偶極子。該閉環(huán)極點(diǎn)所對應(yīng)的響應(yīng)分量系數(shù)很小，對系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)過程影響甚微，在分析高階系統(tǒng)的性能時(shí)，可以忽略偶極子的影響。當(dāng)主導(dǎo)極點(diǎn)為一個(gè)實(shí)數(shù)極點(diǎn)時(shí)，系統(tǒng)可近似為一階系統(tǒng)；當(dāng)主導(dǎo)極點(diǎn)為一對共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)時(shí)，系統(tǒng)可近似為二階欠阻尼系統(tǒng)；這時(shí)，高階系統(tǒng)可近似按照一、二階系統(tǒng)估算性能指標(biāo)。

求下列傳遞函數(shù)的主導(dǎo)極點(diǎn)，并寫出簡化的傳遞函數(shù)。

控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：若采用閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)和偶極子概念簡化系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，應(yīng)選擇以下哪個(gè)答案？例

３－7例３－8求下列閉環(huán)系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)。解：方法1

運(yùn)用閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)的概念對系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行簡化。3個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)為：為主導(dǎo)極點(diǎn)。系統(tǒng)可近似為單位階躍響應(yīng)為：方法2忽略與非主導(dǎo)極點(diǎn)對應(yīng)的瞬態(tài)分量，可得方法1更簡單方法2更準(zhǔn)確例３－9四、高階系統(tǒng)瞬態(tài)性能估算即

設(shè)高階系統(tǒng)具有一對共軛復(fù)數(shù)主導(dǎo)極點(diǎn)

，在單位階躍響應(yīng)表達(dá)式中忽略與閉環(huán)非主導(dǎo)極點(diǎn)和偶極子對應(yīng)的瞬態(tài)分量，則輸出量的拉氏變換近似式為1.峰值時(shí)間

閉環(huán)零點(diǎn)的作用為減小峰值時(shí)間，使系統(tǒng)響應(yīng)速度加快，并且閉環(huán)零點(diǎn)越接近虛軸，這種作用便越顯著。

閉環(huán)非主導(dǎo)極點(diǎn)的作用為增大峰值時(shí)間，使系統(tǒng)響應(yīng)速度變慢。若閉環(huán)零、極點(diǎn)彼此接近，則它們對系統(tǒng)響應(yīng)速度的影響相互削弱。2.超調(diào)量

若閉環(huán)零點(diǎn)距虛軸較近，將使超調(diào)量增大，表明閉環(huán)零點(diǎn)會減小系統(tǒng)阻尼。

若閉環(huán)非主導(dǎo)極點(diǎn)距虛軸較近，將使超調(diào)量減小，表明閉環(huán)非主導(dǎo)極點(diǎn)可以增大系統(tǒng)阻尼。3.調(diào)節(jié)時(shí)間

若閉環(huán)零點(diǎn)距虛軸較近，將使調(diào)節(jié)時(shí)間增大。

若閉環(huán)非主導(dǎo)極點(diǎn)距虛軸較近，將使調(diào)節(jié)時(shí)間減小。閉環(huán)零點(diǎn)對系統(tǒng)動態(tài)性能總的影響是減小峰值時(shí)間，增大系統(tǒng)的超調(diào)量和調(diào)節(jié)時(shí)間，這種作用將隨閉環(huán)零點(diǎn)接近虛軸而加劇。閉環(huán)非主導(dǎo)極點(diǎn)對系統(tǒng)動態(tài)性能總的影響是增大峰值時(shí)間，減小系統(tǒng)的超調(diào)量和調(diào)節(jié)時(shí)間。

結(jié)論：3.5線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

一、穩(wěn)定性的基本概念如果系統(tǒng)仍能逐漸恢復(fù)到原平衡狀態(tài)，則稱系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的，或簡稱系統(tǒng)是穩(wěn)定的；如果系統(tǒng)圍繞平衡點(diǎn)作等幅震蕩，或偏離平衡點(diǎn)的距離趨于某一非零值，則稱系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定的；如果系統(tǒng)偏離平衡點(diǎn)越來越遠(yuǎn)，則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。穩(wěn)定不穩(wěn)定臨界穩(wěn)定一個(gè)線性定常系統(tǒng)工作在某平衡狀態(tài)，在受到有界擾動后，偏離了平衡狀態(tài)，而當(dāng)擾動消失后大范圍穩(wěn)定：系統(tǒng)受到擾動后，不論初始偏差多大，系統(tǒng)都是穩(wěn)定的，稱為大范圍穩(wěn)定（全局穩(wěn)定）的系統(tǒng)。小范圍穩(wěn)定：當(dāng)擾動引起的初始偏差小于某一范圍時(shí)，系統(tǒng)才是穩(wěn)定的，稱為小范圍穩(wěn)定（局部穩(wěn)定）的系統(tǒng)。若線性系統(tǒng)是穩(wěn)定的，則一定是大范圍穩(wěn)定的。

穩(wěn)定性是控制系統(tǒng)的重要性能，也是系統(tǒng)能夠正常工作的首要條件。二、線性系統(tǒng)穩(wěn)定的數(shù)學(xué)條件（充要條件）思路：設(shè)線性系統(tǒng)的初始條件為零，作用一個(gè)理想單位脈沖δ(t)，這時(shí)系統(tǒng)的輸出響應(yīng)為單位脈沖響應(yīng)c(t)。這就相當(dāng)于系統(tǒng)在擾動信號作用下，輸出信號偏離原平衡工作點(diǎn)的問題。若t→∞時(shí)，有c(t)→0，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

設(shè)線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：輸入信號：輸出響應(yīng)：若系統(tǒng)的特征根中有一個(gè)或一個(gè)以上正實(shí)部根，則t→∞時(shí)，c(t)→∞，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的；線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件：閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的所有根均具有負(fù)實(shí)部；或者說，閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)均嚴(yán)格位于左半s平面。

分析c(t)→0的條件：若系統(tǒng)特征根中有一個(gè)或一個(gè)以上零實(shí)部根，而其余的特征根均具有負(fù)實(shí)部，則t→∞時(shí)，c(t)趨于常數(shù)或趨于等幅正弦振蕩，系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定的，屬不穩(wěn)定系統(tǒng)；

當(dāng)且僅當(dāng)系統(tǒng)特征根全部具有負(fù)實(shí)部，才有t→∞時(shí)，c(t)→0，即系統(tǒng)是穩(wěn)定的。三、穩(wěn)定性的代數(shù)判據(jù)根據(jù)上面介紹的充要條件判穩(wěn)，需要知道系統(tǒng)全部特征根，對于高階系統(tǒng)，求特征根是困難的。問題：代數(shù)判據(jù)是直接根據(jù)閉環(huán)特征方程的系數(shù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，避免了求解閉環(huán)特征根的困難。1.勞斯穩(wěn)定判據(jù)設(shè)線性系統(tǒng)的特征方程為：根據(jù)特征方程式的系數(shù)，可建立勞斯表如下：

若勞斯表中第一列系數(shù)全部為正，則所有閉環(huán)極點(diǎn)均位于左半s平面，系統(tǒng)穩(wěn)定；若勞斯表第一列系數(shù)有負(fù)數(shù)或零，則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，說明有閉環(huán)極點(diǎn)位于右半s平面或虛軸上；位于右半s平面的閉環(huán)極點(diǎn)數(shù)正好等于勞斯表第一列系數(shù)符號改變的次數(shù)。

設(shè)線性系統(tǒng)特征方程式為：

試判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

解：

建立勞斯表：

勞斯表中第一列系數(shù)符號改變2次，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，且有2個(gè)正實(shí)部根。

例3-10勞斯判據(jù)中的兩種特殊情況：特殊情況1勞斯表任一行第一列系數(shù)為零，該行其余系數(shù)不全為零。

勞斯表某行第一列系數(shù)為零，則勞斯表無法計(jì)算下去，這時(shí)可以斷定系統(tǒng)不穩(wěn)定，但是無法判斷系統(tǒng)在右半s平面的極點(diǎn)個(gè)數(shù)。處理方法：可以用無窮小的正數(shù)ε代替0，接著進(jìn)行計(jì)算，勞斯判據(jù)結(jié)論不變。

方法1用一個(gè)因子乘原特征方程（其中為任意正數(shù)），得到新的方程，再重新列勞斯表。

方法2用1/s代替原特征方程中的s，得到新的方程，再重新列勞斯表。

方法3設(shè)線性系統(tǒng)特征方程式為：

試判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

解：

建立勞斯表：

例3-11(1)由于勞斯表中第一列系數(shù)出現(xiàn)零，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。(2)符號改變2次，有2個(gè)正實(shí)部根。

方法1設(shè)線性系統(tǒng)特征方程式為：

試判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

解：

因方程中缺項(xiàng)，其勞斯表為：

例3-12(1)勞斯表中第一列系數(shù)出現(xiàn)零，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。(2)符號改變2次，有2個(gè)正實(shí)部根。

由方法2，用(s+1)乘方程兩邊：

對上面的例子，使用方法3：用1/s代替原特征方程中的s，有:(1)勞斯表中第一列系數(shù)出現(xiàn)零，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。(2)符號改變2次，有2個(gè)正實(shí)部根。

系統(tǒng)中存在對稱于原點(diǎn)的根，即：1）絕對值相等、符號相反的實(shí)數(shù)根；2）共軛虛根；3）對稱于原點(diǎn)的兩對共軛復(fù)根。特殊情況2

勞斯表中出現(xiàn)某行系數(shù)全為零

原因：1）用全零行上面一行的系數(shù)構(gòu)造一個(gè)輔助方程式F(s)=0；2）全零行的系數(shù)則由輔助多項(xiàng)式F(s)對s求導(dǎo)后所得的多項(xiàng)式系數(shù)來代替，勞斯表可以繼續(xù)計(jì)算下去，由第一列系數(shù)變符號次數(shù)可判斷位于右半s開平面的根的個(gè)數(shù)；3）對稱于原點(diǎn)的根可由輔助方程求得。處理方法：設(shè)線性系統(tǒng)特征方程式為：

試判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

解：

建立勞斯表并計(jì)算：

例3-13出現(xiàn)全零行

結(jié)論：系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。勞斯表第一列不變號，說明沒有正實(shí)部根，由輔助方程式可以求得系統(tǒng)對稱于原點(diǎn)的根:

利用長除法，可以求出特征方程其余的根：設(shè)線性系統(tǒng)特征方程式為：

試判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

解：

建立勞斯表：

系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。由勞斯表第一列可知，有1個(gè)正實(shí)根。解出4個(gè)根：用長除法解出另外2個(gè)根：利用輔助方程：例3-14關(guān)于勞斯判據(jù)的幾點(diǎn)說明在使用勞斯判據(jù)時(shí)，只要遇到上述兩種特殊情況，系統(tǒng)一定是不穩(wěn)定的。輔助方程在s右半平面的根的個(gè)數(shù)已包含在勞斯表第一列元素符號變化的次數(shù)之中。勞斯表某一行元素同時(shí)乘以一個(gè)大于零的數(shù)，不影響判穩(wěn)結(jié)果。設(shè)線性系統(tǒng)的特征方程為：

線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：由系統(tǒng)特征方程系數(shù)所構(gòu)成的Hurwitz行列式Δn及其各階順序主子式Δi(i=1,2…,n-1)全部為正。其中：

2.赫爾維茨（Hurwitz）判據(jù)設(shè)線性系統(tǒng)特征方程式為：

試判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

解：

不滿足赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù)，系統(tǒng)不穩(wěn)定。

例3-15設(shè)線性系統(tǒng)的特征方程為：

線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：1）方程式所有系數(shù)為正；2）所有奇數(shù)階或偶數(shù)階Hurwitz行列式為正，即：Δ奇>0或Δ偶>0。3.林納德-奇帕特（Lienard-Chipard）判據(jù)

設(shè)線性系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：

試判斷系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)K,T應(yīng)滿足的條件。

解：

系統(tǒng)特征方程式為1+G(s)H(s)=0，即根據(jù)李納德-奇帕特判據(jù)，要求K>0,T>0，且Δ偶>0。

系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)，要求：

例3-161）利用穩(wěn)定判據(jù)，判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。2）利用穩(wěn)定判據(jù)，判斷系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)，參數(shù)的取值范圍。

4.代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)的應(yīng)用例3-17設(shè)單位負(fù)反饋系統(tǒng)，開環(huán)傳遞函數(shù)為求系統(tǒng)臨界穩(wěn)定時(shí)的開環(huán)增益,并計(jì)算臨界開環(huán)增益的極小值。解

系統(tǒng)的特征方程式為建立勞斯表系統(tǒng)臨界穩(wěn)定時(shí)，有令系統(tǒng)臨界開環(huán)增益的極小值包含在開環(huán)傳遞函數(shù)中的多個(gè)慣性環(huán)節(jié)時(shí)間常數(shù)相互接近，則系統(tǒng)臨界開環(huán)增益較小若要提高系統(tǒng)的臨界開環(huán)增益，設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)設(shè)法將包含在開環(huán)傳遞函數(shù)中的多個(gè)慣性環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)相互錯(cuò)開。

設(shè)單位負(fù)反饋系統(tǒng)，開環(huán)傳遞函數(shù)為：

試確定系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)K的取值范圍。

解：

系統(tǒng)的特征方程式為：

建立勞斯表：

系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)，要求求得參數(shù)穩(wěn)定范圍：0<K<8例3-183）利用穩(wěn)定判據(jù)，求系統(tǒng)具有一定穩(wěn)定裕度時(shí)，參數(shù)的取值范圍。

系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)，要求所有閉環(huán)極點(diǎn)在s平面的左邊，閉環(huán)極點(diǎn)離虛軸越遠(yuǎn)，系統(tǒng)穩(wěn)定性越好，閉環(huán)極點(diǎn)離開虛軸的距離，可以衡量系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度。

設(shè)單位負(fù)反饋系統(tǒng)，開環(huán)傳遞函數(shù)為：

若要求閉環(huán)極點(diǎn)在s=-1左邊，試確定K的取值范圍。解：

系統(tǒng)的特征方程式為：

令s=s1-1

例3-19在系統(tǒng)的特征方程D(s)=0中，令s=s1-a，得到D(s1)=0，利用穩(wěn)定判據(jù)，若D(s1)=0的所有解都在s1平面左邊，則原系統(tǒng)的特征根在s=-a左邊。所以，當(dāng)0.25<K<2

時(shí)，閉環(huán)極點(diǎn)在s=-1左邊。整理后：

建立勞斯表：

要使勞斯表第1列為正，應(yīng)有：

3.6線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算

R(s)E(s)C(s)-B(s)對于圖示一般線性控制系統(tǒng)，若按輸入端定義：e(t)=r(t)-b(t)，E(s)=R(s)-B(s)若按輸出端定義：E(s)=R(s)/H(s)-C(s)穩(wěn)態(tài)誤差是指誤差信號的穩(wěn)態(tài)值，即：對于單位負(fù)反饋系統(tǒng)，兩種定義方法是一致的。在系統(tǒng)分析和設(shè)計(jì)中，一般采用按輸入端定義誤差。一：誤差與穩(wěn)態(tài)誤差若系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)為Φe(s)，則E(s)=Φe(s)R(s)，若E(s)滿足拉氏變換終值定理的條件（要求系統(tǒng)穩(wěn)定，且R(s)的所有極點(diǎn)在左半s開區(qū)間），可以利用終值定理來求穩(wěn)態(tài)誤差，即例3-20

設(shè)單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：求r(t)=1(t),r(t)=t,r(t)=t2/2以及r(t)=sinωt時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。

解：

誤差傳遞函數(shù)為：

系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

若輸入信號為正弦信號，則不能應(yīng)用拉氏變換終值定理。

穩(wěn)態(tài)誤差為：

二：系統(tǒng)類型

設(shè)控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：

其中K稱為系統(tǒng)的開環(huán)增益。υ=0，系統(tǒng)稱為0型系統(tǒng)，υ=1，系統(tǒng)稱為1型系統(tǒng)，υ=2，系統(tǒng)稱為2型系