電磁學(xué)第一章電子課件

前言（Preface)電荷（Electriccharge)庫(kù)侖定律（Coulomb’slaw)靜電場(chǎng)（Electrostaticfield)高斯定理（Gauss’theorem)電力線(xiàn)（Linesofforceofelectricfield)電位(Electricpotential)§1前言（Preface)一、本章的基本內(nèi)容及研究思路本章討論相對(duì)于觀察者靜止的電荷產(chǎn)生的場(chǎng)——靜電場(chǎng)。首先從靜電現(xiàn)象的觀察開(kāi)始，認(rèn)識(shí)電荷和物質(zhì)的電結(jié)構(gòu)，從實(shí)驗(yàn)得到二個(gè)基本的規(guī)律——庫(kù)侖定律和疊加原理。然后從庫(kù)侖力是怎樣作用的這一問(wèn)題的討論，引入電場(chǎng)，定義描述電場(chǎng)屬性的兩個(gè)物理量——電場(chǎng)強(qiáng)度和電位，同時(shí)介紹描述電場(chǎng)的形象工具——電力線(xiàn)和等位面。在理論體系方面，本章從庫(kù)侖定律和疊加原理出發(fā)，導(dǎo)出靜電場(chǎng)的兩個(gè)定理——高斯定理和環(huán)路定理，進(jìn)而說(shuō)明由已知電荷的分布求場(chǎng)強(qiáng)和電位的計(jì)算方法。二、本章的基本要求1.確切理解庫(kù)侖定律和疊加原理；2.正確理解電場(chǎng)強(qiáng)度和電勢(shì)這二個(gè)基本概念，掌握計(jì)算場(chǎng)強(qiáng)分布和電勢(shì)分布的幾種方法；3.掌握電通量的概念及電通量的計(jì)算方法；4.掌握反映靜電場(chǎng)性質(zhì)的二條基本定理——高斯定理和環(huán)路定理，正確理解電場(chǎng)的性質(zhì)；5.理解電力線(xiàn)的概念，掌握電力線(xiàn)的性質(zhì)。三、本章思考題及作業(yè)題1.思考題：53頁(yè)—55頁(yè)；2.練習(xí)題：1.3.9.1.4.2.1.4.7.1.4.9.1.5.5.§2電荷（electriccharge)自然界一切電磁現(xiàn)象都起源于物質(zhì)具有電荷屬性，電現(xiàn)象起源于電荷，磁現(xiàn)象起源于電荷運(yùn)動(dòng)，所以“電荷”概念是電磁學(xué)中的第一個(gè)重要概念。人們對(duì)于電的認(rèn)識(shí)，最初來(lái)自人工的摩擦起電現(xiàn)象和自然界的雷電現(xiàn)象。一、摩擦起電兩種電荷

事實(shí)上，兩個(gè)不同質(zhì)料的物體，例如絲綢和玻璃棒，毛皮和硬橡膠棒等，經(jīng)相互摩擦后，都能吸引羽毛、紙片等輕微物體。這表明，經(jīng)摩擦后它們獲得了一種屬性，處于一種與原來(lái)不同的狀態(tài)，我們稱(chēng)它為帶電狀態(tài)，或者說(shuō)它們帶了電荷。這種處于帶電狀態(tài)的物體，叫做帶電體。實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)：自然界中只有兩種電荷。用絲綢摩擦過(guò)的玻璃棒所帶的電荷為正電荷；用毛皮摩擦過(guò)的硬橡膠棒所帶的電荷為負(fù)電荷。同種電荷相互排斥，異種電荷相互吸引。當(dāng)異種電荷在一起時(shí)，它們的效應(yīng)有互相抵消的作用。自然界一切物質(zhì)都是由原子（或分子）組成。原子是由帶負(fù)電的電子和帶正電的原子核組成。在正常情況下，兩種電量相等，物體呈中性。當(dāng)因某種原因（摩擦、加熱、化學(xué)變化等）失去或獲得一部分電子時(shí)，就成為具有吸引其他微小物體的性質(zhì)的帶電體。允許電荷通過(guò)的物體叫導(dǎo)體，不允許電荷通過(guò)的物體叫絕緣體或電介質(zhì)。導(dǎo)電性能介于導(dǎo)體和絕緣體之間的物體叫半導(dǎo)體。物體具有不同的導(dǎo)電性，這可用物質(zhì)的微觀結(jié)構(gòu)解釋?zhuān)航饘僦詫?dǎo)電，是因?yàn)閮?nèi)部存在許多自由電子，它們可以擺脫原子核的束縛而自由地在金屬內(nèi)部運(yùn)動(dòng)；酸、堿、鹽的水溶液（電解液）之所以導(dǎo)電，是因?yàn)閮?nèi)部存在許多能作宏觀運(yùn)動(dòng)的正、負(fù)離子；反之，在絕緣體內(nèi)部，由于電子受到原子核的束縛，基本上沒(méi)有自由電子，因而呈絕緣性質(zhì)；在半導(dǎo)體中導(dǎo)電的粒子（叫做載流子），除帶負(fù)電的電子外，還有帶正電的“空穴”。二、電荷守恒定律實(shí)驗(yàn)表明：在一個(gè)與外界沒(méi)有電荷交換的系統(tǒng)內(nèi)，正負(fù)電荷的代數(shù)和在任何物理過(guò)程中始終保持不變?；蛘咭粋€(gè)電孤立系統(tǒng)的總電荷是不變的。這個(gè)原理就是通常稱(chēng)之的電荷守恒定律。所謂“電孤立”系統(tǒng)，指的就是一個(gè)沒(méi)有凈電量出入其邊界面的物質(zhì)系統(tǒng)。例如光子不帶電，故可以允許光線(xiàn)出、入該系統(tǒng)而不影響這個(gè)原理。電荷守恒定律不管在宏觀領(lǐng)域還是在微觀領(lǐng)域都是成立的。在宏觀過(guò)程中，物體電荷改變，往往是由于電子的轉(zhuǎn)移而引起的，從一個(gè)物體轉(zhuǎn)換到另一個(gè)物體（這就是摩擦起電現(xiàn)象）；從物體的一部分轉(zhuǎn)移到另一部分（這就是靜電感應(yīng)現(xiàn)象）。在微觀領(lǐng)域中，譬如在核反應(yīng)和基本粒子的產(chǎn)生、湮沒(méi)過(guò)程。三、電荷的量子性

上述物質(zhì)結(jié)構(gòu)的圖象表明：在自然界中，任何帶電體的電荷量值總是以某一基本單元的整數(shù)倍出現(xiàn)，這個(gè)基本單元就是一個(gè)質(zhì)子或一個(gè)電子所帶電量的絕對(duì)值e。迄今我們所能測(cè)定的一切帶電粒子的電荷，都準(zhǔn)確地等于這個(gè)數(shù)值或其整數(shù)倍。在基本粒子的夸克模型中，夸克被認(rèn)為帶有分?jǐn)?shù)電荷，但未被實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)。

1785年，法國(guó)科學(xué)家?guī)靵鲇门こ訙y(cè)量了兩個(gè)帶電小球間的作用力：在真空中兩個(gè)靜止的點(diǎn)電荷之間的相互作用力的大小和它們所帶電量q1和q2的乘積成正比，與它們之間的距離r的平方成反比；作用力的方向沿著它們的連線(xiàn)，同號(hào)電荷相斥，異號(hào)電荷相吸。§3庫(kù)侖定律(Coulomb’slaw)一、庫(kù)侖定律所謂點(diǎn)電荷，是指帶電體的線(xiàn)度比帶電體之間的距離小得多，它的形狀和體積對(duì)相互作用力的影響可以忽略不計(jì)時(shí)，就可以把這樣的帶電體看成點(diǎn)電荷。其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：其中k是比例常數(shù)，依賴(lài)于各量單位的選取。物體所帶電荷的多少叫電量。在國(guó)際單位制中電量是庫(kù)侖，記作c。在國(guó)際單位制中，庫(kù)侖定律中的比例常數(shù)k為實(shí)驗(yàn)所測(cè)量得到：從而得到：二、電量的單位式中F單位為牛頓，q的單位為庫(kù)侖，r的單位為米。為了簡(jiǎn)化電學(xué)中其他的許多常用式子（使公式中不出現(xiàn)4π因子），往往寫(xiě)成：因此，庫(kù)侖定律的常用式子寫(xiě)成：在MKSA單位制中，長(zhǎng)度（L）﹑質(zhì)量（M）﹑時(shí)間（T）﹑電流強(qiáng)度（I）為基本量，任何一個(gè)物理量Q的量綱具有如下形式：例如：三、庫(kù)侖定律的矢量形式q2q1rq2q1r其中，表示點(diǎn)電荷q1對(duì)點(diǎn)電荷q2的作用力，表示點(diǎn)電荷q2對(duì)點(diǎn)電荷q1的作用力。從上面兩式可知，即靜止點(diǎn)電荷之間的庫(kù)侖力滿(mǎn)足牛頓第三定律。如果用表示由施力電荷指向受力電荷的單位矢，則上面兩式中的附標(biāo)可以刪掉，簡(jiǎn)化為：當(dāng)同號(hào)時(shí)，，F(xiàn)和r同向，表示為斥力；當(dāng)異號(hào)時(shí)，，F(xiàn)和r反向，表示為引力。補(bǔ)充說(shuō)明三點(diǎn)：（1）原來(lái)庫(kù)侖定律是從兩個(gè)靜止點(diǎn)電荷得到的實(shí)驗(yàn)定律，后來(lái)大量實(shí)驗(yàn)事實(shí)表明，只要施力電荷靜止，即使受力電荷運(yùn)動(dòng)，庫(kù)侖定律仍然適用。因此庫(kù)侖定律的適用條件可以放寬為：施力電荷必須是靜止，受力電荷可以是靜止的，也可以是運(yùn)動(dòng)的；（2）庫(kù)侖定律和萬(wàn)有引力定律在數(shù)學(xué)形式上極為相似，不同的是，萬(wàn)有引力總是引力，庫(kù)侖力可以是引力，也可以是斥力。注意這種相似和區(qū)別（是否有質(zhì)的統(tǒng)一性是一個(gè)謎？）；（3）庫(kù)侖定律是電磁學(xué)的基本定律，包括著名的α粒子放射以及地球物理探測(cè)在內(nèi)的大量實(shí)驗(yàn)表明，庫(kù)侖定律小至原子、原子核的線(xiàn)度，大至地球的線(xiàn)度內(nèi)，即在10-15m——107m的范圍內(nèi)是可靠的。四、迭加原理庫(kù)侖定理解決了兩個(gè)點(diǎn)電荷之間的作用力問(wèn)題，如果空間有兩個(gè)以上的點(diǎn)電荷，或者體積不是很小的帶電體，電荷之間的作用力又是怎樣呢？這就必須補(bǔ)充另一實(shí)驗(yàn)事實(shí)——實(shí)驗(yàn)證明，有多個(gè)點(diǎn)電荷存在時(shí)，任意兩個(gè)點(diǎn)電荷之間的作用是獨(dú)立的，不受其他電荷存在的影響，仍由庫(kù)侖定律決定。即：作用在每一個(gè)點(diǎn)電荷上的總靜電力等于其他各點(diǎn)電荷單獨(dú)存在時(shí)作用于該點(diǎn)電荷靜電力的矢量和，這就是靜電力的疊加原理，也叫獨(dú)立作用原理。庫(kù)侖定律與疊加原理相配合，原則上可以解決靜電力中的全部問(wèn)題。綜上所述，為了解決帶電體之間靜電力作用問(wèn)題，我們首先抽象出點(diǎn)電荷模型，從特殊開(kāi)始，由實(shí)驗(yàn)找到點(diǎn)電荷之間的相互作用規(guī)律——庫(kù)侖定律，然后又由實(shí)驗(yàn)找到疊加原理，解決了任意帶電體之間靜電力作用的問(wèn)題。從特殊到一般，這是常用的一種研究問(wèn)題的方法。注：今后說(shuō)到一個(gè)物理規(guī)律可由實(shí)驗(yàn)證明時(shí)，可能是直接實(shí)驗(yàn)，也可能是指間接實(shí)驗(yàn)（是指由這一看法推出的各種結(jié)論與實(shí)驗(yàn)事實(shí)相符，這是物理學(xué)中的一個(gè)重要方法）

§4靜電場(chǎng)（electrostaticfield)一、電場(chǎng)庫(kù)侖定律加上疊加原理，原則上可以求解任意帶電體之間的靜電力。這樣看來(lái)，人們對(duì)這個(gè)領(lǐng)域的認(rèn)識(shí)似乎可以“到此止步”了，然而，電荷之間的作用是怎樣進(jìn)行的，庫(kù)侖定律沒(méi)有回答這個(gè)問(wèn)題，正是對(duì)這個(gè)問(wèn)題的不同解釋以及由此而引起的長(zhǎng)期爭(zhēng)論，導(dǎo)致了場(chǎng)概念的建立和場(chǎng)理論的產(chǎn)生和發(fā)展，從此把人們引入一個(gè)新的極為重要的物質(zhì)世界領(lǐng)域電荷之間的相互作用是怎樣進(jìn)行的？我們知道，當(dāng)我們推桌子時(shí)，通過(guò)手和桌子直接接觸，把力作用在桌子上。馬拉車(chē)時(shí)，通過(guò)繩子和車(chē)直接接觸，把力作用到車(chē)上。在這里，力都是存在于直接接觸的物體之間的，這種力的作用，叫接觸作用或近距作用。但是，電力（電荷之間的相互作用力）、磁力（如磁鐵對(duì)磁塊的吸引力）和重力等，都可以發(fā)生在兩個(gè)相隔一定距離的物體之間，而在兩個(gè)物體之間并不需要有任何由原子、分子組成的物質(zhì)作媒介。圍繞著這個(gè)問(wèn)題，在歷史上曾有過(guò)長(zhǎng)期的爭(zhēng)論，一種觀點(diǎn)認(rèn)為這類(lèi)力不需要任何媒介，也不需要時(shí)間，就能夠由一個(gè)物體立即作用到相隔一定距離的另一個(gè)物體上，這種觀點(diǎn)叫超距作用觀點(diǎn)。另一種觀點(diǎn)認(rèn)為這類(lèi)力也是近距作用的，電力和磁力是通過(guò)一種充滿(mǎn)在空間的彈性媒介——“以太”來(lái)傳遞的。近代物理學(xué)的發(fā)展證明，“超距作用”的觀點(diǎn)是錯(cuò)誤的，電力和磁力的傳遞雖然很快（3×108m.s-1），但并非不需要時(shí)間，而歷史上持“近距作用”的觀點(diǎn)的人所假定的那種“彈性以太”也是不存在。實(shí)際上，電力和磁力是通過(guò)電場(chǎng)和磁場(chǎng)來(lái)作用的。上述兩種觀點(diǎn)可圖解為：電荷電荷電荷電場(chǎng)電荷相對(duì)于觀察者靜止的電荷產(chǎn)生的場(chǎng)叫做靜電場(chǎng)，電荷是電場(chǎng)的源，所以叫做場(chǎng)源，也叫源電荷。對(duì)于靜止電荷之間的相互作用，上述兩種觀點(diǎn)所作的解釋都是說(shuō)得通的，所作的計(jì)算結(jié)果也是一致的，但對(duì)運(yùn)動(dòng)電荷兩種觀點(diǎn)的差別就暴露出來(lái)了，運(yùn)動(dòng)電荷產(chǎn)生的電磁場(chǎng)可以脫離場(chǎng)源而獨(dú)立存在。正如湖面上投石激波，水波可以脫離波源而繼續(xù)存在、傳播一樣；變化的電磁場(chǎng)有“推遲效應(yīng)”，正如聽(tīng)到鐘聲和擊鐘之間有時(shí)間間隔一樣，這些都是“超距作用”所無(wú)法說(shuō)明的，而場(chǎng)的觀點(diǎn)卻能圓滿(mǎn)做出解釋?zhuān)蓤?chǎng)的觀點(diǎn)出發(fā)所作的計(jì)算也是與實(shí)驗(yàn)結(jié)果一致的。因此，場(chǎng)的觀點(diǎn)得到證實(shí)。場(chǎng)是一種特殊的物質(zhì)，他不像實(shí)物那樣由電子、質(zhì)子和中子構(gòu)成，他一般不能憑人們的感官直接感覺(jué)到它的存在，因此它的物質(zhì)性初學(xué)者往往難以理解。我們可以從它間接表現(xiàn)出來(lái)的物質(zhì)屬性而感覺(jué)到它的真實(shí)存在，因物質(zhì)的任何一種屬性，總是通過(guò)它和其他物質(zhì)的相互作用表現(xiàn)出來(lái)的，電場(chǎng)的屬性也是通過(guò)它和其他物質(zhì)的作用表現(xiàn)出來(lái)的。把電荷q0放在電場(chǎng)中，就會(huì)受到電場(chǎng)力的作用，由此可見(jiàn)，電場(chǎng)對(duì)置于其中的電荷有“施力的本領(lǐng)”，有“力的屬性”。如果說(shuō)電荷q0在電場(chǎng)力作用下從靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，電場(chǎng)力就會(huì)對(duì)電荷q0做功，如果不存在其他作用力，這個(gè)電荷的速度就會(huì)越來(lái)越大，這就說(shuō)明，電場(chǎng)還有做功的本領(lǐng)，有“能的屬性”（電場(chǎng)具有能量）。下面，我們首先研究靜電場(chǎng)的“力的屬性”。將引出電場(chǎng)強(qiáng)度概念來(lái)描述電場(chǎng)的這種屬性。為了定量地描述電場(chǎng)，必須在電場(chǎng)中引入一電荷以測(cè)量電場(chǎng)對(duì)它的作用力。為了使測(cè)量精確，這電荷必須滿(mǎn)足以下一些要求。首先，要求這電荷的電量充分小，因?yàn)橐脒@電荷是為了研究空間原來(lái)存在的電場(chǎng)的性質(zhì)，如果這電荷的電量太大，它自己的影響就會(huì)顯著地改變?cè)械碾姾煞植迹瑥亩淖兞嗽瓉?lái)的電場(chǎng)分布情況。其次，電荷的幾何線(xiàn)度也要充分小，即可以把它看做是點(diǎn)電荷，這樣才可以用它來(lái)確定空間各點(diǎn)的電場(chǎng)性質(zhì)。今后把滿(mǎn)足這樣條件的電荷叫做試探電荷。0實(shí)驗(yàn)指出：檢驗(yàn)電荷q0放入電場(chǎng)不同地點(diǎn)時(shí)，q0所受力的大小和方向逐點(diǎn)不同，但在電場(chǎng)中每一給定點(diǎn)處，q0所受力的大小和方向都是完全一致的，如果在電場(chǎng)中某給定點(diǎn)處我們改變q0的量值，就發(fā)現(xiàn)，q0所受力的方向仍然不變，但力的大小卻和q0成正比地改變，那麼能否用檢驗(yàn)電荷q0所受到的電場(chǎng)力來(lái)描述電場(chǎng)的“力的性質(zhì)”呢？不能！因?yàn)橛脕?lái)描述電場(chǎng)性質(zhì)的物理量，只能由電場(chǎng)本身決定，而檢驗(yàn)電荷q0受到的電場(chǎng)力，不僅與電場(chǎng)有關(guān)，還與檢驗(yàn)電荷的電荷量的多少和正負(fù)有關(guān)。又因?yàn)樽饔迷趒0上的電場(chǎng)力總是與q0成正比，即F/q0是一個(gè)與q0大小、正負(fù)無(wú)關(guān)的恒量。這說(shuō)明比值定義為該點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度，簡(jiǎn)稱(chēng)為場(chǎng)強(qiáng)，用E表示。可見(jiàn)，電場(chǎng)強(qiáng)度是描述電場(chǎng)性質(zhì)的物理量，某點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度是這樣一個(gè)矢量，它的大小等于單位檢驗(yàn)電荷在該點(diǎn)所受電場(chǎng)力的大小，它的方向就是正檢驗(yàn)電荷在該點(diǎn)所受電場(chǎng)力的方向。但應(yīng)注意，某點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度與該點(diǎn)是否存在電荷無(wú)關(guān)，因?yàn)樵擖c(diǎn)電荷僅起檢驗(yàn)作用！在國(guó)際單位制中，力的單位是N，電荷量的單位是C，所以場(chǎng)強(qiáng)的單位是N/C，場(chǎng)強(qiáng)的單位也可以寫(xiě)成v/m，這兩種表示法是一樣的，在電工計(jì)算中常采用后一個(gè)單位。E(x、y、z)是矢量點(diǎn)函數(shù)，矢量的總體稱(chēng)為矢量場(chǎng)，它是一種空間分布！“求某一帶電體激發(fā)的電場(chǎng)”就是指求出場(chǎng)強(qiáng)與坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系E(x、y、z)。從場(chǎng)的觀點(diǎn)來(lái)說(shuō)，一個(gè)電荷對(duì)另一個(gè)電荷的作用包含兩個(gè)同時(shí)發(fā)生的過(guò)程，點(diǎn)電荷q1在周?chē)a(chǎn)生電場(chǎng)，這個(gè)電場(chǎng)對(duì)置于其中的另一點(diǎn)電荷q2施加電場(chǎng)力，由此可見(jiàn)，庫(kù)侖定律實(shí)質(zhì)上就是電荷間作用的兩個(gè)過(guò)程的綜合描述。三、電場(chǎng)強(qiáng)度的計(jì)算1、點(diǎn)電荷Q激發(fā)的場(chǎng)強(qiáng)以點(diǎn)電荷Q所在處為坐標(biāo)原點(diǎn)O，取任意距O為r的點(diǎn)P為場(chǎng)點(diǎn)，設(shè)想把一個(gè)試探電荷q放在P點(diǎn)，根據(jù)庫(kù)侖定律，q所受的力為:rQqP根據(jù)場(chǎng)強(qiáng)的定義式，得到P點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)為:2、場(chǎng)強(qiáng)迭加原理若電場(chǎng)是由點(diǎn)電荷系共同激發(fā)的，由電場(chǎng)力疊加原理，檢驗(yàn)電荷在場(chǎng)點(diǎn)p所受電場(chǎng)力等于各個(gè)場(chǎng)源點(diǎn)電荷單獨(dú)存在時(shí)作用于的電場(chǎng)力的矢量和。即

由電場(chǎng)強(qiáng)度定義，P點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)式中，分別為單獨(dú)在時(shí)在P點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)上式表明，點(diǎn)電荷系電場(chǎng)中任一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)等于各點(diǎn)電荷單獨(dú)存在時(shí)在該點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)的矢量和。這個(gè)結(jié)論稱(chēng)為場(chǎng)強(qiáng)疊加原理。3、電荷連續(xù)分布情況點(diǎn)電荷的場(chǎng)強(qiáng)公式是最基本而又是最重要的場(chǎng)強(qiáng)計(jì)算式。如果電荷的分布是連續(xù)的，即不能認(rèn)為是點(diǎn)電荷，根據(jù)不同的情況，把電荷看成在一定體積內(nèi)連續(xù)分布、在一定曲面上連續(xù)分布、在一定曲線(xiàn)上連續(xù)分布。在這些情況下，首先將電荷的分布看成由許多較小的電荷元dQ所產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)為:由此連續(xù)分布總的電荷在P點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)為（積分）

為了方便討論，對(duì)于連續(xù)分布的電荷，需要引入電荷的體密度、面密度、線(xiàn)密度概念。4、連續(xù)分布的電荷的電場(chǎng)計(jì)算[例1]在真空中，一均勻帶電直導(dǎo)線(xiàn)MN，其長(zhǎng)度為l，帶電量為q，求在導(dǎo)線(xiàn)一旁距離為a的P點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)。0ydyMNyarPdExxdEyββ1β2即bpeblcos40addy=Ebpeblbbpebblsin4sinsin4sin02202adadadx==E[例4]求均勻帶電球面內(nèi)﹑外一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度（設(shè)面電荷密度為σ，半徑為R）。RobdbRr0rθPEdrEdr§5高斯定理(Gauss’theorem)

高斯定理是靜電場(chǎng)的一個(gè)重要定理，它是關(guān)于電場(chǎng)中閉合曲面電通量的定理，在討論這個(gè)定理之前先介紹電通量的概念。一、電通量通量是描述矢量場(chǎng)性質(zhì)的一個(gè)物理量，流體力學(xué)中流量的概念是大家熟知的，我們就從流量來(lái)引入通量的概念，如圖所示，在流速場(chǎng)中（在流體力學(xué)中，速度v是一個(gè)矢量函數(shù)，整個(gè)流體是一個(gè)速度場(chǎng)），取一微小面元Δs,n為面元Δs的法線(xiàn)方向的單位矢量.單位時(shí)間內(nèi)流過(guò)ΔS的流體體積叫做ΔS的通量，由于ΔS很小，可以認(rèn)為其上各點(diǎn)的流速v處處相等。單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)ΔS的流體體積，它在數(shù)值上等于以ΔS為底以v為母線(xiàn)的柱體體積，即（稱(chēng)為矢量

對(duì)面元的通量）將上面通量的定義推廣到任意矢量場(chǎng)

，則PnE.電場(chǎng)強(qiáng)度矢量的通量稱(chēng)為電通量。設(shè)電場(chǎng)中某一點(diǎn)p的場(chǎng)強(qiáng)為E，包含P點(diǎn)取一面元，n為面元法線(xiàn)方向的單位矢，

為E和n之間的夾角。我們定義：面元的電通量為即場(chǎng)強(qiáng)E與面元在場(chǎng)強(qiáng)方向的投影的乘積就是面元電通量。下面，我們對(duì)電通量作進(jìn)一步的討論（1）電通量是代數(shù)量。場(chǎng)強(qiáng)和面元矢量的夾角θ之不同，電通量有正、負(fù)。（2）電通量是場(chǎng)強(qiáng)在曲面上的積分量，它不僅與場(chǎng)強(qiáng)有關(guān)，還與曲面的大小、方向有關(guān)，因此，它不是點(diǎn)函數(shù)，只能說(shuō)某曲面的電通量，不能講某點(diǎn)的電通量。（3）如果是有限曲面S，則面上各點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)大小和方向一般是不同的，這時(shí)可以把此曲面分成無(wú)限多個(gè)面元ds,整個(gè)曲面S的電通量就是所有面上的電通量的代數(shù)和，即面積分為如果是封閉曲面，則其電通量為 表示沿整個(gè)閉合曲面積分。這里要注意一個(gè)曲面的法線(xiàn)式兩有正、反兩種取法，對(duì)于非閉合曲面來(lái)講，可取其中任意一個(gè)為法線(xiàn)矢量的正方向；但對(duì)于閉合曲面來(lái)講，它把空間劃分為內(nèi)外兩部分，其法線(xiàn)矢量的兩種取向就有了特定的意義，通常規(guī)定外法線(xiàn)矢量為正。式中電通量是一個(gè)比較抽象的概念，剛引入時(shí)不易理解它的含意，這和我們初學(xué)功這個(gè)概念時(shí)的情況有些類(lèi)似，開(kāi)始，從功的定義也很難理解為什麼那樣定義，但是，當(dāng)學(xué)了功能關(guān)系以后，我們明白了，功原來(lái)就是機(jī)械能轉(zhuǎn)移和轉(zhuǎn)化的一種量度，為什麼要把功定義為力和位移在力方向的投影的乘積，正是因?yàn)檫@個(gè)物理量能夠?qū)C(jī)械能的轉(zhuǎn)移和轉(zhuǎn)化作出定量的描述。電通量的概念也一樣，學(xué)了高斯定理后就會(huì)明白，正是這樣定義的一個(gè)物理量，能夠描述場(chǎng)和場(chǎng)源的某種關(guān)系，揭示了靜電場(chǎng)的一個(gè)重要規(guī)律。二、高斯定理那么，如何實(shí)際地計(jì)算電場(chǎng)中任一曲面，尤其是閉合曲面的電通量呢？1839年，德國(guó)科學(xué)家高斯在這方面作了重要工作，高斯定理可以表述為：靜電場(chǎng)中任意閉合曲面s的電通量φe，等于該曲面所包圍的電荷的代數(shù)和Σqi除以ε0，與閉合面外的電荷無(wú)關(guān)。這里s通常是一個(gè)假象的閉合曲面，習(xí)慣上叫高斯面。其數(shù)學(xué)形式為：（1）包圍點(diǎn)電荷q的同心球面的電通量都等于以正點(diǎn)電荷q所在處為中心，任意半徑r作一球面，根據(jù)庫(kù)侖定律，球面上場(chǎng)強(qiáng)具有球?qū)ΨQ(chēng)性，在球面上任取一小面元ds，其外法線(xiàn)矢量n也是沿半徑方向向外的，即n與E的夾角為0，下面我們從特殊到一般，分幾步來(lái)證明這個(gè)定理。（根據(jù)庫(kù)侖定律和場(chǎng)強(qiáng)疊加原理）因此通過(guò)整個(gè)閉合球面的電通量為：當(dāng)點(diǎn)電荷為負(fù)時(shí)（q<0），球面上各點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)方向與該點(diǎn)所在面元法線(xiàn)方向相反，整個(gè)球面的電通量為負(fù)，所以上式仍然成立。這一結(jié)果的重要性在于，電通量φe與球面半徑r無(wú)關(guān)。（2）包圍點(diǎn)電荷q的任意閉合曲面的電通量都等于rr’o需補(bǔ)充一點(diǎn)數(shù)學(xué)知識(shí)—立體角平面角:一個(gè)園，其半徑為r，弧長(zhǎng)為那么平面角為：整個(gè)圓周所張的角：對(duì)于兩個(gè)同心圓，半徑不同，弧長(zhǎng)也不同，但可對(duì)應(yīng)同一個(gè)平面角，即（與半徑r的選擇無(wú)關(guān)）立體角：一個(gè)球面上的面元ds，對(duì)球心所張的角，在空間包圍一定的范圍，可想象為一個(gè)錐體的“頂角”，用表示，仿照度量平面角的方法，即ordsds’r’(sr)（與半徑r的選擇無(wú)關(guān)）dsP任意面元對(duì)一點(diǎn)所張的立體角PrdsWdqnr這是因?yàn)榭蓪㈤]合面分為S1和S2兩部分，它們對(duì)P點(diǎn)所張的立體角等值異號(hào)，所以總的立體角為零。（4）多個(gè)點(diǎn)電荷的場(chǎng)設(shè)系統(tǒng)中有K個(gè)點(diǎn)電荷，其中個(gè)點(diǎn)電荷在閉合面內(nèi)，個(gè)點(diǎn)電荷在閉合面外，由電場(chǎng)的疊加原理，總的場(chǎng)強(qiáng)是各點(diǎn)電荷場(chǎng)強(qiáng)的矢量和。NL,2,1KNNL,2,1++KEEEErLrrr+++=21總通量為：e)對(duì)電通量的理解，如果借助于光學(xué)中的點(diǎn)光源（相當(dāng)于點(diǎn)電荷）發(fā)光現(xiàn)象，將會(huì)加深印象，很有益處。高斯定理的應(yīng)用舉例：能夠直接運(yùn)用高斯定理求出場(chǎng)強(qiáng)的情形，電場(chǎng)的分布必須具有一定的對(duì)稱(chēng)性。[例1]求無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電導(dǎo)線(xiàn)（電荷線(xiàn)密度為λ）的場(chǎng)強(qiáng)。分析：場(chǎng)的分布有怎樣的對(duì)稱(chēng)性？高斯面怎樣作？SP通過(guò)Gauss面的通量為：由Gauss’theorem可得（寫(xiě)成矢量形式，即為）[例2]求無(wú)限大均勻帶電平面的場(chǎng)強(qiáng)，電荷面密度為σ。分析：場(chǎng)的分布具有怎樣的對(duì)稱(chēng)性？高斯面怎樣作？S1PSS2.通過(guò)Gauss面的通量為：由Gauss’theorem可得寫(xiě)成矢量形式，即為利用上面的結(jié)果請(qǐng)同學(xué)們思考：兩帶等量異號(hào)電荷相互平行的無(wú)限大平面之間的場(chǎng)強(qiáng)為，外部場(chǎng)強(qiáng)為為O。[例3]求均勻帶電球面內(nèi)外的場(chǎng)強(qiáng)分布，球面半徑為R，所帶電量為q。類(lèi)似分析：PPRqErrROE從以上幾個(gè)例題可以看出，利用高斯定理的關(guān)鍵在于對(duì)稱(chēng)性分析，其次是高斯面的選取，一般做法：高斯面的各個(gè)部分或者與平行，或者與垂直；與垂直的那部分高斯面上，各點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)應(yīng)相等。雖然這樣的帶電體系并不多，但在幾個(gè)特例中得到的結(jié)果都是很重要的。這些結(jié)果的實(shí)際意義往往不限于這些特例本身，很多實(shí)際的場(chǎng)合都可用它們來(lái)作近似的估算。利用高斯定理求場(chǎng)強(qiáng)，只體現(xiàn)這個(gè)定理重要性的一個(gè)方面，更重要的意義在于它是靜電場(chǎng)兩個(gè)基本定理之一。從各種帶電體的電力線(xiàn)的共同特征，可以歸納出靜電場(chǎng)的電力線(xiàn)有如下一些性質(zhì)：性質(zhì)一:電力線(xiàn)發(fā)自正電荷（或無(wú)限遠(yuǎn)），終止負(fù)電荷（或無(wú)限遠(yuǎn)），在無(wú)電荷處不中斷。性質(zhì)二:電力線(xiàn)不能構(gòu)成閉合曲線(xiàn)。性質(zhì)三：任何兩條電力線(xiàn)不相交。注意:電力線(xiàn)是人們?yōu)榱诵蜗蟮乇硎境鲭妶?chǎng)的強(qiáng)弱和方向而引入的，它不是電場(chǎng)中實(shí)際存在的線(xiàn)，更不要認(rèn)為電力線(xiàn)是電荷在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡，這是因?yàn)殡娏€(xiàn)的切線(xiàn)方向是電荷受力的方向不是運(yùn)動(dòng)速度的方向。二、電力線(xiàn)的性質(zhì)電力線(xiàn)的第一個(gè)性質(zhì)，實(shí)際上是高斯定理的必然結(jié)果，也可以說(shuō)是高斯定理的幾何表述，說(shuō)明電荷是靜電場(chǎng)的源；第二個(gè)性質(zhì)實(shí)際上是靜電場(chǎng)的另一個(gè)重要定理—環(huán)路定理的必然結(jié)果，也可以說(shuō)是環(huán)路定理的幾何表述，說(shuō)明靜電場(chǎng)力做功和路徑無(wú)關(guān)。理論上可以證明，靜電場(chǎng)是由高斯定理和環(huán)路定理共同確定的，在一定的邊界條件下，已知電荷分布產(chǎn)生的電場(chǎng)是唯一的。因此，電力線(xiàn)的兩個(gè)性質(zhì)實(shí)際上是靜電場(chǎng)性質(zhì)和規(guī)律的反映。現(xiàn)階段用靜電場(chǎng)兩個(gè)基本定理作定量討論存在一定困難，但我們可以用電力線(xiàn)，對(duì)某些問(wèn)題作定性的討論，得出定性的結(jié)果。在此過(guò)程中，電場(chǎng)力要作功。由于各點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)不一樣，所以是一個(gè)變力作功的問(wèn)題，需要對(duì)各段的元功進(jìn)行積分，設(shè)由c到d這一段移為，ldrldr與的夾角為θ，這一段的元功為：ErdbrbQraarEr所以qEdrdA=因?yàn)閹?kù)侖力是徑向力，所以元位移在電場(chǎng)力方向上的投影為：ldr由a到b的總功這結(jié)果表明，當(dāng)Q和q確定后，電場(chǎng)力所作的功只取決于運(yùn)動(dòng)電荷的始末位置而與路徑無(wú)關(guān)。b)多個(gè)點(diǎn)電荷產(chǎn)生的場(chǎng)由靜電場(chǎng)力作功與路徑無(wú)關(guān)這一性質(zhì)可知：所以總功分析：當(dāng)檢驗(yàn)電荷從a點(diǎn)移到b點(diǎn)，電場(chǎng)力要做功，而功是能量轉(zhuǎn)化的量度，這說(shuō)明從a點(diǎn)移到b點(diǎn)有能量變化。不管從a點(diǎn)沿哪一條路徑移到b點(diǎn)，電場(chǎng)力對(duì)電荷做的功都是相同的，這說(shuō)明電荷在a﹑b兩點(diǎn)的能量差是一定的，其值由這兩點(diǎn)的位置決定。這種由電荷在電場(chǎng)中的位置決定的能量，叫做電位能。顯然，電位能是電荷和電場(chǎng)共同具有的。檢驗(yàn)電荷在a﹑b兩點(diǎn)的電位能，分別用﹑表示。當(dāng)電場(chǎng)力要做正功時(shí):由功能原理：當(dāng)電場(chǎng)力要做負(fù)功時(shí):電位能和重力位能一樣，也是一個(gè)相對(duì)量。只有先規(guī)定電荷在某一參考點(diǎn)的電位能為零，才能確定電荷在其他位置的電位能，如果選b為參考點(diǎn)，即由上式可知，電荷在場(chǎng)中某點(diǎn)的電位能，在數(shù)值上等于把從該點(diǎn)移到參考點(diǎn)時(shí)，電場(chǎng)力所做的功。理論上通常取無(wú)限遠(yuǎn)處的電位能為零,則在a點(diǎn)的電位能電位能可正、可負(fù)，電位能的單位為焦耳。說(shuō)明一點(diǎn)：電荷q在靜電場(chǎng)中之所以有電位能，是因?yàn)閝與場(chǎng)源電荷之間有電力作用的結(jié)果。故電位能并非屬于電荷q，而是屬于q與場(chǎng)源電荷所組成的系統(tǒng)。習(xí)慣上，說(shuō)q在某點(diǎn)的電位能，這是因?yàn)樵谒懻摰膯?wèn)題中，場(chǎng)源電荷的位置不動(dòng)，系統(tǒng)的能量有變化時(shí)，只是可動(dòng)的試探電荷q的位置變化的結(jié)果。電位能的概念屬于帶電體系。它反映了電場(chǎng)本身在a點(diǎn)的性質(zhì)，因此我們定義：